考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)＝E(X).E(Y)，则A．D(XY)＝D(X).D(Y)．B．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)．C．X与Y独立．D．X与Y不独立．正确答案：B解析：∵D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2[E(XY)－E(X)E(Y)]，可见选项B与E(XY)＝E(X)E(Y)是等价的．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V必然A．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX＝DY 得cov(U，V)＝cov(X－Y，X＋Y)＝cov(X，X)＋cov(X，Y)～cov(Y．X)－cov(Y，Y) ＝DX－DY=＝0 ∴相关系数ρ＝0 知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X 故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X．X)＝－DX．∴X和Y的相关系数ρ(X，Y)＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关．故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(X｜Y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij＝2，则行列式的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率密度为：则P(X＞0)＝∫0＋∞f(χ)dχ＝P(X ＜0)＝∫－∞0＝，而P(X＝0)＝0 故EY＝1.P(X＞0)＋0.P(X＝0)＋(－1)P(x ＜0)＝E(Y2)＝12.P(X＞0)＋02.P(X＝0)＋(－1)2P(X＜0)＝＝1 ∴DY＝E(Y)2－(EY)21－知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，EY2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9解析：因为D(Z)＝D(X－0．4)＝DX，且cov(Y，Z)＝cov(Y，X－0．4)＝cov(Y，X)＝cov(X，Y) 故ρ(Y，Z)＝＝ρ(X，Y)＝0．9．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：解析：由题意，DX＝，而X的概率密度为故＝e-1．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝知识模块：概率论与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ3＋μσ2解析：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，解：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX＝μ，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝σ2＋μ2 ∴E(XY2)＝EX.E(Y2)＝μ(σ2＋μ2)＝μ3＋μσ2 知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2解析：E(Xe2X)＝而－χ2＋2χ＝－(χ2－4χ＋4－4)＝－(χ－2)2＋2 ∴E(Xe2X)＝＝2e2 知识模块：概率论与数理统计13．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：解析：由题意可知X～N(1，1)，Y～N(0，1)，且X与Y独立．可得X－1～N(0，1)，于是P(Y＞0)＝P(Y＜0)＝，P(X－1＞0)＝P(X－1＜0)＝，可得P(XY －Y＜0)＝P{Y(X－1)＜0}＝P{Y＞0，X－1＜0}＋P{Y＜0，X－1＞0} ＝P(Y ＞0)P(X－1＜0)＋P(Y＜0)P(X－1＞0) ＝知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14．已知随机变量X的概率密度为求随机变量Y＝的数学期望E(Y)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计15．已知随机变量(X，Y)的联合密度为试求：(1)P{X＜Y}；(2)E(XY)；正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计16．设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布．(1)求(X，Y)的相关系数ρ；(2)问X和Y是否独立?正确答案：由题意，(X，Y)的联合概率密度为f(χ，y)＝，若χ2＋y2≤r2(别处为0) 则关于X的边缘密度为fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy 当｜χ｜＞r时，fX(χ)＝0；当｜χ｜≤r时，完全同理类似，得关于Y的边缘概率密度为同理，EY＝0 而E(XY)＝以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到．于是cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0，故X与Y不独立．涉及知识点：概率论与数理统计17．某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．正确答案：设这三个部件依次为第1、2、3个部件，记Ai＝(第i个部件需调整)，i＝1，2，3．则A1，A2，A3相互独立．则P(A1)＝0．1，P(A2)＝0．2，P(A3)＝0．3[或P(Ai)＝，i＝1，2，3]，引显然，X1，X2，X3相互独立则E(Xi)＝1.P(Ai)＝，i＝1，2，3．且X＝X1＋X2＋X3 D(Xi)＝E(Xi2)－[E(Xi)]2＝12.P(Ai)－，i＝1，2，3 故EX＝EX1＋EX2＋EX3＝＝0．6 DX＝＝0．46 涉及知识点：概率论与数理统计18．设随机变量X和y同分布，X的概率密度为(1)已知事件A＝{X ＞a}和B＝{Y＞a}独立，且P{A∪B}＝，求常数a；(2)求的数学期望．正确答案：(1)由题意，P(A)＝P(B)＝∫a＋∞f(χ)dχ显然a∈(0，2)．否则，若a≤0，则P(A)＝∫02χ2dχ＝1；若a≥2，则P(A)＝0，都与P(A∪B)＝矛盾．故P(A)＝P(B)＝∴＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) ＝解得a＝(舍负) (2) 涉及知识点：概率论与数理统计19．设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品．销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损．已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?正确答案：ET＝(－1)P(X＜10)＋20.P(10≤X≤12)－5.P(X＞12) ＝(－1).P(X－μ＜10－μ)＋20P(10－μ≤X－μ≤(12－μ)－5P(X－μ＞12－μ) ＝(－1)Ф(10－μ)＋20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)] ＝25Ф(12－μ)－21Ф(10－μ)－5 ∴(ET)′μ＝25φ(12－μ).(－1)－21.Ф(10－μ).(－1) ＝其中φ(χ)＝为标准正态分布的概率密度令(ET)′μ，得．两边取对数，得μ0＝11－可以验证，故ET在μ＝μ0。
