高三数学一轮复习 3.3 等比数列及其性质课件 理大纲人教
5.设各项都为正数的等比数列{an}中,若第五项与第六项的积
为81,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（ ）
(A)5
(B)10
(C)20
(D)40
【解析】选C.log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3（a1·a2·…·a10） =log3(a1·a10)(a2·a9)…(a5·a6) =log3(a5·a6)5 =log3815=5×4=20.
2 14 2 3
【规律方法】
（10分）已知数列{an}，a1=8,当n∈N*时,an+1= 6 a n . 是否存在a,b使{ a n a }为等比数列?如存在,求出a n a,2b的值;如 不存在,说明理由a.n b
【解析】
为5,
因此为第6项.
答案:6
7.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+ a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比 数列{bn}中,若b9=1,则有等式____成立. 【解析】对应于等差数列和的性质,等比数列具有相应积的性 质,分析已知条件,注意到1+19=2×10,又1+17=2×9,猜想答 案应是:b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17,n∈N*). 答案：b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17,n∈N*）
【解析】选B.当q=1时,Sn=na1,显然不存在满足条件的实数k,
当∵ q≠a为11 时定,值Sn,=公比a1q1>(10q,qn)
a1,
a1 qn
1q 1q
1q
∴要使存在实数k,使Sn<k恒成立,需qn→0,
即0<q<1.
4.（2010·昆明模拟）已知数列{an}对于任意的p,q∈N*，有
ap+q=ap·aq,若a1= 2 ,则a18的值为（ ）
2.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的
2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项
数为（ ）
(A)12
(B)10
(C)8
(D)6
【解析】
3. 设 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn,an>0, 若 存 在 实 数 k, 使 得 Sn<k恒成立,则公比q的取值范围是（ ） (A)q<1 (B)0<q<1 (C)q>1 (D)q<-1
(A)32
(B)256
(C)512
(D)1 024
【解析】选C.令q=1,则ap+1=ap·a1, ∴{an}为等比数列，公比为a1= 2, ∴a18=a1·q17= ( 2 )=1 8512.
5.设各项都为正数的等比数列{an}中,若第五项与第六项的积
为81,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（ ）
a 2n
(2)如果数列{bn}前3项的和等于
7 24
,求数列{an}的首项a1和
公差d.
【解析】(1)∵lga1、lga2、lga4成等差数列,
∴2lga2=lga1+lga4,即a
2 2
=a1·a4.
又设等差数列{an}的公差为d,
则(a1+d)2=a1(a1+3d),
由此得d2=a1d,从而d(d-a1)=0.
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.已知数列{an},则“点An(n,an)在指数函数y=2x的图象上”
是“数列{an}为等比数列”的（ ）
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
7. 在 等 差 数 列 {an} 中 , 若 a10=0, 则 有 等 式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质, 相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式_____成立. 【解析】对应于等差数列和的性质,等比数列具有相应积的性 质,分析已知条件,注意到1+19=2×10,又1+17=2×9,猜想答 案应是:b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17,n∈N*). 答案：b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17,n∈N*）
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.已知数列{an},则“点An(n,an)在指数函数y=2x的图象上”
是“数列{an}为等比数列”的（ ）
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.由题意知,an=2n,∴{an}是等比数列, 但反之则不成立,故选A.
(A)5
(B)10
(C)20
(D)40
【解析】选C.log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3（a1·a2·…·a10） =log3(a1·a10)(a2·a9)…(a5·a6) =log3(a5·a6)5 =log3815=5×4=20.
二、填空题（每小题3分，共9分） 6.正项等比数列{an}的首项a1=2-5,其前11项的几何平均数为 25,若前11项中抽去一项后的几何平均数仍是25,则抽去的一 项的项数为____. 【解析】(a1)11·q1+2+…+10=255 q55=2110 q=22,抽取一项 后,(a1)10qx=250 qx=2100 x=50,则抽取的一项q的指数为 5,因此为第6项. 答案:6
8.(2010·哈尔滨模拟)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为
Sn,则
S4 a4
=____.
【解析】
答案：
三、解答题（共16分）
9.（8分）已知{an}是各项为不同的正数的等差数列,lga1、
lga2、lga4成等差数列.又bn= 1 ,n=1,2,3,….
(1)证明{bn}为等比数列;
当q≠1时,Sn=
∵ 为定值,公比q>0,
∴要使存在实数k,使Sn<k恒成立,需qn→0, 即0<q<1.
