陕西省龙凤培训学校九年级数学 暑假衔接班《第十讲 梯形》练习
8月5日九年级数学预科班(第一讲 梯形)
第一讲 梯形（第一课时）1、梯形的有关概念（1）什么样的四边形叫做梯形．与平行四边形有什么区别。
（2）有关线段：如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AE ⊥BC,上底：下底： ，腰： ，腰： ,高： ，对角线： 面积=（上、下底不是因为位置而定义，而是通过长短定义的）2、特殊的梯形（1）等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形。
（2）直角梯形：有一个角是 的梯形叫做直角梯形3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形 上的两个角 ，几何语言为： （2）等腰梯形的两条对角线 ，几何语言为： （3）等腰梯形是 图像，上下底的 的连线所在的直线是【探究归纳】等腰梯形性质： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等． ③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：平移腰 作高平移对角线 延腰 等积变形综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法是：□ 典题解析例1、如图所示，四边形ABCD 中，AB=CD,AC=BD,AD 不等于BC,试说明四边形ABCD 是等腰梯形例2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm ，BC=15cm ．求CD 的长．例3、已知，如图所示的等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长. 分析：本题可通过平移腰AC ，使得AD+BC 的值在同一直线上，再根据等腰三角形的三线合一来解决。
DCBAAD◆随堂检测1、等腰梯形的两腰，同一底上的两个角，对角线 .2、如图，在梯形ABCD中，∠B=50°，∠C=80°，则∠D= ，∠A .3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=2，BC=6，∠B=60°，则CD= .4、一等腰梯形的上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它的腰长为（）A.8cmB.9cmC.8.5cmD.7cm5、等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则其底角的度数为（）A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.75°或105°6、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC交AB于点E，梯形周长为30cm，CD=5cm，则△ADE的周长为多少？◆典例分析如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠DBC=45°，求梯形ABCD的面积.分析：已知梯形的上底和下底，要求梯形的面积，需要求出梯形的高，为此，可过上底的一个顶点作梯形的高，将梯形分成矩形和直角三角形.解：作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E、F.◆课下作业1、下列说法正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C.两组对角分别互补的四边形是等腰梯形D.等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴2、如果等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角是（ ） A.60° B.30° C.45° D.15°3、等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm ，一底边长为4cm ，则另一底边长为（ ） A.3cm B.2cm C.1cm D. 1cm 或7cm4、已知直角梯形的一条腰长为5cm ，这腰与底边成30°角，则这梯形另一腰的长为（ ） A.10cm B.5cm C.2.5cm D. 7.5cm5、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，AD=a ，CD=b ，则AB 等于（ ） A. 2b a +B. 2ab + C. a b + D. 2a b +6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，试说明CD=BC-AD.3、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ．第6题第二讲：梯形（第二课时）1、叫三角形中位线，三角形有条中位线，三角形中位线性质定理是.在前一节的学习中我们是怎样得到三角形中位线定理的？2、如图所示的三角架各横木之间互相平行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC. 若EF=40cm,则AD= cm. 想一想：你会求BC的长吗？【探究归纳】类比旧知，猜想新知1、定义类比联想：与三角形中位线类似，连接梯形两腰中点的线段叫，梯形有条中位线。
13 梯形 九年级数学培优辅导
九年级数学培优辅导(13)制卷人：朱武雄班级姓名一专题内容: 二次函数中的存在性——梯形存在性二专题分析梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四个点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而B不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的RT△；若是直角梯形,则需联结对角线或过上底的一顶点作下底的高构造RT△三考点技巧解梯形的存在性问题一般分三步:第一步分类,第二步画图,第三步计算.一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.四例题讲解针对训练1 已知直角坐标系中有一点A（﹣4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．（1）求满足条件的所有点B的坐标；（2）求过O，A，B三点且开口向下的最简答的抛物线的函数表达式（顶点式）（只需求出满足条件的一条即可）；（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标五学生练习1 如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣0.5，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由2已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2 。
暑假新初三数学衔接班(第6章图形的相似)检测卷(无答案)
暑假新初三数学衔接班（第6章图形的相似）检测卷（无答案）一．选择题(每题4分，共24分)1．以下说法：①恣意两个等腰三角形都相似；①恣意两个直角三角形都相似；①恣意两个等边三角形都相似；①恣意两个等腰直角三角形都相似，其中正确的选项是( )A．①① B．①① C．①① D．①①2.①ABC为直角三角形，①ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，D为垂足，①ABC①①ACD①①CBD，那么以上等式：①AC2＝AD·AB；①CD2＝AD·BD；①BC2＝BD·AB；①AC·CB＝BA·CD，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．P为线段AB的黄金联系点，且AP<PB，那么( )A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB24．线段AB，点P是它的黄金联系点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，那么S1与S2的关系是( )A．S1>S2B．S1<S2C．S1＝S2D．S1≥S25．以下说法正确的选项是( )A．两个等腰三角形一定是位似图形B．位似图形一定是相似的几何图形C．位似图形对应顶点的连线一定不在同不时线上D．位似图形一定是全等图形6．〔2021．武汉〕如图，线段AB两个端点的坐标区分为A〔6，6〕，B〔8，2〕，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB增加为原来的后失掉线段CD，那么端点C的坐标为〔〕A．〔3，3〕B．〔4，3〕C．〔3，1〕D．〔4，1〕二、填空题(每题4分，共16分)7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延伸线于点E，那么CE的长为8．在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．以下条件：①∠A＋∠B＝90°；②AB2＝AC2＋BC2；③AC CDAB BD=；④CD2＝AD·BD，其中能证明△ABC是直角三角形的有_______9．假设四边形ABCD的四条边长区分为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最短边长为15cm，那么这个四边形的最长边的长度为_______．10.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ 与BC交于点G，那么△EBG的周长是cm三、解答题(每题12分，共60分)11.如图，D、E区分是AC、AB上的点，①ADE①①ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．12．如图，在①ABC中，DE①BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3．求：(1)ADAB的值．(2) BC的长．13．如图，D是①ABC中BC边上的一点，E为AD边上的一点，假定①DAC＝①B，CD＝CE．试说明①ACE①①BAD．14．如图，在①ABC中，CE①AB于E，BF①AC于F，试说明：(1)①ABF①①ACE．(2)①AEF①①ACB．15．如图，AB BC ACAD DE AE==．试说明①BAD＝①CAE．。