处取得唯一极值且为极大值，所以ET在μ0处取最大值．故答：当μ＝11－时，平均利润最大．涉及知识点：概率论与数理统计20．设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内的利润期望．正确答案：设这部机器一周内有X天发生故障，这一周的利润为Y万元．由题意可知X～B(5，0．2)且故EY＝10.P(X＝0)＋5P(X＝1)＋0.P(X＝2)＋(－2).P(X≥3) ＝10×C50.0．20.0．85＋5×C51.0．210．84－2[1－C50.0．2.0．85－C51.0．21.0．84 ＝C52.0．22.0．83] ＝5．20896 涉及知识点：概率论与数理统计21．游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光．电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行．设一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．正确答案：设Y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知：而X的概率密度为：则EY＝Eg(X)＝∫－∞＋∞g(χ)F(χ)dχ＝∫060g(χ)dχ＝[∫05(5－χ)dχ＋∫525(25－χ)dχ＋∫2555(55－χ)dχ＋∫5560(65－χ)dχ] ＝[5×5＋25×20＋55×30＋65×5－∫060χdχ] ＝涉及知识点：概率论与数理统计22．两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．正确答案：设第i台自动记录仪无故障工作的时间为Xi，(i＝1，2)，由题意，X1与X2独立同分布，概率密度为且知EX1＝EX2＝．DX1＝DX2＝，T＝X1＋X2 故ET＝EX1＋EX2＝，DT＝DX1＋DX2＝下而求f(t)．用卷积公式知：f(t)＝∫－∞＋∞fX(χ1)fX(t－χ1)dχi ＝∫0＋5e－5χf(t －χ)dχ当t≤0时，f(t)＝0(∵积分中χ≥0，∴χ≥t，f(t－χ)＝0)；当t＞0时，f(t)＝∫0t5e－5χ.5e－5(t－χ)dχ＝25∫0ye－5tdχ＝25te－5t 故f(t)＝涉及知识点：概率论与数理统计23．一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该种商品的需求量Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为500元．试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．正确答案：设此商店经销该种商品每周所得利润为ξ元，则由题意得：而X和Y的概率密度均为：故(X，Y)的联合密度为f(χ，y)＝f1(χ).f1(y)＝G1、G2见下图．涉及知识点：概率论与数理统计24．假设二维随机变量(X，Y)在矩形G＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记(1)求U和V的联合分布；(2)求U和V的相关系数r．正确答案：G的面积为SG＝2．如图4．7所示：分得G＝D1∪D2∪D3 其中，D1的面积：；D3的面积：×2×1＝1；D2的面积：由题意，(X，Y)的概率密度为：而(U，V)可能取的值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．于是(1)P(U＝0，V＝0)＝P(X≤Y，X≤2Y) P(U＝0，V＝1)＝P(x≤Y，X＞2Y)＝f(χ，y)dχdy＝0 P(U＝1，V＝0)＝P(X＞Y，X≤2Y)＝P(U＝1，V＝1)＝P(X＞y，X＞2Y)＝于是写出(U，V)的分布列(附带写出边缘分布列)如下：∴．DU＝E(U2)－(EU)2＝DV＝E(V2)－(EV)2＝E(U.V)＝0×0×＋0×1×0＋1×0×＋1×1×得(U，V)的相关系数为涉及知识点：概率论与数理统计25．设A，B是二随机事件，随机变量试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．正确答案：由已知得：EX＝1.P(A)＋(－1)P()＝P(A)－P()＝2P(A)－1 EY＝1.P(B)＋(－1)P()＝P(B)－P()＝2P(B)－1 E(XY)＝1×1×P(AB)＋1×(－1)P()＋1×(－1)×P()＋(－1)×(－1)×P() ＝P(AB)－＝P(AB)－[P(A)－P(AB)]－[P(B)－P(AB)]＋1－[P(A)＋P(B)－P(AB)] ＝4P(AB)－2P(A)－2P(B)＋1 ∴cov(X，Y)＝E(XY)－EX.EY＝4P(AB)－2P(A)－2P(B)＋1－[2P(A)－1][2P(B)－1] ＝4[P(AB)－P(A)P(B)] 故，X与不相关cov(X，Y)＝0P(AB)＝P(A)P(B)A与B独立．这儿“”表示“当且仅当”或“等价于”．证毕．涉及知识点：概率论与数理统计26．假设随机变量U在区间[－2，2]上服从均匀分布，随机变量试求(1)X和Y的联合概率分布；(2)D(X＋Y)．正确答案：二维随机变量可能取的值为(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)．由题意，可设U的概率密度为(1)P(X＝－1，Y＝－1)＝P(U≤－1，U≤1)＝P(U≤－1) ＝∫－∞－1f(χ)dχ＝，P(X＝－1，Y＝1)＝P(U≤－1，U＞1)＝0，P(X＝1，Y＝－1)＝P(U＞－1，U≤－1)＝P(－1＜U≤1)＝∫－11f(χ)dχ＝，P(X＝1，Y＝1)＝P(U＞－1，U＞1)＝P(U＞1)＝∫1－∞f(χ)d χ＝，故(X，Y)的分布律为：(2)由(X，Y)的联合分布律可得X＋Y 的分布律为：进而(X＋Y)2的分布律为：可得E(X＋Y)＝(－2)×＝0，E(X＋Y)2＝0×＝2 故D(X＋Y)＝D(X＋Y)2－[E(X＋Y)]2＝2－02＝2 涉及知识点：概率论与数理统计27．设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)．正确答案：设X的分布参数为λ，由已知，5＝EX＝，∴λ＝即知X 的概率密度为由题意知Y＝min(X，2) 则Y的分布函数F(y)＝P(Y ≤y)＝P{min(X，2)≤y} 显然，Y＜0时，F(y)＝0；y≥2时，F(y)＝1；而当0≤y＜2时，F(y)＝P(X≤Y)＝∫－∞yf(χ)dχ＝即F(y)＝涉及知识点：概率论与数理统计28．设A，B为两个随机事件，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P(A｜B)＝，令求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)X与Y的相关系数ρ(X，Y)；(Ⅲ)X＝X2＋Y2的概率分布．正确答案：(Ⅰ)P(X＝1，Y＝1)＝P(AB)＝，P(X＝0，Y＝1)＝P(B)＝P(B)－P(AB)＝，P(X＝1，Y＝0)＝P(A)＝P(A)－P(AB)＝，P(X＝0，Y＝0)＝P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)－P(AB)]＝1－故(X，Y)的概率分布为：(Ⅱ)由(Ⅰ)易得关于X、Y的概率分布(列)分别为：而由(X，Y)的概率分布可得：E(XY)＝0×0×＋0×1×＋1×0×＋1×1×故得：p(X，Y)＝(Ⅲ)Z可能取得值为：0，1，2．P{Z＝0}＝P{X2＋Y2＝0}＝P{X＝0，Y＝0}＝，P{Z＝1}＝P{X2＋Y2－1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝，P{Z＝2}＝P{X2＋Y2＝2}＝P{X＝1，Y＝1}＝故Z的分布(列)为：涉及知识点：概率论与数理统计29．