2018届高三数学第19练导数的极值与最值练习

合集下载

导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)

§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0，解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意；对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ，当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3，因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0，所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2，则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根，所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0，所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x，分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1，所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)．由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x，由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1，令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0，一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0，所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增，当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2，由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)，记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12，则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12，故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2，故m ≤－32－ln 2.。

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

高三数学第19练导数的极值与最值练习29

第19练导数的极值与最值一、选择题1．设函数f (x )＝13x 3－x ＋m 的极大值为1，则函数f (x )的极小值为( )A ．－13B ．－1 C.13D ．12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f (x )图象的是( )3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－234．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－26．(2016·河北保定一中模拟)已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥11 B ．a ≤11 C ．a ≥418D ．a ≤4187．(2016·唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324D.328．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)二、填空题9．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．10．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________________．11．(2017·郑州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．12．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．A [求导可得f ′(x )＝x 2－1，由f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1，又因为函数在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，且f (－1)＝1，即m ＝13，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝13×13－1＋13＝－13，故选A.]2．D [因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )·(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，又因为x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]3．A [由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.]4．D [当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，③正确；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y＝f (x )无极值，⑤错．故选D.]5．B [∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0，∴f ?1?f ′?0?＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2，当且仅当a ＝c 时“＝”成立．] 6．A [f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x3.令1x ＝t ，则当t ∈[12，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，则h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12. ∴h ′(t )在[12，1]上是增函数．∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34＋12>0.∴h (t )在[12，1]上是增函数．∴a ≥h (1)＝11，故选A.]7．D [令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x >0，t >0)，即t ＋ln t＝a ，则|AB |＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.]8．B [函数f (x )＝x (ln x －ax )(x >0)，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x－a )＝ln x －2ax ＋1.令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，等价于f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．当a ＝12时，直线y ＝2ax －1与y ＝ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是(0，12)．]9．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. 因为f (x )既有极大值又有极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根．所以Δ＝4a 2－4(a ＋2)>0，所以a >2或a <－1. 10．(0,1)∪(2,3)解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 11．－13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a 3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9. [f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 12．①④解析设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x的图象可看出，m ＝k AB >0恒成立，故①正确；对于②直线CD 的斜率可为负，即n <0，故②不正确；对于③由m ＝n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x－x 2－ax ，则h ′(x )＝2xln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，得2xln 2＝2x ＋a ，结合图象知，当a 很小时，该方程无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2，使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，即不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故③不正确；对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2x ln 2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2x ln 2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故④正确．综上可知①④正确．。

