杆类构件的应力分析与强度计算

第七章 杆类构件的应力分析与强度计算习 题7.1 图示阶梯形圆截面杆AC ，承受轴向载荷1200 kN F =与2100 kN F =, AB 段的直径mm 401=d 。

如欲使BC 与AB 段的正应力相同，试求BC 段的直径。

题7.1图解：如图所示：物体仅受轴力的作用，在有两个作用力的情况下经分析受力情况有：AB 段受力：1NAB F F = BC 段受力：12NBC F F F =+AB 段正应力：1221440.04NAB NAB AB AB F F F A d σππ⨯===⨯ BC 段正应力：()12222244NBC NBC BCBC F F F F A d d σππ+⨯===⨯ 而BC 与AB 段的正应力相同 即，BC AB σσ=解出：249d mm ==7.2 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积2500 mm A =，载荷50 kN F =。

试求图示斜截面()o30=α m-m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

mm题7.2图解：拉杆横截面上的正应力605000010050010N F F Pa MPa A A σ︒-====⨯ 应用斜截面上的正应力和剪应力公式：2300cos σσα︒︒= 030sin 22στα︒︒=有图示斜截面m-m 上的正应力与切应力为：3075MPa σ︒= 3043.3MPa τ︒=当0=α时，正应力达到最大，其值为max 0100MPa σσ︒== 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为100MPa 。

当45=α时，切应力最大，其值为0max 502MPa στ︒==即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上，其值为50MPa 。

7.3图示结构中AC 为钢杆，横截面面积21200 mm A =，许用应力[]1160 Mpa σ=;BC 为铜杆，横截面面积22300 mm A =，许用应力[]2100 Mpa σ=。

试求许可用载荷[]F 。

题7.3图解： （1）分析受力，受力图如图7.7b 所示。

0=∑x F 030sin 45sin N N =+-BC AC F F 0=∑y F 030cos 45cos N N =-+F F F BCAC 解得：F F BC 732.0N = F F AC 5175.0N =（2）计算各杆的许可载荷。

对BC 杆，根据强度条件[]N 2BCBC F Aσσ=≤ []220.732100FMPa A σ⨯≤= 解得：[]()66222(10010 Pa)30010m40.98 kN 0.7320.732A F σ-⨯⨯⨯≤==对AC 杆，根据强度条件[]N 11ACAC F A σσ=≤ []110.5175160FMPa A σ⨯≤=解得：[]()()6621116010 Pa 20010 m 61.84 kN 0.51750.5175A F σ-⨯⨯⨯≤==所以取40.98MAX F KN =，即[]40.98F KN =7.4 图示简易起重设备中，BC 为一刚性杆，AC 为钢质圆截面杆，已知AC 杆的直径为40 mm d =，许用拉应力为[]170 MPa σ=，外力60 kN F =，试校核AC 杆的强度。

F题7.4图解：C 铰链的受力图如图所示，平衡条件为0,XF =∑ c o s 0N B N A F F α-= 0,YF=∑ s i n0NA F F α-= 解上面两式有53NA F F ==100KN ， 43NB FF ==80KN AC 杆所受的拉应力为2479.580.04NAAC F MPa σπ⨯==⨯ 所以有[]170ACMPa σσ=AC 所受载荷在许可范围内。

7.5 图示结构，AB 为刚性杆，1,2两杆为钢杆，横截面面积分别为21300 mm A =22200 mm A =，材料的许用应力[]160 MPa σ=。

试求结构许可载荷[]F 。

题7.5图解：AB 杆受力图如图所示，其平衡条件为：,AMo =∑ 20.520N F F -= 20.25N F F = 0,YF=∑ 12N N F F F += 10.75N F F =由NF Aσ=可得111N F A σ==60.7530010F -⨯[]160MPa σ≤= 解得 64F KN ≤[]22620.2516020010N F F MPa A σσ-==≤=⨯ 解得 128F KN ≤取两者中较小的值：有[]64F KN =7.6 图示结构中AB 为刚性杆。

杆1和杆2由同一材料制成，已知40 kN F =，200 GPa E =，[]160 MPa σ=，求两杆所需要的面积。

题7.6图解：AB 杆受力图如图所示，其平衡条件为：,AMo =∑ 0.420NB F F -= 0.28NB F F KN ==0,YF=∑ N A N BF F F += 10.832N F F KN == 由NF Aσ=可得11NA F A σ==132000A []160MPa σ≤= 解得 21200A mm ≥[]2228000160NB F MPa A A σσ==≤= 解得 2250A mm ≥7.7 在图示结构中，所有各杆都是钢制的，横截面面积均等于32310 m -⨯，外力100 kN F =。

