相似三角形复习
相似三角形性质和判定复习
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD ∙=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
相似三角形复习
相似三角形复习关键信息项：1、相似三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质：＿___________________________2、相似三角形的判定方法方法：＿___________________________示例：＿___________________________3、相似三角形的应用应用场景：＿___________________________解题思路：＿___________________________11 相似三角形的定义相似三角形是指三角分别相等，三边成比例的两个三角形。
两个三角形相似用符号“∽”表示。
111 相似比相似三角形对应边的比称为相似比。
相似比为 1 时，两个三角形全等。
112 相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
12 相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
121 直角三角形相似的判定1、一个锐角相等的两个直角三角形相似。
2、两条直角边成比例的两个直角三角形相似。
3、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
122 判定方法示例例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC ∽三角形 A'B'C'。
又比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C' 且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
13 相似三角形的应用131 应用场景1、测量物体的高度，如测量旗杆、大树等的高度。
相似三角形的复习
.D
B E
.D
B E C
C
A
6.如图，DE∥BC，D是AB的中点， DC、BE相交于点G。
求
D
E
DE ⑴ BC =1:2
G
B C
S GED ⑵ =1:4 S GBC
7、已知：如图在这两个直角三角形中， ∠ACB ＝∠ADC＝ 90°，∠1＝∠B, AC= 4 ,CD=2. 则AB的长为 。
A
P
P
5、如图 ABCD ,E为DC边上的一点， 连接AE并延长交BC的延长线于F，在这个 图形中，有几对相似三角形？若CF:CB＝ 1:2, S⊿CEF＝4，求S⊿AED 和S再见！！
C C Q B A
P
A
P
Q M2 B
M1
（6.已知如图AB DB于B点，CD DB于D点，AB=6， CD=4，BD=14，问：在DB上是否存在P点，使以C，D， P为顶点的三角形与以P，B，A为顶点的三角形相似？ 如果存在，请算出P点的位置；若不存在，请说明理由？
A C
D
B
8.如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点 Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得 △PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说 明理由；若存在，请求出PQ的长。
A
D O B
E
C
2、下列命题： ①所有的等腰三角形都相似。 ②所有的等边三角形都相似； ③所有的等腰直角三角形都相似； ④所有的直角三角形都相似。 ⑤有一个钝角相等的两等腰三角形相似 ⑥有一个(锐)角相等的两等腰三角形相似 其中是真命题的有 。
3.AD、BC相交于点O，添加一个条件， 使△AOB∽ △ DOC
相似三角形复习课件
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形判定复习
一.填空选择题: 填空选择题: 1.(1)△ ABC中,D、 分别是AB AC上的点 AB、 上的点， 1.(1)△ ABC中,D、E分别是AB、AC上的点，且 B，那么△ ABC， ∠AED=∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD (AC)
=
DE BC
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D， ABC中 AB的中点为 的中点为E AC的中点为 的中点为D 连结ED ED， AED与 ABC的相似比为 连结ED， 则△ AED与△ ABC的相似比为 A 1:2 A ______.
A1 A
B
C
B1
C1
对于直角三角相似的判定除了上述三种方法外， 对于直角三角相似的判定除了上述三种方法外， 还有什么定理？ 还有什么定理？ 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条 直角三角形 直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例， 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
相似三角形的判定的复习
我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？ 我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？ • 定理1：对应角相等两三角形相似 定理1 • 定理2：两边对应成比例且夹角相等， 定理2 两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似 • 定理3：三边对应成比例，两三角形相 定理3 三边对应成比例， 似
2、如图，已知BC∥B'C'，AC∥A'C' 如图，已知BC∥B'C'， BC∥B'C' 求证： ABC∽△ 求证：△ABC∽△A'B'C' A A’ ’ O 2 1 4 C’ 3 C ’ B’ ’ B
∴△ABC∽△A’B’C’ ∽ ’ ’ ’ 证明： 证明：∵BC∥B’C’ ∥ ’ ’ ∴∠3＝ ∴∠ ＝∠4， ， B’C’/BC ＝ ’ ’ OC’/OC ’ ∵AC∥A’C’ ∥ ’ ’ ∴∠1＝ ∴∠ ＝∠2 OC’ ∴ A’C’/AC ＝ ’ ’ ’ ∴∠ACB＝∠A’C’B’ ∴∠ ＝ ’ ’ ’ ’ B’C’/BC A’ ’ ’ ＝
相似三角形复习
相似三角形【基础知识回顾】1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
2、相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。
相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3、相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4、相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
考点一：相似三角形的判定1、下列各组三角形一定相似的是（ ） A ．两个直角三角形 B ．两个钝角三角形 C ．两个等腰三角形 D ．两个等边三角形2、已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB 、CD 交于O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似3、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC. D ．考点二：相似三角形的性质1、如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____ 。