特殊平行四边形验收卷-【暑假衔接】2021年新九年级数学暑假精品知识点(北师大版)(原卷版)
特殊平行四边形验收卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分2．如图，将三角尺ABC 沿边BC 所在直线平移后得到△DCE ，连接AD ，下列结论正确的是（ ）A ．AD ＝ABB ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AD ＝2ACD ．四边形ABCD 是菱形3．下列哪条性质是平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直．D ．对角线平分一组对角．4．矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，120AOD ∠=︒，5cm AB =，则矩形对角线长（ ） A ．2.5cm B ．10cm C ．5cm D ．25cm 5．如图，四边形ABCD 是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A 的坐标为（ ）A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(42,0)D ．(82,0)6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EO AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，若ABE △的周长为5，2AB =，则AD 的长为（ ）．A ．2B ．2.5C ．3D ．47．如图，在ABC 中，13,10,AB AC BC AE ===平分BAC ∠交BC 于点,E D 为AB 的中点，连结DE ，则ADE 的周长是（ ）A ．23B ．25C ．1369+D ．228．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，F 为边CD 的中点，E 为矩形ABCD 外一动点，且∠AEC ＝90°，则线段EF 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，正方形ABCD 在平面直用坐标系中．点A 的坐标为6,4，点B ，C 在x 轴上．将正方形ABCD 平移后，点O 成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD 的平移过程可能是（ ）A ．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度B ．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度C ．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度10．如图，在菱形ABCD 中，5AB =，6AC =，作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．185B ．245C ．4D ．48511．如图，在菱形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，过点E 作FH //AD ，GI //AB ，点F ，G ，H ，I 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上．若AC ＝a ，∠B ＝60°，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．23aB ．4aC ．25aD ．6a12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则四边形PECF 周长的最小值为（ ）A ．4B ．422+C ．8D ．442+二、填空题（每小题3分，共18分）13．菱形的对角线长分别为5cm 和12cm ，则菱形的周长是________cm ．14．如图，点B ，C 分别是锐角A ∠两边上的点，AB AC =，分别以点B ，C 为圆心，以AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接BD ，CD ．则四边形ABDC 是________．15．如图，在ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，分别以点A ，点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点O ，连接CO ，则CO 的长是_____．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．如图，以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB 在x 轴正半轴上，则点D 的坐标是_______．17．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠=︒，以AB 为边作正方形ABDE ，连接CE ，则AEC ∠=________．18．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）19．如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，BD 上，且DE ＝CF ，AF ，BE 相交于点G ，求证：BE ⊥AF ．20．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线．（1）请用直尺和圆规作AB 的垂直平分线EF ，垂足为点E ，交AD 于点F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BF ，若75CBD ∠=︒，求DBF ∠的度数．21．如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E F 、分别在AD 及其延长线上，//CE BF ，连结BE CF 、．（1）图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？（2）若AB AC =，其它条件不变，那么四边形BFCE 是菱形吗？为什么？22．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，过点A 作AF ∥BD ，过点B 作BF ∥AC ，两线相交于点F ．（1）求证：四边形AEBF 是菱形；（2）连接CF ，交BD 于点G ，若BD ⊥CF ，请直接写出∠AED 的度数为 度．23．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠．（1）重合部分是什么图形？请说明理由．（2）若AB＝4，BC＝8，求△BDF的面积．24．如图，BD 是正方形ABCD的对角线，BC=2, 边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.。
10三升四年级数学暑假讲义第10讲：平行四边形和梯形(含答案)
平行四边形和梯形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系。
认识平行线、垂线.理解平行与垂直的概念。
2.会用三角尺或量角器画垂线.会利用画垂线的方法准确地画出长方形。
3.理解平行四边形和梯形的含义.掌握平行四边形和梯形的特征。
4.理解平行四边形与长方形、正方形的关系.会用集合图表示它们的关系.体会集合思想；培养观察、比较、分析和抽象概括的能力。
5.会画平行四边形和梯形的高。
1.在同一个平面内不相交的两条直线叫做 .也可以说这两条直线 。
2.如果这两条直线相交成直角.就说这两条直线 .其中一条直线叫做另一条直线的 .这两条直线的交点叫做 。
3.从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线.这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的 .垂足所在的边叫做平行四边形的 。
底4.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短.它的长度叫做这点到直线的。
5.两组对边分别平行的四边形叫做。
6.只有一组对边平行的四边形叫做。
7.两腰相等的梯形叫做。
上底腰高下底8.有一个角是直角的梯形叫做。
9.10.用集合图表示四边形之间的关系。
11.四边形4个角的和都是。