高三数学一轮复习课时作业19：第2课时导数与函数的极值、最值

第2课时导数与函数的极值、最值1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2x答案 D解析由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283. 3．(2018·南昌调研)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极大值答案 C解析当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)，显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取得极小值．故选C.4．记函数f (x )＝x －3＋12－3x 的最大值为M ，最小值为m ，则M －m M ＋m 的值为( )A.13B.34C.35D.23答案 A解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，12－3x ≥0，解得3≤x ≤4，所以函数f (x )＝x －3＋12－3x 的定义域是『3,4』．求导，得f ′(x )＝12x －3－3212－3x ，令f ′(x )＝0，得x ＝134，当x ∈⎝⎛⎭⎫3，134时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫134，4时，f ′(x )<0，所以f (x )在区间『3,4』上先增后减，最大值M ＝f ⎝⎛⎭⎫134＝2.因为f (3)＝3>1，f (4)＝1，所以m ＝f (4)＝1，所以M －m M ＋m ＝2－12＋1＝13.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.6．(2017·河北三市二联)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间『－3,1』上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3答案 A解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间『－3,1』上不是单调函数， ∴－3<b <1，则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2，由f ′(x )<0，得b <x <2，∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.7．(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝______. 答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，当a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增，∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 9．(2018·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________. 答案 1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈『－1,1』，则f (m )的最小值为________．答案－4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈『－1,1』时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 11．(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0，又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 12．(2018·武汉质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在『－1，e 』(e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在『－1,0』和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增．因为f(－1)＝2，f⎝⎛⎭⎫23＝427，f(0)＝0，所以f(x)在『－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝a ln x，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在『1，e』上单调递增，则f(x)在『1，e』上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在『－1，e』上的最大值为a；当a<2时，f(x)在『－1，e』上的最大值为2.13．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间『－3,2』上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20 B．18C．3 D．0答案 A解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间『－3,2』上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间『－3,2』上，f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.14．(2018·贵州质检)设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．答案22解析由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0，当t >22时，f ′(t )>0， ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值．15．若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M >0，则实数m 的取值范围是______．答案 ⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1解析 f ′(x )＝mx ＋(m －1)＝(m －1)x ＋m x(x >0)，当m ≤0或m ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调，此时函数f (x )无最大值．当0<m <1时，令f ′(x )＝0，则x ＝m 1－m，∴当0<m <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 1－m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－m ，＋∞上单调递减，∴当0<m <1时，函数f (x )有最大值，最大值M ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－m ＝m ln m 1－m －m .∵M >0，∴m ln m1－m－m >0，解得m >e1＋e，∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫e 1＋e ，1.16．(2018届中原名校质检)已知函数f (x )＝x ln x －a2x 2(a ∈R )．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若g (x )＝f (x )＋(a －1)x 在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x ln x －x 2，f ′(x )＝ln x ＋1－2x ，f (1)＝－1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知得g (x )＝x ln x －a2x 2＋(a －1)x ，则g ′(x )＝ln x －ax ＋a ，记h (x )＝g ′(x )＝ln x －ax ＋a ，则h (1)＝0，h ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．①当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，函数g ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在x ＝1处取得极小值，满足题意； ②当0<a <1时，1a>1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，h ′(x )>0，故函数g ′(x )单调递增，可得当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，g ′(x )>0，所以g (x )在x ＝1处取得极小值，满足题意；③当a ＝1，x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，g ′(x )在(0,1)内单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，g ′(x )在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，不合题意；④当a >1，即0<1a <1时，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，h ′(x )<0，g ′(x )单调递减，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，g ′(x )单调递减，g ′(x )<0，所以g(x)在x＝1处取得极大值，不合题意．综上可知，实数a的取值范围为{a|a<1}．。

