北京交通大学硕士研究生课程《随机过程》4.1-1
. n 1, X n i.i.d ~ Exp . X n u n iu S n u , iu Sn ~ n, Erlangn,
4.1到达时间间隔与等待时间分布
四、Poisson过程的等价定义
EN t , t 600 EN 0,600 600 120000
200次 / 秒
例题
1秒内成交 100 次的概率
P N 1 100
100
100!
e
200 200 e 100!
1.88 t 是强度为 的泊松过程，则容易计 算 EN t t ,VarN t t .
目录
4.1 到达时间间隔与等待时间分布 4.1’ Poisson过程的分解 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
一、到达时刻与时间间隔 1）到达时刻序列
设 N t , t 0是一齐次 Poisson 过程，强度为 . 由PN h 2 oh知，事件是一个一个发 生的，
t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
五、到达时刻的条件分布 1）首次到达时刻的条件分布
定 理4.3 强 度 为 的齐次 Poi sson 过 程N t , t 0 的第一个到达时刻 S1在N t 1的 条 件 下 服 从 在
S1 N t 1 ~ U 0, t . 区 间0, t 上 的 均 匀 分 布 ， 即
1
1
依次类推，X n相互独立，都服从 Exp ， EXn
.
.
4.1到达时间间隔与等待时间分布
三、到达时刻序列的分布
S n , n 0,1,2,服 从 参 数 为 的到达时刻序列 n,
的 分 布 ， 即 Erl an gn, , 密 度 函 数 为
f t e
即任一时刻发生两次事 件的概率趋于 0.
生 的. 那 么 用 Sn表 示 第 n个 事 件 发 生 的 时 刻 (或 等待的时刻 ) ， 称S n , n 0为 到 达 时 刻 序 列 .
则 知0, t 内 共 发 生 了 N t次 事 件 ， 且 一 个 一 个 发
则0 S0 S1 S2 Sn .
P S1 s, N t 1 P N t 1
证明: P S1 s N t 1
P N s 1, N s ,t 0 P N t 1
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P S1 s N t 1
独立增量
P N s 1P N s ,t 0 P N t 1
t
j!
j
4.1到达时间间隔与等待时间分布
f Sn
t FS t
n
j n e
t
t
j!
j
j n e
t
e
t
t n 1!
n 1
t j 1!
j 1
证明2 : Sn X 1 X 2 X n
N t , t 0为独立平稳增量过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
(2)再证明过程服从 Poisson分布 P N t n P S n t P S n1 t
e
0 t x
x dx e x x n 1! 0 n!
P S n m s t , S n m 1 s t , S m s , S m 1 s P S m s , S m 1 s
无记忆性
P S n t , S n1 t P N t n
P Sm s, S m 1 s P Sn t , Sn1 t P S m s, S m 1 s
定 理4.1 强 度 为 的齐次 Poisson 过 程N t , t 0
证明 : P X 1 t P N t 0 e
即P X 1 t 1 - e
t t 0
t
e s ds
1
X 1 ~ Exp ， EX1
n 1 t
n
dx
y x
t
0
e
y
y y y dy e dy 0 n 1! n!
t
n 1
n
n n t y y y y e d e dy 0 n! n! 0 n n n n t t t t y y t y y y y e dy e dy e 0 0 e 0 n! n! n! n!
.
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P X 2 t X 1 s P N s , s t 0 N s 1
独立增量
P N s , s t 0
平稳增量
P N t 0 e
t
X 2与X 1独立，且也服从 Exp ，E X 2
2
2 1
N t n Sn t Sn1 t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P N s t N s n N s m P N s t N s n, N s m P N s t n m, N s m P N s m P N s m
从上图可以看出，
N t n Sn t N t n Sn t Sn1
4.1到达时间间隔与等待时间分布
二、时间间隔序列的分布
X n , n 1,2,是 独 立 同 分 的到达时间间隔序列
1 布的随机变量序列，服 且 从Exp , 均 值 为 .