设随机变量X的概率密度为令Y＝X2，F(χ，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数．求(Ⅰ)Y的概率密度FY(y)；(Ⅱ)Cov(X，Y)；(Ⅲ)F(－，4)．正确答案：(Ⅰ)Y的分布函数为Fy(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y) y≤0时，FY(y)＝0，∴fY(y)＝F′Y(y)＝0；y＞0时，FY(y)＝若＜1即0＜y＜1时，FY(y)＝∴．fY(y)＝F′Y(y)＝若1≤＜2即1≤y＜4时，FY(y)＝∴fY(y)＝F′Y(y)＝若≥2即y≥4时，FY(y)＝＝1，∴fY(y)＝F′Y(y)＝0，故(Ⅱ)cov(X，Y)＝cov(X，X2)＝E(X3)－EX.E(X2)，而代入得cov(X，Y)＝(Ⅲ)F(－，4)＝P(X≤－，Y≤4)＝P(X≤－，X2≤4)＝P(X≤－，｜X｜≤2) ＝P(X≤－，－2≤X≤2)＝P(－2≤X≤－) 涉及知识点：概率论与数理统计30．箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个．现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数．(Ⅰ)求随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Cov(X，Y)．正确答案：(Ⅰ)(X，Y)的概率分布为：(Ⅱ)可求得关于X，Y的边缘分布列分别为：可得EX＝0×，EY＝0×而由(X，Y)的联合分布可得E(XY)＝0×0×＋0×1×＋0×2×＋1×0×＋1×1×＋1×2×0＝故Cov(X，Y)＝E(XY)＝EXEY＝涉及知识点：概率论与数理统计31．设随机变量X与Y的概率分布分别为且P{X2＝Y2}＝1．(Ⅰ)求二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Z＝XY的概率分布；(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY．正确答案：(Ⅰ)由P(X2＝Y2)＝1，可得：P(X＝0，Y＝－1)＝P(X－1，Y＝0)＝P(X＝0，Y＝1)＝0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X，Y)的联合(含边缘)分布列如表所示．(Ⅱ)由(X，Y)的联合分布列易知Z＝XY 可能取的值为－1，0，1，易得：(Ⅲ)由(X，Y)的分布(及X，Y的分布)，易知：E(XY)＝0×(－1)×0＋0×0×＋0×1×0＋1×(－1)×＋1×0×0＋1×1×＝0 而E(X2)＝02×，E(Y2)＝(－1)2×，∴DX＝E(X2)－(EX)2＝，DY＝E(Y2)－(EY)2＝故ρXY＝＝0 涉及知识点：概率论与数理统计32．设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为(Ⅰ)求P{X＝2Y}；(Ⅱ)求Cov(X－Y，Y)正确答案：(Ⅰ)P{X＝2Y}＝P{X＝0，Y＝0}＋P{X＝2，Y＝1}＝(Ⅱ)由(X，Y)的分布可得X，Y及XY的分布分别为：故DY＝E(Y2)－(EY)2＝，Cov(X，Y)－E(XY)－EX.EY＝×1＝0 得Cov(X－Y，Y)＝Cov(X，Y)－DY ＝0－．涉及知识点：概率论与数理统计33．设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布．记U＝max{X，Y}，＝min{X，Y}．(Ⅰ)求V的概率密度fv(v)；(Ⅱ)求E(U＋V)．正确答案：由题意，可得X，Y的概率密度为X，Y的分布函数为(Ⅰ)设V的分布函数为FV(v)，则FV(v)＝P{V≤v}＝P{min(X，Y)≤v}＝1－P{min(X，Y}＞v} ＝1～P{X＞v，Y＞v}＝1－P{X＞v}P{Y＞v}＝1－[P{X＞v}]2 ＝1－[1－P(X≤v)]2＝1－[1－F(v)]2 ∴fV(v)＝F′V(v)＝(Ⅱ)U ＋V＝max(X，Y)＋min(X，Y)＝X＋Y，∴E(U＋V)＝E(X＋Y)＝EX＋EY＝1＋1＝2．涉及知识点：概率论与数理统计。
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数ln 1(),(()),21,1x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y =满足010,x y →→=则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x =和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x -→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xD e xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y ==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
考研数三(2008-2017年)历年真题
(I)求1Z的概率密度；(II)利用一阶矩求σ的矩估计量；(III)求σ的最大似然估计量.选择题:18设是数列,下列命题中不正确的是：（若,则若,则若,则若,则设函数在内连续,其二阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(B)(C)(D),函数在上连续,则（(B)(C)(C)(D)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(B)(C)设二次型在正交变换为下的标准形为，若，则在正交变换下的标准形为：（(C)(D)若为任意两个随机事件,则:（(A)(B)(C)(D)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则(B)(C)(D)二、填空题：914(9)设函数连续，若则若函数由方程确定，则设函数是微分方程的解，且在处3，则设阶矩阵的特征值为，其中为阶单位矩阵，则行列式设二维随机变量服从正态分布，则设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.计算二重积分，其中为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，成本，为需求弹性.证明定价模型为；若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(I)设函数可导，利用导数定义证明(II)设函数可导，，写出的求导公式.(20)(本题满分11分)设矩阵，且.(I)求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I)求的概率分布；(II)求EY.(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.选择题:18设，且，则当充分大时有：（(B)(C)(D)(B)(C)设,当时,若是比高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：(A)(B)(C)(D)设函数具有二阶导数，，则在区间上：（(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，行列式（(C)(D)设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关设随机事件与相互独立，且，，则（(A)(B)(C)(D)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（(A)(B)(C)(D)二、填空题：914设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为________.