非线性控制系统研究2
非线性系统李雅普诺夫稳定性分析(2)
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
xf(x)x13x1x2x2x23
解 由于f(x)连续可导且
f ( x ) f ( x ) ( 3 x 1 x 2 ) 2 ( x 1 x 2 x 2 3 ) 2 0
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
J(x) fx(x)13
➢ 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。
✓ 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。
➢ 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
fi
(0)
ki,1
fi
0 (xi xi
)
ki,2
xi 0
fi( x i)
k i,2 x i fi( x i) k i,1 x i
xi
图5-8 一类静态非线性特性
➢ 上述非线性函数fi(xi)为通过坐标原点,且介于直线ki,1xi和 ki,2xi之间的任意形状的曲线函数,因此具有一定的代表性, 可用来描述一大类非线性系统。
x14
a12 2
x
1
1
a22
x
a12
➢ 由于0<a12<a22,故V(x)是正定的。 ✓ 因此,该系统原点是渐近稳定的。
✓ 当||x||→∞时,有V(x)→∞,所以该系统原点是系统大范 围渐近稳定的。
阿依捷尔曼法(1/10)
5.4.3 阿依捷尔曼法
非线性-二阶系统的MATLAB仿真设计
非线性-二阶系统的MATLAB仿真设计
介绍
本文档旨在介绍如何使用MATLAB进行非线性二阶系统的仿
真设计。
非线性系统在现实世界中广泛存在，因此了解其行为和性
能对于工程师和研究人员来说至关重要。
步骤
步骤1: 定义系统模型
首先，我们需要定义二阶非线性系统的模型。
在MATLAB中，可以使用差分方程或状态空间模型来表示系统。
确保将系统的非线
性特性准确地考虑在内。
步骤2: 设定仿真参数
在进行仿真之前，需要设定仿真的时间范围和步长。
这会影响
仿真的精度和计算时间。
根据系统的特性和需求，选择适当的仿真
参数。
步骤3: 编写仿真代码
使用MATLAB编写仿真代码，将系统模型和仿真参数整合在
一起。
在仿真代码中，可以使用MATLAB的函数和工具箱来实现
系统的数值模拟。
步骤4: 运行仿真
运行仿真代码，并观察系统在仿真时间内的行为。
通过分析仿
真结果，可以评估系统的稳定性、响应时间和稳态误差等性能指标。
步骤5: 分析和优化
根据仿真结果进行系统分析，找出系统存在的问题或改进的空间。
可以通过调整模型参数、改变系统结构或应用控制策略等方式
进行系统优化。
结论
通过MATLAB的仿真设计，可以更好地理解和分析非线性二
阶系统的行为。
这为工程师和研究人员提供了一个强大的工具，用
于系统设计和性能优化。
请注意，本文档仅为提供仿真设计的基本步骤，并不涉及具体的系统模型或实际应用。
具体问题需要根据实际情况进行进一步研究和分析。
非线性控制系统(2)
{
}
2. 解对函数 的连续依赖关系： 解对函数f的连续依赖关系 的连续依赖关系：
存在一个函数序列f 一致收敛于f。 存在一个函数序列 m，当m→∞时， fm一致收敛于 。 时
ɺ 对于每个函数fm，方程x = f m (t , x), x(t0 ) = x 0的解由x m (t )表示。
如果当m→∞时，xm(t) →x(t)，就说解连续依赖于函数 。 时 如果当 ，就说解连续依赖于函数f。
常数L）都满足Lipschitz条件，那么f (t , x)在 [ a, b ] × W内对于x是Lipschitz的。
当f : R → R时，Lipschitz条件为 f ( y) - f ( x) ≤L y−x
引理3.1 设f : [ a, b ] × D → R n 在某一定义域D ⊂ R n内是连续的。 W ⊂ D，存在一个常数L ≥ 0，使得在 [ a, b ] × W内 ∂f (t , x) ≤ L ∂x
如果始于y 如果始于 0附近的解定义在同一时间区间且在这一区间 内彼此接近， 内彼此接近，则该解连续依赖于y0 。
给定ε > 0，存在δ > 0，使得对于球 x ∈ R n x − y 0 < δ 内的 ɺ 所有z0，方程x = f (t , x), z (t0 ) = z 0在 [t0 , t1 ]内有惟一解z (t )，且 对于所有t ∈ [t0 , t1 ] 满足 z (t ) − y (t ) < ε。