N t , t 0是 强 度 为 的齐次 Poisson 过程 X n , n 1,2,i.i.d且 服 从Exp 时 间 间 隔 序 列 Sn , n 0,1,2,服 从Erlangn, 到达时刻序列
证明 : 只需证明 (1)先证明平稳独立增量性
S N t 1 S N t t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
S0 S1 S2 S3 Sn t S n 1
N t n和Sn t Sn1 都 表 示 0, t 内
恰 有n次 事 件 发 生 ；
N t n和Sn t都表示 0, t 内至少有 n次事件发生；
t
定 理4.2 强 度 为 的齐次 Poi sson 过 程N t , t 0
t , t 0 n 1!
n 1
证明1 : Sn t N t n
FSn t PS n t PN t n j n e
t
P N s 1P N t s 0 P N t 1
平稳增量
se s e t s t te
S1 N t 1 ~ U 0, t
s t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
说明
由 于Poisson 过 程 具 有 平 稳 独 立 增性 量， 从 而 事件发生时刻 S1在0, t 上 是 等 可 能 的 ， 即
EN t 于是 t
是单位时间内时间发生 的平均数 .
越 大 ， 单 位 时 间 内 平 发 均生 的 事 件 越 多 . 这正是称 为 泊 松 过 程 的 强 度 的 因 原.
目录
4.1 到达时间间隔与等待时间分布 4.1’ Poisson过程的分解 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1到达时间间隔与等待时间分布
2）时间间隔序列
X n , n 1为 到 达 时 间 间 隔 序 列 的间隔，称 .
S0 S1 S2 S3
X1 X2 X3
n 1个 事 件 到 第 则X n 表 示 第 n个 事 件 之 间
令X n S n S n- 1，n 1
随机过程
第4章 Poisson过程
授课人：刘玉婷 理学院数学系
例题
例1
上海证券交易所开盘后 ，股票买卖的依次成交 构成一个泊松过程，如 果每10分钟平均有 12万次 买卖成交，计算该泊松 过程的强度，和1秒内 成交100次的概率.
解 : 用N t 表 示 上 述 的 Poisson过 程 ， 10分 钟 内 平均成交次数是
0, t 上 有 一 个 事 件 发 生 的 况 在已知 情下 ， 该
S
1
N t 1 ~ U 0, t .
问题
10 该性质能否推广到 N t n，n 1的情形？
2 该性质是否是 Poisson 过程特有的 ？
0
随机过程第4章Markov过程（PDF）
第四章 Markov 过程本章我们先讨论一类特殊的参数离散状态空间离散的随机过程，参数为0{0,1,2,}T N ==L ，状态空间为可列{1,2,}I =L 或有限{1,2,,}I n =L 的情况，即讨论的过程为Markov 链。
Markov 链最初由Markov 于1906年引入，至今它在自然科学、工程技术、生命科学及管理科学等诸多领域中都有广泛的应用。
之后我们将讨论另一类参数连续状态空间离散的随机过程，即纯不连续Markov 过程。
§4.1 Markov 链的定义与性质一、Markov 链的定义定义 4.1设随机序列{;0}n X n ≥的状态空间为I ，如果对0n N ∀∈，及0110011,,,,,{,,,}0n n n n i i i i I P X i X i X i +∈===>L L ，有：11001111{,,,}{}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======L （4.1.0)则称{;0}n X n ≥为Markov 链。
注1：等式（4.1.0）刻画了Markov 链的特性，称此特性为Markov 性或无后效性，简称为马氏性。
Markov 链也称为马氏链。
定义4.2 设{;0}n X n ≥为马氏链，状态空间为I ，对于,i j I ∀∈，称1{}()ˆn n i j P X j X i p n +===为马氏链{;0}n X n ≥在n 时刻的一步转移概率。
