2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1 §1
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§1
知识点一命题的概念在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．知识点二四种命题的关系知识点三四种命题的真假性关系结论1：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．结论2：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点四充分条件与必要条件1．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件．3．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件．4．若p⇏q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件．5．若p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．题型一 命题及其关系例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3(2)命题“若x ＝3，则x 2－2x －3＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠3，则x 2－2x －3≠0 B ．若x ＝3，则x 2－2x －3≠0 C ．若x 2－2x －3≠0，则x ≠3 D ．若x 2－2x －3≠0，则x ＝3 答案 (1)A (2)C解析 (1)根据四种命题的定义可得．感悟与点拨 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例． 跟踪训练1 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)下列命题：①“若a ≤b ，则a <b ”的否命题；②“若a ＝1，则ax 2－x ＋3≥0的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x 为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中真命题的序号为( ) A ．②④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④答案 (1)C (2)B解析 (2)对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，“若a ＝1，则ax 2－x ＋3≥0的解集为R ”，原命题为真，故逆否命题为真； 对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x 为有理数，则x 为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假． 题型二 充分条件、必要条件与充要条件的判断例2 (1)(2018年4月学考)设a 为实数，则“a >1a 2”是“a 2>1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2016年10月学考)已知非零向量a ，b ，则“a ∥b ”是“|a －b |＝|a |－|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)B解析 (1)由a >1a2，知a >0，∴a 2>1a，∴“a >1a 2”是“a 2>1a”的充分条件，由a 2>1a不能确定a >0还是a <0，∴推不出a >1a2，∴“a >1a 2”不是“a 2>1a”的必要条件．(2)由“a ∥b ”显然推不出|a －b |＝|a |－|b |， 比如：|a |<|b |时，显然不成立．∴“a ∥b ”不是“|a －b |＝|a |－|b |”的充分条件． 由|a －b |＝|a |－|b |得，|a －b |2＝(|a |－|b |)2， ∴a ·b ＝|a |·|b |，∴cos θ＝1(θ为a 与b 的夹角)， ∴θ＝0，即a ∥b .感悟与点拨 充要关系的几种判断方法：(1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 跟踪训练2 (1)设a >0，且a ≠1，则“a >1”是“log a 12<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2017年4月学考)设实数a ，b 满足|a |>|b |，则“a －b >0”是“a ＋b >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案 (1)A (2)C (3)C解析 (1)当a >1时，有log a 12<log a a ＝1，所以充分性成立；当log a 12<1时，即log a 12<1＝log a a ，当a >1时，上式恒成立，当0<a <1时，解得0<a <12，则a 的取值范围是a >1或0<a <12，所以必要性不成立．(2)由α∥β⇒l ⊥β⇒l ⊥m ，∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分条件， 由l ⊥m 可知，l ⊥β或l 不垂直于β， ∴α∥β或α不平行β，必要性不成立． (3)由|a |>|b |得a 2－b 2>0， 即(a －b )(a ＋b )>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0，(a －b )(a ＋b )>0，得a ＋b >0.又⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，(a －b )(a ＋b )>0，得a －b >0.∴“a －b >0”是“a ＋b >0”的充要条件． 题型三 根据充要条件求参数范围例 3 (1)已知“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [1,5] 解析 ∵|x －a |<1， ∴a －1<x <a ＋1. ∵x 2－6x <0， ∴0<x <6.又∵“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a ＋1<6或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤6，∴1≤a ≤5.(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围． 解 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，所以716≤y ≤2，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， 所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.感悟与点拨 集合与充要条件综合问题，一般先化简集合，然后根据充要条件建立等式或者不等式，进而求出参数的取值范围．跟踪训练3 已知p ：|x －a |≤5；q ：x 2－6x ＋8≤0.若x ∈p 是x ∈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 对于p ，不等式|x －a |≤5的解集为－5＋a ≤x ≤5＋a ； 对于q ，不等式x 2－6x ＋8≤0的解集为2≤x ≤4. ∵x ∈p 是x ∈q 的必要不充分条件， ∴{x |2≤x ≤4}{x |－5＋a ≤x ≤5＋a }，即⎩⎪⎨⎪⎧－5＋a <2，4≤5＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧－5＋a ≤2，4<5＋a ，可得－1≤a ≤7，∴实数a 的取值范围是[－1,7]．一、选择题1．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1答案 C解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2<12”，故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12”．2．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆否命题是( ) A ．若x ，y ∈R ，x ，y 全不为零，则x 2＋y 2≠0 B ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为零，则x 2＋y 2＝0 C ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ，y ∈R ，x ，y 全为零，则x 2＋y 2≠0 答案 C解析 依题意得，原命题的题设为“若x 2＋y 2＝0”，结论为“则x ，y 全为零”．逆否命题为“若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0”，故选C. 3．已知下列三个命题：①“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题； ②“正方形是菱形”的否命题；③“若m >2，则不等式x 2－2x ＋m >0的解集为R ”． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 对于①，原命题为假，所以逆否命题为假；对于②，逆命题为“菱形是正方形”，是假命题，所以否命题为假命题； 对于③，Δ＝4－4m ，当m >2时，Δ<0，所以f (x )＝x 2－2x ＋m 开口向上且与x 轴无公共点， 故x 2－2x ＋m >0的解集为R ，③为真命题．故选B.4．已知p ：x 2－x <0，那么p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0<x <1 B ．－1<x <1 C.12<x <23 D.12<x <2 答案 B解析 p ：0<x <1,0<x <1⇒－1<x <1， －1<x <1D //⇒0<x <1.故选B.5．已知a >0且a ≠1，则“log a b >0”是“(a －1)(b －1)>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为log a b >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<b <1，0<a <1或⎩⎪⎨⎪⎧ b >1，a >1，而(a －1)·(b －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，a <1或⎩⎪⎨⎪⎧b >1，a >1，故选A.6．“m ＝2 018”是“直线mx ＋(m －2 017)y －2＝0和直线x －my ＋5＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A7．(2017年11月学考)已知a ，b 是实数，则“|a |<1且|b |<1”是“a 2＋b 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B8．(2018年6月学考)已知直线l ，m 和平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B9．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ①由“a ＝1”得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，所以“f (x )在[1，＋∞)上为增函数”． ②由“f (x )在[1，＋∞)上为增函数”得a ≤1.10．(2016年4月学考)设n ∈N *，则“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 {a n }是等比数列，设公比为q ， 则a n ＋1a n＝q ， 由1a 2n ＋11a 2n＝a 2na 2n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a n a n ＋12＝1q 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等比数列， 则“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等比数列”的充分条件．若数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1，n >1且n ∈N *，数列{a n }不是等比数列，而1a 2n ＝1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是等比数列， ∴“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等比数列”的不必要条件，∴“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等比数列”的充分不必要条件．二、填空题11．命题“若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是________________________． 答案 若a ，b 都不为零，则ab ≠012．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12， B ＝{x |m －1<x <m ＋1}，则A 是B 的真子集．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12(等号不同时成立)，解得－12≤m ≤43.13．若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是________． 答案 a >－1解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－2<x <a }， 由A ∩B ≠∅得a >－1. 14．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件． 正确的是________．(填序号) 答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定能推出λ＝0成立，所以①正确． 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零；反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以③不正确，④正确． 三、解答题15．已知集合A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，B ＝{x |x >－a 或x <2a }(a <0)．设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则綈q ⇒綈p ，且綈p ⇏綈q ， 由此可得p ⇒q ，且q ⇏p ，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a <3，－2<2a ，可得a >－1，又∵a<0，∴－1<a<0.16．已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m<0}．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若m＝a是A∩B＝{x|－1≤x<4}的充要条件，求实数a的值．解(1)当m＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5或x＝－1}．(2)因为A＝{x|－1≤x≤5}，A∩B＝{x|－1≤x<4}，所以有42－2×4－a＝0，解得a＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数a的值为8.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD-全解析)：必修1-§4