设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为________.设，则__________.二次积分__________.1，则的取值范围_________.设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.求极限.设平面区域计算.设函数具有连续导数，满足.若，求的表达式.求幂级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：(I)；(II).(20)(本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.证明阶矩阵与相似.(22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.(I)求的分布函数；(II)求.(23)(本题满分11分)设随机变量,的概率分布相同，的概率分布为且与的相关系数(I)求的概率分布；(II)求一、选择题:18当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（(B)(C)(2)函数的可去间断点的个数为：（）(A)(B)(C)(D)(3)设是圆域位于第象限的部分，记，则：（）(A)(B)(C)(D)．(4)设为正项数列，下列选项正确的是：（）(A)若，则收敛(B)若收敛，则(C)若收敛,则存在常数,使存在(D)若存在常数,使存在,则收敛(5)设均为阶矩阵，若,且可逆.则：（）(A)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(6)矩阵与相似的充分必要条件为：（）（A）（B）为任意常数（C）（D）为任意常数(7)设是随机变量，且，，，，则：（）(B)(C)(D)设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为则：（(B)(C)二、填空题：914设曲线与在点处有公共切线，则_________.设函数由方程确定，则_________._________.的通解为_________.设是阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则_________.设随机变量服从标准正态分布，则_________.三、解答题：1523当时，与为等价无穷小，求与的值．设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.(17)(本题满分10分)设平面区域由直线及围成，计算．(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为，（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I)该商品的边际利润；(II)当时的边际利润，并解释其经济意义；(III)使得利润最大的定价．(19)(本题满分10分)设函数在上可导，，且.证明：(I)存在，使得；(II)对(I)中的，存在，使得．(20)(本题满分11分)设，当为何值时，存在矩阵使得,并求所有矩阵．(21)(本题满分11分)设二次型，记，(I)证明二次型对应的矩阵为；(II)若正交且均为单位变量，证明在正交变换下的标准形为．(22)(本题满分11分)设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定的条件下的条件概率密度为(I)求的概率密度；(II)求的边缘概率密度；(III)求．(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题曲线渐近线的条数为：（.(B).(C).(D).设函数，其中为正整数，则：（.(B).(C)..设函数连续，则二次积分：（..(C)..(A)..(C)..设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：..(C)..设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：（..(C)..设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：（.(B).(C).(D).设为来自总体（）则统计量的分布为：(A).(B).(C).(D).(9)_________.设函数，，则_________.设连续函数满足，则_________.由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_______设是随机事件，与互不相容，则_________.求极限.计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和(件)，且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；(II)当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(18)(本题满分10分)证明：.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程x e x f x f x f x f x f 2)()(0)(2)()(=+''=-'+''及.(I)求的表达式；(II)求曲线dt t f x f y x⎰-=022)()(的拐点.(20)(本题满分11分)设．(I)计算行列式；(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．(21)(本题满分11分)已知，二次型的秩为．(I)求实数的值；(II)求正交变换将化为标准形.(22)(本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为(I)求；(II)求.(23)(本题满分11分)设随机变量与相互独立，且服从参数为的指数分布.记，.(I)求的概率密度；(II)求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
2022考研数学三真题及答案解析(数三)
2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题：1~10题，每小题5分，共50分.1、当0→x 时，)()(x x βα、是非零无穷小量，给出以下四个命题 ① 若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα； ② 若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα； ③ 若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-； ④ 若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα. 其中正确的序号是（ ）A ：①②；B ：①④；C ：①③④；D ：②③④. 答案：C .解析：当0→x 时，若)(~)(x x βα，则1)()(lim 0=→x x x βα，故1)()(lim )()(lim 20220=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→→x x x x x x βαβα，即)(~)(22x x βα，且011)()()(lim0=-=-→x x x x αβα，故))(()()(x o x x αβα=-.所以①③正确.当0→x 时，)(~)(22x x βα，则1)()(lim 220=→x x x βα，此时1)()(lim 0±=→x x x βα，而1)()(lim 0-=→x x x βα时，)(x α与)(x β不是等价无穷小，故 ②不正确.当0→x 时，若))(()()(x o x x αβα=-，1)()(lim ))(()()(lim )()(lim000==-=→→→x x x o x x x x x x x αααααβα，所以)(~)(x x βα，④正确.