陕西省龙凤培训学校九年级数学 暑假衔接班《第十讲 梯形》练习
暑假衔接班《第十讲梯形》
【知识梳理】
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。
通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：
1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；
2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；
3、过底的顶点作另一底的垂线。
熟悉以下基本图形、基本结论：
【例题精讲】
中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【例题精讲】
【例1】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
（1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。
【巩固】如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝DC ，AD ＝2，BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ．
（1）写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；
（2）探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．
【例2】已知：如图，在梯形ABCD 中， AB ∥CD ，∠A ＝60°，AD ＝BC ＝DC 求证：2AB CD .
F E
D
C
B
A
F E N
M D
B A
D
C
B
A
【巩固】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，若AD ＝a ，AB ＝b ，则CD 的长是___________。
【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， E 、F 分别是AD 、BC 的中点，若∠B ＋∠C ＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ．
【例4】已知：如图，在梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AC ＝BD . 求证：梯形ABCD 是等腰梯形.
D C
B
A
【例5】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，且AE ⊥BE. 求证：AD ＋BC ＝AB
【巩固】如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，且AD ＋BC ＝AB 求证：DE ⊥AE 。
【例6】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 、BE 分别平分∠C 和∠B ，E 为AD 的中点。
求证：AB ＋DC ＝BC ．
D
C A
E
E
A
B
C
D
D C B
A
E。
8月5日九年级数学预科班(第一讲 梯形)
第一讲 梯形（第一课时）1、梯形的有关概念（1）什么样的四边形叫做梯形．与平行四边形有什么区别。
（2）有关线段：如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AE ⊥BC,上底：下底： ，腰： ，腰： ,高： ，对角线： 面积=（上、下底不是因为位置而定义，而是通过长短定义的）2、特殊的梯形（1）等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形。
（2）直角梯形：有一个角是 的梯形叫做直角梯形3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形 上的两个角 ，几何语言为： （2）等腰梯形的两条对角线 ，几何语言为： （3）等腰梯形是 图像，上下底的 的连线所在的直线是【探究归纳】等腰梯形性质： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等． ③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：平移腰 作高平移对角线 延腰 等积变形综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法是：□ 典题解析例1、如图所示，四边形ABCD 中，AB=CD,AC=BD,AD 不等于BC,试说明四边形ABCD 是等腰梯形例2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm ，BC=15cm ．求CD 的长．例3、已知，如图所示的等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长. 分析：本题可通过平移腰AC ，使得AD+BC 的值在同一直线上，再根据等腰三角形的三线合一来解决。
DCBAAD◆随堂检测1、等腰梯形的两腰，同一底上的两个角，对角线 .2、如图，在梯形ABCD中，∠B=50°，∠C=80°，则∠D= ，∠A .3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=2，BC=6，∠B=60°，则CD= .4、一等腰梯形的上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它的腰长为（）A.8cmB.9cmC.8.5cmD.7cm5、等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则其底角的度数为（）A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.75°或105°6、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC交AB于点E，梯形周长为30cm，CD=5cm，则△ADE的周长为多少？◆典例分析如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠DBC=45°，求梯形ABCD的面积.分析：已知梯形的上底和下底，要求梯形的面积，需要求出梯形的高，为此，可过上底的一个顶点作梯形的高，将梯形分成矩形和直角三角形.解：作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E、F.◆课下作业1、下列说法正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C.两组对角分别互补的四边形是等腰梯形D.等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴2、如果等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角是（ ） A.60° B.30° C.45° D.15°3、等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm ，一底边长为4cm ，则另一底边长为（ ） A.3cm B.2cm C.1cm D. 1cm 或7cm4、已知直角梯形的一条腰长为5cm ，这腰与底边成30°角，则这梯形另一腰的长为（ ） A.10cm B.5cm C.2.5cm D. 7.5cm5、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，AD=a ，CD=b ，则AB 等于（ ） A. 2b a +B. 2ab + C. a b + D. 2a b +6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，试说明CD=BC-AD.3、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ．第6题第二讲：梯形（第二课时）1、叫三角形中位线，三角形有条中位线，三角形中位线性质定理是.在前一节的学习中我们是怎样得到三角形中位线定理的？2、如图所示的三角架各横木之间互相平行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC. 若EF=40cm,则AD= cm. 想一想：你会求BC的长吗？【探究归纳】类比旧知，猜想新知1、定义类比联想：与三角形中位线类似，连接梯形两腰中点的线段叫，梯形有条中位线。
13 梯形 九年级数学培优辅导
九年级数学培优辅导(13)制卷人：朱武雄班级姓名一专题内容: 二次函数中的存在性——梯形存在性二专题分析梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四个点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而B不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的RT△；若是直角梯形,则需联结对角线或过上底的一顶点作下底的高构造RT△三考点技巧解梯形的存在性问题一般分三步:第一步分类,第二步画图,第三步计算.一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.四例题讲解针对训练1 已知直角坐标系中有一点A（﹣4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．（1）求满足条件的所有点B的坐标；（2）求过O，A，B三点且开口向下的最简答的抛物线的函数表达式（顶点式）（只需求出满足条件的一条即可）；（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标五学生练习1 如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣0.5，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由2已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2 。
