概率论及数理统计公式整理完整精华版
第1章随机事件及其様率
第二章II机变量及其分布
x>0
x<0
x>0
x<0o
若X 〜N 出■氓的分布函数为
F(x) =「一 f e
J2/ZET
oo
指数分布
fM =
0.
正态分布
r
2°
-X
Pg <X <x 2) = ^
F(x)= 记住Rftaa ：
[x n e^x dx = n\
分布函数为
1 * £ =—卜2力。
/⑴具有如下性质：
其中久>°,则称随机变量X服从参数为乂的指数分布。
X的分布因数为
(6)分位数
下分位表：P(X < jLi a )= a ;
上分位表：P{X>p a)=a0
(7)函數分布离散型
已SIX的分布列为
X X2,…,劝,・・
P(X =〉
y = g(x)
Y
仃)/儿/?2,…，m…’
的分布列(” =g(旺)互不«|等)如下：g(R), g(Q),…，
g(X”)，•…
P(u 若有杲
些g
9
(屏馆等，他应将廿/ft p' ttl加作为g3)的闵率。
连续型
先利用X的欄率密度fx(x)耳出Y的分布函数Fr(y) = P(g(X)wy), 再
利用变上下限枳分的求导公直求岀fY(y)。
第三章二维葩机变量员其分布
如果二维师机向量纟(X, Y )的所有可能取値力至务可列个有序对(x,y),则称纟力离股型葩机量。
设<=(X, Y)的所有可能职值为3，儿)(心=1,2,…), 且事件{§ = (旺，兀)}的闵率为必,称
P{(X, Y)=(兀，儿)}=卩沁J = 1,2,…)
为疔=(X, Y )的分布偉或林为X和Y的曲合分布律。
联合分
离歆里
分布
若XM …)UXmwXnia 互独立，h,g 为连续函数,M ： h (Xi, &…Xm)
ff 0 ()Ul,…Xn)相互独立。
特例:若X 与丫詼立,M ： h (X )和g (Y )独立。
MA ：若X 与丫独立,剧:3X+1和5Y-2决立。
其他
其中SoHESD 的面SL 则称(X, Y)服JAD 上的均匀分布，记为(X, Y) ~ u (D)o
(8)二维 均
匀分布 设
IS HI 向量(X, Y)的分布密度因数为 S D
（兀）0 e D
c
图 3.3
砸HI 变量的 函数
o,
可以证明因数
T 亠
y/Y7n
n+l
— (―oo<r < -HX >).
我们称HJI 变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T~t （n ）。
心5）= 一仙）
设X~/2（q ）』~/2（®）,且X 与Y 微立，可以证明
变量F 服从第一个自由度为山，第二f 自由度为巳 的F 分布，记为
F~f （九的）・ Fg （®』2）=
第四章随机变量的数字特征
(1)
离散型 连续世
t 分布
设X, Y 是两个柑互独立的葩机变量，目
F = U!L 的凱率密度因数力
Y In,
F 分布
r + — n
第五章大数定律利中心根限定理
段师机变量)C, X“…柑互独立，均具有有限方差，目被同一 常ac w 界:D(X)<C(i=1,2,-),B 对于任意的正数■有
lim P
HT8
特殊赁形:若Xi, X"…具有相同的数学期1E(X I ) = M , 则上式成为
设卩是n 次狼立试騎中事件A 发生的«a, p 是事件A 在 每次试验屮发生的枫率，呱对干任意的正数.有
阳勢利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生
的頻率与钦率有殺大列别的可能ftffl/K, gp
迪就以严格的数学形直描述了頻率的稳定性。
辛找大设人，X2,…，Xn,…是相互独立同分布的两机变量序列，目 数定律E(Xn)=M , 1对于任恿的正数W 有
乞Xk-np
y _妇1
的分布函数斤(力对任恿的实数儿有
此定卑也林为敢立同分布的中0极限定理。
lim F n (x) = lim P<
Hf8
"TOO
工X 上一1屮
-
<x
Vncr
e 2 dt.