注2：一步转移概率满足：()0,,()1,i j i jj Ip n i j Ipn i I ∈≥∈=∈∑若对于,i j I ∀∈，有1{}()ˆn n i j i j P X j X i p n p +===≡即上面式子的右边与时刻n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。
设{}0()(0),p i P X i i I ==∈，如果对一切i I ∈都有00()0,()1i Ip i p i ∈≥=∑，称0()p i 为马氏链的初始分布。
随机过程教学大纲
《随机过程》教学大纲课程编码：1511104303课程名称：随机过程学时/学分：48/3先修课程：《数学分析》、《概率论与数理统计》适用专业：数学与应用数学开课教研室：信息与计算科学教研室一、课程性质与任务1．课程性质：随机过程是概率论与数理统计的后继课程，是数学与应用数学专业的专业选修课。
随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征，着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。
随机过程论在理论与应用两方面都发展迅速，学习、了解这门学科对概率统计及数学其他分支如信息与计算科学、自然学科、工程技术乃至经济管理等方面的学者及科技工作者都是重要而且有益的。
本课程开设在第6学期。
2．课程任务：通过本课程的学习，学生应能较好地理解随机数学的基本思想，掌握几个常用过程，如泊松过程、马尔可夫链、生灭过程、更新过程、鞅的基本概念，基本理论及分析方法。
提高学生的数学素质，加强学生运用随机过程的思想方法开展科研工作和解决实际问题的能力。
二、课程教学基本要求《随机过程》要求在熟练掌握概率论的基础上深刻理解随机过程的基本思想，理解随机过程是概率论的动态部分的含义；掌握随机过程的分类方法及常见的随机过程（如Poisson 过程、更新过程、Markov链和鞅等）的各种性质、推广形式及简单应用。
本课程的成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章 准备知识1．教学基本要求复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布，及多维随机变量的知识；复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算；掌握条件数学期望的求法，全期望公式的意义与应用；掌握随机变量的特征函数的定义、性质与求法；理解随机变量序列的各种收敛性。
北大随机过程课件：第 4 章 第 1 讲 基本概念
{
}
非周期平稳随机过程的相关函数和功率谱是傅立叶变换对
∞
P( f ) = Rξ (τ ) =
−∞
∫ Rξ (τ )e
∞ −∞
− j 2π f τ
dτ
∫ P ( f )e
j 2π f τ
dτ
6 例题
例 1（例 P-9-12）广义平稳随机过程的积分
T
设 x(t ) 是广义平稳随机过程， s =
Rξ ξ (0 ) ≥ μ ξ
证明： 考虑到
2
，
μξ
是随机过程的均值。
Rξ ξ (0) = E ξ (t )ξ (t )
= E ξ (t ) − μ ξ ξ (t ) − μ ξ + μ ξ = D[ξ (t )] + μ ξ
2
{[
{
}
][
]}
2
D[ξ (t )] = E ξ (t ) − μ ξ ξ (t ) − μ ξ ≥ 0
t i ∈ T , i = 1,2," n 、及任意时间间隔τ和 x1 , x 2 , x3 ,", x n ∈ R ，有 n 维分布函数 Fξ ( x1 , x 2 , ", x n ; t1 , t 2 ," , t n ) = Fξ ( x1 , x 2 ," , x n ; t1 + τ , t 2 + τ ,", t n + τ ) 则称该过程为严
随机过程的基本概念
¾ 马尔科夫性质 6 马尔科夫过程与马尔科夫链的定义 6 马尔科夫过程与马尔科夫链的联合概率 二阶矩过程 6 定义 6 协方差函数和相关函数的存在性 6 自相关函数的对称性 6 自相关函数的非负定性 严平稳随机过程及其性质 宽平稳随机过程及其性质 6 定义 6 宽平稳正态过程是严平稳的 6 对称性 6 均值的平方小于平均功率 6 相关函数的模小于平均功率 6 相关矩阵的非负性 功率谱 6 周期平稳随机过程的谱分析 6 非周期平稳随机过程的谱分析 例题
