河南省中考数学一轮复习课时训练：第四章 第四节 相似三角形

第四节 相似三角形基础分点练(建议用时:45分钟) 考点1 比例的性质1.[2019四川巴中地区模拟]如果x ∶y=3∶5,那么x ∶(x+y )= ( )A.35B.38C.25D.582.[2018四川成都]已知a 6=b 5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .考点2 平行线分线段成比例3.[2020南阳宛城区一模]如图,顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等),点A ,B ,C ,D ,O 都在横格线上,且线段AD ,BC 交于点O.若线段AB= 4 cm,则线段CD 的长为( )A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm(第3题) (第4题)4.[2018浙江舟山]如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 交l 1,l 2,l 3于点A ,B ,C ;直线DF 交l 1,l 2,l 3于点D ,E ,F ,已知AB AC =13,则EFDE= .考点3 相似三角形的判定与性质5.[2020福建]如图,面积为1的等边三角形ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,则△DEF 的面积是 ( )A.1B.12 C.13 D.14(第5题) (第6题)6.[2019黑龙江哈尔滨]如图,在▱ABCD 中,点E 在对角线BD 上,EM ∥AD ,交AB 于点M ,EN ∥AB ,交AD 于点N ,则下列式子一定正确的是 ( )A.AM BM =NEDE B.AM AB =ANAD C.BC ME =BEBD D.BD BE =BCME7.[2019湖南常德]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是( ) A.20 B.22 C.24 D.26(第7题)(第8题)8.[2020湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2√3,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为( )A.3√34B.3√38C.√34D.√389.[2020洛阳一模]如图,在等边三角形ABC中,AB=12,P,Q分别是边BC,AC上的点,且∠APQ=60°,PC=8,则QC的长是.(第9题)(第10题)10.[2020山东临沂]如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点.若AC=6,则DH=.11.[2020浙江杭州]如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽△EFC.(2)设AFFC =1 2 .①若BC=12,求线段BE的长.②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.⏜的中点, 12.如图,AB是半圆O的直径,点D是半圆O上不与点A,B重合的任意一点,点C是BD过点C作☉O的切线,延长AD交该切线于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点F,已知AB=10.(1)求证:AC2=AB·AE.(2)填空:①连接BC,当AD=时,△BCF是含30°角的直角三角形;②当AD=6时,BF=.考点4相似三角形的应用13.[2020浙江绍兴]如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2∶5,且三角板的一边长为 8 cm,则投影三角板的对应边长为( )A.20 cmB.10 cmC.8 cmD.3.2 cm14.[2019江苏连云港]在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”落在下列哪个位置处时,能使以“马”“车”“炮”所在位置的格点为顶点的三角形与以“帅”“相”“兵”所在位置的格点为顶点的三角形相似?( )A.①处B.②处C.③处D.④处15.[2019江苏苏州]如图,一块含有45°角的直角三角板,外框的一条直角边长为8 cm,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为√2 cm,则图中阴影部分的面积为cm2(结果保留根号).考点5位似16.[2019湖南邵阳]如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是( )A.△ABC∽△A'B'C'B.点C,O,C'三点在同一直线上C.AO∶AA'=1∶2D.AB∥A'B'17.[2020河北]在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( )A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR18.[2019山东烟台]如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点坐标分别为A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,1),△ABO 与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形,则点P的坐标为.综合提升练(建议用时:30分钟)1.[2019四川凉山州]如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,点O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,则BE∶EC=( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶32.[2020黑龙江哈尔滨]如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( )A.AEEC =EFCDB.EFCD=EGABC.AFFD =BGGCD.CGBC=AFAD(第2题)(第3题)3.[2020浙江温州]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为( ) A.14 B.15C.8√3D.6√54.