暑假新初三数学衔接班(第6章图形的相似)检测卷(无答案)
暑假新初三数学衔接班（第6章图形的相似）检测卷（无答案）一．选择题(每题4分，共24分)1．以下说法：①恣意两个等腰三角形都相似；①恣意两个直角三角形都相似；①恣意两个等边三角形都相似；①恣意两个等腰直角三角形都相似，其中正确的选项是( )A．①① B．①① C．①① D．①①2.①ABC为直角三角形，①ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，D为垂足，①ABC①①ACD①①CBD，那么以上等式：①AC2＝AD·AB；①CD2＝AD·BD；①BC2＝BD·AB；①AC·CB＝BA·CD，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．P为线段AB的黄金联系点，且AP<PB，那么( )A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB24．线段AB，点P是它的黄金联系点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，那么S1与S2的关系是( )A．S1>S2B．S1<S2C．S1＝S2D．S1≥S25．以下说法正确的选项是( )A．两个等腰三角形一定是位似图形B．位似图形一定是相似的几何图形C．位似图形对应顶点的连线一定不在同不时线上D．位似图形一定是全等图形6．〔2021．武汉〕如图，线段AB两个端点的坐标区分为A〔6，6〕，B〔8，2〕，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB增加为原来的后失掉线段CD，那么端点C的坐标为〔〕A．〔3，3〕B．〔4，3〕C．〔3，1〕D．〔4，1〕二、填空题(每题4分，共16分)7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延伸线于点E，那么CE的长为8．在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．以下条件：①∠A＋∠B＝90°；②AB2＝AC2＋BC2；③AC CDAB BD=；④CD2＝AD·BD，其中能证明△ABC是直角三角形的有_______9．假设四边形ABCD的四条边长区分为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最短边长为15cm，那么这个四边形的最长边的长度为_______．10.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ 与BC交于点G，那么△EBG的周长是cm三、解答题(每题12分，共60分)11.如图，D、E区分是AC、AB上的点，①ADE①①ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．12．如图，在①ABC中，DE①BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3．求：(1)ADAB的值．(2) BC的长．13．如图，D是①ABC中BC边上的一点，E为AD边上的一点，假定①DAC＝①B，CD＝CE．试说明①ACE①①BAD．14．如图，在①ABC中，CE①AB于E，BF①AC于F，试说明：(1)①ABF①①ACE．(2)①AEF①①ACB．15．如图，AB BC ACAD DE AE==．试说明①BAD＝①CAE．。
特殊平行四边形验收卷-【暑假衔接】2021年新九年级数学暑假精品知识点(北师大版)(原卷版)
特殊平行四边形验收卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分2．如图，将三角尺ABC 沿边BC 所在直线平移后得到△DCE ，连接AD ，下列结论正确的是（ ）A ．AD ＝ABB ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AD ＝2ACD ．四边形ABCD 是菱形3．下列哪条性质是平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直．D ．对角线平分一组对角．4．矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，120AOD ∠=︒，5cm AB =，则矩形对角线长（ ） A ．2.5cm B ．10cm C ．5cm D ．25cm 5．如图，四边形ABCD 是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A 的坐标为（ ）A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(42,0)D ．(82,0)6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EO AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，若ABE △的周长为5，2AB =，则AD 的长为（ ）．A ．2B ．2.5C ．3D ．47．如图，在ABC 中，13,10,AB AC BC AE ===平分BAC ∠交BC 于点,E D 为AB 的中点，连结DE ，则ADE 的周长是（ ）A ．23B ．25C ．1369+D ．228．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，F 为边CD 的中点，E 为矩形ABCD 外一动点，且∠AEC ＝90°，则线段EF 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，正方形ABCD 在平面直用坐标系中．点A 的坐标为6,4，点B ，C 在x 轴上．将正方形ABCD 平移后，点O 成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD 的平移过程可能是（ ）A ．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度B ．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度C ．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度10．如图，在菱形ABCD 中，5AB =，6AC =，作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．185B ．245C ．4D ．48511．如图，在菱形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，过点E 作FH //AD ，GI //AB ，点F ，G ，H ，I 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上．若AC ＝a ，∠B ＝60°，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．23aB ．4aC ．25aD ．6a12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则四边形PECF 周长的最小值为（ ）A ．4B ．422+C ．8D ．442+二、填空题（每小题3分，共18分）13．菱形的对角线长分别为5cm 和12cm ，则菱形的周长是________cm ．14．如图，点B ，C 分别是锐角A ∠两边上的点，AB AC =，分别以点B ，C 为圆心，以AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接BD ，CD ．则四边形ABDC 是________．15．如图，在ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，分别以点A ，点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点O ，连接CO ，则CO 的长是_____．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．如图，以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB 在x 轴正半轴上，则点D 的坐标是_______．17．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠=︒，以AB 为边作正方形ABDE ，连接CE ，则AEC ∠=________．18．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）19．如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，BD 上，且DE ＝CF ，AF ，BE 相交于点G ，求证：BE ⊥AF ．20．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线．（1）请用直尺和圆规作AB 的垂直平分线EF ，垂足为点E ，交AD 于点F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BF ，若75CBD ∠=︒，求DBF ∠的度数．21．如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E F 、分别在AD 及其延长线上，//CE BF ，连结BE CF 、．（1）图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？（2）若AB AC =，其它条件不变，那么四边形BFCE 是菱形吗？为什么？22．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，过点A 作AF ∥BD ，过点B 作BF ∥AC ，两线相交于点F ．（1）求证：四边形AEBF 是菱形；（2）连接CF ，交BD 于点G ，若BD ⊥CF ，请直接写出∠AED 的度数为 度．23．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠．（1）重合部分是什么图形？请说明理由．（2）若AB＝4，BC＝8，求△BDF的面积．24．如图，BD 是正方形ABCD的对角线，BC=2, 边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.。