试求各杆的应力。

题7.7图解：B 铰链的受力图如图（a ）所示，平衡条件为F NACF F（a ） （b ）0,XF =∑ c o s0NC F F α-= 0,YF=∑ s i n0N A N C F F α-= 解上面两式有34NA F F ==75KN （拉力）， 54NC F F ==125KN （压力） C 铰链的受力图如图（b ）所示，平衡条件为0,XF =∑ c o s0N A C N C F F α-= 0,YF=∑ s i nN C N DF F α-=解上面两式有NAC F F ==100KN （拉力）， 34ND FF ==75KN （压力） 解出各杆的轴力后，就可求各杆的应力37500025310 NA AB F Pa MPa A σ-===⨯ 312500041.67310 NC BC F Pa MPa A σ-===⨯ 310000033.33310 NAC ACF Pa MPa A σ-===⨯37500025310ND CDF Pa MPa A σ-===⨯7.8 图示横截面为75 mm×75 mm 的正方形木柱，承受轴向压缩，欲使木柱任意横截面上的正应力不超过2.4 MPa ，切应力不超过0.77 MPa ，试求其最大载荷F=？题7.8图解：木柱横截面上正应力达到最大，其值为F A =267510F-⨯ 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上。

267510F-⨯[] 2.4MPa σ≤= （1）拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上切应力最大，其值为max 262227510F F A στ-===⨯⨯[]0.77MPa τ≤= （2） 由（1）式得F ≤13.5KN 由（2）式得F ≤8.66KN 所以其最大载荷F =8.66KN7.9 一阶梯轴其计算简图如图所示，已知许用切应力[]60 MPa τ=，122 mm D =，218 mm D =，求许可的最大外力偶矩e M 。

题7.9图解：用截面法求得AB ，BC 段的扭矩，并得到AB 段扭矩 12e T M = BC 段扭矩 2e T M =由此可见AB 段的扭矩比BC 段的扭矩大，但两段的直径不同，因此需分别求出两段的切应力AB 段 511,max 3129.5710[]60(0.022)16e e p M T M MPa W m ττπ===⨯≤= 解得有 62.70e M N m = BC 段 522,max 328.7310[]60(0.018)16e e p M T M MPa W m ττπ===⨯≤= 解得有 73.77e M N m =两值去较小值，即许可的最大外力偶矩e M 62.70N m =7.10 图示空心圆轴外径100 mm D =，内径80 m d =,已知扭矩6 k N T =⋅,80 Gpa G =，试求:(1) 横截面上A 点(45 mm ρ=)的切应力和切应变; (2)横截面上最大和最小的切应力;(3) 画出横截面上切应力沿直径的分布图。

题7.10图解： （1）计算横截面上A 点(45 mm ρ=)的切应力和切应变空心圆轴的极惯性矩为44440.10.08(1)[1()]32320.1p D I ππα=-=- A 点的切应力4460000.04546.580.10.08[1()]320.1A p T MPa I ρτπ⨯===- A 点切应变63946.58100.58108010AG τγ-⨯===⨯⨯ （2）横截面上最大和最小的切应力 横截面上最大的切应力在其最外缘处max 4460000.0551.760.10.082[1()]320.1p TD MPa I τπ⨯===-横截面上最小的切应力在其内径边缘min 4460000.0441.410.10.082[1()]320.1p Td MPa I τπ⨯===- (3) 横截面上切应力沿直径的分布图如图（a ）所示7.11 截面为空心和实心的两根受扭圆轴，材料、长度和受力情况均相同，空心轴外径为D ，内径为d ，且8.0/=D d 。

试求当两轴具有相同强度 ([][]max max 空实ττ=) 时的重量比。

解：令实心轴的半径为0d 实心轴和空心轴的扭转截面系数分别为30116p d W π=334432(1)(10.8)0.03691616p D D W D ππαπ=-=-=当受力情况向同，实心轴和空心轴内的最大切应力相等时，有：12p p T TW W =所以可得 12p p W W =即3300.036916d D ππ=所以01.1929D d ==设实心轴和空心轴的长度均为l ，材料密度为ρ，则空心轴与实心轴的重量比2222222100()l g(10.8)4l g 4D d PD P d d πρπρ--==222(1.192)(10.8)d d -=0.512=7.12一电机的传动轴直径mm 40=d ，轴传递的功率kW 30=P ，转速1400 r/min n =。

材料的许用切应力[]40 MPa τ=，试校核此轴的强度。

解：传动轴的外力偶矩为 309550204.641400e M N m N m == 轴内最大切应力 33204.641616.28[]400.0416e p M T Pa MPa MPa W d ττππ⨯====≤=⨯所以安全7.13 一传动轴，主动轮A 输入功率为36.8 kW A P =，从动轮B 、C 、D 的输出功率分别为11.0 kW B C P P ==，14.8 kW D P =，轴的转速为300 r/min n =。