[2019焦作二模]如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点D的坐标为(x<0)的图象经过点D,若AC的延长线交y轴于点E,连(-2,6),点B是动点,反比例函数y=kx接BE,则△BCE的面积为( ) A.6 B.5 C.3 D.7(第4题)(第5题)5.[2020江苏苏州]如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-4,0),(0,4),点C(3,n)在第一象限内,连接AC,BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n=.,点P在AD边上,M为ED的中6.如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB边上一点,tan∠ADE=34点,射线PM⊥DE,若点N在射线PM上(不与点P重合),且△EMN与△AED相似,则PN的长为.7.[2019湖北荆门]如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上点A处放一面镜子,向后退到点B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E点;再将镜子放到点C处,然后后退到点D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点(点O,A,B,C,D在同一条水平线上,镜子可看成一个点).测得AC=2 m,BD=2.1 m,小明的眼睛距地面的高度FB,GD为1.6 m,试确定楼的高度OE.8.[2019洛阳五校联考]图(1)图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一.小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究.如图(1),已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,点D,E分别在线段AB,AC 上,且∠C=∠AED=90°.(1)观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BD,CE,如图(2),当BD的延长线恰好经过点E时,①BD的值为;CE②∠BEC的度数为°.(2)类比探究如图(3),小芳在小华的基础上,继续旋转△ADE,连接BD,CE,设BD的延长线交CE于点F,请求的值及∠BFC的度数,并说明理由.出BDCE(3)拓展延伸若AE=DE=√2,AC=BC=√10,当CE所在的直线垂直于AD时,请你直接写出BD的长.图(2)图(3)备用图全国视野创新练1.[2020上海]《九章算术》中记载了一种测量井深的方法,如图所示,在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ,从木杆的顶端D 观察井水水面C 处,视线DC 与井口的直径AB 交于点E ,如果测得AB=1.6米, BD=1米, BE=0.2米,那么井深AC 为 米.2.[2020江苏南京]如图,在△ABC 和△A'B'C'中,点D ,D'分别是AB ,A'B'上的一点,AD AB =A'D'A'B'.(1)当CD C'D'=AC A'C'=ABA'B'时,求证△ABC ∽△A'B'C'.证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.(2)当CD C'D'=AC A'C'=BCB'C'时,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由.答案第四节 相似三角形基础分点练(建议用时:45分钟) 考点1 比例的性质1.[2019四川巴中地区模拟]如果x ∶y=3∶5,那么x ∶(x+y )= ( B )A.35B.38C.25D.582.[2018四川成都]已知a 6=b 5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 12 .考点2 平行线分线段成比例3.[2020南阳宛城区一模]如图,顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等),点A ,B ,C ,D ,O 都在横格线上,且线段AD ,BC 交于点O.若线段AB= 4 cm,则线段CD 的长为( C )A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm(第3题) (第4题)4.[2018浙江舟山]如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 交l 1,l 2,l 3于点A ,B ,C ;直线DF 交l 1,l 2,l 3于点D ,E ,F ,已知AB AC =13,则EFDE= 2 .考点3 相似三角形的判定与性质5.[2020福建]如图,面积为1的等边三角形ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,则△DEF 的面积是 ( D )A.1B.12 C.13 D.14(第5题) (第6题)6.[2019黑龙江哈尔滨]如图,在▱ABCD 中,点E 在对角线BD 上,EM ∥AD ,交AB 于点M ,EN ∥AB ,交AD 于点N ,则下列式子一定正确的是 ( D )A.AM BM =NEDE B.AM AB =ANADC.BCME =BEBDD.BDBE=BCME7.[2019湖南常德]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是( D ) A.20 B.22 C.24 D.26(第7题)(第8题)8.[2020湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2√3,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为( B )A.3√34B.3√38C.√34D.√389.[2020洛阳一模]如图,在等边三角形ABC中,AB=12,P,Q分别是边BC,AC上的点,且∠APQ=60°,PC=8,则QC的长是83.(第9题)(第10题)10.[2020山东临沂]如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点.