知识点一 函数的零点 1．函数零点的概念 （1)定义对于函数y ＝f (x ），使f (x ）＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． （2）几何意义函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，就是函数y ＝f (x )的零点． 2．函数的零点与方程的根的关系方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x ）有零点． 3．函数零点的判定（零点存在性定理)如果函数y ＝f （x ）在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f (b )<0，那么y ＝f (x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ,b ),使得f （c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．知识点二 几类函数模型及其增长差异 1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f （x ）＝ax ＋b (a ，b 为常数,a ≠0） 反比例函数模型 f （x ）＝kx ＋b （k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ,c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x ）＝ba x ＋c (a ，b ,c 为常数，b ≠0，a 〉0且a ≠1） 对数函数模型 f （x ）＝b log a x ＋c （a ，b ，c 为常数，b ≠0,a 〉0且a ≠1)幂函数模型f （x ）＝ax n ＋b (a ,b ，n 为常数，a ≠0)2。
三种函数模型的性质函数性质y＝a x（a〉1)y＝log a x(a〉1)y＝x n（n〉0）在(0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y 轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时，有log a x〈x n〈a x知识点三应用函数模型解决问题的基本步骤用已知函数模型解决实际问题的基本步骤第一步：审题，设出变量．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．第三步：解函数模型．第四步:将所得结论转译成具体问题的解答．题型一零点个数的判断例1(1）函数f(x)＝ln x－错误!的零点个数是（)A．0 B．1C．2 D．3（2)设函数f(x)＝x2＋错误!(x≠0)．当a＞1时，方程f(x）＝f（a）的实数根的个数为________．答案(1)C（2）3解析（1）如图画出y＝ln x与y＝错误!的图象，由图知y＝ln x与y＝1x－1（x>0，且x≠1）的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－错误!的零点有2个．（2)令g（x)＝f（x)－f(a），即g(x)＝x2＋错误!－a2－错误!，整理得g（x）＝错误!（x－a）(ax2＋a2x－2)．显然g(a)＝0，令h(x）＝ax2＋a2x－2。
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析)：必修1 §2
—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式知识点一函数的概念1．函数的定义、定义域、值域2．两个函数相等的条件(1)定义域相同．(2)对应关系完全一致．知识点二函数的表示及分段函数1．函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．2．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．知识点三函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．(2)函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)单调性的常见结论：若函数f (x )，g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数；若函数f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数；若函数f (x )为增(减)函数，且f (x )>0，则1f (x )为减(增)函数．2．函数的最大值、最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值． 知识点四 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念2.性质(1)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不为零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商(分母不为零)为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．题型一 函数的定义域、值域例1 (1)(2018年6月学考)函数y ＝log 2(x ＋1)的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为____________． 答案 (1)A (2)⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 (2)因为函数的定义域是⎣⎡⎭⎫12，＋∞，且函数为单调递增函数，所以函数的最小值是f ⎝⎛⎭⎫12＝12，故函数的值域是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 感悟与点拨 (1)求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围． (2)在求函数定义域和值域的时候，要把定义域和值域写成集合或区间的形式． 跟踪训练1 (1)(2018年4月学考)函数f (x )＝x ＋1x 的定义域是( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≠0}D ．R(2)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为________．答案 (1)A (2)(－1,0)解析 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠0，所以x ＞0.(2)∵2＋x －x 2＞0且|x |－x ≠0， ∴x ∈(－1,2)且x ∉[0，＋∞)， ∴x ∈(－1,0)．题型二 函数的图象及图象的应用例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 A解析 当x ＝0时，有两个y 值对应，故A 不可能是函数y ＝f (x )的图象．感悟与点拨 一个图象能不能作为函数的图象，关键是看它是否符合函数的定义及函数的特征．跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )答案 D题型三 分段函数例3 已知函数f (x )＝132log ,1,24,1,x x x x x >⎧⎪⎨⎪--+≤⎩则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．答案 5 [－1，＋∞) 解析 f (3)＝13log 3＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋4＝5.当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋4＝－(x ＋1)2＋5， 对称轴为x ＝－1，f (x )在[－1,1]上单调递减． 当x >1时，f (x )单调递减，且－12－2×1＋4>13log 1，∴f (x )在[－1，＋∞)上单调递减．感悟与点拨 解决分段函数问题的关键是：在定义域内的自变量x 取不同区间上的值时，有着不同的对应关系，要注意分别考虑．跟踪训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ＜0，f (x －1)－1，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫－113＋f ⎝⎛⎭⎫113＝________. 答案 －4解析 f ⎝⎛⎭⎫－113＋f ⎝⎛⎭⎫113 ＝f ⎝⎛⎭⎫－113＋f ⎝⎛⎭⎫－13－4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－π3－4＝－4.题型四 函数的单调性及应用例4 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数， 且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 感悟与点拨 利用函数的单调性，可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即转化为具体不等式来求解．跟踪训练4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1是R 上的减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意知，要使原函数在定义域上为减函数， 则需要满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13. 题型五 函数的奇偶性及应用例5 (2016年4月学考改编)已知函数f (x )＝1x －1－1x －3.(1)设g (x )＝f (x ＋2)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由； (2)求证：函数f (x )在[2,3)上是增函数． (1)解 g (x )是偶函数，证明如下： ∵f (x )＝1x －1－1x －3，∴g (x )＝f (x ＋2)＝1x ＋1－1x －1，∵g (－x )＝1－x ＋1－1－x －1＝1x ＋1－1x －1＝g (x )，又∵g (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， ∴y ＝g (x )是偶函数．(2)证明 设x 1，x 2∈[2,3)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1x 1－1－1x 1－3－⎝⎛⎭⎫1x 2－1－1x 2－3＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)，∵x 1，x 2∈[2,3)且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－4>0， (x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)>0， 综上得f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在[2,3)上是增函数．感悟与点拨 (1)在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立．即若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )．若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 跟踪训练5 (1)(2018年4月学考)用列表法将函数f (x )表示为则( )A ．f (x ＋2)为奇函数B ．f (x ＋2)为偶函数C ．f (x －2)为奇函数D ．f (x －2)为偶函数答案 A(2)(2017年4月学考改编)已知函数f (x )＝3|x －a |＋|ax －1|，其中a ∈R . ①当a ＝1时，写出函数f (x )的单调区间； ②若函数f (x )为偶函数，求实数a 的值．解 ①当a ＝1时，f (x )＝3|x －a |＋|ax －1|＝4|x －1|，函数f (x )的减区间为(－∞，1)，增区间为(1，＋∞)．②若函数f (x )为偶函数，一定有f (1)＝f (－1)，即3|1－a |＋|a －1|＝3|－1－a |＋|－a －1|，解得a ＝0，经检验符合题意．