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值夯基提能作业本文

第三节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f '(x),若函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)2.设函数f(x)=+ln x,则( )A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点3.函数f(x)=x2-ln x的最小值为( )A. B.1C.0D.不存在4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )A.37B.73C.-10D.-375.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )A.-,0B.0,-C.,0D.0,6.(2016湖北黄冈模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围为( )A.[1,+∞)B.C.[1,2)D.7.函数f(x)=xsin x+cos x在上的最大值为.8.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时, f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a的值为.9.已知函数f(x)=(k≠0).求函数f(x)的极值.10.(2016吉林长春模拟)已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.B组提升题组11.已知函数f(x)=(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.12.(2016云南昆明模拟)已知常数a≠0, f(x)=aln x+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.13.已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f '(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.答案全解全析A组基础题组1.D 由题图可知,当x<-2时, f '(x)>0;当x=-2时, f '(x)=0;当-2<x<1时, f '(x)<0;当1<x<2时, f '(x)<0;当x=2时, f '(x)=0;当x>2时, f '(x)>0.由此可得函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.2.D 因为f(x)=+ln x,所以f '(x)=-+=,当x>2时, f '(x)>0,此时f(x)为增函数;当0<x<2时,f '(x)<0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的极小值点.3.A f '(x)=x-=,且x>0.令f '(x)>0,得x>1;令f '(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,且f(1)=-ln 1=.4.D 由题意知, f '(x)=6x2-12x,令f '(x)=0,得x=0或x=2,当x<0或x>2时, f '(x)>0,当0<x<2时, f '(x)<0,∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减,由条件知f(0)=m=3,∴f(2)=-5, f(-2)=-37,∴所求最小值为-37.5.C 由题意知, f '(x)=3x2-2px-q,由f '(1)=0, f(1)=0得解得p=2,q=-1,∴f(x)=x3-2x2+x,由f'(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,易得当x=时, f(x)取得极大值,当x=1时, f(x)取得极小值0.6.B 由f '(x)=4x-==0,得x=.当x∈时, f '(x)<0;当x∈时, f '(x)>0,即函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以x=为函数f(x)的极值点.函数在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,即在区间(k-1,k+1)内有极值点,所以0≤k-1<<k+1,解得1≤k<.7.答案解析因为f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以f '(x)=0在x∈上的解为x=.又f=+, f=, f(π)=-1,所以函数f(x)=xsin x+cos x在上的最大值为.8.答案 1解析因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时, f '(x)=-a,令f '(x)=0,得x=,因为a>,所以0<<2.令f '(x)>0,得x<,所以f(x)在上单调递增;令f '(x)<0,得x>,所以f(x)在上单调递减,所以当x∈(0,2)时, f(x)max=f=ln -a·=-1,所以ln =0,所以a=1.9.解析f(x)=的定义域为(0,+∞),f '(x)=-.令f '(x)=0,得x=1,当k>0时,若0<x<1,则f '(x)>0;若x>1,则f '(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴当x=1时,函数f(x)取得极大值.当k<0时,若0<x<1,则f '(x)<0;若x>1,则f '(x)>0,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得极小值.10.解析(1)f '(x)=a+-,由题意可知f '=1,即a+-=1,解得a=1.由f(x)=x--3ln x,x∈得f '(x)=.令f '(x)=0,得x=2.f(x)与f '(x)随x的变化情况如下表:∴f(x)min=f(2)=1-3ln 2.(2)f '(x)=a+-=(x>0),由题意可知方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2,则故a的取值范围为.B组提升题组11.解析(1)当x<1时, f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0]和上单调递减,在上单调递增.因为f(-1)=2, f=, f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时, f(x)=aln x,当a≤0时, f(x)≤0;当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.综上所述,当a≥2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为2.12.解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=+2=.当a=-4时, f '(x)=.可知当0<x<2时, f '(x)<0,则f(x)单调递减;当x>2时, f '(x)>0,则f(x)单调递增.∴f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.∴当a=-4时, f(x)只有极小值4-4ln 2.(2)∵f '(x)=,∴当a>0,x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,即f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,没有最小值,当a<0时,由f '(x)>0,得x>-,∴f(x)在上单调递增;由f '(x)<0,得x<-,∴f(x)在上单调递减.∴当a<0时, f(x)的最小值为f=aln+2.根据题意得f=aln+2≥-a,即a[ln(-a)-ln 2]≥0.∵a<0,∴ln(-a)-ln 2≤0,解得a≥-2,∴实数a的取值范围是[-2,0).13.解析(1)f '(x)==.令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为e x>0,所以y=f '(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f '(x)与g(x)符号相同.又因为a>0,所以-3<x<0时,g(x)>0,即f '(x)>0,当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f '(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=.因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,而f(-5)==5e5>5=f(0),所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.。