[ a, b ] × D内是连续的，那么f在 [ a, b] × D上对于x是局部Lipschitz的。
[∂f
∂x ] 在 [ a, b ] × R n上一致有界时，f在 [ a, b ] × R n上对于x是全局Lipschitz的。
复杂系统控制中的非线性最优控制技术研究
复杂系统控制中的非线性最优控制技术研究随着科技的发展，越来越多的实际问题需要用到复杂系统控制技术。
而复杂系统往往具有多变、非线性等特点，如何实现复杂系统的最优控制是一个难点。
本文将从非线性最优控制技术的角度探讨该问题。
一、复杂系统控制中的非线性最优控制在复杂系统控制中，最优控制是一种常用的方法，其目的是在控制系统中选取最佳的控制变量，使系统响应更快、更稳定、误差更小，控制系统的性能更优。
而非线性最优控制则是通过对非线性系统的数学建模与分析，运用最优控制原理，研究非线性系统的最优控制方法。
非线性最优控制方法有多种，其中最常用的是基于泛函分析的方法、基于逆动力学的方法、基于模糊理论的方法、基于神经网络的方法等。
这些方法的本质都是将最优控制问题转化为极值问题，通过求解极值问题得到最优控制方式。
二、基于变结构控制的非线性最优控制研究变结构控制是一种最优控制的分支，它主要是针对复杂系统中的非线性问题所提出的一种方法。
该方法的核心思想是利用系统控制变量的“切换”行为，对复杂系统进行有效地控制。
基于变结构控制的非线性最优控制研究主要分为两大类：一类是利用变结构控制对不确定性系统进行控制，这类系统的特点是系统模型难以精确定量化；另一类是利用变结构控制对跳跃系统进行控制，这类系统的特点是系统状态难以连续变化。
三、基于随机过程的非线性最优控制研究随机过程是一种具有随机性质的过程，它的发展促进了控制系统理论的进步。
在非线性最优控制研究中，基于随机过程的方法是一种常用的数学建模方式。
该方法是将非线性系统建模为一个随机过程，通过对随机过程的分析求解最优控制问题。
基于随机过程的非线性最优控制研究主要包括两个方面：一是随机过程的数学性质的分析，二是通过分析随机过程的特性来获取最优控制策略。
四、基于鲁棒控制的非线性最优控制研究鲁棒控制是一种针对带有不确定性的系统提出的控制方法，该方法的核心思想是通过系统建模与鲁棒分析得到鲁棒控制器，对系统进行控制。
非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)
0 ]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双 2.平衡点[ 曲线;
0]到[ 3.从[
0]或相反的连线为分界线;
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动，其幅值是x 在相图中所取得的最大值。分 界线以外单摆能量E 超过势能 曲线的极大值，轨道就不再闭 合，单摆作向左或向右方向的 旋转运动（x.符号不变，x持 续增大或减小）。上下部分的波浪线的波动现象是由于 重力的影响，速度越大，波动越小。
x
dx
dx
y
某一具体相轨可以要求其通过特定的点(x,y)得到，将这 一特定的点作为初始状态(x0,y0),其中： （10）
y ( x0 ) y 0
完整的带有方向的相轨构成系统的相图 再来讨论对应常值解的相图上的平衡点
dy f ( x, y ) 0 dt dx y0 dt
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
推断出微分方程解的重要性质。本章介绍一种应用非 常广泛的几何工具相平面方法，直接根据动力学系统 的微分方程来研究平衡点、周期性、解的渐进性、稳 定性等。经典力学中的单摆问题可以用来说明相平面 法如何揭示微分方程的主要动力学特性。
三阶非线性
3.3.3 三阶非线性控制系统一．实验要求1． 了解和掌握非线性控制系统重要特征—自激振荡，极限环的产生及性质。
2． 了解和掌握用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性和自振荡的原理。
3． 观察和分析二种三阶非线性控制系统的相平面图。
二．实验原理及说明1． 非线性控制系统重要特征——自激振荡非线性控制系统在符合某种条件下，即使没有外界变化信号的作用，也能产生固有振幅和频率的稳定振荡，其振幅和频率由系统本身的特性所决定；如有外界扰动时，只要扰动的振幅在一定的范围内，这种振荡状态仍能恢复。
这种自振荡只与系统的结构参数有关，与初始条件无关。
对于非线性系统的稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并且可以测量得到。