综上，C 为选项.2 、已知),2,1()1( =--=n nn a nnn ，则}{n a （ ） A ：有最大值，有最小值； B ：有最大值，没有最小值； C ：没有最大值，有最小值； D ：没有最大值，没有最小值. 答案：A .解析：1212,1221<-=>=a a ，又1lim =∞→n n a ，故存在0>N ，当N n >时，12a a a n <<，所以}{n a 有最大值和最小值，选项A 正确.3、设函数)(t f 连续，令⎰---=y x dt t f t y x y x F 0)()(),(，则（ ）A ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂=∂∂，； B ：2222y Fx F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂，； C ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，； D ：2222yF x F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂，. 答案：C .解析：⎰⎰⎰-----=--=y x y x y x dt t tf dt t f y x dt t f t y x y x F 0)()()()()(),(，⎰⎰--=-----+=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f x F 00)()()()()()(，)(22y x f x F -=∂∂，同理⎰⎰---=--+----=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f yF00)()()()()()(，)(22y x f y F -=∂∂， 综上2222yF x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，，选项C 正确. 4、已知⎰⎰⎰+=++=+=101031021sin 12,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx x xI dx x x I dx x x I ，则（ ） A ：321I I I <<； B ：312I I I <<； C ：231I I I <<； D ：123I I I <<. 答案：A .解析：⎰⎰⎰+=++=+=1010310212sin 1,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx xx I dx x x I dx x xI ，先比较21,I I 的大小，令)1,0()1ln(2)(∈+-=x x xx f ，此时0)0(=f ，此时0)1(211121)(<+-=+-='x x x x f ，即)(x f 单调递减，从而0)0()(=<f x f ，可得)1,0()1ln(2∈+x x x《，从而21I I <.再比较23,I I 的大小，因)1,0(,cos 12sin 1,)1ln(∈+<+<+x x x x x ，则2sin 1cos 1)1ln(x xxx +<++，从而23I I >.综上，可得A 正确.5、设A 为3阶矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ000010001，则A 的特征值为011，，-的充分必要条件是（ ）A ：存在可逆矩阵Q P ,，使得Q P A Λ=；B ：存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ； C ：存在正交矩阵Q ，使得1-Λ=Q Q A ； D ：存在可逆矩阵P ，使得TP P A Λ=； 答案：B解析：3阶A 有011，，-三个不同的特征值，所以A 可以相似对角化，故存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ；若存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ，即A 相似与Λ，而相似矩阵具有相同的特征值，而Λ的特征值为011，，-，故A 的特征值为011，，-.因此选B . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421,1111122b b b a a A ，则线性方程组b Ax =解的情况为（ ）A ：无解； B: 有解； C:有无穷多解或无解 ； D: 有唯一解或无解； 答案：D .解析：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→31101110111141211111)|2222b b a a b b a a b A （（1）当1=a 或1=b 时，)|()(b A r A r ≠，方程无解（2）当1≠a 且1≠b 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→11130011110111113110111101111)|a b a b a a b b a a b A （ （i ）当b a ≠时，3)|()(==b A r A r ，方程有唯一解 （ii ）当b a =时，3)|(2)(==b A r A r ，，方程无解； 综述：方程有唯一解或无解，选D .7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ的取值范围（ ）A ：}1,0{ ； B:}2,|{-≠∈λλλR ；C:}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR ； D:}1,|{-≠∈λλλR . 答案：C解析：向量组321,,ααα与421,,ααα等价的充要条件是()),,.,,(,,),,(421321421321ααααααααααααr r r ==，而),,,(),,.,,(4321421321αααααααααα，r r =()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→λλλλλλλλλλλλαααα2222431201101101111111111,,,（1）当1=λ时，()1).,,(,,),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价 （2）当1≠λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→24312)1(2001110111111001101110110110111,,,λλλλλλλλλλλαααα（i ）当2-=λ时，3).,,(),,(2),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，此时向量组不等价 （ii ）当1,2-=-≠λλ时，3).,,(2),,(3),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，，此时向量组不等价（iii ）当1,2-≠-≠λλ时，3).,,(),,(),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价 综上，当1,2-≠-≠λλ时，向量组321,,ααα与421,,ααα等价；选C8、随机变量)4,0(~N X ，随机变量⎪⎭⎫⎝⎛31,3~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （ ）A: 2； B: 4； C: 6； D: 10. 答案：D .