苏教数学必修一课件：第2章2.22.2.2函数的奇偶性

第2章函数
2. 2 函数的简单性质2. 2. 2 函数的奇偶性
知
1^嘗L
匚適知初探二
1.偶函数
一般地，设函数y二/⑴的定义域为A,如果对于任意的X&A,
都有_________ ,那么称函数丁=/匕)是偶函数.
2.奇函数
一般地，设函数y二/⑴的定义域为A,如果对于任意的x^A,
都有/(-%)=-»,那么称函数y=/[x)是奇函数.
3.奇偶性
如臬函数是奇函数或偶函数，我们就说函数_仏)具有奇偶性.
4.奇、偶函数的图象性质
(1)偶函数的图象关于型对称，图象关于乩对称的函数一定是偶函数.
(2)奇函数的图象关于竺对称，图象关于竺对称的函数
一定
是奇函数.
1 •思考辨析(正确的打7，错误的打“X”
(1)函数»=%的图象关于(0,0)对称.
⑵偶函数的图象-定与y轴相交.
(3)若对函数加)有犬一1)=/(1),则沧)为偶函数.
(4)奇函数的图象一定过(0,())・［答案］(1)7 (2)X (3)X (4)X
~3 ［易知a—2+5=0,
3」
一2,5］上的奇函数，则
3.己知加)“+加一4,其中a, b为常数,若犬―2)=2,则f(2)的值等于____ ・
3」
—10 [/(—2)=2,・：一8Q—2/?—4=2, ・：8a+2b=—6,・\/(2) =8a+2b—4= — 10.]
\类型ly函数奇偶性的判断
F严严护
【例1】⑴若函数加)的图象如图，则f(x)为奇”或“偶”或“非奇非偶”)扫码看微课
0 X
1 .
\类型ly
函数奇偶性的判断
(2)判断下列函数的奇偶性.
2
①加)=0
dXx）二寸4_#+肯_4.
(2)［解］①因为函数的定义域为(一8, 0)U(0, +°°),关于原点对称.
2
=?=»^所以函数/W是偶函数.
A
②定义域要求世:: 所以-1
所以加)的定义域不关于原点对称,
所以是非奇非偶函数.
<4-口,
『—420,
得圧{2, -2},定义域关于原点对称，且胆）=0, 所以他既是奇函数又是偶函数.
规律方法
判断函数奇偶性的方法(1)定义法
非奇非偶函数h―1I奇函软取偶函教
(2)图象法
若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.此法多用于选择题中
•
餌踪训练.
1.判断下列各函数的奇偶性.
/2+x
(1曲)丸-2)冷石
x+2(x<—1),
⑵他)」O(MW1),
r+2(x>l).
［解］(1)由得定义域为［-2,2),关于原点不对称，故
f⑴为非奇非偶函数.
(2)当虫一1时，加)=计2, 一%>1, ・\A_X)=_(_X)+2=X+2=/(X)；
当X>1时，/W=—x+2, -K—1,
f(_x)二_x+2=/U)；
当_1W X W］时，加)=0, _lW~xWl, f(-x)=O=/(i).
・：对定义域内的每个x都有犬一小二/⑴，因此加)
是偶函数・
隅?/'已知函数奇偶性求解析式
【例2】⑴已知妣)是R上的奇函数，当, 0)时,兀0 = -x(l+x),求妣)；
(2)若函数Ax)=x2+(m-l)x+3(xER)是偶函数,求加的值.
思路点拨：(1)己知;K0时的解析式，用奇偶性求兀＞0的解析式, 应通过(一兀)进行过渡，但别忽视兀=0的情况;(2)应用偶函数满足—m -
［解］(1)\»为R上的奇函数, ・・・no),
・/0)=0・
当xE(O, +8)时，一xG( —8, 0),
x)=x(i—%).
为R上的奇函数，
—血)=x(l_x),
・％)=_x(l_x).
_x( 1 +x), 综上可知，几x)=0，
—x(l—x),
x<0, x-O, x>0.
(2) \»为偶函数，
・\Ar)=M
即『一(加一1)兀+3=『+(加一l)x+3, /. 2(m—l)x=O.
VxER, .\m—1=0?得m—\.
［母題探究］
1.（变条件）若将⑴中的“奇函数”改为“偶函数且
加）=0” ,
求加）.
[解]设xG(0, +-),则一%e(-oo, 0), :-x)=-(-x)[l+(-%)] 又为偶函数，・説一x)=/(x),
_x(l+x), x<0, ・\An), %E(O, + 8).・\/w= o, x=o, x(l_x), x>0.
2.(变条件)若(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，求加的值.
［解］＞)=3,加0,无解.
规律方ii
1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉兀=0的情形.若函数恋)的定义域内含0且为奇函数，则必有/(0)=0.
2.利用奇偶性求解析式的思路
⑴在待求解析式的区间内设x,则一兀在已知解析式的
区间内；
(2)利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用/⑴的奇偶性，求待求区间上的解析式.
［探究问题］
1.观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶
性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得岀
奇偶函数的单调性
［提示］两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得岀结论：奇函数在对称区间上的单调性相同.
2.能否证明一下探究1中的结论（不妨以“己知在
［a,b］（a>0）
上递增”为例）.
［提不］已知加）是奇函数，在区间［o, b］（a>0）上是单调递增的•证明兀0在区间［—0,—上也单调递增.
证明：任取Q, x2^［~b,一〃］且QS.
则>1）_>2）二—/（―兀1）—［—A—兀2）］—尤2）—
A ―兀1），
白加）在皿切上单调递增，・/—乃）彳一讪
・/一兀2）~/（-尤1）<0，即加1>#2），・：/（兀）在区间［―b, 一a］上单调递增.
3.从图两个偶函数的图象中，能否找岀偶函数的图象在对称区间上的关系？
［提示］偶函数的图象在对称区间上单调性相反.
【例3】已知函数是奇函数，其定义域为(-1,1),且在01)
上为增函数.若>-2)+/(3-2«)<0,试求〃的取值范围.S 思路点拨：可将加一2)+/(3-2°)<0移项得血―2)<-/(3-2°), 根据奇偶性和单调性转化为研究a —2与2。