10三升四年级数学暑假讲义第10讲：平行四边形和梯形(含答案)
平行四边形和梯形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系。
认识平行线、垂线.理解平行与垂直的概念。
2.会用三角尺或量角器画垂线.会利用画垂线的方法准确地画出长方形。
3.理解平行四边形和梯形的含义.掌握平行四边形和梯形的特征。
4.理解平行四边形与长方形、正方形的关系.会用集合图表示它们的关系.体会集合思想；培养观察、比较、分析和抽象概括的能力。
5.会画平行四边形和梯形的高。
1.在同一个平面内不相交的两条直线叫做 .也可以说这两条直线 。
2.如果这两条直线相交成直角.就说这两条直线 .其中一条直线叫做另一条直线的 .这两条直线的交点叫做 。
3.从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线.这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的 .垂足所在的边叫做平行四边形的 。
底4.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短.它的长度叫做这点到直线的。
5.两组对边分别平行的四边形叫做。
6.只有一组对边平行的四边形叫做。
7.两腰相等的梯形叫做。
上底腰高下底8.有一个角是直角的梯形叫做。
9.10.用集合图表示四边形之间的关系。
11.四边形4个角的和都是。
参考答案：1.平行线、互相平行2.互相垂直、垂线、垂足3.高、底4.距离5.平行四边形6.梯形7.等腰梯形8.直角梯形9.长方形、正方形、平行四边形、梯形11.360°题目类型一：平行与垂直例题1.两条直线画得再长也不会相交的情况在数学上叫永不相交。
也就是说这两条永四边形（）（）（）（）不相交的直线叫做（）线。
也可以说这两条直线互相（）。
初三数学《几何的动点问题》专题练习及答案
动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中,10AB AC==厘米,8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD△与CQP△全等?（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇?2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发,同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒,OPQ△的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点,点P（0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心,3为半径作⊙P。
(1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；(2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4)，点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围）；（3)在（2）的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．B5在Rt△ABC中,∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从EQ点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ; （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成为直角梯形?若能，求t 的值．若不能，请说明理由； (4)当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图,在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°,2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转,交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为 ；②当α= 度时,四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ;(2）当90α=°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．7如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．O E CDA α lOCA（备用图）A D(1）求BC 的长．(2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3)试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；(2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ,设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由。
人教版 九年级上册 新初三暑假衔接课程 圆 第一、二课时 含习题和答案-教育文档
新初三暑假数学衔接导学案1.1 圆的有关概念问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 探究新知圆的定义：在一个平面内，一条线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。
圆心：固定的端点叫作圆心。
半径：线段OA 的长度叫作这个圆的半径。
圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”。
同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆。
问题3 观察下列图形，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A 、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB ”或“弧 AB ”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的弧ABC ； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的弧AB 。
应用新知B例1：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？分析：如图，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定。
例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；如果存在，指出这个圆的圆心和半径。
解：如图，连接AC 、BD 交与点O ，在矩形ABCD 中，∵OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD ，AC=BD ，∴OA=OB=OC=OD ，∴A 、B 、C 、D 者这四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上 。
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第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。
其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①②③④中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
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又 P1点（x，y）在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3，
即x2－3x＋1＝0，解得x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5＜1，应舍去，
