整除的数字特征_小学数学教学中的初等数论问题_于庆
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
小学数学知识点除法的整除和余数
小学数学知识点除法的整除和余数小学数学知识点：除法的整除和余数在小学学习数学时，我们会接触到除法这个概念。
除法是一种数学运算方法，用以求出两个数之间的商和余数。
在本文中，我们将探讨除法的整除和余数的概念、应用以及一些解题技巧。
1. 整除当一个数可以被另一个数整除时，我们称这个数为被除数，而除以的数为除数。
当除法的余数为0时，我们称这个除法为整除。
例如，当我们将12除以3时，得到的商为4，余数为0，因此12可以被3整除。
在解决实际问题时，我们经常会遇到整除的情况。
例如，将一些糖果平均分给一群学生，如果每个学生获得相同数量的糖果且没有剩余，那么我们可以说这个数能够整除学生的数量。
2. 余数当一个数不能被另一个数整除时，我们会得到一个余数。
例如，当我们将17除以5时，得到的商为3，余数为2。
这意味着17不能被5整除，但我们可以得到商3和余数2。
余数在日常生活中也有一些应用。
例如，将苹果分给一些小朋友，每个小朋友可以获得3个苹果，但是还剩下2个苹果无法平均分配。
这里的2就是一个余数。
3. 解题技巧为了更好地应用除法，我们有一些解题技巧可以帮助我们更容易地理解和计算除法。
3.1 试除法试除法是一种常用的方法，用于找到一个数是否可以整除另一个数。
例如，我们要判断121是否可以被11整除，我们可以用11去除121，如果得到的余数为0，则可以确定121可以被11整除。
3.2 除法的性质除法具有一些性质，这些性质可以帮助我们更好地理解除法的概念。
其中一些性质包括：- 任何数除以1都等于自身。
- 一个数除以自身等于1。
- 偶数除以2，余数为0；奇数除以2，余数为1。
3.3 应用问题除法在解决实际问题时非常有用。
例如，我们可以使用除法来计算周长、面积、速度等。
在解决这些问题时，我们需要将数学概念与实际应用相结合，从而找到适当的解法。
4. 总结通过掌握除法的整除和余数的概念，以及使用相关的解题技巧，我们可以更好地理解和应用除法。
除法的整除与余数知识点总结
除法的整除与余数知识点总结除法是数学中的一种基本运算，它涉及到整除和余数的概念。
在本文中，我将对除法的整除与余数进行知识点的总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、整除的定义与性质整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
对于两个整数a和b，若存在一个整数c，使得a = b * c，我们说a能够被b整除，记作b|a。
下面是整除的一些重要性质：1. 任何数都可以被1整除，即1|a，其中a为任意整数。
2. 任何整数a能够被自身整除，即a|a。
3. 若a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a也能够被c整除，即若b|a且c|b，则c|a。
4. 若a能够被b整除，并且b不为0，则a/b是整数，即若b|a且b≠0，则a/b为整数。
这些性质在解题和证明中经常应用，对于理解整除概念起到重要作用。
二、余数的定义与应用余数是指在进行除法运算时，被除数除以除数后所剩下的未被整除的部分。
对于两个整数a和b，其中a为被除数，b为除数，我们用符号a%b表示a除以b的余数。
下面是余数的一些重要性质：1. 若a能够被b整除，则a%b等于0。
2. 余数不可为负数，即对于任意整数a，a%b的值在0到b-1之间。
3. 若a>b，则a%b的值小于b。
余数在解决问题时具有广泛的应用，例如：1. 判断一个数的奇偶性：若一个整数a%2的余数为0，则a为偶数，否则为奇数。
2. 进行模运算：模运算是指将一个数除以另一个数的余数，常用符号为a≡b(mod m)表示a和b对模m同余，也即a% m = b% m。
3. 判断能否整除：若余数为0，则被除数能够被除数整除。
通过了解余数的定义和应用，我们能够更好地理解和利用除法运算。