2、两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为_________。
3、顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形，的(1)ABCD O4 3 6 8 (2)AB CBBDCD =AD ABAB AC=周长比等于______，面积比等于_________。
第二十四章-相似三角形-复习ppt课件
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定 性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形 叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2） 以连接后的这两个向量为邻边向量 构造平行四边形
（3） 这个平行四边形的对角线向量就是 这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则 加法： 一终二起，一起二终 减法： 共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果 （b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质 方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形的复习
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等； 、相似三角形的对应角相等； 2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、 、相似三角形的对应线段（ 中线、 角平分线）成比例，且等于相似比； 角平分线）成比例，且等于相似比； 3、相似三角形的周长比等于相似比； 、相似三角形的周长比等于相似比； 4、相似三角形的面积比=（相似比）2 、相似三角形的面积比 （相似比） 5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直 、 角三角形和原三角形相似。 角三角形和原三角形相似。
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， ；（2）请找出S 之间的关系式， 由；（ ）请找出 △ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并 给出证明。 给出证明。 A A E C E C
B
F
D
B
F
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤： 三角形相似证线段成比例的一般步骤： 证线段成比例的一般步骤 1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 、 角形； 角形； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 3、如这两个三角形不相似，则采用其它办 、如这两个三角形不相似， 中间比代换等 如找中间比代换等）； 法（如找中间比代换等）； （注意：当无法用三角形相似来证明线段成 注意： 比例时，可试着用引平行线的方法。） 引平行线的方法 比例时，可试着用引平行线的方法。）
F
1、如图 ABCD中，G是BC延长线上的一点， 、 延长线上的一点， 中 是 延长线上的一点 AG与BD交于点 ，与DC交于 点，则图中相似的 与 交于点E， 交于F点 交于点 交于 三角形共有（ 三角形共有（D ）对。 A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形复习
【复习目标】
①回忆三角形相似的概念，巩固两个三角形相似的性质与判定。
②归纳总结相似三角形的基本模型.会解几类常见的题型。
③通过动脑想动笔写解决问题,加深对三角形相似的理解，积累解题经验。
【复习重点】三角形相似的定义、性质以及三个判定定理。
【复习难点】掌握解题方法，适当构造辅助线，熟练运用三个判定定理。
专题一：热身训练
1、如图, AB与CD相交于点P, ∠A=∠D, 若PA＝3, PB=4,
PC=2, 则PD=____
2、如图，在⊿ABC中，D为AC边上一点∠DBC= ∠A，
BC= ，AC=3，则CD的长为____
3、已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB
于D点，则__________∽___________∽
___________。
4、如图，已知CA=8,CB=6，AB=5，
CD=4，点E是BC上一点。
(1)若CE= 3，则DE=____。
(2)若CE= ，则DE=____。
小结：相似三角形中的基本图形
6
3
16
D
A
B
C
P
A
D
C
B
A B
C
D
A
B C
D
A
B C
D
E
A
B C
D
A
O
C
B
A
B C
D E
A C
O
专题二：探索题型
已知：如图，△ABC 中，P 是AB 边上的一点，连结CP 。
满足什么条件时△ ACP ∽△ABC ．
【跟踪训练】将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的
样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相
似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一一写出来.
专题三：典型例题解析
1、如图，在三角形ABC 中，BC=60 cm AD=40 cm ，四边形PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）求正方形PQRS 的边长.
2、已知：EF ∥AB,∠ADE=∠C 。
求证：△ ADE ∽△ECF
A
P B
C
1
2
4
A
B
D
E
G
F
１ 2 A
B
C
F
D
E
【变式训练】如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE ：EC=2：3，
S △ABC=25，求四边形BDEF 的面积？
【拓展延伸】如图，已知在△ABC 中，D 是AB 上
一点，F 是BC 的延长上一点，连结DF 交AC 于点E ，且AD=CF
求证：BF ∶BD=AE ∶CE
A
B
C
D
E
F
F
E
C
D
B A
达标检测
1、如图，△ADE ∽ △ACB ，则DE:BC=_____ 。
2、已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm ， 则三角形乙的最短边为______cm.
3、如图，D 是△ABC 一边BC 上一点，连接AD ，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. 2AB =CD ·BC
D. 2AB =BD ·BC
4、已知：△ABC 中，AC=9，BC=6，问：边AC 上是否
存在一点D ，使△ABC ∽△BDC ？如果存在，请算出CD 的长度？
5、如图，DE ∥BC ，D 是AB 的中点，DC 、BE 相交于点G 。
求
D
A
C
B BC
DE
)
1(GBC GED
S S
∆∆)2
(。