2018年高三一轮复习专题集训2-导数与函数的单调性、极值、最值

导数与函数的单调性、极值、最值A 级基础演练1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6432.(郑州二模)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)4．(2013·高考福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点6．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．7．(河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为__________．8．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为__________．9．已知a、b、c为常数，函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋16b2.(1)若a＝b＝c，且f(x)为(－∞，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若a＝18，且函数f(x)在x＝2处取得极值10，求b、c的值．B级能力突破1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)2．(大连模拟)已知函数f(x)＝e x，g(x)＝ln x＋1，对∀a∈R，∃b∈(0，＋∞)，使得f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为()A．1 B．2C．2e－1 D．e2－13．(2014·高考湖南卷)若0<x1<x2<1，则()A．e x2－e x1>ln x2－ln x1B．e x2－e x1<ln x2－ln x1C．x2e x1>x1e x2D．x2e x1<x1e x24．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是__________．5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是__________．6．已知f(x)＝e x(x3＋mx2－2x＋2)．(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．导数与函数的单调性、极值、最值A 级基础演练1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A.f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103.故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.2.(郑州二模)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.依题意，记函数y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标自左向右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，当a <x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 4时，f ′(x )≥0；当x 4<x <b 时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )分别在x ＝x 1、x ＝x 4处取得极大值．3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1.4．(2013·高考福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：选D.本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A错误；因为－f(－x)和f(x)关于原点对称，故－x0是－f(－x)的极小值点，D正确．5．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D.f(x)＝2x＋ln x，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，x>2时，f′(x)>0，这时f(x)为增函数；0<x<2时，f′(x)<0，这时f(x)为减函数，据此知x＝2为f(x)的极小值点．6．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)＞0.∴m＞6或m＜－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)7．(河南省三市调研)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为__________．解析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4.答案：－48．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为__________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎨⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：49．已知a 、b 、c 为常数，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋16b 2.(1)若a ＝b ＝c ，且f (x )为(－∞，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝18，且函数f (x )在x ＝2处取得极值10，求b 、c 的值．解析：(1)f (x )＝ax 3＋ax 2＋ax ＋16a 2，故f ′(x )＝3ax 2＋2ax ＋a ＝3a (x 2＋23x ＋13)＝3a [(x ＋13)2＋29]，所以当a ≠0时，f ′(x )恒正或恒负，因为f (x )为(－∞，＋∞)上的单调函数，所以a ≠0.(2)f (x )＝18x 3＋bx 2＋cx ＋16b 2，因为在x ＝2处f (x )取得极值10，所以⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝10.又f ′(x )＝38x 2＋2bx ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 32＋4b ＋c ＝0，①1＋4b ＋2c ＋16b 2＝10，②由①得c ＝－4b －32，代入②，得1＋4b －8b －3＋16b 2＝10，所以16b 2－4b －12＝0，所以4b 2－b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－112或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－34，c ＝32.因为当b ＝1，c ＝－112时，f (x )＝18x 3＋x 2－112x ＋16，所以f ′(x )＝38x 2＋2x －112＝38(x 2＋163x －112×83)，f ′(x )＝0有两根，故符合题意；当b ＝－34，c ＝32时，f (x )＝18x 3－34x 2＋32x ＋16×916＝18x 3－34x 2＋32x ＋9，所以f ′(x )＝38x 2－32x ＋32＝38(x 2－4x ＋4)＝38(x －2)2≥0恒成立，所以f (x )无极值，故b ＝－34，c ＝32不符合题意；所以b ＝1，c ＝－112.B 级能力突破1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选B.当a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .若a >0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a <0，由图象结合f (0)＝1>0知，此时必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2.2．(大连模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ＋1，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2e －1D ．e 2－1解析：选A.设f (a )＝g (b )＝t ，即e a ＝ln b ＋1＝t (t >0)，所以a ＝ln t ，b ＝e t －1，则b －a ＝e t －1－ln t ＝h (t )，h ′(t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e t e ′－1t ＝e t －1－1t ，令h ′(t )＝0，得t ＝1，可判断t ＝1为函数h (t )的极小值点，所以所求的最小值为h (1)＝1.3．(2014·高考湖南卷)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2解析：选C.令f (x )＝e x x ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2.当0<x <1时，f ′(x )<0，即f (x )在(0,1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 2)<f (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2.4．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是__________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是__________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.答案：－136．已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)．(1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：(1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x ，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增，∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0.又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x <0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎨⎧（－2）2－2（m ＋3）＋2m －2≤0（－1）2－（m ＋3）＋2m －2≤0，解得m ≤4， ∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．。