一、选择题1．(2017年11月学考)函数y ＝2－x ＋1x ＋1的定义域是( )A ．(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－1,2)D ．[－1,2)答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ＋1＞0，得－1＜x ≤2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ＜0，3x ，x ≥0，则f (－1)＋f (0)等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 f (－1)＋f (0)＝1－2－1＋30＝4.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 对于A ，不符合定义域为{x |－2≤x ≤2}，故可排除； 对于B ，满足函数定义，故符合；对于C ，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以排除；对于D ，因为值域不是{y |0≤y ≤2}，故可排除，故选B.4．已知函数g (x )＝f (x )－x 是偶函数，且f (3)＝4，则f (－3)等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．4 答案 B解析 ∵g (－3)＝g (3)＝f (3)－3＝4－3＝1， 又g (－3)＝f (－3)＋3＝1， ∴f (－3)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3答案 A解析 ∵f (－1)＝2(－1)2－(－1)＝3， ∴f (1)＝－f (－1)＝－3.6．已知函数f (x )，g (x )都是R 上的奇函数，且F (x )＝f (x )＋3g (x )＋5.若F (a )＝b ，则F (－a )等于( ) A ．－b ＋10 B ．－b ＋5 C ．b －5 D ．b ＋5答案 A解析 ∵f (x )，g (x )都是R 上的奇函数， ∴F (－a )＝f (－a )＋3g (－a )＋5 ＝－[f (a )＋3g (a )]＋5. 又F (a )＝f (a )＋3g (a )＋5＝b ， 即f (a )＋3g (a )＝b －5，∴F (－a )＝－(b －5)＋5＝－b ＋10.7．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 由题意知a ≠0，当a >0时，(2a ＋1)－(a ＋1)＝2， 解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2， 解得a ＝－2.综上知，a ＝±2.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 B解析 ∵f (x )是R 上的单调递增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.9．已知函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( ) A ．(a ，－f (a )) B ．(a ，f (－a )) C ．(－a ，－f (a )) D ．(－a ，－f (－a ))答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－a )＝f (a )， ∴(a ，f (－a ))一定在y ＝f (x )的图象上，故选B.10．已知函数f (x )满足f (4＋x )＝f (－x )．当x 1，x 2∈(－∞，2)时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0；当x 1，x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)，f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定 答案 B解析 ∵f (4＋x )＝f (－x )， ∴函数图象关于x ＝2对称． ∵当x 1，x 2∈(－∞，2)时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，∴此时函数单调递增．当x 1，x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴此时函数单调递减． ∵x 1<x 2，且x 1＋x 2>4， ∴若2<x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)； 若x 1<2<x 2，由x 1＋x 2>4，得x 2>4－x 1. ∵x 1<2，∴－x 1>－2，则4－x 1>2， 则f (x 2)<f (4－x 1)． ∵f (4＋x )＝f (－x )， ∴f (4－x )＝f (x )， 即f (4－x 1)＝f (x 1)， ∴f (x 2)<f (4－x 1)＝f (x 1)． 综上所述，f (x 1)>f (x 2)． 二、填空题11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－12x ，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )＝a ，则实数a ＝________.答案 －1或23解析 当a ≥0时，f (a )＝1－12a ＝a ，得a ＝23； 当a <0时，f (a )＝1a＝a ， 解得a ＝－1或1(舍去)．∴a ＝－1或23. 12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围为______________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞1或x ＜－1，－x －1，－1≤x ＜1. 在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0＜k ＜1或1＜k ＜4时，函数y ＝kx －2与y ＝|x 2－1|x －1的图象恰有两个交点． 13．若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在[1,3]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－4]解析 若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≤x 2－4x 在[1,3]上恒成立，令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，x ∈[1,3]，对称轴为x ＝2，开口向上，∴f (x )在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－4，∴a ≤－4.14．已知函数f (x )＝x ＋a ＋|x －a |2，g (x )＝ax ＋1，其中a >0，若f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >a ，a ，x ≤a ，在平面直角坐标系内分别画出当0<a <1，a ＝1，a >1时，函数f (x )，g (x )的图象，由图易得当f (x )，g (x )的图象有两个交点时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，g (a )>a ，解得0<a <1，即a 的取值范围是0<a <1.三、解答题15．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋1＋1x －1，a ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)当a <2时，证明：函数f (x )在(0,1)上单调递减．(1)解 因为f (－x )＝－ax ＋1－x ＋1＋1－x －1＝－⎝⎛⎭⎫ax ＋1x －1＋1x ＋1 ＝－f (x )，又因为f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠－1且x ≠1}，所以函数f (x )为奇函数．(2)证明 任取x 1，x 2∈(0,1)，设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)＋x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1) ＋x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1).因为0<x 1<x 2<1，所以2(x 1x 2＋1)>2,0<(x 21－1)(x 22－1)<1，所以2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)>2>a ， 所以a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)<0. 又因为x 1－x 2<0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减．16．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立． (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )在[－1,1]上单调递增．证明如下：任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，x 1＋(－x 2)≠0.因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0， 又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[－1,1]上单调递增．(2)因为f (x )在[－1,1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，所以－32≤x <－1.所以不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－32，－1. (3)因为f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．所以在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0对a ∈[－1,1]恒成立；②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0对a ∈[－1,1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0，所以m ≤－2或m ≥2.所以m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥2或m ≤－2}．。
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§5
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§5推论的表达式为AP→＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP→＝OA →＋xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→，其中x ＋y ＋z ＝1. 3．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 知识点三 空间向量的数量积及运算律1．数量积及相关概念(1)两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π.如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.知识点四空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)．(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(5)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(6)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.(7)|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23.(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (9)若A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则AB→＝(b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3)，d AB ＝|AB →|＝(b 1－a 1)2＋(b 2－a 2)2＋(b 3－a 3)2.知识点五 立体几何中的向量方法1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量即可作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量为v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.4．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小①如图①所示，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．②如图②③所示，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．题型一 空间向量及其运算例1 已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB→，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求实数k 的值．解 (1)∵a ＝AB→＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1.