若AC=6,则DH=1.11.[2020浙江杭州]如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽△EFC.(2)设AFFC =1 2 .①若BC=12,求线段BE的长.②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.(1)证明:因为DE∥AC,所以∠BED=∠C.因为EF∥AB,所以∠B=∠FEC,所以△BDE∽△EFC.(2)①因为EF∥AB,所以BEEC =AFFC=12.又因为BC=12,所以BE12−BE =1 2 ,所以BE=4.②因为EF∥AB,所以△EFC∽△BAC.因为AFFC =1 2 ,所以CFAC =2 3 .设△EFC的面积为S1,△ABC的面积为S,则S1S =49.又因为S1=20,所以S=45,所以△ABC的面积是45.12.如图,AB是半圆O的直径,点D是半圆O上不与点A,B重合的任意一点,点C是BD⏜的中点,过点C作☉O的切线,延长AD交该切线于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点F,已知AB=10.(1)求证:AC2=AB·AE.(2)填空:①连接BC,当AD=5时,△BCF是含30°角的直角三角形;②当AD=6时,BF=5.(1)证明:如图(1),连接OC,BC.图(1)∵CE是☉O的切线,∴OC⊥EC.∵点C是BD⏜的中点,∴BC⏜=CD⏜,∴∠BAC=∠EAC.∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠EAC=∠ACO,∴AE∥OC,∴AE⊥EC,∴∠AEC=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴△ACE∽△ABC,∴ACAB =AE AC,∴AC2=AB·AE.(2)①5②5解法提示:①连接OC,OD,∵BF是☉O的切线,∴∠ABF=90°.∵△BCF是含30°角的直角三角形,∠F>45°,∴∠CBF=30°,∴∠ABC=60°,∴∠CAB=30°,∴∠DAO=60°.又OA=OD,∴△OAD是等边三角形,∴AD=OA=12AB=5.②如图(2),连接OC,BD交于点G,则∠ADB=90°,∴BD=√102-62=8,∠EDG=90°.图(2)由(1)知∠E=90°,∠OCE=90°,∴四边形EDGC 是矩形. ∵AO=BO ,AE ∥OC , ∴OG 为△ABD 的中位线, ∴BG=GD=12BD=4,OG=12AD=3,∴DE=CG=5-3=2,EC=DG=4,∴AE=AD+DE=8.在△AEC 和△ABF 中,∠EAC=∠BAF ,∠E=∠ABF=90°,∴△AEC ∽△ABF ,∴AE AB =EC BF ,即810=4BF , ∴BF=5.考点4 相似三角形的应用13.[2020浙江绍兴]如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2∶5,且三角板的一边长为 8 cm,则投影三角板的对应边长为( A )A.20 cmB.10 cmC.8 cmD.3.2 cm14.[2019江苏连云港]在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”落在下列哪个位置处时,能使以“马”“车”“炮”所在位置的格点为顶点的三角形与以“帅”“相”“兵”所在位置的格点为顶点的三角形相似?( B )A.①处B.②处C.③处D.④处15.[2019江苏苏州]如图,一块含有45°角的直角三角板,外框的一条直角边长为8 cm,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为√2 cm,则图中阴影部分的面积为(10+12√2)cm2(结果保留根号).考点5位似16.[2019湖南邵阳]如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是( C )A.△ABC∽△A'B'C'B.点C,O,C'三点在同一直线上C.AO∶AA'=1∶2D.AB∥A'B'17.[2020河北]在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( A )A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR18.[2019山东烟台]如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点坐标分别为A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,1),△ABO 与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形,则点P的坐标为(-5,-1).综合提升练(建议用时:30分钟)1.[2019四川凉山州]如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,点O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,则BE∶EC=( B )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶32.[2020黑龙江哈尔滨]如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( C )A.AEEC =EFCDB.EFCD=EGABC.AFFD =BGGCD.CGBC=AFAD(第2题)(第3题)3.[2020浙江温州]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为( A ) A.14 B.15C.8√3D.6√54.[2019焦作二模]如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点D的坐标为(x<0)的图象经过点D,若AC的延长线交y轴于点E,连(-2,6),点B是动点,反比例函数y=kx接BE,则△BCE的面积为( A ) A.6 B.5 C.3 D.7(第4题)(第5题)5.[2020江苏苏州]如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-4,0),(0,4),点C(3,n).