三、应用举例为了加深对整除与余数的理解，下面举两个具体的例子进行说明。
例1：判断一个数是否能够被5整除。
解析：我们只需要判断这个数的个位上的数字是否是0或5，如果是，则这个数能够被5整除。
例如，对于数字155，它的个位数字为5，所以能够被5整除。
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用数字的整除和余数：概念和应用整数的运算是数学中一个基本的概念，在现实生活中也有着广泛的应用。
在整数的运算中，整除和余数是常见的概念和运算方式。
本文将介绍数字的整除和余数的概念以及它们在实际生活中的一些应用。
一、整除和余数的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即余数为0。
假设有两个整数a和b，如果a能够被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
可以用符号“|”来表示整除关系，即a|b表示a能够整除b。
余数是指一个数除以另一个数得到的剩下的部分。
假设有两个整数a和b，如果a除以b得到的余数为r，那么r就是a对b取余得到的余数。
可以用符号“%”来表示取余运算，即a%b表示a对b取余。
例如，假设有整数a=15，b=3。
由于b能够整除a，所以15是3的倍数，3是15的约数；同时，15除以3得到的余数为0。
二、整除和余数的应用1. 分配物品在实际生活中，我们常常需要将一些物品进行平均分配。
假设有m 件物品需要分配给n个人，我们可以利用整除和余数的概念来进行分配。
首先，将m除以n，得到商q和余数r。
商q表示每个人至少可以分到的物品数量，余数r表示还剩下的物品数量。
然后，将q件物品平均分给n个人，剩余的r件物品可以按照一定的规则进行分配（例如，可以再平均分给几个人，或者按照某种特定的规则分配给特定的人）。
2. 数字运算在数学运算中，整除和取余也常常被使用。
例如，判断一个数是否是偶数可以利用取余的方法。
如果一个数除以2得到的余数为0，那么这个数就是偶数；反之，余数为1则表示它是奇数。
3. 日历计算日历中经常需要进行日期的计算和判断。
对于某些特定的问题，可以利用整除和余数的概念来进行计算。
例如，判断某一年是否是闰年可以通过它能否被4整除来判断；判断某一个日期是星期几可以通过计算与某一个基准日相差的天数，然后对7取余来得到。
4. 数据存储和编码在计算机科学中，整除和余数的概念经常被用于数据存储和编码。
小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质
小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质在小学数学学习中，除法是一个重要的概念。
除法涉及到数的整除性质和余数的概念。
本文将对除法的余数与整除性质进行归纳总结。
一、整除性质整除性质是除法中最基本的概念之一。
当两个数a和b满足$a\bmod b=0$时，我们可以说b整除a，记作$b|a$。
整除性质具有以下几个特点：1. 自反性：对于任意的正整数a，有$a|a$；2. 传递性：对于任意的正整数a、b和c，如果$a|b$且$b|c$，则$a|c$；3. 反对称性：对于任意的正整数a和b，如果$a|b$且$b|a$，则a=b。
二、余数的概念当两个数a和b满足$a\bmod b=r$，其中r为一个非负整数，我们将r称为a除以b的余数。
余数的性质如下：1. 常见余数：对于除数为10的整数，其余数范围一定是0~9之间的数字；2. 零除法无意义：任何数除以0都没有意义，因为不存在一个数乘以0能得到非零的结果；3. 余数的唯一性：当a和b固定时，a除以b的余数是唯一确定的；4. 余数和商的关系：对于任意的正整数a、b和c，有$a=b\timesc+r$，其中r为a除以b的余数；5. 余数的性质综合：对于正整数a、b和c，如果$a\bmod b=0$且$b\bmod c=0$，则$a\bmod c=0$。