解析：由题意知，0),(32)(,4)(===Y X Cov Y D X D ，； 10)(9)()3()13(=+=-=+-Y D X D Y X D Y X D ，故选D .9、设随机变量序列 ,,,21n X X X 独立同分布，且i X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他11)(x xx f 则当∞→n 时，∑=n i i X n 121依概率收敛于（ ）A :81； B : 61； C: 31； D: 21. 答案：B .解析：61)1(2)1()()(1211222=-=-==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E i ，从而∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i X E n X n E 121261)(11，由辛钦大数定律可得，∑=n i i X n 121依概率收敛于⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 121，从而选B .10、设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{==Y X A 与事件}1},{min{==Y X B 相互独立，则=),(Y X Cov （ ）A ：6.0- ； B: 36.0-； C: 0； D: 48.0. 答案：B .解析：1.0}2,1{)(,2.0)(,1.0)(=====+=Y X P AB P B P b A P ，由B A ,相互独立，故)()()(B P A P AB P =，解得4.0=b ，由分布律的性质得2.0=a ，6.0)(,2.1)(,2.0)(-==-=XY E Y E X E从而36.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，故选B . 二、填空题：11~16题，每题5分，共30分.11、若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x e cot 021lim .答案：21e .解析：21tan 21lim21ln cot lim cot 00021lim e eeex e e x xxx x x xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→.12、⎰=++-2024242dx x x x .答案：333ln π-. 解析：原式⎰⎰++-+++=2022024*******dx x x dx x x x ⎰⎰++-++++=20222022)3()1(1642)42(dx x x x x x d 20202|31arctan 36|)42ln(+-++=x x x 333ln π-=.13、已知函数x xe e xf sin sin )(-+=，则=''')2(πf .答案：0.解析：方法一：x xxe xex f sin sin cos cos )(--='，x x e x x e x x x f sin 2sin 2)sin (cos )sin (cos )(-++-='',)cos sin cos 2()sin (cos cos )sin (cos cos )cos sin cos 2()(sin sin 2sin 2sin x x x eex x x e x x x e x x x x f xxxx +-++--+--='''--从而01111)2(=+--='''πf . 方法二：x xe ex f sin sin )(-+=，显然)()(sin sin x f e e x f x x=+=--，故)(x f 为偶函数，且周期π2=T ，于是)(x f '为奇函数，)(x f ''为偶函数，)(x f '''为奇函数，从而0)0(='''f ，而0)0()2(='''='''f f π.14、已知⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x e x f x ，则=-⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy x y f x f dx )()( .答案：2)1(-e .解析：记}10,10|),{(≤-≤≤≤=x y x y x D ，原式⎰⎰⎰⎰-=-=Dx y x Ddxdy e e dxdy x y f x f )()(，2111)1()1(-=-==⎰⎰⎰+-e dy e e dy edx e x x xxy x.15、设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=001011112B ，则1-A 的迹=-)(1A tr .答案：-1.解析：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011001,010********P P ，则B AP P =21 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--0100011111000110010010111120101000011211BP P A 0)1)(1(1011112=++-=-------=-λλλλλλE A ，解得i i -==-=321,,1λλλ 故1-A 的特征值为i i =-=-=321,,1λλλ，从而1)(1-=-A tr16、设C B A ,,为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P .答案：85. 解析：()C B A P C B P C B A C B P )()|(=()98)()())(()()(95)()()()()()()()(=+=-+==-+=-+=C B P A P C B A P C B P A P C B A P C P B P C P B P BC P C P B P C B P从而85)|(=C B A C B P . 三、解答题：17~22小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.解：])2([)(2121C dx ex ex y dxxdxx+⎰+⎰=⎰-])2([C dx e x e x x ++=⎰-]2[C xee xx +=-xCe x -+=2，其中C 为任意常数，又3)1(=y ，得e C =，即xe x x y -+=12)(.22limlim 1=+==-+∞→+∞→xe x x y a xx x ，0lim )2(lim 1==-=-+∞→+∞→xx x e x y b ，故x y 2=为曲线)(x y y =的斜渐近线.18、（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为Q P 5.11160-=，若单位资本投入量和单位蓝洞投入量的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.解：利润y x xy y x y x Q Q y x PQ L 862161392086)6.11160(86316121---=---=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--=--='=--=--='--------08)722320(872232006)722320(362166960612132326521612131316121y x xy xy y x L y x y y y x L yx，得驻点)64,256(， 此时38464256126=⨯⨯=Q ，在实际问题中由于驻点唯一，故利润L 在384=Q 处取到最大值. 19、（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算⎰⎰+-=Ddxdy y x y x I 222)(. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-=+-=ππϕϕπρρϕϕϕρρϕϕϕ2cos sin 20220202222)sin (cos )sin (cos )(d d d d dxdy y x y x I D⎰⎰+-=πππϕϕϕϕ2202)cos sin 21(2d d 22)12(2|)sin (2202-=+-=+-=ππππϕϕπ. 