4.（2010·昆明模拟）已知数列{an}对于任意的p,q∈N*，有
ap+q=ap·aq,若a1= 2 ,则a18的值为（ ）
(A)32
(B)256
(C)512
(D)1 024
【解析】选C.令q=1,则ap+1=ap·a1, ∴{an}为等比数列，公比为a1= 2, ∴a18=a1·q17=( 2)18=512.
∵d≠0,∴d=a1≠0.
a2n=a1+(2n-1)·d=2n·d,bn=a12n
1 d
,
1 2n
∴{bn}是以
1为首项,以 2d
为公1 比的等比数列.
2
(2)∵b1+b2+b3=2 1 d
(1+1
2
+
1 )=
4
,7
24
∴d=3,∴a1=d=3.
10.（8分）(2010·重庆模拟）在数列{an}中，a1=2,an+1=4an3n+1,n∈N*.
Sn=
（10分）已知数列{an}，a1=8,当n∈N*时,an+1=
是否存在a,b使{
}为等比数列?如存在,求出a,b的值;
如不存在,说明理由. 【解析】设存在实数a,b,则
令
则a,b为方程 =x,即x2-x-6=0的两根, a=3 a=-2
∴ b=或-2 b.=3 此时 ∴数列{ }为以 为公比的等比数列.
(1)证明{bn}为等比数列;
a 2n
(2)如果数列{bn}前3项的和等于 2 7 4 ,求数列{an}的首项a1和公
差d.
【解析】(1)∵lga1、lga2、lga4成等差数列, ∴2lga2=lga1+lga4,即a22=a1·a4. 又设等差数列{an}的公差为d, 则(a1+d)2=a1(a1+3d), 由此得d2=a1d,从而d(d-a1)=0.
二、填空题（每小题3分，共9分）
6.正项等比数列{an}的首项a1=2-5,其前11项的几何平均数为 25,若前11项中抽去一项后的几何平均数仍是25,则抽去的一
项的项数为____.
【解析】(a1)11·q1+2+…+10=25 5 q55=2 110 q=22,抽取一
项
后,(a1)10qx=250 qx=2100 x=50,则抽取的一项q的指数
【解析】选A.由题意知,an=2n,∴{an}是等比数列, 但反之则不成立,故选A.
2.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的
2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项
数为（ ）
(A)12
(B)10
(C)8
(D)6
【解析】选C.设该数列为{an},公比为q, 则a2+a4+…+an=2(a1+a3+…+an-1),
∵d≠0,∴d=a1≠0.
a
2=n a1+(2n-1)·d=2n·d,bn=
1 a 2n
=
1 d
•,
1 2n
∴{bn}是以
为1 首项,以
2d
为公1 比的等比数列.
2
(2)∵b1+b2+b3=2 1 d
(1+12+14)7=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ24
,
2014版高考数学一轮总复习 第33讲 等差、等比数列的综合应用课件 理 新人教A版
4.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n＝ 30 .
【解析】由已知及等比数列{an}的性质知， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n 也成等比数列， 从而(S2n－2)2＝2(14－S2n)， 又 Sn>0，所以 S2n＝6， 于是(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)， 即(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)，所以 S4n＝30.
素材1
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 公差 d<0， 满足 S12>0， S13<0，求 Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值．
a1＋a12×12 【解析】因为 S12＝ ＝6(a6＋a7)>0， 2 a1＋a13×13 S13＝ ＝13a7<0， 2 所以 a6>0，a7<0，故当 n＝6 时，S6 取最大值．
备选例题
(2010· 泰州市质检)在数列{an}中， 1＝1,3anan－1＋an－an a
－1
＝0(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 λan＋ ≥λ 对任意 n≥2，n∈N*恒成立，求实数 a n＋ 1 1
λ 的取值范围．
1 【解析】(1)将 3anan－1＋an－an－1＝0，整理可得a ＝1＋3(n n －1)＝3n－2， 1 所以 an＝ (n≥2)． 3n－2 当 n＝1 时，a1＝1，也满足上式， 1 所以{an}的通项公式为 an＝ . 3n－2
【解析】因为 a5·2n－5＝22n(n≥3)，且{an}成等比数列， a 则 a1·2n－1＝a3·2n－3＝a5·2n－5＝„＝22n＝a2. a a a n 令 S＝log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1， 则 S＝log2a2n－1＋log2a2n－3＋„＋log2a1， 所以 2S＝log2[(a1·2n － 1)(a3·2n － 3)„(a2n － 3·3)(a2n － 1·1)]＝ a a a a log2(22n)n. 所以 2S＝2n· n，故 S＝n2.