在第一象限内,连接AC,BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n=145,点P在AD边上,M为ED的中6.如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB边上一点,tan∠ADE=34点,射线PM⊥DE,若点N在射线PM上(不与点P重合),且△EMN与△AED相似,则PN的长为154 .或125247.[2019湖北荆门]如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上点A处放一面镜子,向后退到点B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E点;再将镜子放到点C处,然后后退到点D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点(点O,A,B,C,D在同一条水平线上,镜子可看成一个点).测得AC=2 m,BD=2.1 m,小明的眼睛距地面的高度FB,GD为1.6 m,试确定楼的高度OE.解:如图,设点E关于直线OD的对称点为点M,易得GC,FA的延长线相交于点M,连接GF并延长,交OE于点H.易知GH ∥OD ,OH=GD ,GF=DB. 易得△MAC ∽△MFG ,△MOA ∽△MHF ,∴AC FG =MA MF =MOMH ,∴AC BD =OEMH =OEMO+OH =OEOE+BF , ∴22.1=OEOE+1.6, ∴OE=32.答:楼的高度OE 为32 m .8.[2019洛阳五校联考]图(1)图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一.小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究.如图(1),已知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,点D ,E 分别在线段AB ,AC 上,且∠C=∠AED=90°. (1)观察猜想小华将△ADE 绕点A 逆时针旋转,连接BD ,CE ,如图(2),当BD 的延长线恰好经过点E 时,①BDCE 的值为 √2 ;②∠BEC的度数为45°.(2)类比探究如图(3),小芳在小华的基础上,继续旋转△ADE,连接BD,CE,设BD的延长线交CE于点F,请求出BDCE的值及∠BFC的度数,并说明理由.(3)拓展延伸若AE=DE=√2,AC=BC=√10,当CE所在的直线垂直于AD时,请你直接写出BD的长.图(2)图(3)备用图解:(1)①√2②45解法提示:①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴ADAE =√2,ABAC=√2,∠DAE=∠BAC=45°,∴AD AE =ABAC,∠EAC=∠DAB,∴△AEC∽△ADB,∴BDCE=ADAE=√2.②∵△AEC∽△ADB,∴∠ADB=∠AEC.∵∠ADB是△AED的外角,∴∠ADB=∠AED+∠EAD=90°+45°=135°,∴∠AEC=135°.又∵∠AED=90°,∴∠BEC=∠AEC-∠AED=45°.(2)BDCE=√2,∠BFC=45°.理由:∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴ADAE =√2,ABAC=√2,∠DAE=∠BAC=45°,∴ADAE =ABAC=√2,∠EAC=∠DAB,∴△AEC∽△ADB,∴BDCE =ADAE=√2,∠ABD=∠ACE.设AC与BF相交于点G,则∠FGC=∠AGB,∴∠BFC=∠BAC=45°.(3)4√2或2√2.解法提示:设垂足为点H,分两种情况讨论.①如图(1),当点H在线段CE上时,AH=EH=√22AE=1.在Rt △ACH 中,CH=√AC 2-AH 2=√(√10)2-12=3,∴CE=EH+CH=4, ∴BD=√2CE=4√2.图(1) 图(2) ②如图(2),当点H 在线段CE 的延长线上时,AH=EH=1.在Rt △ACH 中,CH=√AC 2-AH 2=√(√10)2-12=3,∴CE=CH-EH=2, ∴BD=√2CE=2√2.综上所述,BD 的长为4√2或2√2. 全国视野创新练 1.[2020上海]《九章算术》中记载了一种测量井深的方法,如图所示,在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ,从木杆的顶端D 观察井水水面C 处,视线DC 与井口的直径AB 交于点E ,如果测得AB=1.6米, BD=1米, BE=0.2米,那么井深AC 为 7 米.2.[2020江苏南京]如图,在△ABC 和△A'B'C'中,点D ,D'分别是AB ,A'B'上的一点,AD AB =A'D'A'B'.(1)当CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'时,求证△ABC ∽△A'B'C'.证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.(2)当CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'时,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. 解:(1)CD C'D'=AC A'C'=ADA'D'∠A=∠A' (2)相似.理由:如图,分别过点D ,D'作DE ∥BC ,D'E'∥B'C',DE 交AC 于点E ,D'E'交A'C'于点E'.∵DE ∥BC , ∴△ADE ∽△ABC , ∴AD AB =DE BC =AEAC .同理A'D'A'B'=D'E'B'C'=A'E'A'C'. 又AD AB =A'D'A'B',∴DE BC =D'E'B'C',AE AC =A'E'A'C', ∴DED'E'=BCB'C',AC -AE AC =A'C'-A'E'A'C',∴EC AC =E'C'A'C', ∴ECE'C'=ACA'C'.又CD C'D'=AC A'C'=BC B'C', ∴CD C'D'=EC E'C'=DE D'E',∴△DCE ∽△D'C'E', ∴∠CED=∠C'E'D'.∵DE ∥BC ,∴∠CED+∠ACB=180°.同理∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°, ∴∠ACB=∠A'C'B'.又AC A'C'=BC B'C', ∴△ABC ∽△A'B'C'.。