∴x＝3＋2 5，∴y＝4－x＝5－2 5，即点 P1坐标为（3＋2 5，5－2 5）． ②若以 CD 为一腰， ∵点 P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2与点 C 关于直线 x＝1 对 称，此时点 P2坐标为（2，3）． ∴符合条件的点 P 坐标为（3＋2 5，5-2 5）或（2，3）．
∴CD＝ (1－0)2＋(4－3)2＝ 2，BC＝ 32＋32＝3 2，
BD＝ (3－1)2＋(4－0)2＝2 5， ∵CD2＋BC2＝（ 2）2＋（3 2）2＝20，BD2＝（2 5）2＝20，
∴CD2＋BC2＝BD2，∴△BCD 是直角三角形；
（3）存在．y＝－x2＋2x＋3 对称轴为直线 x＝1． ①若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C， 设 P1点坐标为（x，y）， 根据勾股定理可得 P1C2＝x2＋（3－y）2，P1D2＝（x－1）2＋（4－y）2，
S＝12CQ×PC＝12(24－4t)×(12－2t)＝4(6－t)2(0≤t≤6)．
9
第 10 讲 二次函数中的面积与路径问题
满分：10 分
分数：__________
（1）∵点 A（0，1）．B（－9，10）在抛物线上， ∴c2＝7－19b＋c＝10，解得bc＝＝12，∴抛物线的解析式为 y＝13x2＋2x＋1， （2）∵AC∥x 轴，A（0，1） ∴13x2＋2x＋1＝1，∴x1＝－6，x2＝0，∴点 C 的坐标（－6，1）， ∵点 A（0，1）．B（－9，10），∴直线 AB 的解析式为 y＝－x＋1， 设点 P（m，13m2＋2m＋1）∴E（m，－m＋1） ∴PE＝－m＋1－（13m2＋2m＋1）＝－13m2－3m，∵AC⊥EP，AC＝6， ∴S 四边形 AECP＝S△AEC＋S△APC＝12AC×EF＋ 12AC×PF ＝12AC×（EF＋PF）＝12AC×PE＝12×6×（－ 13m2－3m） ＝－m2－9m＝－（m＋ 92）2＋ 841， ∵－6＜m＜0，∴当 m＝－ 92时，四边形 AECP 的面积的最大值是841， 此时点 P（－ 92，－ 54）．
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初三数学暑假上课教案专题一选择填空训练1. 如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形的一角沿AC折叠，点 D 落到 D’处，则重叠阴影部分△AFC的面积为（）A. 14B. 12C. 10D. 8由翻折得，∠ACD=∠ACF，∵长方形对边AB∥CD，∴∠ACD=∠CAF，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF，设AF=x，则BF=AB-AF=8-x，CF=AF=x，在Rt△BCF中，由勾股定理得，BC2+BF2=CF2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5，∴重叠阴影部分△AFC的面积=21AF•BC=21×5×4=10．故选C．2. 如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为（）AA. B. C. D.1题 2题 3题 4题3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为边作正方形，连接，．则的面积是 14 ．4、如图，将边长为√3cm的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30∘后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为( )A. 34cm2 B. 32cm2 C. √3cm2 D. (3−√3)cm2【解析】解：设BC、C′D′相交于点M，连结AM．由旋转的性质可知：AD=AD′．在直角△AD′M和直角ABM中，∴△AD′M≌△ABM．∴∠BAM=∠D′AM，S△AMB=S△AD′B．∵∠DAD′=30∘，∴∠MAB=12×(90∘−30∘)=30∘．又∵BA=√3，∴MB=√33AB=1．∴S△AMB=12×1×√3=√32．又∵S正方形ABCD=(√3)2=3，∴S阴影=3−2×√32=3−√3．故选：D．5．如图①，在▱ABCD中，∠B＝120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为．【解答】解：由图象可知，当x＝4时，点P到达C点，此时△PAB的面积为6∵∠B＝120°，BC＝4∴解得AB＝6 H点表示点P到达A时运动的路程为4+6+4＝14 故答案为：146．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝8cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，秒后四边形ABQP是平行四边形．【解答】解：设x秒后，四边形ABQP是平行四边形，∵P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，∴AP＝xcm，CQ＝2xcm，∵BC＝8cm，∴QB＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴x＝8﹣2x，解得：x＝．故答案为：．7．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9 ．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为：9．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）BA．4.8 B．2.4 C．2.5 D．2.68题 9题 10题 11题9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD=BC，∠EPF=144°，则∠PEF的度数是．18°10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），若△ABC是关于直线y=1的轴对称图形，则点B的坐标为；若△ABC是关于直线y=a的轴对称图形，则点B的坐标为．（4，﹣2），（4，2a﹣4）（3分）如图，OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A n﹣1A n=1，∠OA1A2=∠OA2A3=∠OA3a4=…=∠OA n﹣1A n=90°（n＞1，且n为整数）．那么OA2= ，11．OA4= ，…，OA n= ．12．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（）A．逐渐变大 B．不变 C．逐渐变小 D．先变小后变大【解答】解：设点C的坐标为（m，﹣m+4）（0＜m＜4），则CE＝m，CD＝﹣m+4，∴C矩形CDOE＝2（CE+CD）＝8（当m＝0或4时，C与A或B重合，2AO或2BO＝8）．故选：B．13、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M、N分别是边AD、BC的中点，Q是边CD上的一点．联结MN、BQ，将△BCQ沿着直线BQ翻折，若点C恰好与线段MN上的点P重合，则PQ的长等于______．13.【答案】2√3解：∵∠CBQ=∠PBQ=∠PBC，BC=PB=2BN=3，∠BPQ=∠C=90°，∴cos∠PBN=BN：PB=1：2，∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°，∴PQ=PBtan30°=6×=2．故答案为：2．由折叠的性质知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，从而求出PQ=PBtan30°=2．14．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…依此类推，若正方形①的边长为64m，则正方形⑨的边长为cm．【解答】解：根据题意：第一个正方形的边长为64cm；第二个正方形的边长为：64×＝32 cm；第三个正方形的边长为：64×（）2cm，…此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的，所以第9个正方形的边长为64×（）9﹣1＝4cm，故答案为4．15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C 重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）DA． B．C． D．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：如图，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠ABC＝2∠C，∴∠2＝∠C，∴BE＝CE，∵AC﹣CE＝AE，∴AC﹣BE＝AE，故①正确；∵BE＝CE，∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；∵∠1＝∠2＝∠C，∴∠C＝∠1＝30°，∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠C，故③正确；在Rt△BAC中，∠C＝30°，∴BC＝2AB，在Rt△BDA中，∠1＝30°，∴AB＝2AD，∴BC＝4AD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④．故选：D．17．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．18．在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（，）．