振幅可用负倒特性曲线-1/N(A)曲线的自变量A 的大小来确定，而振荡频率由线性部分的G （j ω）曲线的自变量ω来确定。
注：所得的振幅和频率是非线性环节的输入信号的振幅和频率，而不是系统的输出信号。
产生自振荡的条件为：1)()(=A N j G ω πω−=∠+∠)()(A N j G （3-3-20）产生自激振荡在三阶非线性控制系统中是常见的，因此在这里作详细说明。
注：线性控制系统虽能也能产生等幅振荡，但这是在临界稳定的情况下才能产生，一旦系统系数发生微小变化，这种临界状就将被破坏，振荡将消失。
2． 极限环的研究在非线性控制系统出现的自振荡现象，在相平面图中将会看到一条封闭曲线，即极限环。
极限环的类型有： ①．稳定的极限环当∞时，相轨迹从内部或外部卷向极限环。
②．不稳定的极限环当③．半稳定的极限环当轨迹卷离极限环。
在一些复杂的非线性控制系统中，有可能出现两个或两个以上的极限环。
3． 用描述函数法分析非线性控制系统 ⑴ 描述函数的定义非线性环节的描述函数的定义为非线性环节的输入正弦波信号与稳态输出的基波分量的复数比。
描述函数法是非线性控制系统的一种近似分析法。
主要是用来分析无外作用的情况下，非线性控制系统的稳定性和自振荡问题。
非线性系统辨识与控制算法研究
非线性系统辨识与控制算法研究第一章：引言非线性系统广泛存在于现实生活中，从大气环境、机械系统到经济系统，都涉及到非线性问题。
非线性系统辨识与控制是研究非线性系统的一个重要方向，它关注如何识别非线性系统的参数和结构，并开发出针对这些系统的控制策略。
在这篇文章中，我们将探讨非线性系统辨识与控制的算法研究。
第二章：非线性系统辨识非线性系统的辨识是指通过实验或仿真来确定非线性系统的参数和结构。
传统的线性系统辨识方法，如最小二乘法和系统辨识工具箱，只适用于线性系统。
非线性系统辨识则需要使用更为复杂的方法。
2.1 基于神经网络的非线性系统辨识算法神经网络是一种模拟大脑神经元的计算模型，具有强大的非线性映射能力。
因此，基于神经网络的非线性系统辨识算法已经成为了较为成熟的算法之一。
该算法通过构建一个神经网络模型，利用实验数据进行训练，从而识别出非线性系统的参数和结构。
2.2 基于遗传算法的非线性系统辨识算法遗传算法是模拟生物进化过程的一种优化方法，它可以在搜索非线性系统参数空间时获得更好的结果。
基于遗传算法的非线性系统辨识算法通过构建一个优化模型，将非线性系统的参数作为待优化变量，利用遗传算法进行求解，从而获得非线性系统的参数和结构。
第三章：非线性系统控制非线性系统控制是指控制非线性系统的输出以达到一定的目标。
与线性系统控制不同，非线性系统控制需要考虑非线性系统的特征，如不确定性、耦合、时变性等等。
因此，非线性系统控制需要更为复杂的算法。
3.1 基于模糊逻辑的非线性系统控制算法模糊逻辑是一种能够应对不确定性问题的数学工具，它适用于非线性系统控制中的决策和规划问题。
基于模糊逻辑的非线性系统控制算法通过建立一组模糊规则，并利用这些规则对输入输出进行映射，生成控制规则集。
这种算法在处理非线性系统控制问题时具有较强的实用性。
3.2 基于自适应控制的非线性系统控制算法自适应控制是一种利用反馈信息来调节控制器参数的方法，适用于非线性系统控制中的时变性和不确定性问题。
控制工程基础实验指导书(答案)-2
实验二二阶系统的瞬态响应分析一、实验目的1、熟悉二阶模拟系统的组成。
2、研究二阶系统分别工作在ξ=1，0<ξ<1，和ξ> 1三种状态下的单位阶跃响应。
3、分析增益K对二阶系统单位阶跃响应的超调量σP、峰值时间tp和调整时间ts。
4、研究系统在不同K值时对斜坡输入的稳态跟踪误差。
5、学会使用Matlab软件来仿真二阶系统，并观察结果。
二、实验仪器1、控制理论电子模拟实验箱一台；2、超低频慢扫描数字存储示波器一台；3、数字万用表一只；4、各种长度联接导线。
三、实验原理图2-1为二阶系统的原理方框图，图2-2为其模拟电路图，它是由惯性环节、积分环节和反号器组成，图中K=R2/R1，T1=R2C1，T2=R3C2。
图2-1 二阶系统原理框图图2-1 二阶系统的模拟电路由图2-2求得二阶系统的闭环传递函1222122112/() (1)()/O i K TT U S K U S TT S T S K S T S K TT ==++++ :而二阶系统标准传递函数为(1)(2), 对比式和式得12214n K TT T T K ωξ==12 T 0.2 , T 0.5 , 100.625n S S K K ωξ==若令则。