随机过程 研究生 课程介绍
第0章 课程介绍及课时安排 授课人：刘玉婷 ytliu@ 理学院数学系
提纲
教材及参考书目 主要内容 考试安排
教材及参考书目
教材
《随机过程及其在金融领域中的应用》王军 王 娟 清华大学出版社 北京交通大学出版社
参考书目
《应用随机过程》 林元烈 清华大学出版社 《应用随机过程》柳金甫 李学伟 中国铁道出版 社
第4章 Poisson过程
第6课：3.5 + 4.1 第7课：4.1
复习：第15课 答疑：第16课 – 机械楼N201
考核方式
平时作业 10%
每章之后留习题若干，下次课上交 作业纸作答(不返回) ( )
期末考试 90%
闭卷 仅考所学内容
主要学习内容
第2章 概率空间
第1课：2.1 + 2.2 第2课：2.3 第3课：2.4 arkov链
第9课：5.1 + 5.2 第10课：5.2 第11课：5.3 第12课：5.3 第13课：5.4 第14课：5.5
第3章 随机过程
第4课：3.1 + 3.2 +3.3 第5课：3.4 + 3.6
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
北京交通大学研究生选课表
综合英语39徐 ,SY205
综合英语40周新 SY302
知识产权-4 陈明涛，YF604
（9-16周）
信息检索-6邓要武,SY105
（1-8周）
电磁场理论（刘瑞芳）
1-8周 多媒体
80人SY401
硕士俄语(王丽)
1-16周Z305
牵引供电系统（吴命利）
9-16周多媒体
60人第九教学楼 东102
（1-16周）
电力系统过电压保护（张小青）（1-8周）多媒体
40人SY103
动态系统的数字控制（林飞）
9-16周多媒体
60人SY109
电气优化设计（刘慧娟）
9-16周多媒体
60人SY206
电力市场与电价理论（周瑜慧）
9-16周多媒体
40人YF509
电力系统自动化（高沁翔、夏明超）
9-16周多媒体
70人YF614
综合英语9 伍 ,SY203
综合英语10孔 ,SY204
综合英语11戴 ,SY205
综合英语12徐 ,SY302
综合英语42贾 ，SY303
（1-16周）
知识产权-2 周琼，YF604
（9-16周）
信息检索-2王星华，SY201
（1-8周）
综合英语21王 ，SY102
综合英语22周新 ,SY103
综合英语23伍 ,SY104
等离子体动力学（刘文正）
1-8周多媒体
30人Z310
电力系统自动化（高沁翔、夏明超）
9-16周多媒体
70人YF609
数值分析I-7
林（北理工副教授）,SY208
（1-16周）
高等电力系统分析（吴俊勇）
北京交通大学第一学期硕士课表
1-8周90人
多媒体DQ106
最优控制理论及应用
1-8周60人
多媒体DQ305
计算机网络体系与协议
1-8周 150人
多媒体SD106
高等数字集成电路设计
1-8周40人
多媒体SY405
智能交通系统
1-6周，8-9周120人
多媒体九教东102
现代半导体器件与工艺
9-16周40人
多媒体SY405
控制工程专业外语
1-8周50人
多媒体Z306
移动IP网
1-16周100人
多媒体SY301
现代电子测量技术
1-8周30人
多媒体Z109
光电子器件理论与技术
1-8周 70人
多媒体SD108
基于模型驱动（MDA)的安全系统设计
9-16周90人
多媒体YF513
MEMS器件与设计
9-16周40人
多媒体SY103
光电子器件理论与技术
1-8周 70人
多媒体SY301
电磁兼容与测量
1-6周，8-9周60人
多媒体九教东101
4大节
14:10-16:00
交通系统状态监测与故障诊断技术
1-8周80人
多媒体YF208
无线通信新技术-1
9-16周100人
多媒体SY105
无线通信新技术-2
9-16周100人
多媒体SY106
1-8周60人
多媒体YF104
集成电路工程专业外语
1-8周 40人
多媒体SY403
多媒体信息处理和传输技术
1-8周90人
多媒体SY106
数字图像处理
1-8周60人
【北邮考研通信原理课件】第三章 随机过程