那么点A3的纵坐标是，点A2013的纵坐标是．【解答】解：∵A1（1，1），A2（，）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线解析式为y＝x+；设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，当x＝0时，y＝，当y＝0时， x+＝0，解得x＝﹣4，∴点M、N的坐标分别为M（0，），N（﹣4，0），∴tan∠MNO＝＝＝，作A1C1⊥x轴与点C1，A2C2⊥x轴与点C2，A3C3⊥x轴与点C3，∵A1（1，1），A2（，），∴OB2＝OB1+B1B2＝2×1+2×＝2+3＝5，tan∠MNO＝＝＝，∵△B2A3B3是等腰直角三角形，∴A3C3＝B2C3，∴A3C3＝＝（）2，同理可求，第四个等腰直角三角形A4C4＝＝（）3，依此类推，点A n的纵坐标是（）n﹣1．∴A2013＝（）2012 故答案为：，（）2012．19．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝．（用含n的式子表示）【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1＝1，AB＝2，根据勾股定理得：AB1＝，∴S1＝××（）2＝（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2＝，AB1＝，根据勾股定理得：AB2＝，∴S2＝××（）2＝（）2；依此类推，S n＝（）n．故答案为：（）n．20．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2019C2020B的面积为（）cm2．CA．201625B．201725C．201825D．20192521、如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4……的斜边OA1，OA2，OA3，OA4……都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=……=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3OA3=OC4……，则依此规律，点A2018的纵坐标为______．21.【答案】3×（2√33）2017解：Rt△OA2C2中，∠A2OC2=30°，OC2=3 则OA2=3×∴OA2=OC3=3×同理OA3=3×（）2依此规律，点A2018OA3=3×（）2017 故答案为：3×（）2017根据三角函数OC n=OA n依次可得点A2018的纵坐标．22．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH．已知AM 为 Rt△ABM 较长直角边，AM= EF，则正方形ABCD 的面积为( ) CA．11S B．12S C．13S D．14S23．如图，直线l1：y=x+1 与直线l2：y=21x+21相交于点P，直线l1与y 轴交于点A，一动点C，从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿20题图平行于 x 轴的方向运动，到达直 线 l 2上的点 B 2处后，又改为垂直于 x 轴的方向运动，到达直线 l 1上的点 A 2处后，仍沿 平行于 x 轴的方向运动…照此规律运动，动点 C 依次经过点 B 1，A 1，B 2，A 2，B 3， A 3…B 2018，A 2018…则 A 2018B 2018的长度为( ) B A ．2018 B ．2017 C ．2018 D ．403624．如图，直线 y =－x +1 与两坐标轴分别交于 A ，B 两点，将线段 OA 分成 n 等份，分点分 别为 P 1，P 2，P 3，…，Pn −1，过每个分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于点 T 1，T 2， T 3，…，T n −1，用 S 1，S 2，S 3，…，S n −1 分别表示 Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…， Rt △T n −1Pn －2P n −1的面积，则 S 1+S 2+S 3+…+Sn −1= ．专题二 一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y=mx （m ≠0）与直线l 2：y=ax+b （a ≠0）相交于点A （2，4），直线l 2与x 轴交于点B （6，0）． （1）分别求直线l 1和l 2的表达式；（2）过动点P （0，n ）且垂直于y 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，请直接写出n 的取值范围．【解答】解：（1）∵点A （2，4）在l 1：y=mx 上，∴2m=4，∴m=2，∴直线l 1的表达式为y=2x ，∵点A （2，4）和B （6，0）在直线l 2：y=ax+b 上， ∴， 解得，∴直线l 2的表达式为y=﹣x+6；（2）由图象得：当点C 位于点D 左方时，n 的取值范围是：n ＜4．2．（11分）如图，在平面直角坐标系中，过点B （6，0）的直线AB 与直线OA 相交于点A （4，2），动点M 在线段OA 和射线AC 上运动． （1）求直线AB 的解析式． （2）求△OAC 的面积．（3）是否存在点M ，使△OMC 的面积是△OAC 的面积的？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ， 根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y ＝﹣x +6；（2）在y ＝﹣x +6中，令x ＝0，解得：y ＝6，S △OAC ＝×6×4＝12；（3）设OA 的解析式是y ＝mx ，则4m ＝2，解得：m ＝，则直线的解析式是：y ＝x ，∵当△OMC 的面积是△OAC 的面积的时，∴当M 的横坐标是×4＝1，在y ＝x 中，当x ＝1时，y ＝，则M 的坐标是（1，）；在y ＝﹣x +6中，x ＝1则y ＝5，则M 的坐标是（1，5）．则M 的坐标是：M 1（1，）或M 2（1，5）．当M 的横坐标是：﹣1，在y ＝﹣x +6中，当x ＝﹣1时，y ＝7，则M 的坐标是（﹣1，7）； 综上所述：M 的坐标是：M 1（1，）或M 2（1，5）或M 3（﹣1，7）．3.如图，直线的解析式为，且与轴交于点D ，直线经过点A 、1l 33y x =-+1l x 2l yB ，直线、交于点．（1）求直线的解析表达式； （2）求△ADC 的面积；（3）在直线上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADC 与△ADP 的面积相等，请直接．．写出点的坐标．3．（本题满分12分）（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b ，把A (4，0)，B (3，-3/2）代入表达式y =k x +b ， ∴k =23 b =−6，∴直线l2的解析表达式为y =623-x ； ……4分 （2）由y =−3x +3，令y =0，得−3x +3=0，∴x =1，∴D 点坐标为(1，0) 联立y =−3x +3 、 y =623-x ，解得x =2 、 y =−3， ∴点C 的坐标为(2，−3)，∴S △ADC =21×3×|−3|=29；…8分 （3）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|−3|=3， 则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∴1.5x −6=3 x =6， 所以P (6，3). ………12分 4．（10分）如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AB 上，点D 在y 轴的负半轴上，C 、D 两点到x 轴的距离均为2．（1）点C 的坐标为： ，点D 的坐标为： ；（2）点P 为线段OA 上的一动点，当PC+PD 最小时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）由题意点C 的纵坐标为2，y=2时，2=x+4，解得x=﹣3，∴C （﹣3，2），∵点D 在y 轴的负半轴上，D 点到x 轴的距离为2，∴D （0，﹣2），故答案为（﹣3，2），（0，﹣2）； （2）当C 、P 、D 共线时，PC+PD 的值最小，设最小CD 的解析式为y=kx+b ，则有，解得，∴直线CD 的解析式为y=﹣x ﹣2，当y=0时，x=﹣，∴P （﹣，0）．5.(8分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y=-12x+5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4). （1）求m 的值及l 2的解析式; （2）求S △AOC -S △BOC 的值;（3）一次函数y=kx+1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值.解:（1）将点C 的坐标代入l 1的解析式，得-12m+5=4.解得m=2. 当m=2时，C 的坐标为(2，4). 设l 2的解析式为y=ax ， 将点C 的坐标代入，得4=2a ，解得a=2. 所以l 2的解析式为y=2x.（2）由y=-12x+5，当x=0时，y=5， 所以B(0，5). 当y=0时，x=10， 所以A(10，0). 所以S △AOC =12×10×4=20，S △BOC =12×5×2=5. 所以S △AOC -S △BOC =20-5=15.（3）因为l 1，l 2，l 3不能围成三角形， 所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点C. 