20、（本题满分12分）求幂级数∑∞=++-02)12(41)4(n nnn x n 的收敛域及和函数)(x S . 解：1)12(41)4()32(41)4(lim 22211n <++-++-+++∞→nnn n n n x n xn ，解得1||<x ，从而1=R ，收敛区间)1,1(-，当1±=x 时，∑∞=++-0)12(41)4(n nn n 收敛，故收敛域为]1,1[-. 当]1,1[-∈x ，令∑∑∞=∞=+++-=012)12(412)1()(n n n nn n n x x n x S ， 令∑∑∞=+∞=≠+-=+-=0120210,12)1(112)1()(n n n n n n x n x x n x x S ，此时∑∑∞=∞=++=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-02201211)1(12)1(n nn n n n x x n x ，x dx x n x x n n n arctan 1112)1(0202=+=+-⎰∑∞=，故0,arctan 1)(1≠=x x xx S .∑∑∞=+∞=≠+=+=0120220,1241)12(4)(n n n n n n x n x x n x x S ）（，此时2202012444114124x x x n x n n nn n n -=-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞=∞=+）（，0,22ln 4412402012≠-+=-=+⎰∑∞=+x x x dx x n x x n n n ）（，故0,22ln 1)(2≠-+=x xx x x S .0=x 时，2)0(=S .综上当]1,1[-∈x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-++=0,2]1,0)0,1[,22ln1arctan 1)(x x xx x x x x S （ . 21、（本题满分12分）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=，（1）求正交变换Qy x =将),,(321x x x f 化为标准形； （2）证明：2)(min=≠xx x f T x . 解：（1）二次型对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=301040103A ，0)2()4(3010401032=---=---=-λλλλλλE A ，解得4,2321===λλλ21=λ对应特征向量满足0)2(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011ξ432==λλ对应特征向量满足0)4(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ321,,ξξξ已经两两正交，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22022,010,22022321ηηη，故存在正交矩阵),,(321ηηη=Q ，当Qy x =时232221321442),,(y y y y y y f ++=.（2）2322212322232221232221222442)()()(y y y y y y y y y y y y y y f Qy Q y y f x x x f T T T Qy x T ++++=++++==== 当0≠x 时，由Qy x =得0≠y ，当0,0132≠==y y y 时，2322212322222y y y y y ++++的最小值为2，故2)(min=≠xx x f Tx . 22、（本题12分）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体X 的简单随机样本，m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体Y 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数，利用样本n X X X ,,,21 ，m Y Y Y ,,,21 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD . 解：由题知：总体Y X ,的概率密度为,0021)(,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--y y ey f x x ex f y YxX θθθθ令θθθθθθθθθ21211111121211),(),(∑∑=⋅=⋅===--+=-=-==∏∏∏∏mj j ni ij iy x n m m mj y ni x m j j Y ni i Xee e ey f x fLθθθ2ln )(2ln ln 11∑∑==--+--=mj jni i yx n m m L02ln 2121=+++-=∑∑==θθθθmj jni i yx n m d L d 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i y x n m 11211ˆθ故θ的最大似然估计量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i Y X n m 11211ˆθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑∑∑====m j j n i i m j j n i i Y D X D n m Y X n m D D 11211)(41)()(1211)ˆ(θ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(4)()(12j i Y D m X nD n m 而224)(,)(θθ==j i Y D X D ，从而n m m n n m D +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=222244)(1)ˆ(θθθθ。
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案标题：近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案一、概率论在考研数学三中的重要地位概率论是考研数学三的重要组成部分，它不仅在概率论与数理统计中有所涉及，还在数学分析、线性代数等科目中有所应用。
因此，掌握概率论的基本概念和方法对于考研数学三的成绩提升具有重要意义。
二、考研数学三概率论主要考察内容考研数学三概率论部分主要考察以下内容：概率的基本概念、随机变量及其分布、数字特征、大数定律与中心极限定理等。
其中，重点考察内容为随机变量的分布以及数字特征的应用。
三、近年考研数学三概率论部分题目整合以下为近年来考研数学三概率论部分的题目整合：1、某城市发生交通事故的概率是0.01，求在1000次出行中，发生事故的次数K的期望和方差。
2、假设某射手每次射击命中的概率为0.9，求连续射击4次至少命中3次的概率。
3、设随机变量X服从正态分布N(2,4)，求X的取值落在区间(0,4)内的概率。
4、假设随机变量Y服从泊松分布P(2)，求Y的期望和方差。
5、设随机变量X的分布列为P(X=k)=C/k(k+1)，其中C为常数，求X 的数学期望和方差。
四、题目答案解析1、设Z表示1000次出行中发生事故的次数，则Z服从二项分布B(1000,0.01)，因此E(Z) = 1000 × 0.01 = 10，Var(Z) = 1000 ×0.01 × (1-0.01) = 99.9。
2、设事件A为“连续射击4次至少命中3次”，则A可以分解为两个互斥事件B和C的和，其中B为“连续射击4次命中3次”，C为“连续射击4次命中4次”。