三、应用举例除法的余数与整除性质在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一些例子来说明其应用：1. 求整数的奇偶性：当一个整数a除以2的余数为0时，可以判断a为偶数；当a除以2的余数为1时，可以判断a为奇数；2. 商数的应用：有时候除法的商数也会被运用，比如计算某个物品的平均分配数量等；3. 寻找规律：通过观察除数和余数之间的关系，可以寻找数列的规律或者解决一些数学问题。
综上所述，除法的余数与整除性质是小学数学中的基础知识之一。
它们在数学运算以及实际问题中都扮演着重要的角色。
通过了解和掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学运算能力。
除法的整除与余数知识点
除法的整除与余数知识点在数学中，除法是一种基本运算符，用于将一个数（称为被除数）除以另一个数（称为除数），并得到商和余数。
除法的整除与余数是除法运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍除法的整除与余数的相关知识点。
一、整除的概念及性质1. 整除的定义：如果一个数a可以被另一个数b整除（即a除以b的余数为0），则称a能够被b整除，记作b | a，读作“b整除a”或“a是b的倍数”。
例如，4 | 12，表示4可以整除12。
2. 整除的性质：a）对于任意的整数a，满足1 | a和a | a。
b）若a | b且b | c，则a | c。
（整除具有传递性）c）若a | b且a | c，则a | (mb + nc)，其中m和n为任意整数。
（整除具有线性性质）二、余数的概念及计算方法1. 余数的定义：在除法运算中，如果被除数a不能被除数b整除，那么a除以b所得到的余数就是a对b的余数。
余数通常用r表示，即a modb = r。
例如，13 ÷ 5 = 2 余 3，因此13对5的余数为3。
2. 余数的计算方法：假设被除数为a，除数为b，商为q，余数为r，那么有以下公式成立：a =b * q + r三、整除与余数的求解方法1. 判断整除：当一个数a能够被另一个数b整除时（即a mod b = 0），我们可以通过判断a与b的关系来确定是否整除。
如果两个数之间存在整数倍关系，即b = ka（k为整数），则a能够被b整除。
2. 求解余数：为了计算a除以b的余数r，我们可以将a除以b并取其余数部分。
常用的方法有：a）短除法：将a除以b的过程简化为手算的步骤，依次从高位到低位进行计算，最终得到余数r。
b）取模运算：利用计算机编程中的取模运算符（%）可以直接得到a mod b的结果。
四、应用举例1. 判断整除：a）判断一个数是否是另一个数的倍数：若一个数a能够被另一个数b整除，则a是b的倍数。
例如，判断36是否是9的倍数，可以计算9 | 36，如果结果为真，则36是9的倍数。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中的一个重要概念，它描述了一个数能否被另一个数整除。
在这篇文章中，我们将讨论整数除法的基本原理，并探讨一些与整除性质相关的重要概念和性质。
1. 整数除法的基本原理整数除法是指将一个整数（被除数）除以另一个整数（除数），得到的商也是整数的运算过程。
在整数除法中，如果被除数能够被除数整除，那么我们说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例如，当10除以2时，10能够被2整除，所以2是10的因数，10是2的倍数。
2. 整除与余数在整数除法中，有两个重要的概念，即整除和余数。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们称它们之间存在整除关系。
例如，12能够被3整除，所以3整除12。
而当一个整数不能被另一个整数整除时，我们说它们之间不存在整除关系。
例如，13不能被5整除，所以5不能整除13。
除了整除关系，整数除法还有一个关联的概念，即余数。
余数是指在整数除法中，被除数除以除数后所得到的剩余数。