当l 1∥l 3时，k=-12， 当l 2∥l 3时，k=2，1l 2l C 2l 2l P当l 3过点C 时，4=2k+1.所以k=32. 所以k 的值为-12或2或32. 6．（8分）如图，直线l 1：y 1＝﹣x +b 分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，与直线l 2：y 2＝x 交于点C （2，2）．（1）若y 1＜y 2，请直接写出x 的取值范围； （2）点P 在直线l 1：y 1＝﹣x +b 上，且△OPC 的面积为3，求点P 的坐标？解：（1）∵直线l 1：y 1＝﹣x +b 与直线l 2：y 2＝x 交于点C （2，2），∴当y 1＜y 2时，x ＞2； （2）将（2，2）代入y 1＝﹣x +b ，得b ＝3，∴y 1＝﹣x +3，∴A （6，0），B （0，3），设P （x ，﹣x +3），则当x ＜2时，由×3×2﹣×3×x ＝3，解得x ＝0，∴P （0，3）； 当x ＞2时，由×6×2﹣×6×（﹣x +3）＝3，解得x ＝4，∴﹣x +3＝1，∴P （4，1），综上所述，点P 的坐标为（0，3）或（4，1）．专题三 一次函数与四边形综合1．如图，长方形AOBC 在直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，对角线AB 所在直线的函数关系式为：y=﹣x+4．（1）对角线AB 的垂直平分线MN 交x 轴于点M ，求线段AM 的长；（2）在（1）的条件下，若点P 是直线AB 上一个动点，当△PAM 的面积与长方形AOBC 的面积相等时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）对于y=﹣x+4，当y=0时，x=8，当x=0时，y=4，∴点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（8，0），即OA=4，OB=8，∵MN 是AB 的垂直平分线，∴MA=MB ，在Rt △AOM 中，OA 2+OM 2=AM 2，即42+（8﹣AM ）2=AM 2，解得，AM=5； （2）长方形AOBC 的面积=4×8=32，设点P 的纵坐标为y ，当点P 在第二象限时，×5×|y|﹣×5×4=32，解得，y=，当y=时，=﹣x+4 解得，x=﹣，当点P 在第四象限时，﹣×5×y+×5×4=32，解得，y=﹣，当y=﹣时，﹣=﹣x+4解得，x=，则点P 的坐标为（，﹣）或（﹣，）．2.（本题满分12分）材料阅读：小明偶然发现线段AB 的端点A 的坐标为（1 ，2），端点B 的坐标为（3 ，4），则线段AB 中点的坐标为（2 ，3），通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P ( x 1 ，y 1)、Q (x 2 ，y 2)为端点的线段中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x . 知识运用：如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为_________.能力拓展：在直角坐标系中，有A (−1 ，2)、B (3 ，1)、C (1 ，4)三点，另有一点D 与点A 、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标.2、（本题满分12分）运用： M(2，1.5). .........................2分拓展：如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设D点的坐标为(x，y)，∵以点A、 B、C、D构成的四边形是平行四边形，当AB为对角线时，∵A、B两点的坐标分别为A(−1，2)、B(3，1) ∴线段AB中点坐标为（1，1.5），又因C点坐标为C(1，4)，∴（x+1）/2=1，（y+4）/2=1.5 ∴x=1，y=-1 即D点坐标为(1，−1)， .....5分②同理当BC为对角线时，D点坐标为(5，3). .........................8分③当AC为对角线时，D点坐标为：(−3，5)， .........................11分综上所述，符合要求的点有：(1，−1)、（-3，5）、（5，3） .........................12分（亦可用平移或其它的知识解决）3．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．（1）求点B的坐标；（2）求EA的长度；（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝15，四边形OABC是矩形，∴OC＝AB＝15，∴C（0，15），代入y＝y＝﹣x+b得到b＝15，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+15，令y＝0，得到x＝9，∴A（9，0），B（9，15）．（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，∴CD＝＝12，∴OD＝15﹣12＝3，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，∴AE＝5．（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．∵E（4，0），∴E′（﹣4，0），设直线BE′的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BE′的解析式为y＝x+，∴P（0，）．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C的坐标；（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）设AB 直线的解析式为：y ＝kx +b ， 把（0，4）（3，0）代入可得：，解得：，所以一次函数的解析式为：y ＝﹣x +4；（2）如图，作CD ⊥y 轴于点D ．∵∠BAC ＝90°，∴∠OAB +∠CAD ＝90°，又∵∠CAD +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠BAO ． 在△ABO 与△CAD 中，∵，∴△ABO ≌△CAD （AAS ），∴OB ＝AD ＝3，OA ＝CD ＝4，OD ＝OA +AD ＝7．则C 的坐标是（4，7）．（3）如图2中，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接CB ′交x 轴于P ，此时PB +PC 的值最小． ∵B （3，0），C （4，7）∴B ′（﹣3，0），把（﹣3，0）（4，7）代入y ＝mx +n 中， 可得：，解得：，∴直线CB ′的解析式为y ＝x +3，令x ＝0，得到y ＝3，∴P （0，3）．5、在平面直角坐标系中，过点（4，6）的直线y =kx +3与y 轴相交于点A ，将直线向下平移52个单位，所得到的直线l 与y 轴相交于点B ．（1）求直线l 的表达式；（2）点C 位于第一象限且在直线l 上，点D 在直线y =kx +3，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求点C 的坐标．5.【答案】解：（1）将点（4，6）代入直线y =kx +3，可得k =34，∴y =34x +3， 将直线向下平移52个单位，得到直线l 的表达式：y =34x +12；（2）由题可得A （0，3），B （0，12），设C （t ，34t +12），当AB ∥CD 时，AB 2=BC 2，即t 2+(34t +12−12)2=(3−12)2，解得t 1=2，t 2=-2，又∵t ＞0，∴C （2，2）；当AB ，CD 为菱形的对角线时，AC 2=BC 2，∴t 2+(3−34t −12)2=t 2+(34t +12−12)2，解得t =53，∴C （53，74）．综上所述，点C 的坐标为（2，2）或（53，74）．6．（12分）如图，直线y=2x+m 与x 轴交于点A （﹣2，0），直线y=﹣x+n 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，并与直线y=2x+m 相交于点D ，若AB=4． （1）求点D 的坐标；（2）求出四边形AOCD 的面积；（3）若E 为x 轴上一点，且△ACE 为等腰三角形，写出点E 的坐标（直接写出答案）． 6．解：把A （﹣2，0）代入y=2x+m 得﹣4+m=0，解得m=4，∴y=﹣2x+4，设B （c ，0），∵AB=4，A （﹣2，0），∴|c+2|=4，∴c=2或c=﹣6，∴B 点坐标为（2，0）或（﹣6，0），Ⅰ、当B （2，0）时，（1）把B （2，0）代入y=﹣x+n 得﹣2+n=0，解得n=2，∴y=﹣x+2， 解方程组得，∴D 点坐标为（﹣，）；（2）当x=0时，y=﹣x+2=2，∴C 点坐标为（0，2），∴四边形AOCD 的面积=S △DAB ﹣S △COB =×4×﹣×2×2=；（3）设E （a ，0），∵A （﹣2，0），C （0，2），∴AC=2，AE=|a+2|，CE=，∵△ACE 是等腰三角形， ①当AE=AC 时，∴|a+2|=2，∴a=﹣2+2或a=﹣2﹣2，∴E （﹣2+2，0）或（﹣2﹣2，0）②当CE=CA 时，∴=2，∴a=2或a=﹣2（舍）∴E （2，0）， ③当EA=EC 时，∴|a+2|=，∴a=0，∴E （0，0），Ⅱ、当点B （﹣6，0）时，（1）把B （﹣6，0）代入y=﹣x+n 得6+n=0，解得n=﹣6，∴y=﹣x ﹣6， 解方程组，得，∴D 点坐标为（﹣5，﹣1）；（2）当x=0时，y=﹣x ﹣6=﹣6，∴C 点坐标为（0，﹣6）， ∴四边形AOCD 的面积=S △BOC ﹣S △ABD =×6×6﹣×4×1=16；（3）设E （b ，0）∵A （﹣2，0），C （0，﹣6），∴AC=2，AE=|b+2|，CE=①当AE=AC 时，∴|b+2|=2，∴b=﹣2+2或b=﹣2﹣2，∴E （﹣2+2，0）或（﹣2﹣2，0）②当CE=CA 时，∴=2，∴b=2或a=﹣2（舍）∴E （2，0）， ③当EA=EC 时，∴|b+2|=，∴b=8，∴E （8，0）， 综上所述，点E 的坐标为（2﹣2，0）、（﹣2﹣2，0）、（2，0）、（0，0），（﹣2+2，0）、（﹣2﹣2，0）、（8，0）．