椭圆及其性质课件-2023届高三数学一轮复习
专题8.5 椭圆及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第八篇 平面解析几何
专题8.05 椭圆及其几何性质
【考试要求】
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
【知识梳理】
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)
图形
性质范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝ca∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【微点提醒】
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
2014届高三数学一轮复习导学案：椭圆的标准方程与几何性质(2)
1 课题：椭圆的标准方程和几何性质（2） 班级 姓名：
一：学习目标
会判断直线与椭圆的位置关系，能解决与弦有关的问题.
二：课前预习
1、由222222ykxmbxayab得'2'''2''0,4axbxcbac，
（1） 0（ ）直线与椭圆相交（切、离）；
（2）相交时，弦AB中点坐标为 ；弦长AB=
2、椭圆221123xy的焦点为12FF和，点P在椭圆上，若线段P1F的中点在y轴上，则P1F是P2F的 倍.
3、若椭圆22221(0)xyabab的离心率为512，A为左顶点，F是右焦点，B为短轴的一个端点，则AFB=
4、椭圆2212516xy上点P到直线x+2y+9=0的距离的最大值为 ，最小值为 。
5、当k变化时，直线y=kx+1与椭圆2215xym总有公共点，则m的取值范围是
三：课堂研讨
例1、 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线x-y+1=0与椭圆
相交于点A、B，且OAOB,102AB,求椭圆的方程.
例2、已知椭圆22221(0)xyabab与过点A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率为32. 备 注
2 （1）求椭圆的方程；（2）设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，M为线段2AF的中点，求证2122ATAFAF.
例3、已知椭圆22143xy上有两点A、B.
（1）若AB的中点为1(,1)2P,求直线AB的方程；
（2）若A、B关于直线y=4x+m对称，求实数m的取值范围.
3 课堂检测——椭圆的标准方程和几何性质（2） 姓名：
1、设椭圆22221(0)xyabab的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P2(,0)ac所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为
2023年高考数学一轮总复习第39讲：椭圆
第1页共12页2023年高考数学一轮总复习第39讲：椭圆
【教材回扣】
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F
2的距离的________等于________(大于|F
1F
2|)的点的轨迹叫做椭
圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________.
集合P＝{M||MF1|＋|MF
2|＝________}，|F
1F
2|＝2c＜2a，其中a＞0，c＞0，且a，c为常
数．2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)y2
a2＋x2
b2＝1(a＞b＞0)
图形
性
质范围________________________________
对称性对称轴：________
对称中心：________
顶点A
1______，A
2______
B
1______，B
2______A
1______，A
2______
B
1______，B
2______
轴长轴A1A
2的长为________短轴B1B
2的长为________
焦距|F1F
2|＝________
离心率e＝c
a，e∈________
a，b，c
的关系c2＝________
【题组练透】
题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．平面内与两个定点F
1，F
2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
2．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()
3．椭圆上一点P与两焦点F
1，F
2构成△PF
1F
2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴
长，c为椭圆的半焦距)．()
4.x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)与y2
a2＋x2
b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．()
题组二教材改编
1．(多选题)椭圆x2
25＋y2
9＝1与椭圆x2
25－k＋y2
9－k＝1(k＜9)的()
A．长轴长相等B．焦点相同
C．离心率相等D．焦距相等
2．如果椭圆x2
100＋y2
36＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F
2
的距离是()
专题 椭圆(知识点讲解)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(解析版)
1 / 18 专题9.3 椭圆（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
一．椭圆的定义及其应用
1.椭圆的概念
(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)代数式形式：集合
①若，则集合P为椭圆；
②若，则集合P为线段； 1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.acac
2 / 18 ③若，则集合P为空集．
2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，
二．椭圆的标准方程
1. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴，；
（2）焦点在轴，.