高中数学 3.3等比数列及其性质配套课件 理 新人教A版
【即时应用】
(1)思考:G2=ab是a，G，b成等比数列的什么条件？G= ab 呢？ 并说明理由.
提示:G2=ab是必要不充分条件；
G= ab 既不是充分条件也不是必要条件. 因为若G=0，a=0，则有G2=ab，G= ab ，而a，G，b不是等比数 列；若a，G，b成等比数列，则 G b ，
【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q≠1, 又a1=1,∴5(1+q)= 1 q4 ,
1 q
∴q2=4,又q＞0,
∴q=2.
∴a5=a1q4=1×24=16. 答案：16
(2)设{an}的公比为q，由题意得
a1q 6a1
6 a1q2
， 30
解得 aq123 或 aq132,
aG
所以G2=ab，不能推出G= ab .
(2)思考:若a，b存在等比中项，则a，b应满足什么条件？ 提示:a，b同号(a·b＞0)时，a，b存在等比中项，即a，b同为 正或同为负时，a，b存在等比中项.
(3)若等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5 项为______.
aa11qq52
2 16
解得
a1
1 2，
q 2
∴an= 1 ×2n-1=2n-2.
2
答案：(1) 2 (2)an=2n-2
8
3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，则G叫做 a与b的等比中项，且_G_2_=_a_b_，即G=___a_b_.
【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0. (2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列. (3)当a=0时,不满足等比数列的概念,故不一定是等比数列. (4)是等比数列. 答案：(1)否 (2)否 (3)否 (4)是
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章 数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
则a4a5a6＝5 2.
3.在正项等比数列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝ 6，则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)＝12x，数列{bn}满足条件 b1＝2，f(bn ＋1)＝f（－31－bn），(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式； ②设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a＝λb，所以12Sn＝2n－1，
Sn＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2) ＝2n，
1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 an，an＋m，an＋ 2m，…(n，m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
≤49，
∴ak(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211（11－－4445）＝2101－32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，向量 a＝(Sn，
1)，b＝2n－1，12，满足条件 a＝λb，λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
②cn＝bann＝3n2－n 1，
Tn＝221＋252＋283＋…＋32nn－－14＋3n2－n 1
①
12Tn＝222＋253＋284＋…＋3n2－n 4＋32nn－＋11
高三一轮复习等比数列课件
判断性质
根据通项公式判断等比数 列的性质，如公比、项数 等。
求解问题
利用通项公式解决等比数 列相关的问题，如求和、 判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等 差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8， 则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等 ，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数） 。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连 续性。
04 等比数列在实际生活中的 应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付 时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的 公比，用a_1表示第一项，用n表 示项数。
高考一轮复习理科数学课件等比数列的概念及基本运算
通过绘制等比数列的图像，可以更直观地了解放射性元素的衰变速度。
等比数列在解决实
04
际问题中应用
增长率问题建模
复合增长率计算
利用等比数列的求和公式 ，可以计算一定时期内的 复合增长率，从而预测未 来的发展趋势。
连续增长问题
当某个量按照固定的比例 连续增长时，可以利用等 比数列的通项公式求解任 意时刻的数值。
02
通过设定方程，利用求和公式解出首项或公比。
等比数列在实际问题中的应用
03
如分期付款、复利计算等场景，可转化为等比数列求和问题进
行求解。
乘除法运算规则
等比数列的乘法运算
两个等比数列对应项相乘，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比之积。
等比数列的除法运算
一个等比数列除以另一个等比数列，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比 之商（分母数列公比不能为0）。
生物学中细胞分裂模型
细菌繁殖
细菌在适宜的环境下会进行二分裂繁殖，即一个细菌分裂成 两个细菌，然后这两个细菌再分别分裂成四个细菌，以此类 推。这种繁殖方式可以用等比数列来描述。
放射性物质衰变
放射性物质会不断地放出射线并衰变成其他物质。在衰变过 程中，放射性物质的原子数会按照固定的比例减少，这种变 化也可以用等比数列来描述。
。
这个相等的比值被称为公比，通 常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a, aq, aq^2, aq^3, ...，其中a是首项
，q是公比。
等比中项概念
01
等比中项是指在一个等比数列中 ，如果两项a和b的等比中项为c， 则c的平方等于a和b的乘积。
02
等比中项的性质是：若a、G、b 依次为等比数列的三项，则G叫 做的等比中项，且G^2=a+b（ 等比中项的平方等于前项与后项 之积）。
等比数列高三一轮复习PPT课件
第四单元 │ 命题趋势
２．解答题多是等差数列、等比数列与函 数、不等式、方程、解析几何相联系的综合 题，考查思维能力，解决问题的能力及综合 运用数学思想方法的能力，综合性较强，难 度一般不会太大．数列的证明题是近年高考 命题的又一大趋势，着重考查逻辑推理能力 和综合运用知识解决问题的能力．
３．数列有关的应用题在高考题中经常出 现，特别是数列建模问题，多与现实生活中 的“增长率”及“贷款利率”等问题有关， 常在客观题或解答题中出现．
第四单元 │ 知识框架 知识框架
第四单元 │ 知识框架
第四单元 │ 考纲要求
考纲要求
１．数列的概念和简单表示法 （１）了解数列的概念和几种简单的表示 方法（列表、图象、通项公式）． （２）了解数列是自变量为正整数的一类 函数．
第四单元 │ 考纲要求
２．等差数列、等比数列 （１）理解等差数列、等比数列的概念． （２）掌握等差数列、等比数列的通项公式 与前ｎ项和公式． （３）能在具体的问题情境中识别数列的等 差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应 的问题． （４）了解等差数列与一次函数、等比数列 与指数函数的关系．