7．(10分)在平面直角坐标系中，过点C (1，3)、D (3，1)分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 、B. （1）求直线CD 和直线OD 的解析式．（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交直线CD 于点N ，是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中，设平移距离为2t ，△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 与t 的函数关系式．解：（1）设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧k ＋b ＝3，3k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线CD 的解析式为y ＝－x ＋4.设直线OD 的解析式为y ＝mx ，则有3m ＝1，解得m ＝13，∴直线OD 的解析式为y ＝13x .（2）存在．理由：如答图1中，设M (m ，13m )，则N (m ，－m ＋4)．当AC ＝MN 时，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，∴|－m ＋4－13m |＝3，解得m ＝34或214，∴满足条件的点M 的横坐标为34或214.答图1答图2（3）如答图2，设平移中的三角形为△A ′O ′C ′，点C ′在线段CD 上．设O ′C ′与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A ′C ′与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q . 因为平移距离为2t ，所以水平方向的平移距离为t (0≤t ＜2)， 则图中AF ＝t ，F (1＋t ，0)，Q (1＋t ，13＋13t )，C ′(1＋t ，3－t )．设直线O ′C ′的解析式为y ＝3x ＋b ，将C ′(1＋t ，3－t )代入得b ＝－4t ，∴直线O ′C ′的解析式为y ＝3x －4t . ∴E (43t ，0)．联立y ＝3x －4t 与y ＝13x ，解得x ＝32t ，∴P (32t ，12t )． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG ＝12t .∴S ＝S △OFQ －S △OEP ＝12OF ·FQ －12OE ·PG ＝12(1＋t )(13＋13t )－12·43t ·12t ＝－16(t －1)2＋13.8．（14分）已知：直线l ：y ＝2kx ﹣4k +3（k ≠0）恒过某一定点P ． （1）求该定点P 的坐标；（2）已知点A 、B 坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l 与线段AB 相交，求k 的取值范围；（3）在0≤x ≤2范围内，任取3个自变量x 1，x 2、x 3，它们对应的函数值分别为y 1、y 2、y 3，若以y 1、y 2、y 3为长度的3条线段能围成三角形，求k 的取值范围．【解答】解：（1）∵y ＝2kx ﹣4k +3＝2k （x ﹣2）+3，∴y ＝2kx ﹣4k +3（k ≠0）恒过某一定点P 的坐标为（2，3）， 即点P 的坐标为（2，3）；（2）∵点A 、B 坐标分别为（0，1）、（2，1），直线l 与线段AB 相交，直线l ：y ＝2kx ﹣4k +3（k ≠0）恒过某一定点P （2，3）， ∴，解得，k；（3）当k ＞0时，直线y ＝2kx ﹣4k +3中，y 随x 的增大而增大，∴当0≤x ≤2时，﹣4k +3≤y ≤3， ∵以y 1、y 2、y 3为长度的3条线段能围成三角形，∴，得k ＜，∴0＜k ＜；当k ＜0时，直线y ＝2kx ﹣4k +3中，y 随x 的增大而减小，∴当0≤x ≤2时，3≤y ≤﹣4k +3， ∵以y 1、y 2、y 3为长度的3条线段能围成三角形，∴3+3＞﹣4k +3，得k ＞﹣，∴﹣＜k ＜0，由上可得，﹣＜k ＜0或0＜k ＜．9．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 的坐标为(－3，－ 1)，将线段 AB 向右平移 m (m >0)个单位，点 A 、B 的对应点分别为点 A ′，B ′． （1）画出线段 AB ，当 m =4 时，点 B ′的坐标是 ； （2）如果点 B ′又在直线 2mx上，求此时 A ′、B ′两点的坐标 ； （3）在第（2）题的条件下，在坐标系中是否存在这样的点 P ，使得△A ′B ′P 是以 A ′B ′为腰的 等腰直角三角形？如果存在，直接写出点 P 的坐标；如果不存在，试说明理由．专题四动点问题1．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【解答】解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．2、已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=6厘米，∠B=60°，点P在边AD上以每秒2厘米的速度从D出发，向点A 运动；点Q在边AB上以每秒1厘米的速度从点B出发，向点A运动．已知P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另外一个点也随之停止运动，设两个点的运动时间为t秒，联结PC、QD．（1）如图1，若四边形BQDC的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式并写出函数定义域；（2）若PC与QE相交于点E，且∠PEQ=60°，求t的值．2.【答案】（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H，过点D作DF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABH中，∠B=60°，AB=6，可得：AH=3√3、DF=3√3，S四边形BQDC=S梯形ABCD-S ADQ=27√3-（8√3-32√3t）=18√3+32√3t（0＜t≤3）；答：求S关于t的函数解析式为S=18√3+32√3t（0＜t≤3）；（2）当且∠PEQ=60°时，可证△CDP≌△ADQ（AAS），∴PD=AQ，即：6-t=2t，t=2．答：t的值为2．3.（8分）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．3.解：（1）设AB=x，则BQ=x ∵∠BQD=30°，∠C=60°∴∠QPC=90°∴QC=2PC 即x+6=2(6-x)解得x=2 即AP=2 （2）证明：如图，过p点作PF∥BC，交AB于点F. ∵△ABC是等边三角形∴△APF是等边三角形∴∠PFA=60°， PF=AP ∴∠DBQ=∠DFP=60°， PF=BQ ∵∠BDQ=∠PDF，∴△D QB≅△DPF∴DQ=DP即点D是线段PQ的中点（3）解：运动过程中线段ED长不发生变化，定值为3.理由：如图，由（2）得△APF是等边三角形∵ PE⊥AF，∴EF=12AF 由（2）得△DQB≅△DPF ∴DF=DB，即DF=12BF ∴ED=FE+DF=12(AF+BF)=12AB=3专题五三角形1．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠B AC＝α，∠DCE＝β.（1）如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；（2）如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是______________ __．1．解：（1）α＋β＝180°理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，所以α＋β＝180°.（2）α＝β理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE. 又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE. 因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠ECD. 所以∠BAC＝∠ECD. 所以α＝β.（3）α＝β.画图略．2．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD ∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC ∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形3、如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC=8cm，现有两个动点E，P分别从点A和点B同时出发，其中点E以1cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点P以2cm/秒的速度沿射线BC运动．过点E作EF∥BC交AC于点F，连接EP，FP．