2．满足条件：
三．椭圆的几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质 条件
图形
标准方程
范围
对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称
顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点
焦点
焦距 acx2222=1(a>b>0)xyaby2222=1(a>b>0)yxabx2222+=1(a>b>0)xyaby2222y+=1(a>b>0)xab22222000acabcabc＞，＝＋，＞，＞，＞22222000acabcabc＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)xyab2222y+=1(a>b>0)xabxayb,xbya,,xy,xy,0a0,b0,a,0b,0c0,c222122()FFccab＝＝
3 / 18 离心率 ，其中
通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为
四．直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系的判断
2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第3讲椭圆双曲线抛物线
第3讲 椭圆、双曲线、抛物线
[考情分析] 高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭
圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法
求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
答案 D
解析 椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周
长为16，可得2a＋2c＝16，
椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C
的方程为＋＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上
且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B．3C.D．2
答案 B
解析 方法一 由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
1所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.
第27讲 椭圆(解析)-2023年高考一轮复习精讲精练必备
第27讲椭圆
学校____________姓名____________班级____________
一、知识梳理
1.椭圆的定义
如果F
1，F
2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F
1F
2|，则平面内满
足|PF
1|＋|PF
2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F
1，F
2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F
1F
2|称为椭圆的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P||PF
1|＋|PF
2|＝2a}，|F
1F
2|＝2c，其中a＞0，c＞0，
且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)
图形
性
质范围－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点A
1(－a，0)，A
2(a，0)，
B
1(0，－b)，B
2(0，b)A
1(0，－a)，A
2(0，a)，B
1(－
b，0)，B
2(b，0)
轴长轴A
1A
2的长为2a；短轴B
1B
2的长为2b
焦距|F
1F
2|＝2c
离心率e＝c
a∈(0，1)
a，b，c的关
系c2
＝a2
－b2二、考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知
1F
，
2F
是两个定点，且
122FFa
（a
是正常数），动点
P满足
2
121PFPFa
，则动点
P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【答案】C
【详解】
解：因为212aa（当且仅当1a时，等号成立)
，所以
1212||||||PFPFFF
，
当0a
且1a
时，
1212||||||PFPFFF
，此时动点
P的轨迹是椭圆；
当1a时，
1212||||||PFPFFF
，此时动点
P的轨迹是线段
12FF
．
故选：C．
【典例1-2】已知椭圆22
1
43xy
的两个焦点为
1F
，
2F
，过
2F
的直线交椭圆于M，N
两
点，若
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第九章 9.5椭圆-(学生版+教师版)
椭圆
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0) y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)
图形
性
质 范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝ca∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.
题型一 基础
【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(6)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
2022版新高考数学一轮复习教师用书：第8章 第5节 第1课时 椭圆及其性质
椭圆
[考试要求]
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)
图形
性
质 范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝ca，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[常用结论]
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质
椭圆的定义、方程及几何性质
【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）
主干知识归纳
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1) 若ca，则集合P为椭圆；
(2) 若ca，则集合P为线段；
(3) 若ca，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 2222byax＝1(a＞b＞0) 2222bxay＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1)0,(a，A2)0,(a，
B1),0(b，B2),0(b A1),0(a，A2),0(a，
B1)0,(b，B2)0,(b
轴 长轴A1A2的长为a2，短轴B1B2的长为b2.
焦距 |F1F2|＝c2
离心率 e＝ac，e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝22ba
3. 椭圆中常见的结论
（1）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.
（2）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过0P作椭圆的两条切线切点为1P、2P，则切点弦1P2P的直线方程是00221xxyyab.
（3）椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.
（4）A、B是椭圆22221(0)xyabab长轴的端点，M),(00yx为椭圆上任意一点，则22MAMBbkka，
方法规律总结
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程
【本讲主要内容】
椭圆的定义、性质及标准方程
椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 椭圆的定义：
⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。
定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。
②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：
标准方程 )0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222babxay
中心在原点，焦点在y轴上
图形
范围 xayb， xbya，
顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12120000AaAaBbBb，、，，、，
对称轴 x轴、y轴；
长轴长2a，短轴长2b；
焦点在长轴上 x轴、y轴；
长轴长2a，短轴长2b；
焦点在长轴上
焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，
焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF 离心率 )10(eace )10(eace
准线 2axc 2ayc
参数方程与普通方程 22221xyab的参数方程为
cossinxayb为参数 22221yxab的参数方程为
cossinyaxb为参数
3. 焦半径公式：
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。