已知每次射击命中的概率为0.9，因此根据独立事件的乘法原理，可得P(B) = 0.9 × 0.9 × 0.9 ×(1-0.9) = 0.0729，P(C) = 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率与数理统计历届考研真题(数一、数三、数四)
概率与数理统计历届真题第一章 随机事件和概率数学一：1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 A 至多发生一次的概率为 。
2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。
4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件―两数之和小于56‖的概率为。
5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。
6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。
7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）=。
8（91，3分）随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。
则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 。
9（92，3分）已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。
10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
11（94，3分） 已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）=。
2007考研数三真题及解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当0x +→时,( )A.1-.ln(1B1C.1D -(2) 设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是( )A .若0()limx f x x →存在,则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在,则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在,则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →--存在,则'(0)f 存在(3) 如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( ).A10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .B10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰(5) 设某商品的需求函数为1602Q p =-,其中Q ,p 分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ).A 10 .B 20 .C 30 .D 40 (6) 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3(7) 设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是 ( ).A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 1223312,2,2αααααα+++(8) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 与B ( ) .A 合同,且相似 .B 合同,但不相似.C 不合同,但相似 .D 既不合同,也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B . 26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()X Y f x f y 分别表示表示,X Y 的概率密度,则在Y y =条件下,X 的条件概率密度()X Y f x y 为( ) A .()X f x B .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上(11) 3231lim(sin cos )____________2x x x x x x x →+∞+++=+(12) 设函数123y x =+,则()(0)___________n y = (13) 设(,)f u v 是二元可微函数,(,),y x z f x y =则z zxy x y∂∂-=∂∂_________ (14) 微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为y =_____________(15) 设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿.三、解答题:17－24小题,共86分。
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在 D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均不存在2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜04．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭＝（ ）。
A ．****0A B B A B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****0B A A B A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****0B A B A A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****0A B A B B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（ ）。
2010年-2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及答案解析
1 0
01，可知（r E J ) 2.
0 0 0
1 1 1
A选项，令A=
0 0
1 0
1 1
，则由 E A
1 1 0 1
00
1
1 1 3 0 解得===1. 12 3
1
此时当=1时，E A= 00
(C) f x cos x
(D) f x cos x
【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
lim x sin x lim x x 0, 可导
（A） x0 x
x0
x
lim x sin x lim x x 0, 可导
（B） x0
x
x0
x
lim cos x 1
1 lim 2
0
202
2
0 2!
2
2 0 2!
2
由于f (x) 0 1 f ()(x 1 )2 dx 0,所以，f (1 ) 0.应选D.
0 2!
2
2
(3) 设 M
2
1
x2
dx,
N
2 1 x dx, K
2
1 cos x
dx, 则（ ）
1 x2 2
随机事件A, B,C相互独立, 且P A P B P C 1 则P AC A
B B
1 0
1 1
0 2. 1
1
【答案】
3
2,
.
【解析】 P AC A
P(A B) (AC)
B
P( AC ABC)