高考数学一轮复习专题3导数及其应用第19练函数的极值与最值练习含解析0520139.docx

第19练函数的极值与最值[基础保分练]1．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1e D ．a <－1e2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．－427，0B ．0，－427C.427，0D ．0，4273．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f (x )＝(2x －x 2)e x，则( ) A ．f (2)是f (x )的极大值也是最大值 B ．f (2)是f (x )的极大值但不是最大值 C ．f (－2)是f (x )的极小值也是最小值 D ．f (x )没有最大值也没有最小值 4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －1＋k ，则f (x )＝x 3－kx 2－2x ＋1的极大值为( )A ．2B ．3C.72D.525．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx (m ，n ∈R )，f (x )在x ＝1处取得极大值，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≠－3B ．m >－3C ．m <－3D ．m ≤－36．(2018·邢台期末)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ．(－1,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞7．(2018·泉州质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x ＋1和y ＝x －1交于A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是( )A.3－ln22 B.5－ln22 C.3＋ln22 D.5＋ln228．记函数f (x )＝13x 3－12x 2＋12在(0，＋∞)上的值域为M ，g (x )＝(x ＋1)2＋a 在(－∞，＋∞)上的值域为N ，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a ≥13D ．a ≤139．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围为________．[能力提升练]1．(2019·安徽省定远重点中学月考)设函数f (x )＝ln x ＋ax 2－32x ，若x ＝1是函数f (x )的极大值点，则函数f (x )的极小值为( ) A ．ln2－2B ．ln2－1C ．ln3－2D ．ln3－12．已知函数f (x )＝(x 2＋x )·(x 2＋ax ＋b )，若对∀x ∈R ，均有f (x )＝f (2－x )，则f (x )的最小值为( )A ．－94B ．－3516C ．－2D ．03.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2不等式e x a >x 2恒成立(其中e ＝2.71828…是自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2B ．(0，e)C ．(－∞，－2e)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，4e 2 5．已知函数f (x )＝(1＋2x )(x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )的图象关于点(1,0)对称，则f (x )在[－1,1]上的值域为________． 6．已知函数f (x )＝e x＋a ln x ， ①当a ＝1时，f (x )有最大值；②对于任意的a >0，函数f (x )是(0，＋∞)上的增函数； ③对于任意的a <0，函数f (x )一定存在最小值； ④对于任意的a >0，都有f (x )>0.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案精析基础保分练1．A 2.C 3.A 4.D5．C [f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n (x ∈R )，由f ′(1)＝0得3＋2m ＋n ＝0， Δ＝4m 2－12n >0，∴(m ＋3)2>0，得到m ≠－3，①∵f ′(x )＝3x 2＋2mx －(2m ＋3) ＝(x －1)(3x ＋2m ＋3)， ∴令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3，由－⎝⎛⎭⎪⎫1＋2m 3>1，解得m <－3，②由①②得m <－3，故选C.]6．B [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＝x ＋ax －x ，因为函数存在唯一的极值，所以导函数在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0且f (1)＝－12＋a ≥1，解得a ≥32.故选B.]7．D [由y ＝ex ＋1得x ＝ln y －1(y >0)，由y ＝x －1得x ＝y 2＋1，所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2，h ′(y )＝2y －1y＝2⎝⎛⎭⎪⎫y －22⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22y，当0<y <22时，h ′(y )<0，当y >22时，h ′(y )>0，即函数h (y )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以h (y )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＋2＝5＋ln22，故选D.] 8．C [由题意可得f ′(x )＝x 2－x ＝x (x －1)，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，函数的最小值为f (1)＝13－12＋12＝13，据此可知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥13，由二次函数的性质可知函数g (x )的最小值为g (－1)＝a ，则N ＝{x |x ≥a }，结合N ⊆M 可知实数a 的取值范围是a ≥13.]9．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．