参考答案：1.平行线、互相平行2.互相垂直、垂线、垂足3.高、底4.距离5.平行四边形6.梯形7.等腰梯形8.直角梯形9.长方形、正方形、平行四边形、梯形11.360°题目类型一：平行与垂直例题1.两条直线画得再长也不会相交的情况在数学上叫永不相交。
也就是说这两条永四边形（）（）（）（）不相交的直线叫做（）线。
也可以说这两条直线互相（）。
初三数学《几何的动点问题》专题练习及答案
动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中,10AB AC==厘米,8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD△与CQP△全等?（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇?2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发,同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒,OPQ△的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点,点P（0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心,3为半径作⊙P。
(1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；(2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4)，点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围）；（3)在（2）的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．B5在Rt△ABC中,∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从EQ点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ; （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成为直角梯形?若能，求t 的值．若不能，请说明理由； (4)当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图,在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°,2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转,交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为 ；②当α= 度时,四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ;(2）当90α=°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．7如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．O E CDA α lOCA（备用图）A D(1）求BC 的长．(2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3)试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；(2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ,设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由。
人教版 九年级上册 新初三暑假衔接课程 圆 第一、二课时 含习题和答案-教育文档
新初三暑假数学衔接导学案1.1 圆的有关概念问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 探究新知圆的定义：在一个平面内，一条线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。
圆心：固定的端点叫作圆心。
半径：线段OA 的长度叫作这个圆的半径。
圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”。
同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆。
问题3 观察下列图形，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A 、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB ”或“弧 AB ”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的弧ABC ； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的弧AB 。
应用新知B例1：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？分析：如图，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定。
例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；如果存在，指出这个圆的圆心和半径。
解：如图，连接AC 、BD 交与点O ，在矩形ABCD 中，∵OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD ，AC=BD ，∴OA=OB=OC=OD ，∴A 、B 、C 、D 者这四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上 。
暑假初二升初三数学衔接班精品教材北师大版
第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。
其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①②③④中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
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暑假衔接班《第十讲梯形》
【知识梳理】
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。
通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：
1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；
2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；
3、过底的顶点作另一底的垂线。
熟悉以下基本图形、基本结论：
【例题精讲】
中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【例题精讲】
【例1】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
（1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。
【巩固】如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝DC ，AD ＝2，BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ．
（1）写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；
（2）探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．
【例2】已知：如图，在梯形ABCD 中， AB ∥CD ，∠A ＝60°，AD ＝BC ＝DC 求证：2AB CD .
F E
D
C
B
A
F E N
M D
B A
D
C
B
A
【巩固】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，若AD ＝a ，AB ＝b ，则CD 的长是___________。
【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， E 、F 分别是AD 、BC 的中点，若∠B ＋∠C ＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ．
【例4】已知：如图，在梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AC ＝BD . 求证：梯形ABCD 是等腰梯形.
D C
B
A
【例5】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，且AE ⊥BE. 求证：AD ＋BC ＝AB
【巩固】如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，且AD ＋BC ＝AB 求证：DE ⊥AE 。
【例6】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 、BE 分别平分∠C 和∠B ，E 为AD 的中点。
求证：AB ＋DC ＝BC ．
D
C A
E
E
A
B
C
D
D C B
A
E。