预测在２０１１年的高考，对等差、等比 数列的通项公式、求和公式及性质仍会重点 考查，多数会以小题形式出现，解答题会与 不等式、函数、解析几何等知识结合，着重 考查运用递推公式、和项关系及能转化为等 差、等比数列问题的综合问题；有关数列的 证明题在高考题中出现的可能性仍然较大， 着重考查转化与化归的思想，推理与论证的 能力．
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
高考数学一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 理 新人教A版
(2)由(1)知，q＝f(c)＝c＋c 1， 又 bn＝f(bn－1)，所以 bn＝bnb－n1－＋1 1， 所以b1n＝bnb－n1－＋1 1＝bn1－1＋1， 即b1n－bn1－1＝1， 故{b1n}是以首项为b11＝3，公差为 1 的等差数列， 所以b1n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即 bn＝n＋1 2.
第二十页，共62页。
① ，
【点评】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关 于等比数列特征量 a1 和 q 的方程是求解等比数列问题的常 用方法，同时应注意，在使用等比数列前 n 项和公式时， 应讨论公比 q 是否等于 1.
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素材 (sùcái )1
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2 是 a2 和 a4 的等差中 项，求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
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【解析】设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·2n－1＝2n. Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
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二 等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判 定及证明
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＝22sin2α2＋si2ncαocso2sαα－cos2α ＝2sisni2nαα＋cocsoαs2α＝2tatna2nαα＋1 ＝2x2x＋1， 即 f(x)＝2x2x＋1.
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(2)因为 a2n＋1＝2anf(an)＝2an·2a2na＋n 1＝2a22na＋2n 1， 所以a2n1＋1＝2a22na＋2n 1＝1＋21a2n. 当 n≥2 时，a12n－2＝1＋2a1n2－1－2＝2a1n2－1－1＝12(a2n1－1－2)， 而a121－2＝2， 所以数列{a12n－2}是以 2 为首项，12为公比的等比数列．
高考第一轮复习数学：3.3 等比数列 高考数学第一轮复习教案集 新课标 人教版 高考数学第一轮复习
3.3 等比数列●知识梳理数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：a n =a 1q n －1， 推广形式：a n =a m q n －m .变式：q =mn mna a -（n 、m ∈N *）. n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q qa a q q a q na n n 或注：q ≠1时，m n S S =mnq q --11.4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3qa、qa、aq 、aq 3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数；（2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . ●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是215-215-251-251-解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B2.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于10B.2201615解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220. 答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为B.10解析：由题意列式（1－20%）n ＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈n ≥14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .答案：2n －2n ●典例剖析【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n . 剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a 解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n .评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a 2和q 来表示其他的量好解吗？该题的{a n }若成等差数列呢？【例2】 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1， ∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a n k 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.【例3】 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.① 又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列， ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.② 由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得 a n +1=1+⋅n n b b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n .∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立. ∴a n =2)1(+n n . 评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.特别提示1.{a n }为等比数列是a n +12=a n ·a n +2的充分但不必要条件.2.若证{a n }不是等比数列，只需证a k 2≠a k －1a k +1（k 为常数，k ∈N ，且k ≥2）. ●闯关训练 夯实基础1.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8B.S 8a 9＜S 9a 8 C.S 8a 9=S 9a 8解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8=－q q a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7 =q a q q q a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：Ar ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］C.（1+r ）3－1D.r解析：由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］. 答案：B3.（2003年某某，8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.