调节开环增益K 值，不仅能改变系统无阻尼自然振荡频率ωn 和ξ的值，可以得到过阻尼(ξ>1)、临界阻尼（ξ=1）和欠阻尼（ξ<1）三种情况下的阶跃响应曲线。
（1）当K >0.625， 0 < ξ < 1，系统处在欠阻尼状态，它的单位阶跃响应表达式为：图2-3 0 < ξ < 1时的阶跃响应曲线（2）当K =0.625时，ξ=1，系统处在临界阻尼状态，它的单位阶跃响应表达式为：如图2-4为二阶系统工作临界阻尼时的单位响应曲线。
(2) +2+=222nn n S S )S (G ωξωω2221 ()1sin(1 1 . 2-3n to d d u t t tgξωξωξωωξ---=-+-=-式中图为二阶系统在欠阻尼状态下的单位阶跃响应曲线etn o n t t u ωω-+-=)1(1)(图2-4 ξ=1时的阶跃响应曲线（3）当K < 0.625时，ξ> 1，系统工作在过阻尼状态，它的单位阶跃响应曲线和临界阻尼时的单位阶跃响应一样为单调的指数上升曲线，但后者的上升速度比前者缓慢。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一． 问题描述
锅炉气温状态变反馈控制系统 主气温控制对象4221)
8.151(45.2)141(589.1)()()(s s s W s W s W o o O ++== 已知燃烧扰动通道：2)
125(1)(+=s s W d （1）对电站锅炉气温PID 控制系统加入死区模块。
（2）比较非线性参数变化后对系统的影响。
二． 理论方法分析
在实际中，几乎所有的控制系统中都存在非线性元件，或者是部件中含有非线性。
在一些系统中，人们甚至还有目的地应用非线性部件来改善 系统性能。
自动控制系统的非线性特性，主要是由受控对象、检测传感元件、执行机构、调节机构和各种放大器等部件的非线性特性所造成的。
在一个控制系统中，只有包含有一个非线性元件，就构成了非线性控制系统。
在自动控制系统中经常遇到的典型非线性特性有饱和特性、死区（即不灵敏区）特性、间隙特性、摩擦（即阻尼）特性、继电器特性和滞环特性等。
这些非线性特性一般都会对控制系统的正常工作带来不利的影响。
但是，在有些情况下，也可以利用某些非线性特性（例如继电器特性、变放大系数特性等）来改善控制系统，是指比纯线性系统具有更为优良的动态性能。
下面就三种典型非线性特性，及非别对自动控制系统的影响。
饱和特性的特点是当输入信号x 的绝对值超过线性部分的宽度时，其输出信号y 不再随输入的变化而变化，将保持为一个常数值。
这相当于通过这一饱和非线性元件或环节的平均放大系数（增益）下降了。
这就是放大器的饱和输出特性。
试验研究表明，它可能是系统的过程时间家常和稳态误差增加，也可能使系统的振荡性减弱（振幅下降，振荡频率降低）。
对于发散振荡的系统，由于饱和特性的影响，可以转化为自激荡的系统。
死区特性的特点是当输入信号x 的绝对值不超过死区宽度时，死区非线性元件或环节将无信号输出，只有当输入信号大于死区宽度后，才会有输出信号，并与输入信号呈线性关系。
死区对控制系统的影响，首先是造成系统的稳定误差。
一般不会加强过度过程中的振荡性，振荡强度下降，从而增加了系统的稳定性，
死区能滤掉输入端小幅值的干扰信号，增加系统的抗干扰能力。
另外，在随动系统中，死区会造成输出信号的滞后。
三．实验设计与实现
首先使用MATLAB的SIMULINK绘制出模拟系统系统框图，如图1所示
图1
所显示的波形图如图2，其中死区宽度和线性部分宽度都选择0.1
图2
其中蓝线为添加饱和非线性，紫线为添加死区非线性，黄色为PID控制器
当死区宽度和线性部分宽度都选择0.5时，波形图如图3
图3
当死区宽度和线性部分宽度都选择0.8时，波形图如图4
图4
当死区宽度和线性部分宽度都选择1.2时，波形图如图5
图5
四．实验结果与分析
在PID整定好之后加入死区模块当做执行器，随着死去特性宽度a不断扩大，我们可以从图中发现死区模块减弱了系统的震荡性，同时也加强了系统波形的稳定性，但是会严重造成输出信号的滞后。
而在加入饱和模块以后，a的取值越小对输出波形的幅值的限制也就越大，随着a的取值变大，输出波形渐渐向PID整定后的波形靠拢，从图4中我们可以发现只有2条输出曲线，其实是因为饱和模块与PID整定的波形重合了而已。
五．结论与讨论
死区模块能让系统的输出波形无限期的延后，而饱和模块能使系统较快的达到稳定，但是会增加系统的稳态误差。
但是书上提及的饱和模块能使系统的震荡性减弱这一点我却在试验当中没能得到验证。
不知道是出何原因。
六．事后感
试验课总算告一段落了，我觉得做任何事贵在坚持，这样才会有收获。
七．参考文献
《自动控制原理理论篇》杨平翁思义主编
《自动控制理论实验与实践》杨平翁思义主编。