(－∞，4]解析因为2f (x )≥g (x )，代入解析式可得 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，分离参数a 可得a ≤2ln x ＋x ＋3x，令h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝x ＋x －x2，令h ′(x )＝0解得x 1＝－3，x 2＝1，所以当0<x <1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递减；当x >1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )在x ＝1处取得极小值，也是最小值．所以h (x )≥h (1)＝4. 因为对一切x ∈(0，＋∞)， 2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4，所以a 的取值范围为(－∞，4]．能力提升练1．A [∵f (x )＝ln x ＋ax 2－32x (x >0)，∴f ′(x )＝1x ＋2ax －32，∵x ＝1是函数的极大值点， ∴f ′(1)＝1＋2a －32＝2a －12＝0，解得a ＝14，∴f ′(x )＝1x ＋x 2－32＝x 2－3x ＋22x＝x －x －2x，∴当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )有极小值，且极小值为f (2)＝ln2－2.]2．A [对∀x ∈R ，均有f (x )＝f (2－x )，则f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )的零点也关于x ＝1对称，由x 2＋x ＝0得x ＝0，x ＝－1是f (x )的两个零点，故x ＝2，x ＝3也是f (x )的零点．则x ＝2，x ＝3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，则2＋3＝－a,2×3＝b ，即a ＝－5，b ＝6，f (x )＝x (x ＋1)·(x －2)(x －3) ＝x (x －2)[x (x －2)－3]，令u ＝x (x －2)，则u ∈[－1，＋∞)，则g (u )＝u (u －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u －322－94，当u ＝32∈[－1，＋∞)时，g (u )取得最小值－94，据此可知f (x )的最小值为－94，故选A.]3．A [函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，由图象得：当a <x <c 或d <x <0或0<x <e 时，f ′(x )>0，当c <x <d 或e <x <b 时，f ′(x )<0，∴f (x )的增区间为(a ，c )，(d,0)，(0，e )，减区间为(c ，d )，(e ，b )， ∴d 是函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点， ∴函数f (x )在开区间(a ，b )内有1个极小值点．故选A.]4．A [由e x a >x 2得x a >2ln x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2上恒成立，即1a >2ln x x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2上恒成立．令f (x )＝2ln x x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，则f ′(x )＝－ln xx 2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈[e，e 2]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴f (x )max ＝f (e)＝2e ，∴1a >f (e)＝2e ，∴0<a <e 2. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2，故选A.] 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，332解析因为函数f (x )＝(1＋2x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(1,0)对称，且f (x )的定义域为R .所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝－f ，即⎩⎪⎨⎪⎧＋a ＋b ＝0，＋2a ＋b ＝－b ，解得a ＝－72，b ＝52，所以f (x )＝(1＋2x )⎝⎛⎭⎪⎫x 2－72x ＋52，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋32＝32(4x 2－8x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1＋32或x 2＝1－32，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，1－32时， f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1－32，1时， f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )min ＝f (－1)＝－7，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝332，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，332.6．②③解析由函数的解析式可得：f ′(x )＝e x＋a x，当a >0时，函数y ＝e x，y ＝a ln x 均为单调递增函数，则函数f (x )是(0，＋∞)上的增函数，说法②正确；可知，当a ＝1时f (x )无最大值，说法①错误；当a <0时，f ′(x )＝e x＋a x单调递增，且f ′(－a )＝e －a－1>0，且当x →0时，f ′(x )→－∞，据此可知存在x 0∈(0，－a )，在区间(0，x 0)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在区间(x 0，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；函数f (x )在x ＝x 0处取得最小值，说法③正确；当a ＝1时，f (x )＝e x＋ln x ，由于e －5∈(0,1)，故5e e－∈(1，e)，f (e －5)＝5e e －＋lne －5＝5e e －－5<0，说法④错误；综上可得，正确结论的序号是②③.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。