解析：由题意知q q a n --1)1(1＜qa-11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数） 4.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =___________________.解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即n n a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n1. 答案：n1“*”对于任意非零自然数n 满足以下运算性质： （1）1*1=1；（2）（n +1）*1=3（n *1）. 试求n *1关于n 的代数式.解：“n *1”是一个整体，联想数列通项形式，设n *1=a n ，则a 1=1，a n +1=3a n ，得a n =3n－1，即n *1=3n －1.6.等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ， ∴qa n =a 1q n －1（∵a n ＞0）.①又S n =q q a n --1)1(1=80，②S 2n =qq a n --1)1(21=6560，③由①②③解得a 1=2，q =3，则（1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1. 培养能力7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设=a n －1，求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.（1）证明：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21. 又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即n n c c 1+=21，故数列{}是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21， ∴=－n 21，a n =+1=1－n 21，a n －1=1－121-n . 故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n 21=n 21.又b 1=a 1=21，即b n =n 21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n q q q b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nq b n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列. 必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1. 若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ， 则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d 为常数. ∴｛b n ｝为等比数列. 探究创新 9.有点难度哟！ 设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列； （2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n . （1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. ●思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明1-n na a （n ≥2）为常数； （2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. ●教师下载中心 教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”； （2）分类讨论的思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列，当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.“基本量”是解决问题的基本方法. 拓展题例【例1】 数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 解：由a n =21a n －1+1，得a n －2=21（a n －1－2）. 令b n =a n －2，则b n －1=a n －1－2，∴有b n =21b n －1. ∴b n =21b n －1=21·21b n －2=21·21·21b n －3 =…=b 1=（21）n －1·b 1. ∵a 1=1，∴b 1=a 1－2=－1. ∴b n =－（21）n －1.∴a n =2－121-n .【例2】 已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a，…，a n +1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式. 分析：由数列{log 2（a n +1－3n a）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n的一个递推关系式①；由数列{a n +1－2n a}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a n .解：∵数列{log 2（a n +1－3na ）}是公差为－1的等差数列， ∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）.① 又∵数列{a n +1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n +1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n +1）.于是有a n +1－21a n =3－（n +1）.②由①－②可得61a n =2－（n +1）－3－（n +1），∴a n =n 23－n 32.。
等比数列的性质课件-高三数学一轮复习
A. B. C. D.
解：因为 ，可得 ，所以 ，因此， .故选A.
（3）（2020年全国Ⅰ卷）设 是等比数列，且 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：设等比数列 的公比为 ，则 ， ，因此， .故选D.
√
解：因为 是等差数列，所以 ，即 ，整理得 ，因为 是各项均为正数的等比数列，所以公比 ，所以 .对于①， ， ，所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，①正确；
对于②， ， ，所以 不是不为零的常数，所以数列 不是等比数列，②错误；对于③， ， ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公差 的等差数列，③正确；对于④， ， ，又 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，1为公比的等比数列，④正确.故选B.
复习回顾：
3.已知等比数列的前项和为，则（ ）A．18 B．54 C．128 D．192
解：设等比数列的公比为，则，解得．．故选：D.
④若 ， 均为等比数列，公比分别为 , ，则 仍为等比数列，且公比为___； 仍为等比数列，且公比为_____； 仍为等比数列，且公比为_ __. ⑤当 是公比为 的正项等比数列时，数列 是等差数列，首项为 ，公差为____.
变式2.（1）【多选题】无穷数列 的前 项和 ，其中 ， ， 为实数，则( )
A. 可能为等差数列B. 可能为等比数列C. 中一定存在连续三项构成等差数列D. 中一定存在连续三项构成等比数列
解：当 且 时， ， ，A，B正确；由 ，知 ，所以除第一项外，其他项构成等差数列，C正确；当 且 时， ，易知 ，由 知，D错误.故选ABC.
等比数列的性质
（1）与项有关的性质①在等比数列 中， .②在等比数列 中，若 ， , , , , ，则 ____=____.③在公比为 的等比数列 中，取出项数成等差数列的项 </m> , <m></m> , <m> , ，仍可组成一个等比数列，公比是____.