(1)大数定律
切比雪 ffl 勞利 大
lim P
p >£ =0.
(2)中。
极限定 理
—
(72
X-Ng ——) n
林徳ffi 松定理
设隨《1变量x(, X 2, -ffl 互怏立，服从同_分布，且具有
柏 冋的 数学期里相方差： E(X k ) = ^D(X k ) = a 2 H0伙= 1,2,…)，哪闻也变量
夫大敛 1 n 〃
-工 E —》E(XJ
lim P
P
lim ?|-»X
第兀章样本及抽样分布
其中t(n-1)表示自由度为n・1的t分®
第七章参数估it
设Sttx 的分布中包含有未知数q,©，…&〃「则貝分布函数可以表成 F(x ；q,&2,…&,”)•它的k 阶原点矩冬=E(X") (k = 1,2，…，加)中也 包含了未知参
数…,血，即v, =*(G ，E ，…，盅)o Q 设 册，七，…，心为总体X 的n 个样本值,其样本的k 阶原点矩为
1川
-Vx-伙=12・“)・
逹样，我0】按照“当参数等干MI5H 量时，忠U 矩等于松应的样本拒” 的原则建立方程，01有
■
A A
人 ]“
儿(G ，&2,…厲)=一2＞门
A A
人
]“
US ，…他)一 If ，
人 八 A 1 " « r-1
由上而的m 个方椁中，解岀的m 彳、未*11参数(&,&，…,&”)即力参数 (q,&2,…鶴)的拒估计量。
若&力8的矩估廿，g(x)为连续函数，剧g(&)力g(&)的矩15计。
(Dfi 矩估廿
(Sit
(i)选择样本函数
(ii)査表找分位数
— \
P -2< A <2 =l-a.
S/d 丿
(Hi)导出置信区同
(ii)査表找分位数
-a.
(Hi)导岀cr 的置信区间
第八章假投检验
基本思想
假设检呀的缆it 思恿是，欖率很小的事件在一次试验中可£1认为基本上是 不会发生的,即小脚率原理。
为了检验一个假设风是否应立。
我们先假定兀是应立的。
如果根据这个假 定导ST-f 不合卑的事件发生，那就表明原来曲假定〃是不正确的，我们拒 免接受
耳;如果由此没有导出不合卑的现象，则不能拒绝接受饥 我们祢从 是HI 容的。
与
已相对的假设林力备择假设，用〃表示。
迪里所说的小枫率事件就是事件｛ Kg ,具曲率就是检验水平a,通 常我们取a =0.05,有时也取0.01或0.10o
x_ P s/4^
〜/⑺_1)・
方差的区(Oil (i)选择样本函数
~ «2(” 一1)・
5- 5 CT
段随机变量X的密度函数为
1 _W
f(x) = ^^e , -8VXV+S,
V2zrcr
其中"、b> °为常数，処祢师机变量X服U参数为7
的正态分布或高斯(Gauss )分布，记为X~N(“,/)。
/(")的图形是关于""对称的;
当*"时，/(A)= -M-为最大值；
. J2”b
参数"=°、。
= 1时的正态分布称为标淮正态分布，记为X~N(0,l)i，
具朝函数记为
(p(x) = ^==e * 1 2 * * * * 7
72兀,-03 <X <4-00,
①(X)是不可求枳函数，其函数值,巳编制成表可供査用。
<p(-x) = 1-<p(x)fl 0(0)=丄。
7
如果X~N(“。
2),呱乂二£~N(O,1)。
-心1。
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概率论与数理统计超全公式总结
Cov(aX , bY ) = abCo若v(UX~,Yχ)2(n1),
F 分布 正态总体条件下 样本均值的分布：
V ~ χ 2 (n2 ),
则 U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
σ2 X ~ N(µ, )
n
X − µ ~ N (0,1) σ/ n
样本方差的分布：
(n −1)S 2 σ2
k =1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} 联合密度与边缘密度
+∞
∫ fX (x) = −∞ f (x, y)dy
+∞
∫ fY (y) = −∞ f (x, y)dx
P(X =k)=Cnkpk(1−p)n−k，(k=0,1,...n, )
泊松分布——X~P(λ)
P( X = k) = λk e−λ， (k = 0,1,...) k!