一3的大小关系，
注意定
义域.
扫
码
看
微
踝
［解］\>-2)+/(3-2^<0,
・••血 - 2)<-/(3 - 2”).
・J⑴为奇函数，・：一出一2°)=/©—3), ••血-2)彳2。

-3).
••了⑴在［0,1)上为增函数，
~［<a~2<i,
・°・加)在(一1,1)上单调递if, .V-l<3~2a<l,
解得l<a<2.
a_2<2a_3.
用—、廿:-% \ 沪二 $
规律方法
1.函数奇偶性和单调性的关系
⑴若血）是奇函数，且加）在⑷切上是单调函数，则加）在［―0，—0］上也为单调函数，且具有相同的单调性.
（2）若加）是偶函数,且加）在⑷0］上是单调函数,则加）在［T, 上也为单调函数，且具有相反的单调性.
2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法
⑴充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为/山）＞兀2）或/（Q）勺％）的形式，再利用单调性脱掉7”求解.
（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数
的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
2.已知定义在［—2,2］上的函数兀0是偶函数，在
［0,2］±单调递增,
则满足不等式/(2。

一1)才(1)的o的取值范围是•
0 ［由加)为偶函数,得他一1)= 险一II),
/
又加)在［0,2］±单调递增，且匚课堂小结二
1. 定义域在数轴上关于原点对称是函数y=AQ 为奇函数或偶函 数的一个必要条件,X-x ）=-»或A-x ）=»是定义域上的恒等 式.
2. 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了
便于判 断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或・・・如一11>1,故 —2W2Q —1W2,
12。

一1 卜 1,
或一齐 a<0・］
应用定义的等价形式：/（-沪如）钉（-兀）珈）二0气詁二± 1妙工0）.
3.⑴右幷)=0且尸/(x)的定义域关于原点对称，贝ij)=兀;)既是奇函数又是偶函数.
⑵奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。