例如，当17除以5时，17除以5的商是3余2，即17 = 3 * 5 + 2。
3. 整除性质与判定在实际问题中，我们常常需要判定一个数是否能被另一个数整除。
为了方便判定，我们可以利用一些整除性质。
以下是几个常见的整除性质：3.1. 偶数的整除性：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定能被2整除。
3.2. 5的整除性：如果一个整数的个位数字是0或者5，那么它一定能被5整除。
3.3. 10的整除性：如果一个整数以0结尾，那么它一定能被10整除。
3.4. 除法性质：如果一个整数能被另一个整数整除，那么它也能被这个整数的约数整除。
例如，如果一个整数能被6整除，那么它一定也能被2和3整除。
4. 应用举例下面是一些应用整除性质的例子：4.1. 判断一个数能否被2整除：只需要判断该数的个位数字是否是0、2、4、6、8中的一个。
4.2. 判断一个数能否被3整除：只需要将该数的所有位上的数字相加，然后判断和是否能被3整除。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
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过同余的知识，那在课堂上应该的数字特征。
的数字特征呢？这需要教师对整除的性质有一个全面的了解。
最后列举几个可以利用整除的数字特征解决的题目：（１）已知
我们先来讨论整除的性质 （１），事实上，任何一个自然数 ３３｜ｘ２８５７ｙ，求 ｘ，ｙ（． ２）已知 ９９｜１４１ｘ２８ｙ３，求 ｘ，ｙ。（３）一个 ５ 位数，它
征［２］有：
来理解。这就要思考如何从自然数 Ｎ 中分离出能被 １１ 整除的一
（１）一个自然数能被 ２（或 ５）整除，当且仅当它的末位数字能被 部 分 。 通 过 观 察 与 计 算 可 以 类 比 发 现 ： 对 于 计 数 单 位
２ 或 ５ 整除；
１０，１００，１０００，１００００，……，只要从中依次加上 １，减去 １，再加上 １，
（２）一个自然数能被 ４ 整除，当且仅当它的末两位数字所组成 再减去 １，……，剩下的部分 １１，９９，１００１，９９９９，……，就都能被 １１
的数能被 ４ 整除；
整除了。一般地，
（３）一个自然数能被 ８ 整除，当且仅当它的末三位数字所组成 的数能被 ８ 整除；
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝ａ０＋ａ１×１０＋ａ２×１０２＋ａ３×１０３＋ａ４×１０４＋…ａｎ×１０ｎ ＝ ［ａ１ ×（１０＋１）＋ａ２ ×（１０２－ １）＋ａ３ ×（１０３＋１）＋ａ４ ×（１０４－ １）＋ … ］＋ （ａ０－
初等数论中的一些基本知识在小学数学教学中的用途是十分广泛 然数 Ｎ，都可以写成
的，在初等数论的课堂教学中注重与小学数学教育结合起来，渗透
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝１００×ａｎａｎ－ １…ａ２＋ａ１ａ０＝１０００×ａｎａｎ－ １…ａ３＋ａ２ａ１ａ０。
小学数学教学方法，提高学生的教学能力显得尤为重要。作为一名
Ｎ＝ａｎａｎ－１…ａ１ａ０，都可以写成 Ｎ＝ａｎａｎ－１…ａ１ａ０＝１０×ａｎａｎ－１…ａ１＋ａ０ 的形式。 的各个数位的数字之和是 ４３，并且能被 １１ 整除，求出所有满足条
显然由 １０＝５×２ 知 １０ 能被 ２ 和 ５ 整除，于是只要 ａ０ 能被 ２ 或 ５ 件的 ５ 位数。
整除 Ｎ 就能被 ２ 或 ５ 整除，即看一个数能否被 ２ 或 ５ 整除只要看 参考文献：
由此可见，要判断一个数 ａ 是否能被另一个数 ｂ 整除，只要从
数学教师，站在教学要游刃有余的角度上是必须掌握基本的初等 数 ａ 中分离出能被数 ｂ 整除的一部分，只要看剩下的部分能否被
数论知识的［１］。因此，与小学数学联系紧密的内容要放慢节奏详细 数 ｂ 整除就可以了［３］。而与整除的特征（１）～（３）不同，被 ３（或 ９）整除
是作除法。但对于一些特殊的数，只要利用可以被特殊数字整除的
