专题13 空间直线、平面的垂直(核心素养练习)(解析版)

专题十三空间直线、平面的垂直核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证面面垂直例题9.如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.【证明】因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.考点二数学运算-求异面直线所成的角例题10、如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？【解析】(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.考点三直观想象--异面直线垂直例题11. 如图所示，正方体AC 1中，E 、F 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，求证：DB 1⊥EF .【解析】 法一：如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G .则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1.∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点， ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°. ∴DB 1⊥EF .法二：如图所示，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE12DB 1.于是∠HEF 为所求 异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． 连接HF ，设AA 1＝1， 则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连接HI ，IF ， 则HI ⊥IF .∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54.∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°. ∴DB 1⊥EF .二、学业质量测评一、选择题1．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．2．若空间中四条两两不同的直线1234l l l l ，，，，满足122334l l l l l l ⊥⊥⊥，，，则下列结论一定正确的是（ ） A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【答案】D【解析】如图,构建长方体1111ABCD A B C D －记1123,,l DD l DC l DA ===.若41l AA =满足122334l l l l l l ⊥⊥⊥，，,此时14l l ∥,则排除选项A 和C.若41l D C =,则1l 与4l 相交；若取4l BA =,则1l 与4l 异面；若取411l C D =,则1l 与4l 相交且垂直 因此1l 与4l 的位置关系不能确定 故选:D3．若P 为△ABC 所在平面外一点，分别连接PA ，PB ，PC ，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】设△ABC 为直角三角形，过一锐角顶点A ，如果有PA ⊥平面ABC ，则如图所示：因为PA ⊥平面ABC ，PA ⊥AC ，PA ⊥AB ， 所以△PAB ，△PAC 为直角三角形. 因为BC ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB. 所以△PBC 是直角三角形，所以△ABC ，△PAB ，△PAC ，△PBC 四个三角形都是直角三角形. 故选A4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ） A ．αγB ．αγ⊥C ．α与γ相交但不垂直D ．以上都有可能 【答案】D【解析】在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.5．已知直线m ,n 和平面α，β，若αβ⊥，m αβ⋂=，n α⊂，要使n β⊥，则应增加的条件是 A ．//m nB ．//n αC ．n m ⊥D ．n α⊥【答案】C 【解析】已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β,α∩β＝m ，nα，应增加的条件n ⊥m ，才能使得n ⊥β.6．若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①,αγβγαβ⊥⊥⇒⊥； ②；③. 其中正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】①若αγβγ⊥⊥，；,αβ可能相交，也可能平行，错误②αγβγαβ⊥⇒⊥，；成立，③l l αβαβ⊥⇒⊥，，成立，故选C. 二、多选题7．如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【解析】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于B ，由ABCE ，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直；对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ， 可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥， 又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE . 故选：BD8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC【解析】解：如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形， AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ， AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确.对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则2BM =，2PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC 三、填空题9．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且60∠=︒POB .若直线PO 与平面β所成的角为45°，则二面角AB αβ--的正弦值为______.【解析】如图，过点P 作PE β⊥，垂足为E ，过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接,OE PF ， 则POE ∠为直线PO 与平面β所成的角，PFE ∠为二面角AB αβ--的平面角.设OP =，则在Rt PEO △中，由45POE ∠=︒，可得PE a =，在Rt PFO △中，由60POF ∠=︒，可得sin 602PF =⋅︒=， 在Rt PEF △中，sin 3PEPFE PF∠===， 即二面角AB αβ--10．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【解析】∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==， DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，,3d ∴=∴=，∴直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 11．若四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，则在平面PAB 、平面PBC 、平面PCD 、平面PDA 和平面ABCD 中，互相垂直的平面一共有_______对. 【答案】5 【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 为正方形，故CD AD ⊥，因AD PA A ⋂=， 故CD ⊥平面PAD ，因CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理平面PBC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PDA ，而PA ⊥平面ABCD ， PA ⊂平面PAB ，故平面PAB ⊥平面ABCD ， 同理平面PDA ⊥平面ABCD ， 故共5对.填5.12．如图，四面体P ABC -中，13PA PB ，平面PAB ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，86AC BC ，，则PC_______.【答案】13 【解析】取AB 的中点E ，连接,PE EC . 因为90,8ACB AC ，6BC =，所以10AB =，所以5CE =.因为13PAPB ，E 是AB 的中点，所以,12PEAB PE.因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABC .因为CE ⊂平面ABC ，所以PE CE ⊥. 在Rt PEC ∆中，2213PC PE CE .四、解答题13．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为4，M 、N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证：BN ⊥平面1AMB ；（2）求直线AB 与平面1AMB 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析 ；（2 【解析】（1）证明：因为AB AC =且M 为BC 的中点，所以AM BC ⊥，又在正三棱柱111ABC A B C -中，因为平面11BCC B ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，且平面11BCC B ⊥平面ABC BC =， 所以AM ⊥平面11BCC B ，因为BN ⊂平面11BCC B ，所以AM BN ⊥，因为M ，N 分别为BC ，1CC 的中点，所以2BM CN ==，又因为11BB CB ==，190MBB NCB ∠=∠=︒，所以1MBB NCB ∆≅∆，所以1BMB CNB ∠=∠，1BB M CBN ∠=∠，所以1BMB CBN ∠=∠，90CNB CBN ∠=∠=︒，所以1BN B M ⊥，又因为AM ⊂平面1AMB ，1B M ⊂平面1AMB ，1AM B M M ⋂=，所以BN ⊥平面1AMB .（2）设1BN B M O ⋂=，由（1）可知BO ⊥平面1AMB ，所以AO 为斜线AB 在平面1AMB 内的射影，所以BAO ∠为AB 与平面1AMB 所成的角，由题可知AN BN ===所以ABN ∆为等腰三角形，作NE AB ⊥于E ，则E 为AB 的中点，所以4NE ==，由等面积法可知AB NE AO BN ⨯===，在Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，所以cos 45AO BAO AB ∠===，所以直线AB 与平面1AMB14．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱,PD a PA PC ===，求证：（1）PD ⊥平面ABCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ；（3）二面角P BC D --的平面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【解析】（1）,,PD a DC a PC ==，222PC PD DC ∴=+.PD DC ∴⊥.同理可证PD AD ⊥.,AD DC D ⋂=PD ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥.∵四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥.又BD PD D ⋂=，AC ∴⊥平面PBD . 又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD .（3）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥.又,BC DC PD DC D ⊥⋂=，BC ∴⊥平面PDC .PC ⊂平面PDC ，BC PC ∴⊥.PCD ∴∠为二面角P BC D --的平面角.在Rt PDC 中，,45PD DC a PCD ==∴∠=︒.∴二面角P BC D --的平面角的大小为45°.15．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，E ，F 分别是A D ''和CC '的中点．（1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值．（2）在棱BB '上是否存在一点P ，使得二面角P AC B --的大小为30？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3．（2）存在，3． 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，又∵E 为A D ''中点，∴EG A B AB ''，连结GF ，则FEG ∠即为异面直线EF 与AB 所成角， ∵F 为CC '中点，正方体边长为2，∵2EG A B ''==，EF =∴cos EG FEG EF ∠==故异面直线EF 与AB （2）存在，在棱BB '上取一点P ，由题意可知，BP ⊥面ABC ，连结AC ，BD 交于点O ，易知BO AC ⊥，BO =， 连结PO ，则POB ∠为二面角P AC B --的平面角，当30POB ∠=︒时，即tan PB POB BO ∠==解得BP =，∴当3BP =时，二面角P AC B --的大小为30︒．。