设动点运动时间为t 秒（0＜t≤8）．（1）当点P在线段BC上运动时，t为何值，四边形PCFE是平行四边形？请说明理由；（2）设△EBP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）当点P在射线BC上运动时，是否存在某一时刻t，使点C在PF的中垂线上？若存在，请直接给出此时t的值（无需证明），若不存在，请说明理由．3.【答案】解：（1）如图1中，∵EF∥PC，∴当EF=PC时，四边形PCFE是平行四边形，∴t=8-2t，∴t=83．（2）如图2中，作EH⊥BC于H．在Rt△EBH中，∵BE=8-t，∠B=60°，∴EH=BE•sin60°=（8-t）•√32，∴y=12•BP•EH=12•2t•√32（8-t）=-√32t2+4√3t（0＜t≤8）．（3）如图3中，当点P在BC的延长线上时，PC=CF时，点C在PF的中垂线上．∴2t-8=8-t，∴t=163，∴t=163时，点C在PF的中垂线上．4．（10分）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD＝BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝BC．5、作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为．拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为．（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为．【解答】解：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ．∵∠BAC=∠BAD+∠DAC ，∠DAE=∠CAE+∠DAC ， ∴∠BAD=∠CAE ．∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ． ∴BD=CE ．∵BC=BD+CD ，∴BC=CE+CD ． 应用：在Rt △ABC 中，AB=AC=，∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，∵CD=1，∴BD=BC ﹣CD=1，由探究知，△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠DCE=90°， 在Rt △BCE 中，CD=1，CE=BD=1，根据勾股定理得，DE=，∴△DCE 的周长为CD+CE+DE=2+故答案为：2+拓展：（1）同探究的方法得，△ABD ≌△ACE ． ∴BD=CE ∴BC=CD ﹣BD=CD ﹣CE ，故答案为BC=CD ﹣CE ； （2）同探究的方法得，△ABD ≌△ACE ． ∴BD=CE ∴BC=BD ﹣CD=CE ﹣CD ，故答案为：BC=CE ﹣CD ．6.（14分）如图，在ABC △中，已知6AB AC ==，120BAC ∠=︒，63BC =，点D 是BC 边上的任意一动点，点B 与点'B 关于直线AD 对称，直线'AB 与直线BC 相交于点E ． （1）求BC 边上的高；（2）当BD 为何值时，△'ADB 与△ADC 重叠部分的面积最大，并求出最大值； （3）连接'BB ，当'BDB △为直角三角形时，求BAD ∠的度数．专题六 正方形1．如图（1），在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，分别以AB 、BC 为一边向外作正方形ABFG 、BCED ，连结AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ．（1）求证：△ABD ≌△FBC ；（2）如图（2），求证：AM 2+MF 2＝AF 2．【解答】解：（1）∵四边形ABFG 、BCED 是正方形，∴AB ＝FB ，CB ＝DB ，∠ABF ＝∠CBD ＝90°， ∴∠ABF +∠ABC ＝∠CBD +∠ABC ，即∠ABD ＝∠CBF ，ABCED B' 第25题图ABC备用图2A BC备用图1在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）∵△ABD≌△FBC，∴∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣（∠BFC+∠BNF）＝180°﹣90°＝90°，∴AM2+MF2＝AF2．2．(12分)（1）如图12，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC.（2）如图13，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为E，交CG于点N，连接DN，求∠NDC的度数．2．（1）略（2）成立，理由略．（3）∠NDC＝45°.3．（12分）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．（1）若m＝4，n＝3，直接写出点C与点D的坐标；（2）点C在直线y＝kx（k＞1且k为常数）上运动．①如图1，若k＝2，求直线OD的解析式；②如图2，连接AC、BD交于点E，连接OE，若OE＝2OA，求k的值．解：（1）∵OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，∴C（n，m+n），D（m+n，m），把m＝4，n＝3代入可得：C（3，7），D（7，4），（2）①设C（a，2a），由题意可得：，解得：m＝n＝a，∴D（2a，a），∴直线OD的解析式为：y＝x，②由B（0，n），D（m+n，m），可得：E（），OE＝2OA，∴，可得：（m+n）2＝16m2，∴m+n＝4m，n＝3n，∴C（3m，4m），∴直线OC的解析式为：y＝x，可得：k＝．4．(10分)某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连结CF.（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为__垂直__；②BC、CD、CF之间的数量关系为__BC＝CD＋CF__；(将结论直接写在横线上)（2）数学思考：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； （3）拓展延伸：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连结GE .若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．图1 图2 图3解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF .∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△FAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠B ＝∠ACF ，∴∠ACB ＋∠ACF ＝90°，即CF ⊥BC ；故答案为垂直；②∵△DAB ≌△FAC ，∴BD ＝CF . ∵BC ＝BD ＋CD ，∴BC ＝CF ＋CD ； 故答案为BC ＝CD ＋CF ；（2）结论①成立，②不成立．②应改为CD ＝BC ＋CF . ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∴∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△FAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF ，BD ＝CF ，∴CD ＝BC ＋BD ＝BC ＋CF .又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－∠ABC ＝135°， ∴∠ACF ＝135°，∴∠FCB ＝∠ACF －∠ACB ＝90°，∴BC ⊥CF .（3）如答图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N .答图∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12BC ＝2，∴DH ＝3，同（2）可证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5.∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°.∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN . ∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM .在△ADH 与△DEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADH ＝∠DE M ，∠AHD ＝∠D M E ，AD ＝DE ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3.∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝G N 2＋E N 2＝10.5．（12分）已知：如图，直线y ＝﹣x +6与坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上的一个动点，连接OC ，以OC 为边在它的左侧作正方形OCDE 连接BE 、CE ． （1）当点C 横坐标为4时，求点E 的坐标；（2）若点C 横坐标为t ，△BCE 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数解析式；。