但是被 １１ 整除的数字特征（５）仅仅靠观察与思考不易发现，研
数字特征就能判断出来，而且这种判断方法比较简捷、迅速，具有 究如何在课堂中引导学生理解这一整除的特征尤为重要。而这实
广泛的实用价值。比如我们常用的可以被特殊数字整除的数字特 际上也可利用上述“分离一部分能整除的，再看另一部分”的思路
讲解。
的数字特征（４）很难发现，那么应该如何利用上述思路来引导学生
整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容，许多时 理解呢？我们可以如下列式分析：
候需要学生直接借助概念进行思维，而对于以形象思维为主的小 学生来说，这部分内容是难点。针对整除的数字特征这一教学内
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝ａｎ×１０ｎ＋ａｎ－ １×１０ｎ－ １＋…＋ａ１×１０＋ａ０ ＝［ａｎ×（１０ｎ－１）＋ａｎ－１×（１０ｎ－１－ １）＋…＋ａ１×（１０－ １）］＋ａｎ＋ａｎ－１＋…＋ａ１＋ａ０
色，培养学生的授课能力做了一些有效的探索。
关键词：初等数论； 小学数学教学； 整除
中图分类号：G623．5
文献标识码：A
文章编号：1006- 3315（2012）08- 073- 001
高等师范学校的小学教育专业培养的是未来的小学教师。而 被 ８ 或 １２５ 整除只要看末三位？事实就是如此， 因为任何一个自
和与偶数位上的数字之和的差能被 １１ 整除。
把一个判断整除的问题转化成一个更小的判断整除的问题，这种
初等数论的教材中［２］要利用同余的知识证明上述整除的性质， 化难为易的做法使得判断方法具有了实用价值。理解了这个共同
而这在小学数学教学中显然是不适用的，小学生大多还没有接触 点，我们甚至可以自己研究一些判断一个数能否被另一个数整除
DOI:10.16728/ki.kxdz.2012.08.067
总第 ７００ 期
课堂经纬
整除的数字特征
—— —小学数学教学中的初等数论问题
于庆
（徐州高等师范学校数理系，江苏省 ２２１１１６）
摘 要：整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容。本文针对这一教学内容就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特
末位即可。
［１］潇湘数学教育工作室．站在皇冠顶上看风景（二）— ——数学教师要
小学教材中整除的特征（１）～（３）通常是独立安排的，在教学中 掌握一点初等数论知识［Ｊ］．湖南教育（下），２０１１（０５）
我们可以通过实例让学生体会到这三个特征的统一性。注意到 ［２］单墫主编．初等数论［Ｍ］．南京：南京大学出版社，２０００．２０－ ２７
容，本文就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特色，培养学生
显然，只要从 １０，１００，１０００，……中拿出 １，剩下的 ９，９９，９９９，
的授课能力做了一些有效的探索。
……就都能被 ３ 和 ９ 整除了。于是，要看一个数能否被 ３（或 ９）整
众所周知，判断一个数能否被另一个数整除，最自然的办法就 除，只要看各数位上的数字之和能否被 ３（或 ９）整除即可。
（４）一个自然数能被 ３（或 ９）整除，当且仅当它的各数位上的数 ａ１＋ａ２－ ａ３＋ａ４－ …）
字之和能被 ３（或 ９）整除；
以上这些方法的共同点是为了判断一个数 ａ 是否能被另一个
（５）一个自然数能被 １１ 整除，当且仅当它的奇数位上的数字之 数 ｂ 整除，都是通过判断一个比 ａ 小的数能否被 ｂ 整除来实现，即
１００＝２５×４，这是否告诉我们看一个数能否被 ４ 或 ２５ 整除只要看 ［３］潇湘数学教育工作室．站在皇冠顶上看风景（一）— ——数学教师要
末两位？马上想到 １０００＝１２５×８，这又是否告诉我们看一个数能否 掌握一点初等数论知识［Ｊ］．湖南教育（下），２０１１（０４）
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