又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12·5＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2. 感悟与点拨 (1)空间向量的运算法则及求解思想与平面向量相同，因此，可参照平面向量的运算法则和求解思想进行处理．(2)空间向量的问题可通过坐标运算和非坐标的线性运算两种途径来处理，另外，要抓住垂直与平行两种特殊位置关系．跟踪训练1 (1)(2018年4月学考)在三棱锥O －ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →等于( ) A.12OA →＋12OC →－OB →B.12OA →＋12OB →＋OC →C.12OB →＋12OC →－OA →D.12OB →＋12OC →＋OA → (2)(2016年4月学考)已知空间向量a ＝(2，－1,5)，b ＝(－4,2，x )(x ∈R)，若a ⊥b ，则x 等于( ) A ．－10 B ．－2 C ．2 D ．10(3)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________． 答案 (1)C (2)C (3)1,3 解析 (2)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋(－1)×2＋5x ＝0，得x ＝2.(3)∵a ∥b ，∴x1＝x 2＋y －22＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，当⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－6时，a ＝－12b ，不符合要求，舍去，当⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3时，a ＝b ，符合要求， ∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.题型二 利用空间向量证明平行与垂直 例2 如图所示，已知在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． 设AB 的中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE→＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE→＝NC →，∴DE ∥NC ， 又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC .(2)∵B 1F —→＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)， AF→＝(2,2,0)． ∴B 1F —→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B 1F —→·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F —→⊥EF →，B 1F —→⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，AF ，FE ⊂平面AEF ， ∴B 1F ⊥平面AEF .感悟与点拨 (1)用向量证明线面平行的方法： ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (2)用向量证明垂直的方法：①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零；②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示；③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．跟踪训练2 在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图所示，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a ,0,0)，B (a ，a ,0)，C (0，a ,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2，a 2，a 2，∴EF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ,0)．∵EF →·DC →＝－a 2×0＋0×a ＋a 2×0＝0， ∴EF→⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解 点G 为AD 的中点． 证明如下：设G (x ,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2. 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴点G 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2，0，0，即点G 为AD 的中点． 题型三 利用空间向量求空间角例3 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，将△DAM 沿AM 折到△D′AM的位置，AD′⊥BM.(1)求证：平面D′AM⊥平面ABCM；(2)若E为D′B的中点，求二面角E－AM－D′的余弦值．(1)证明由题意知，在矩形ABCD中，∠AMD ＝∠BMC＝45°，所以∠AMB＝90°，即AM⊥BM.又D′A⊥BM，D′A∩AM＝A，D′A，AM⊂平面AD′M，所以BM⊥平面D′AM，又BM⊂平面ABCM，所以平面ABCM⊥平面D′AM.(2)解由(1)知，在平面D′AM内过M作直线NM⊥MA，则NM⊥平面ABCM，故以M 为原点，MA→，MB →，MN →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则M (0,0,0)，A (2,0,0)， B (0,2,0)，D ′(1,0,1)， 于是E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1，12，MA →＝(2,0,0)，ME →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1，12， 设平面EAM 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧2x ＝0，12x ＋y ＋12z ＝0，令y ＝1，得z ＝－2， 则平面EAM 的一个法向量m ＝(0,1，－2)， 显然平面D ′AM 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 故cos 〈m ，n 〉＝15，由图知，二面角为锐角，即二面角E －AM －D ′的余弦值为55.感悟与点拨 (1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解．(2)用向量法求线面角，是通过直线的方向向量和平面的法向量来求解．(3)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 跟踪训练3 (1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B －AC －M 的余弦值为( )A.66B.36C.26D.16答案 A解析 因为BC ⊥平面PAB ，AD ∥BC ，所以AD ⊥平面PAB ，PA ⊥AD ，又PA ⊥AB ，且AD ∩AB ＝A ，AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz .则A (0,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，B (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，1，所以AC →＝(2,1,0)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，1， 求得平面AMC 的一个法向量n ＝(1，－2,1)， 又平面ABC 的一个法向量AP→＝(0,0,2)，所以cos 〈n ，AP →〉＝n ·AP →|n ||AP→| ＝21＋4＋1·2＝16＝66. 所以二面角B －AC －M 的余弦值为66. (2)如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点．求：①异面直线AB 与EF 所成角的余弦值； ②点E 到平面ACD 的距离；③EF 与平面ACD 所成角的正弦值．解 如图所示，分别以直线BC ，BD ，BA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)，B (0,0,0)，C (4,0,0)，D (0,4,0)，E (2,0,0)，F (0,2,2)．①∵AB→＝(0,0，－4)， EF→＝(－2,2,2)， ∴|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33， ∴异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33. ②设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y ,1)， ∵AC→＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧4x －4＝0，－4x ＋4y ＝0， ∴x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∵F ∈平面ACD ，EF→＝(－2,2,2)， ∴点E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233.③EF 与平面ACD 所成角的正弦值为|cos 〈n ，EF→〉|＝23×23＝13. 题型四 立体几何中的探索性问题例4 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，底面ABCD 的周长为4.(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求直线BA 1与平面A 1CD 所成的角；(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ？若存在，求出P 点的位置，若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意，令AB ＝t ，则长方体的体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2－t 22＝1， 当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1.所以当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形．又AA1＝1.所以ABCD－A1B1C1D1为正方体．如图，连接B1C，取B1C的中点O，连接BO，A1O.由题意知，CD⊥平面C1B1BC，所以BO⊥CD，在等腰Rt△B1BC中，BO⊥B1C，又B1C∩CD＝C，B1C，CD⊂平面A1B1CD，所以BO⊥平面A1B1CD，即∠BA1O就是直线BA1与平面A1CD所成的角．又BO＝22，BA1＝2，所以∠BA1O＝30°.即长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，直线BA1与平面A1CD所成的角为30°.(2)根据题意可知，AA 1，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．根据题意及(1)可得B (t,0,0)，C (t ,2－t ,0)，D (0,2－t,0)，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨设A 1P _x001F_—→＝λA 1C —→，可得P (λt ，λ(2－t )，1－λ)． BP→＝(λt －t ，λ(2－t )，1－λ)，BD →＝(－t,2－t,0)， A 1C —→＝(t,2－t ，－1)，⎩⎪⎨⎪⎧BP →·A 1C —→＝0，BD →·A 1C —→＝0，即⎩⎨⎧ t (λt －t )＋λ(2－t )2－(1－λ)＝0，－t 2＋(2－t )2＝0，解得t ＝1，λ＝23.即只有当底面四边形是正方形时才存在符合要求的点P，位置是线段A1C上A1P∶PC＝2∶1处．感悟与点拨对于立体几何中的探索性问题，可以凸显坐标方法的优势，通常从假设存在入手，利用空间向量坐标建立方程，然后按部就班求解．跟踪训练4如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？若存在，求BDBC1的值；若不存在，请说明理由．(1)证明在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC.又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AA1⊂平面AA1C1C，∴AA1⊥平面ABC .(2)解 在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC ，∴以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .则A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1—→＝(4,0,0)，A 1B —→＝(0,3，－4)，B 1C 1—→＝(4，－3,0)，BB 1—→＝(0,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1—→·n 1＝0，A 1B —→·n 1＝0，即⎩⎨⎧4x 1＝0，3y 1－4z 1＝0， ∴可取向量n 1＝(0,4,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ B 1C 1—→·n 2＝0，BB 1—→·n 2＝0，即⎩⎨⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0. ∴可取向量n 2＝(3,4,0)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝165×5＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，∴二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)解 假设在线段BC 1上存在一点D ，使AD ⊥A 1B ，设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD→＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)，解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.∴AD→＝(4λ，3－3λ，4λ)． 又∵AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，则λ＝925，∴BD BC 1＝925.一、选择题1.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c答案 D解析 如图所示，连接A 1C ，则在△A 1CB 中，有A 1B —→＝CB →－CA 1—→＝CB →－(CC 1—→＋CA→)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c . 2．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2 答案 D解析 ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)， ∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2， ∴x ＝2.3．已知A (2,3，－1)，B (2,6,2)，C (1,4，－1)，则向量AB→与AC →的夹角为( ) A ．45° B ．90° C ．30° D ．60° 答案 D解析 ∵A (2,3，－1)，B (2,6,2)，C (1,4，－1)， ∴AB→＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， 且|AB→|＝32，|AC →|＝2， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝332×2＝12，∴AB →与AC →的夹角为60°.4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x ,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12 D ．－6答案 B解析 ∵(a ＋b )⊥c ， ∴(a ＋b )·c ＝0.又a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)，∴－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0，解得x ＝－4. 故选B.5.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列向量中与BM→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 由题意，得BM →＝BC →＋CC 1—→＋C 1M —→＝BC →＋CC 1—→＋12C 1A 1—→＝BC →＋CC 1—→－12(AB →＋BC →)＝－12AB →＋12BC →＋CC 1—→＝－12a ＋12b ＋c . 6．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直答案 B解析 ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)， ∴n ＝－2a ，∴a ∥n ，∴l ⊥α.7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是( )A.155B.22C.105 D ．0答案 D解析 以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则可得A 1(1,0,2)，E (0,0,1)，G (0,2,1)，F (1,1,0)． ∴A 1E —→＝(－1,0，－1)，GF →＝(1，－1，－1)， 设异面直线A 1E 与GF 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈A 1E —→，GF→〉|＝0. 8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1—→，N 为B 1B 的中点，则|MN→|为( ) A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1—→， 所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3，所以M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →|＝ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 32＝216a .9．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角(如图)，则B ，D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．2或 2 答案 D解析 因为∠ACD ＝90°，所以AC →·CD →＝0. 同理BA →·AC→＝0， 因为AB 和CD 成60°角，所以〈BA →，CD →〉＝60°或120°.因为BD→＝BA →＋AC →＋CD →， 所以|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD →＋2BA →·AC →＋2AC →·CD→＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉＝3＋2cos 60°或3＋2cos 120°， 所以|BD→|＝2或 2. 即B ，D 间的距离为2或2，故选D.10.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成角的余弦值为( )A.36 B ．－36C.33 D ．－33答案 A解析 如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，DC ⊥AC ，平面ACDE ∩平面ACB＝AC ，DC ⊂平面ACDE ，所以DC ⊥平面ABC ，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点．以C 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则 A (0,2,0)，B (2,0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)． 所以AD→＝(0，－2,2)，GF →＝(－1,2,1)． 所以|AD →|＝22，|GF →|＝6，AD →·GF →＝－2. 所以cos 〈AD →，GF →〉＝AD →·GF →|AD →||GF →|＝－36.则直线AD 与GF 所成角的余弦值为36.故选A.二、填空题11．已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO→＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．答案 －1解析 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.12．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )．若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝________. 答案 103－613．设O 为坐标原点，向量OA→＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫43，43，83解析 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)， 故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43， 此时Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫43，43，83.14．如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，则二面角A －PB －C 的余弦值为________．答案 33解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，P (1,0,1)，B (0，2，0)， ∴AP →＝(0,0,1)，PB →＝(－1，2，－1)，CB →＝(0，2，0)．设平面ABP 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 平面PBC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AP →＝0，m ·PB →＝0，即⎩⎨⎧z 1＝0，－x 1＋2y 1－z 1＝0， ∴⎩⎨⎧ z 1＝0，x 1＝2y 1，令y 1＝1，得m ＝(2，1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PB →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋2y 2－z 2＝0，2y 2＝0， ∴⎩⎨⎧x 2＝－z 2，y 2＝0，令z 2＝1， 得n ＝(－1,0,1)．∴|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22×3＝33. 由题意可知，所求二面角的平面角是锐角，故二面角A －PB －C 的余弦值为33. 三、解答题15.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC ＝CB ＝22AB ， 得AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB→的方向为y 轴正方向，CC 1—→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1—→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取x 1＝1，则n ＝(1，－1，－1)． 同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CA 1—→＝0，即⎩⎨⎧2y 2＋z 2＝0，2x 2＋2z 2＝0， 可取y 2＝1，则m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.16.如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA＝AB＝2CD＝2，SB＝2AD＝22，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点．.(1)求证：CE∥平面SAD；(2)求证：BD⊥平面SAC；(3)求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．(1)证明∵SA＝AB＝2，SB＝22，∴SA⊥AB，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，SA⊂平面SAB，∴SA⊥平面ABCD，又AB⊥AD，∴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0,0,2)，E(1,0,1)，CE→＝(0，－2，1)，平面SAD 的法向量为AB →＝(2,0,0)，∴CE →·AB→＝0，即CE →⊥AB →， 又CE ⊄平面SAD ，∴CE ∥平面SAD .(2)证明 设平面SAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， AS→＝(0,0,2)，AC →＝(1，2，0)，BD →＝(－2，2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AS →＝2z ＝0，n ·AC →＝x ＋2y ＝0，令y ＝1，得x ＝－ 2. ∴n ＝(－2，1,0)，∴n ∥BD→，∴BD ⊥平面SAC . (3)解 CE→＝(0，－2，1)， 平面SAC 的法向量n ＝(－2，1,0)， 设直线CE 与平面SAC 所成的角为θ，则sin θ＝|CE →·n ||CE→||n |＝23，∴cos θ＝73，∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为7 3.。
2019年高中数学选修2-1习题：向量证明垂直关系(有答案)
对于选项 A, =(1,0,1), ·n=5,所以 与 n 不垂直,排除 A;同理可排除 C,D.对于选项 B,
有
,所以 ·n=0,因此 B 项正确.
【点睛】
本题考查平面法向量的定义，属基础题．
4．C 【解析】
【分析】
由题意易证 AD⊥PB，AB⊥PD，PA⊥CD，由垂直和数量积的关系可得答案． 【详解】 ∵PA⊥平面 ABCD,∴BD⊥PA. 又∵AC⊥BD,∴PC⊥BD,故选项 B 正确,选项 A 和 D 显然成立.故选 C. 【点睛】 】本题考查空间向量的数量积，涉及线面垂直和线线垂直，属基础题． 5．B 【解析】 【分析】
10
易知 =(-4,2,0), =(2,4,0), =(0,0,h).
∵ =-8+8+0=0, =0,∴CD⊥AE,CD⊥AP. ∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面 PAE.
【点睛】本题考查利用空间向量证明线面垂直，属基础题. 14．见解析 【解析】 【分析】 以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