3.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程相关函数的性质
1 RX 0 E X 2 t ，是统计平均功率，与t无关 2 RX RX 需实随机过程 3 RX RX 0 4若X t T X t ，则RX T RX 5一般， 时，可以认为X t 和X t 相互独立，
所以若E
u
h
v
dudv
RX
u
v h u h v dudv
RY
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
RXY t1,t2 E X t1 Y t2
E
X
t1
h
u
X
t2
u
du
RX
u
h
u
du
RX
*
h
RXY
PXY f F RXY PX f H f
RXY t1, t2 mX t1 mY t2
3.2 随机过程的统计特性
• 不相关与独立 •
若两随机过程X t 和Y t 对任何t1,t2有 • 两随机过程C相XY互独t1立, t2，则必0定，不则相这关；两若随不相机关过，则程不不一相 定独关立
• 对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的
• 系统框图
Y
t
X
t
*h
t
X
a
h
t
a
da
h
u
X
t
u du
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• Y(t)为平稳随机过程
mY
t
E
Y
t
h
u
E
X
t
u
du
E
X
t
北京交通大学硕士研究生课程《随机过程》4.1-2
在已知 N t n的 条 件 下 ， S1， , Sn 的 联 合 密 度 为
0, t 分为n 1个小部分，取ti为充分小量，
使得 t i -1 t i t i
4.1到达时间间隔与等待时间分布
P t i Δt i Si t i ,1 i n N t n
问题
10 该性质能否推广到 N t n，n 1的情形？
2 该性质是否是 Poisson 过程特有的 ？
0
4.1到达时间间隔与等待时间分布
补充知识—顺序统计量
10 定 义 ： 设 Y1 ,, Yn是n个 随 机 变 量 ， 记 Yk 是 Y1 ,, Yn中 第k个 最 小 值 ， k 1,, n， 则 称 Y1 , Y2 ,, Yn 是 对 应 于 Y1 ,, Yn的 顺 序 统 计 量 .
k 1
s h k 1!
P N t n
k 1
e
h
h e
t s
t s e t n! n n k ! t
n k
1
s t
n k
1 t
4.1到达时间间隔与等待时间分布
说明：
s 1 P S k s N t n C t jk
又 P S 1 s , S1 s x S 2
s
P X 1 s, X 1 s x X 1 X 2 P X 1 du, X 2 s x u
0
P X 1 du, X 2 s x u P X 1 du, X 2 s x u
的 分 布 ， 即 Erl an gn, , 密 度 函 数 为
概率论与随机过程习题集(北邮研一专硕)
+
2ωτ
+
2θ
)
1 2π
dθ
=
0
则：
RY
(t,t
+τ
)
=
A4 E
⎡⎣⎢1 −
cos
( 2ωt
+
2Θ)
−
cos
( 2ωt
+
2ωτ
+
2Θ)
+
1 2
cos
( 4ωt
+
2ωτ
+
4Θ )
+
1 2
cos
( 2ωτ
)⎤⎥⎦
=
1 4
A4 E
⎡⎢⎣1 +
1 2
cos
( 2ωτ
)⎤⎥⎦
=
1 4
A4
⎡⎢⎣1 +
1 2
cos
则： mX (t ) = E ⎡⎣ X (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ Acos (ωt ) + B sin (ωt )⎤⎦ = cos (ωt ) E ( A) + sin (ωt ) E ( B) = 0 X (t ) 的相关函数为：
RX (t1,t2 ) = E ⎡⎣ X (t1 ) X (t2 )⎤⎦ = E ⎡⎣ A cos (ωt1 ) + B sin (ωt1 )⎤⎦ ⎡⎣ A cos (ωt2 ) + B sin (ωt2 )⎤⎦
i1 2
⎞ ⎟⎠
+
2i1⎤⎥⎦
=
1 2
方差σ
2 X
(t
)
=
E
⎣⎡ X
2
(t
)⎦⎤
−
⎡⎣mX