概率密度函数
+∞
∫ f (x)dx = 1 −∞
怎样计算概率 P(a ≤ X ≤ b)
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫a f (x)dx
均匀分布 X~U(a,b)
1
f (x) =
(a ≤ x ≤ b)
b−a
n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
⎜⎛ x ± zα / 2 ⎝
σ ⎟⎞ n⎠
(3) H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 右边检验
单正态总体均值的 Z 检验
小样本、正态总体、标 准差σ已知
（大样本情形σ未知时用SZ代=替X）− µ 0 σ/ n
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j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，〔 i 1 ，2 ，…，n 〕，通常叫先验概率。P(Bi / A) ，〔 i 1 ，2 ，…， n 〕，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果〞的概率规律，并作出了
〔17〕伯努 利概型
“由果朔因〞的推断。
我们作了 n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
x nex dx n!
0
x 0,
x<0。
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ，
x ，
2 其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、
的正态分布或高斯〔Gauss〕分布，记为 X ~ N(, 2) 。
f (x) 具有如下性质：
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。根本领件是互不相容的。
.
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-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
假设事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互
独立。
必定事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
如果事件 A 的组成局部也是事件 B 的组成局部，〔A 发生必有事件 B 发生〕：
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函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
a≤x≤b 其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
0，
xa, ba
1，
x<a， a≤x≤b x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。 f 源自x)dx 12° 。
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) f (x)dx 。
（5）八大 0-1 分布 分布
二项分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
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第1章随机事件及其概率（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件，，…有常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件的概率。
（8）古典概型1°，2°。
设任一事件，它是由组成的，则有P(A)==（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A，。
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P()=1- P(B)（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有…………。
（14）独立性①两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。
?与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式设事件满足1°两两互不相容，，2°，则有。
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概率论与数理统计 公式（全）
（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
n
A Bi
i 1
， P( A) 0 ，
P( Bi / A)
P( Bi ) P( A / Bi )
P( B ) P( A / B )
j 1 j j
n
，i=1，2，„n。
此公式即为贝叶斯公式。
n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
（17）伯努 利概型 “由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
F ( x) f ( x)dx
x
，
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°f (源自x) 0 。
f ( x)dx 1
。
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系
P( X x) P( x X x dx) f ( x)dx
P( B | A)
P( AB) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A)
（14）独立 性
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2,, Bn 满足 1° B1, B 2,, Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0(i 1,2,, n) ，
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。
（3）离散与
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
连续型随机
变量的关系 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
（4）分布函 数
似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) P( X x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。
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（7）概率的公理化定义
（8）古典概型
（9）几何概型 （10）加法公式 （11）减法公式 （12）条件概率 （13）乘法公式 （14）独立性
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Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB， AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它
们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1， 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
(完整版)大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质FbF(aba<≤=P-X)(b()()bFX()P=≤)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则：0=XYρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<- 2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n 11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X n X 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
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（6）事件的关 系与运算
AB 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者
，它表
示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容
分布是二项分布的特例。
设随机变量 X 的分布律为
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
P( X
k)
CMk
•
C
nk N M
C
n N
k 0,1,2,l , l min(M , n)
即
f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
指数分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
x<a，
x
F(x) f (x)dx
xa, ba
1，
a≤x≤b x>b。
x , x 当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ 1 2 ）内的概率为
P( x1
X
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能 断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
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（17）伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
（7）独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)= =
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
若事件 、 相互独立，且 ，则有
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。