,故
=0. 故要使 CE⊥平面 B1DE,则需
,即
=0,故 2a2+z2-3az=0,解得 z=a 或 2a.
【点睛】
9
本题考查根据向量利用直线与平面的垂直关系求参数，属中档题. 12．见解析 【解析】 【分析】 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(a,0,a),,0,h),A
,B
,C
,得平面 PAB,PAC 的法向量分别为
,则 3-9+ =0,解得 h= .
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修211
知识点一命题的看法在数学中，把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．知识点二四种命题的关系知识点三四种命题的真假性关系原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假结论1：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．结论2：两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点四充分条件与必要条件1．假设p?q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．假设p?q，且q?p，那么p是q的充要条件．3．假设p?q，且q?p，那么p是q的充分不用要条件．4．假设p?q，且q?p，那么p是q的必要不充分条件．5．假设p?q，且q?p，那么p是q的既不充分也不用要条件．题型一命题及其关系例 1 (1) a，b，c∈R，命题“a＋b＋c＝3，那么a2＋b2＋c2≥3〞的否命题是( )2＋b2＋c2<3A．假设a＋b＋c≠3，那么aB．假设a＋b＋c＝3，那么a2＋b2＋c2<32＋b2＋c2≥3C．假设a＋b＋c≠3，那么aD．假设a2＋b2＋c2≥3，那么a＋b＋c＝3(2)命题“假设x＝3，那么x2－2x－3＝0〞的逆否命题是( )2－2x－3≠0A．假设x≠3，那么xB．假设x＝3，那么x2－2x－3≠0C．假设x2－2x－3≠0，那么x≠32－2x－3≠0，那么x＝3D．假设x答案(1)A (2)C剖析(1) 依照四种命题的定义可得．感悟与点拨(1)熟悉四种命题的看法是正确书写或判断四种命题真假的要点；(2)依照“原命题与逆否命题同真同假，抗命题与否命题同真同假〞这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转变成判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．追踪训练 1 (1)命题“假设α＝π，那么cosα＝312〞的抗命题是( )A．假设α＝π，那么cosα≠312B．假设α≠π1 ，那么cosα≠3 2C．假设cos α＝1π，那么α＝2 3D．假设cos α≠12，那么α≠π3(2)以下命题：①“假设a≤b，那么a< b〞的否命题；②“假设a＝1，那么ax2－x＋3≥0 的解集为R〞的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等〞的抗命题；④“假设2x 为有理数，那么x 为无理数〞的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．②④B．①②③C．②③④D．①②③④答案(1)C (2)B剖析(2) 对于①，抗命题为真，故否命题为真；对于②，“假设a＝1，那么ax2－x＋3≥0 的解集为R〞，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同〞为真；对于④，“假设2x 为有理数，那么x 为0 或无理数〞，故原命题为假，逆否命题为假．题型二充分条件、必要条件与充要条件的判断1 1例 2 (1)(2021 年4 月学考)设a 为实数，那么“a>〞是“a2> 〞的( )a2aA．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件(2)(2021 年10 月学考)非零向量a，b，那么“a∥b〞是“|a－b|＝|a|－|b |〞的( ) A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案(1)A (2)B1剖析(1) 由a> 2，知a>0，a1∴a2>，a1 1〞是“a2>a2∴“a> 〞的充分条件，a12>由 a 不能够确定a>0 还是a<0，a1∴推不出a>2，a1 1∴“a>2〞不是“a2>〞的必要条件．a a(2)由“a∥b〞显然推不出|a－b|＝|a |－|b |，比方：|a|<|b|时，显然不行立．∴“a∥b〞不是“|a－b |＝|a |－|b |〞的充分条件．由|a－b |＝|a |－|b |得，|a－b|2＝(|a |－|b|)2，∴a·b＝|a| ·b||，∴cos θ＝1(θ为 a 与 b 的夹角)，∴θ＝0，即a∥b.感悟与点拨充要关系的几种判断方法：(1)定义法：直接判断假设p 那么q，假设q 那么p 的真假．(2)等价法：即利用A? B 与綈B? 綈A；B? A 与綈A? 綈B；A? B 与綈B? 綈A 的等价关系，对于条件或结论可否认形式的命题，一般运用等价法．(3)利用会集间的包含关系判断：设A＝{ x|p(x)} ，B＝{ x|q( x)} ，假设A? B，那么p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；假设A＝B，那么p 是q 的充要条件．1追踪训练 2 (1)设a>0，且a≠1，那么“a>1〞是“log a <1〞的( )2A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件(2)直线l ⊥平面α，直线m? 平面β，那么“α∥β〞是“l⊥m〞的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不用要条件D．既不充分也不用要条件(3)(2021 年4 月学考)设实数a，b 满足|a |>|b |，那么“a－b>0〞是“a＋b>0〞的( )A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不用要条件答案(1)A (2)C (3)C1a a＝1，剖析(1) 当a>1 时，有log a2<log所以充分性建立；1 1当log a <1 时，即log a <1＝log a a，2 211当a>1时，上式恒建立，当0<a<1时，解得0<a<，那么a的取值范围是a>1或0<a<，所以22必要性不行立．(2)由α∥β?l⊥β?l⊥m，∴“α∥β〞是“l⊥m〞的充分条件，由l⊥m可知，l⊥β或l不垂直于β，∴α∥β或α不平行β，必要性不行立．(3)由|a|>|b|得a2－b2>0，即(a－b)(a＋b)>0，a－b>0，由得a＋b>0.a－b a＋b>0，a＋b>0，又得a－b>0.a－b a＋b>0，∴“a－b>0〞是“a＋b>0〞的充要条件．题型三依照充要条件求参数范围例3(1)“|x－a|<1〞是“x2－6x<0〞的充分不用要条件，那么实数a的取值范围是________．答案[1,5]剖析∵|x－a|<1，∴a－1<x<a＋1.∵x2－6x<0，∴0<x<6.又∵“|x－a|<1〞是“x2－6x<0〞的充分不用要条件，a－1≥0，a－1>0，∴或a＋1<6a＋1≤6，∴1≤a≤5.2－ 3 (2)会集A＝y y＝x x＋1，x∈234，2，B＝{x|x＋m2≥1}．假设“x∈A〞是“x∈B〞的充分条件，求实数m的取值范围．32解y＝x2－x＋1＝x－342＋7，16因为x∈34，2，所以7≤y≤2，16所以A＝y 7≤y≤2. 162≥1，得x≥1－m2，所以B＝{x|x≥1－m2}．由x＋m因为“x∈A〞是“x∈B〞的充分条件，7所以A?B，所以1－m2≤16，解得m≥33或m≤－，44故实数m的取值范围是－∞，－34∪3，＋∞.4感悟与点拨会集与充要条件综合问题，一般先化简会集，尔后依照充要条件建立等式也许不等式，进而求出参数的取值范围．追踪训练3p：|x－a|≤5；q：x2－6x＋8≤0.假设x∈p是x∈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解对于p，不等式|x－a|≤5的解集为－5＋a≤x≤5＋a；对于q，不等式x2－6x＋8≤0的解集为2≤x≤4.∵x∈p是x∈q的必要不充分条件，∴{x|2≤x≤4}{x|－5＋a≤x≤5＋a}，－5＋a<2，－5＋a≤2，即或可得－1≤a≤7，4≤5＋a4<5＋a，∴实数a的取值范围是[－1,7]．一、选择题11．a，b∈R，命题“假设a＋b＝1，那么a2＋b2≥〞的否命题是()21A．假设a2＋b2<2，那么a＋b≠11B．假设a＋b＝1，那么a2＋b2<21C．假设a＋b≠1，那么a2＋b2<21D．假设a2＋b2≥，那么a＋b＝12答案C11剖析“a＋b＝1〞，“a2＋b2≥〞的否认分别是“a＋b≠1〞，“a2＋b2<22〞，1故否命题为“假设a＋b≠1，那么a2＋b2<〞．22＋y2＝0，那么x，y全为零〞的逆否命题是()2．“假设x，y∈R， xA．假设x，y∈R，x，y全不为零，那么x2＋y2≠0B．假设x，y∈R，x，y不全为零，那么x2＋y2＝02＋y2≠0C．假设x，y∈R，x，y不全为零，那么xD．假设x，y∈R，x，y全为零，那么x2＋y2≠0答案C剖析依题意得，原命题的题设为“假设x2＋y2＝0〞，结论为“那么x，y全为零〞．逆否命题为“假设x，y不全为零，那么x2＋y2≠0〞，应选 C.3．以下三个命题：①“假设xy＝0，那么x＝0 且y＝0〞的逆否命题；②“正方形是菱形〞的否命题；③“假设m>2，那么不等式x2－2x＋m>0 的解集为R〞．其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B剖析对于①，原命题为假，所以逆否命题为假；对于②，抗命题为“菱形是正方形〞，是假命题，所以否命题为假命题；对于③，Δ＝4－4m，当m>2 时，Δ<0，所以f(x)＝x2－2x＋m 张口向上且与x 轴无公共点，故x2－2x＋m>0 的解集为R，③为真命题．应选 B.2－x<0，那么p 的一个必要不充分条件是( )4．p：xA．0<x<1 B．－1< x<11 2C.2<x<3 D. 12< x<2答案 B剖析p：0< x<1,0< x<1 ? －1<x<1，－1<x<1D //? 0<x<1.应选 B.5．a>0 且a≠1，那么“log a b>0〞是“( a－1)( b－1)>0〞的( )A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案 Ab>1，0< b<1，剖析因为log a b>0 等价于或0<a<1 a>1，b>1，b<1，而( a－1) ·b－(1)>0 等价于应选 A.或a<1 a>1，6．“m＝2 018〞是“直线mx＋(m－2 017) y－2＝0 和直线x－my＋5＝0 垂直〞的( )A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案 A2＋b2<1〞的( ) 7．(2021 年11 月学考)a，b 是实数，那么“|a|<1 且|b |<1〞是“aA．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案B8．(2021年6月学考)直线l，m和平面α，m?α，那么“l⊥m〞是“l⊥α〞的() A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案B9．“a＝1〞是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数〞的()A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案Ax－1，x≥1，剖析①由“a＝1〞得f(x)＝1－x，x<1，所以“f(x)在[1，＋∞)上为增函数〞．②由“f(x)在[1，＋∞)上为增函数〞得a≤1.10．(2021年4月学考)设n∈N*，那么“数列{a n}为等比数列〞是“数列1a2n为等比数列〞的()A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案A剖析{a n}是等比数列，设公比为q，a n＋1那么＝q，a n1a2n＋ 12an由＝1a2n＋ 12an＝a na n＋12＝1，，q2∴12an为等比数列，那么“数列{a n}为等比数列〞是“数列1a2n为等比数列〞的充分条件．－1，n＝1，假设数列{a n}的通项公式为a n＝1，n>1且n∈N*，数列{a n}不是等比数列，1而＝1，故2an 12an是等比数列，∴“数列{a n}为等比数列〞是“数列12an为等比数列〞的不用要条件，∴“数列{a n}为等比数列〞是“数列1a2n为等比数列〞的充分不用要条件．二、填空题11．命题“假设ab＝0，那么a，b中最少有一个为零〞的逆否命题是________________________．答案假设a，b都不为零，那么ab≠012．假设不等式|x－m|<1建立的充分不用要条件是11，那么实数m的取值范围是________．<x<32答案－14，23剖析设A＝x 11<x<32，B＝{x|m－1<x<m＋1}，那么A是B的真子集．∴13m－1≤，12m＋1≥(等号不相同时建立)，解得－12≤m≤4.32－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，那么“A∩B≠?〞的充要条件是________．13．假设会集A＝{x|x答案a>－1剖析A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－2<x<a}，由A∩B≠?得a>－1.14．以下四个结论中：①“λ＝0〞是“λa＝0〞的充分不用要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2〞是“△ABC为直角三角形〞的充要条件；③假设a，b∈R，那么“a2＋b2≠0〞是“a，b全不为零〞的充要条件；④假设a，b∈R，那么“a2＋b2≠0〞是“a，b不全为零〞的充要条件．正确的选项是________．(填序号)答案①④剖析由λ＝0能够推出λa＝0，但是由λa＝0不用然能推出λ＝0建立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2能够推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能够确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0能够推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零能够推出a2＋b2≠0，所以③不正确，④正确．三、解答题15．会集A＝{x|x≥3或x≤－2}，B＝{x|x>－a或x<2a}(a<0)．设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解∵綈p是綈q的必要不充分条件，那么綈q?綈p，且綈p?綈q，由此可得p?q，且q?p，∴A B，－a<3，∴可得a>－1，－2<2a，又∵a<0，∴－1<a<0.16．会集A＝{x|x2－4x－5≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m<0}．(1)当m＝3时，求A∩(?R B)；(2)假设m＝a是A∩B＝{x|－1≤x<4}的充要条件，求实数a的值．解(1)当m＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－1<x<3}，那么?R B＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(?R B)＝{x|3≤x≤5或x＝－1}．(2)因为A＝{x|－1≤x≤5}，A∩B＝{x|－1≤x<4}，所以有42－2×4－a＝0，解得a＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，吻合题意，故实数a的值为8.。
