09 工程力学-梁的弯曲变形

EI f ( x) ( M ( x)) dx C1
EIf ( x) ( ( M ( x)) dx)dx C1 x C2
2.位移边界条件 A C P B P D
支点位移条件：
fA 0
连续条件： 光滑条件：
fB 0
fC fC
fD 0
D 0
( x ) M ( x ) f EI
f
M<0 f ( x) 0
…… （2）
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIf ( x) M ( x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线）
1.微分方程的积分
EIf ( x) M ( x)
刚度：
M (X ) f EI z
稳定性： 都与内力和截面性质有关。
一、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比 h
R
北宋李诫于1100年著« 营造法式 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著« 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中指出:
第 9章
§9–1 概述
弯曲变形
§9–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §9–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §9–4 梁的刚度校核
§9–5 如何提高梁的承载能力
§9－１ 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
f max f L L
f max 5.19 106 m f 105 m
max 0.423 104 0.001
§9-6
强度：正应力： 剪应力：
如何提高梁的承载能力
M max Wz
* QSz bIz
q0 C x 0.5L dx 0.5L b x
2bq0 dPq ( x)dx db L
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
(dP)b(3L2 4b 3 ) f dPC 48EI
f
叠加
qb2 (3L2 4b 3 ) db 24EI
f qC f dPC

0.5 L
0
2 P L a 1 f1C 1B a 16EI
= +
a P2
P1=1kN B
C
2 B 0
3 B
P2 a 3 f 2C 3EI
图2
P2 A
图3
M C
ML LaP2 3EI 3EI
+
D
B
P2 La 2 f 3C 3 B a 3EI
L=400mm
A D B
a=0.1m P
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 P 2.转角：横截面绕其中性轴转 C x 动的角度。用 表示，顺时 v f C1 针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为： v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系：
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
A C
q 例4 按叠加原理求A点转角和C点 B 挠度。
a
P A
a
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
=
B
PA
A
q B
Pa 4 EI
2
Pa3 f PC 6 EI
+
qa3 qA 3 EI
5qL4 f qC 24EI
P
z
G

M ( x) max ( x) [ ] W ( x)
二、采用变截面梁 最好是等强度梁，即
若为等强度矩形截面，则高为 6 M ( x) h( x ) x b[ ] Q Q [ ] h( x) 1.5 同时 max 1.5 b[ ] bh( x)
P
三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。 P
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 P 解： L 建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x) P( x L)
x
f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
EIf M ( x) P( L x)
1 EI f P ( L x) 2 C1 2
f ( x)
P ( L x)3 3L2 x L3 6 EI



最大挠度及最大转角
PL2 max ( L) 2 EI
PL3 f max f ( L) 3EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a ) M ( x) 0 (0 x a) (a x L)
qb2 (3L2 4b 3 ) qL4 db 24EIL 240EI
例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 L1 L2 P A f L1 A
刚化AC段C
C f
B x
f f1 f 2
等价
C f 等价 A L2 P Bx f1
=
L2 P B
+
L1
A
L2
刚化BC段
P
B
L1
C
P L2
M B x
D12
4
2 2 2 a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
Wz 5 4.57Wz1
1.6a2
2a2 z
I z 5 9.55I z1
max 2.3 m (= Q A ) f
0.8a2 a2
工字形截面与框形截面类似。
2、根据材料特性选择截面形状 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：
a L f
P
x
写出微分方程的积分并积分
P( a x) EIf 0
(0 x a) ( a x L)
1 3 P ( a x ) C1 x C2 EIf 6 D1 x D2
1 2 P(a x) C1 EIf 2 D1
C右
或写成 fC左 fC右
或写成 C 左
C C


讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
C
f
f2
§9-4
一、梁的刚度条件
f max f L L
梁的刚度校核
1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
max
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件 进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
矩形木梁的合理高宽比 为
h h 2 时, 强度最大 ; 3 时, 刚度最大。 b b
一般的合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D
Wz1
当
D 3
32
max
4Q 1.33 m 3A
D12
4
a 2时, a R; ( D1 / 2)
Wz 2
z
I z3
D 4
64
(10.84 )4.59I z1
max 2 m
当
D12
4
2a12时, a1 2 D1
bh2 4a13 Wz 4 1.67Wz1 6 6
4 bh3 8a1 Iz4 2.09I z1 12 12
2a1
z
max 1.5 m
a1
当
应用位移边界条件求积分常数
1 3 EIf (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
f
a L
P
x
(a ) (a )
f (a ) f (a )
C1 D1
C1a C2 D1a D2
1 1 2 C1 D1 Pa ; C2 D2 Pa 3 2 6
f
L
x
§9-3
按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P1 P2 Pn ) 1 ( P1 ) 2 ( P2 ) n ( Pn )
f ( P1 P2 Pn ) f1 ( P1 ) f 2 ( P2 ) f n ( Pn )
A
D
B
C
P2
200mm P1=1kN
=
P2=2kN
=
a B P2 P2 M
A
D
B
P1=1kN
C
C
+
+
A
D
B
C P2=2kN
A
D
B
C
L=400mm
A D B
a=0.1m P
Cx
解：结构变换，查表求简单 载荷变形。
200mm P1=1kN f
A
图1
P2=2kN
C
D
B
1B
2 P L 1
16EI

+
D
B
2 P L P2 La 0.4 400 200 1 B ( )0.423 104 (弧度) 16EI 3EI 210 1880 16 3