2018-2019版数学新设计同步浙江专版选修2-1讲义：第一
章末复习课1.命题及其真假的判断根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.四种命题及其关系写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.3.充分条件与必要条件充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.4.充分条件与必要条件的应用根据充分条件、必要条件求参数的取值范围，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.方法一 定义的应用判断充分、必要、充要条件，应分别根据“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的真假进行判断.定义是判断命题的基本依据. 【例1】 ⎩⎨⎧x ＋y >4，xy >4是⎩⎨⎧x >2，y >2的什么条件？解 当x >2且y >2时，有x ＋y >4，xy >4， 即⎩⎨⎧x >2，y >2⇒⎩⎨⎧x ＋y >4，xy >4.反之不一定成立，例如当x ＝1<2，y ＝5时，有x ＋y ＝6>4，xy ＝5>4， 即⎩⎨⎧x ＋y >4，xy >4⇒/ ⎩⎨⎧x >2，y >2.故⎩⎨⎧x ＋y >4，xy >4是⎩⎨⎧x >2，y >2的必要不充分条件. 【训练1】 已知a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3均是非零实数，则“a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3”是“不等式a 1x 2＋a 2x ＋a 3>0和b 1x 2＋b 2x ＋b 3>0的解集相同”的( ) A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充要条件D.非充分且非必要条件解析 如x 2－2x －3>0和－x 2＋2x ＋3>0的系数满足a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3，但它们的解集不同；x 2－2x ＋3>0和x 2－2x ＋4>0的解集相同，均为R ，但它们的系数不满足a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3. 答案 D方法二 数形结合思想的应用数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.本章主要是应用“以形助数”，即借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系.也就是说，以形作为手段，数作为目的.【例2】 填空(“填充分”“必要”或“充要”)： (1)“x <3”是“x ≤1”的________条件；(2)“x (x 2－1)(x ＋2)＝0”是“x ＝±1”的________条件；(3)“a ＝0”是“ab ＝0”的________条件. 解析答案 (1)必要 (2)必要 (3)充分【训练2】 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，求实数m 的取值范围. 解A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1>3，即m >2.故实数m 的取值范围是(2，＋∞). 方法三 分类讨论思想的应用分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分类解决.树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法及技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类做到不重复、不遗漏”.【例3】 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)且p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围. 解 ∵p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴实数m 的取值范围是m ≥9.【训练3】 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0} ＝{x |x ≤－12或x ≥2}；N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0} ＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0} ＝{x |x ≤a －2或x ≥a }. 由已知p ⇒q 且q ⇒/p ，得MN .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2 ⇔32≤a <2或32<a ≤2 ⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.方法四 转化与化归思想的应用转化与化归思想是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题中的一种重要的思想方法.通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.如有的命题不易解决时，可借助于原命题与其逆否命题等价的原理，将命题转化为解决其逆否命题进而解决其原命题等. 【例4】 若非零实数a ，b ，c 互不相等.求证：由函数y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点. 证明 要证的问题，可看成一个命题(实际上就是证明该命题为真命题)：若非零实数a ，b ，c 互不相等，则由函数y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.其逆否命题是：若由函数y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线没有一条与x 轴有两个不同的交点，则a ，b ，c 至少有一对相等. 下面证明逆否命题为真：由已知，得⎩⎨⎧Δ1＝（2b ）2－4ac ≤0，①Δ2＝（2c ）2－4ab ≤0，②Δ3＝（2a ）2－4bc ≤0.③①②③同向不等式求和，得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0⇔2a 2＋2b 2＋2c 2－2ac －2ab －2bc ≤0⇔(a －c )2＋(a －b )2＋(b －c )2≤0⇔a ＝b ＝c .所以要证的逆否命题为真.根据原命题和它的逆否命题同真假，可知要证的命题也是真命题.【训练4】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋x .任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1成立，试求实数a 的取值范围.解 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.又|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0，1]. 当x ＝0时，①式显然成立；当x ∈(0，1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x 在x ∈(0，1]上恒成立. 设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)， 则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)，所以f (t )max ＝－2，令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)，所以g (t )min ＝0，又a ≠0，所以只须－2≤a <0. 综上所述，所求实数a 的取值范围是[－2，0).1.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x ＜3⇒x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇒/ 1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.答案 A2.(2017·浙江卷)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5，反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.答案 C。
2019版数学浙江省学业水平考试专题复习模块检测(选修2-1)
模块检测(选修2－1)(时间：80分钟满分:100分）一、选择题(本大题共18小题，每小题3分,共54分)1．对于原命题：“已知a，b,c∈R，若a>b，则ac2〉bc2",以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中，真命题的个数为（)A．1 B．2 C．4 D．0答案 B解析原命题与逆否命题同真同假，此题中原命题为假，如c＝0时不成立，逆否命题为假；逆命题为真，所以否命题也为真，故选B.2．设a，b是向量，命题“若a＝－b,则｜a|＝｜b｜”的逆否命题是()A．若a≠－b,则|a|≠|b｜B．若a＝－b,则|a｜≠｜b｜C．若|a｜≠|b｜,则a≠－bD．若｜a｜＝|b｜，则a＝－b答案 C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝－4x D．y2＝4x答案 A解析因为准线方程为x＝－2，所以错误!＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x。
故选A。
4．方程错误!＋错误!＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是（)A．－3<m<0 B．－3〈m<2C．－3<m<4 D．－1〈m<3答案 A解析由(m－2）(m＋3)<0，得－3<m<2，∵(－3，0)⊆(－3,2），∴m∈(－3,0）是方程表示双曲线的一个充分不必要条件．5．已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x答案 B解析 由题意得抛物线的焦点坐标为（4,0)，所以c ＝4，又因为双曲线的离心率e ＝错误!＝2，所以a ＝2,则b ＝错误!＝2错误!，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ＝±错误!x ，故选B.6．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点"是“函数y ＝log m x 在（0,＋∞）上为减函数”的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当m ＝－1时，“y ＝2x ＋m －1有零点"，不能说明“y ＝log m x 在(0,＋∞)上为减函数”，∴充分性不成立．由“y ＝log m x 在（0，＋∞)上为减函数”，可得0<m <1，∴y ＝2x ＋m －1一定有零点，∴必要性成立．7．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有错误!＝x 错误!＋错误!错误!＋错误!OC →,则x 的值为( ）A ．1B ．0C ．3D 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点一命题的概念在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．知识点二四种命题的关系知识点三四种命题的真假性关系结论1：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．结论2：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点四充分条件与必要条件1．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件．3．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件．4．若p⇏q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件．5．若p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．题型一 命题及其关系例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3(2)命题“若x ＝3，则x 2－2x －3＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠3，则x 2－2x －3≠0 B ．若x ＝3，则x 2－2x －3≠0 C ．若x 2－2x －3≠0，则x ≠3 D ．若x 2－2x －3≠0，则x ＝3 答案 (1)A (2)C解析 (1)根据四种命题的定义可得．感悟与点拨 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例． 跟踪训练1 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)下列命题：①“若a ≤b ，则a <b ”的否命题；②“若a ＝1，则ax 2－x ＋3≥0的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x 为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中真命题的序号为( ) A ．②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②③④答案 (1)C (2)B解析 (2)对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，“若a ＝1，则ax 2－x ＋3≥0的解集为R ”，原命题为真，故逆否命题为真； 对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x 为有理数，则x 为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假． 题型二 充分条件、必要条件与充要条件的判断例2 (1)(2018年4月学考)设a 为实数，则“a >1a2”是“a 2>1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2016年10月学考)已知非零向量a ，b ，则“a ∥b ”是“|a －b |＝|a |－|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)B解析 (1)由a >1a2，知a >0，∴a 2>1a，∴“a >1a2”是“a 2>1a ”的充分条件，由a 2>1a 不能确定a >0还是a <0，∴推不出a >1a2，∴“a >1a2”不是“a 2>1a ”的必要条件．(2)由“a ∥b ”显然推不出|a －b |＝|a |－|b |， 比如：|a |<|b |时，显然不成立．∴“a ∥b ”不是“|a －b |＝|a |－|b |”的充分条件． 由|a －b |＝|a |－|b |得，|a －b |2＝(|a |－|b |)2， ∴a ·b ＝|a |·|b |，∴cos θ＝1(θ为a 与b 的夹角)， ∴θ＝0，即a ∥b .感悟与点拨 充要关系的几种判断方法： (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．跟踪训练2 (1)设a >0，且a ≠1，则“a >1”是“log a 12<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2017年4月学考)设实数a ，b 满足|a |>|b |，则“a －b >0”是“a ＋b >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案 (1)A (2)C (3)C解析 (1)当a >1时，有log a 12<log a a ＝1，所以充分性成立；当log a 12<1时，即log a 12<1＝log a a ，当a >1时，上式恒成立，当0<a <1时，解得0<a <12，则a 的取值范围是a >1或0<a <12，所以必要性不成立．(2)由α∥β⇒l ⊥β⇒l ⊥m ，∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分条件， 由l ⊥m 可知，l ⊥β或l 不垂直于β， ∴α∥β或α不平行β，必要性不成立． (3)由|a |>|b |得a 2－b 2>0， 即(a －b )(a ＋b )>0， 由错误!得a ＋b >0.又错误!得a －b >0.∴“a －b >0”是“a ＋b >0”的充要条件． 题型三 根据充要条件求参数范围 例3(1)已知“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [1,5] 解析 ∵|x －a |<1， ∴a －1<x <a ＋1. ∵x 2－6x <0， ∴0<x <6.又∵“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥0，a ＋1<6或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤6，∴1≤a ≤5.(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围． 解 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， 所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 感悟与点拨 集合与充要条件综合问题，一般先化简集合，然后根据充要条件建立等式或者不等式，进而求出参数的取值范围． 跟踪训练3已知p ：|x －a |≤5；q ：x 2－6x ＋8≤0.若x ∈p 是x ∈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 对于p ，不等式|x －a |≤5的解集为－5＋a ≤x ≤5＋a ；对于q ，不等式x 2－6x ＋8≤0的解集为2≤x ≤4. ∵x ∈p 是x ∈q 的必要不充分条件， ∴{x |2≤x ≤4}{x |－5＋a ≤x ≤5＋a }，即⎩⎪⎨⎪⎧ －5＋a<2，4≤5＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧－5＋a≤2，4<5＋a ，可得－1≤a ≤7， ∴实数a 的取值范围是[－1,7]．一、选择题1．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1答案 C解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2<12”，故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12”．2．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆否命题是( ) A ．若x ，y ∈R ，x ，y 全不为零，则x 2＋y 2≠0 B ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为零，则x 2＋y 2＝0 C ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0D ．若x ，y ∈R ，x ，y 全为零，则x 2＋y 2≠0 答案 C解析 依题意得，原命题的题设为“若x 2＋y 2＝0”，结论为“则x ，y 全为零”．逆否命题为“若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0”，故选C. 3．已知下列三个命题：①“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题； ②“正方形是菱形”的否命题；③“若m >2，则不等式x 2－2x ＋m >0的解集为R ”． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 对于①，原命题为假，所以逆否命题为假；对于②，逆命题为“菱形是正方形”，是假命题，所以否命题为假命题； 对于③，Δ＝4－4m ，当m >2时，Δ<0，所以f (x )＝x 2－2x ＋m 开口向上且与x 轴无公共点， 故x 2－2x ＋m >0的解集为R ，③为真命题．故选B. 4．已知p ：x 2－x <0，那么p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0<x <1 B ．－1<x <1 C.12<x <23 D.12<x <2 答案 B解析 p ：0<x <1,0<x <1⇒－1<x <1， －1<x <1D //⇒0<x <1.故选B.5．已知a >0且a ≠1，则“log a b >0”是“(a －1)(b －1)>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为log a b >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<b<1，0<a<1或⎩⎪⎨⎪⎧b>1，a>1， 而(a －1)·(b －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b<1，a<1或⎩⎪⎨⎪⎧b>1，a>1，故选A.6．“m ＝2 018”是“直线mx ＋(m －2 017)y －2＝0和直线x －my ＋5＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A7．(2017年11月学考)已知a ，b 是实数，则“|a |<1且|b |<1”是“a 2＋b 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B8．(2018年6月学考)已知直线l ，m 和平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B9．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ①由“a ＝1”得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x≥1，1－x ，x<1，所以“f (x )在[1，＋∞)上为增函数”． ②由“f (x )在[1，＋∞)上为增函数”得a ≤1. 10．(2016年4月学考)设n ∈N *，则“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 为等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 {a n }是等比数列，设公比为q ， 则an ＋1an＝q ， 由1a2n ＋11a2n ＝a2n a2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫an an ＋12＝1q2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 为等比数列，则“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 为等比数列”的充分条件．若数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1，n>1且n ∈N*，数列{a n }不是等比数列， 而1a2n ＝1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 是等比数列， ∴“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 为等比数列”的不必要条件，∴“数列{a n }为等比数列”是“数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n 为等比数列”的充分不必要条件．二、填空题11．命题“若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是________________________．答案 若a ，b 都不为零，则ab ≠012．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x<12， B ＝{x |m －1<x <m ＋1}，则A 是B 的真子集．∴⎩⎨⎧ m －1≤13，m ＋1≥12(等号不同时成立)，解得－12≤m ≤43. 13．若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是________． 答案 a >－1解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－2<x <a }，由A ∩B ≠∅得a >－1.14．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．(填序号)答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定能推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零；反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以③不正确，④正确．三、解答题15．已知集合A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，B ＝{x |x >－a 或x <2a }(a <0)．设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，且綈p ⇏綈q ，由此可得p ⇒q ，且q ⇏p ，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a<3，－2<2a ，可得a >－1， 又∵a <0，∴－1<a <0.16．已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m<0}．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若m＝a是A∩B＝{x|－1≤x<4}的充要条件，求实数a的值．解(1)当m＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5或x＝－1}．(2)因为A＝{x|－1≤x≤5}，A∩B＝{x|－1≤x<4}，所以有42－2×4－a＝0，解得a＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数a的值为8.。