课题学习 镶嵌
课题学习《镶嵌》
★教材分析：教材：北师大《数学》八年级上册.课题：第四章四边形性质探索的课题学习《镶嵌》学生基础：通过前面的学习，同学们已经掌握了正多边形及其内角和等知识，同时也逐渐养成了自主探索，自主学习的学习习惯.本节内容：探索能用哪些正多边形镶嵌地面.★教学设想：新课程要求老师成为学生“学习的促进者”、“行为的研究者”；要求学生在获得知识的同时，在思维能力、创新意识、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展；要求数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验的基础上，教师在教学中应激发学生的学习积极性，给学生提供充分参与数学活动的机会.本设计通过让学生帮助老师寻找个性化的地砖引入课题，让学生在学习过程中获得愉悦感和成功感，再通过亲自动手操作探究，理解何为平面镶嵌，探索出哪些多边形才能镶嵌成一个平面图案并探索出其规律.本设计力争充分发挥学生的主观能动性，激发学生的求知欲，让学生在协作中探索，在实践中学习，培养学生的合作意识，提高学生动手、动口和归纳能力，增进学生的集体荣誉感，感受学习的快乐.★教学重难点：重点：用一种正多边形的镶嵌.难点：探索能镶嵌成平面图案的多边形应满足的条件.★教学准备让各学习小组的同学们按统一的尺寸剪一些正三角形、正方形、正五边形、正六边形和普通三角形、四边形纸片.多媒体课件.★教学过程：教学流程设计说明情境导入：展示多媒体图片（一幅为房屋整体图，一幅为卧屋效果图）师：同学们，老师正想建一座房屋，这是老师想建的房屋的模型，大家觉得漂亮吗？师：老师对整体效果也很满意，可我对卧屋内的地板不太满意，因为它的形状太普通了，老师想要一些个性化的地板.同学们家里铺地板或地砖没有？你们发现，我们通常看到的地板或地砖是什么形状的？师：不知同学们想过没有，我们常见的地砖为什么总是正方形或长方形，你能用数学知识来解释吗？师：现在老师想要一些个性化的地砖，你能老师找找还有什么形状的图形也能做地砖铺设地面吗？师：这些问题现在同学们也许还不能也我满意的答复，但通过本节课的学习，我相信你们一定能为老师找到很多形状的地砖的.让我们开始今天的探索之旅，学习第七章第四节课题学习——镶嵌.操作探究：师：下面就请各小组用准备好的纸片多边形试一试，看看它们能不能做地砖铺满地面.［各小组展开操作探究，老师在各小组间巡视，进行指导］以下教学活动将由课堂情况来决定让学生展示其镶嵌方法（可用自己的纸片操作，也可以用多媒体课件中的程序操作），老师重点带同学们一起分析用一种正多边形且顶点与顶点重合的镶嵌，寻找其规律.如果有同学们能用普通三角形和四边形来镶嵌更好，若没有,老师启发他们来完成普通三角形和四边形的镶嵌.归纳总结：1、通过以上活动，指导同学们归纳什么是镶嵌？2、能完成平面镶嵌的多边形应满足什么条件？3、用哪些普通多边形能进行平面镶嵌？拓展延伸如果有同学能想到则让同学展示，如果没有同学想到，老师向同学们展示一些图片，告诉他们：1、用一种正多边形还有另一种镶嵌，及多边形的顶点落在另一多边形的边上.2、而且用两个甚至是两个以上的正多边形也能镶嵌出平面图案.［此部分不作深要求，只是让同学了解，让有兴趣的同学可以课后去试着拼拼看，看能不能拼出一些图案.］课堂小结：本节课在大家的努力探索下，我们学会了什么知识？你有哪些收获？创新作业本：布置作业，见后附的“创新作业本”师：今天感谢同学们帮助老师一起研究了到底用什么形状的图形才能铺设地面，也许市面上真能找到符合要求的个性化的地砖，让老师好好去找找，当我的新房竣工后欢迎大家去做客.★以让同学们帮助老师寻找个性化的地砖引入课题，让学生在学习过程中获得愉悦感和成功感.使课题引入显得人性化，提高同学们探索知识的欲望.★自新课标实施以来，我对本班学生已经根据他们的学习成绩、性格特征分出了学习小组，每组5名同学. ★本环节进行这样笼统的设计，不具体提出让同学们从正三角形、正方形等一项项地操作，目的是给同学们更多自由发挥的空间.本环节要给同学们充足的时间，鼓励他们积极展开操作，积极讨论.★尽量让同学们去归纳总结，可以培养他们的归纳能力，语言表达能力和逻辑思维能力.★本环节不作为教学的重点，只是简单提及，让同学们有一个了解，鼓励同学们课后继续展开探究.★课堂小结让同学们自己去回顾，给他们又一次提供了培养自己综合能力的机会，并对本节课有一个系统的把握.★“创新作业本”的设计意图，具体环节见论文《新课程中，我为学生设计“创新作业本”》.创新作业本学校：＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿年＿＿月＿＿日天气：＿＿课题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿一．自主探索知识提炼通过本节课的学习探索，我学会了：本节课我还有哪些问题？我是如何解决这些问题的？二、分层训练能力提升请同学们充分发挥自己的创造力，设计两幅由多边形镶嵌而成的优美图案，并尝试写上一两句贴切的解说词.三、自我评价信息反馈四、老师评价情感交流。
7.4课题学习《镶嵌》
7.4课题学习《镶嵌》7.4课题学习《镶嵌》一、教材分析1．教材地位和作用第七章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外角和公式. 镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力.2．重难点分析教材由铺地板砖铺地引入镶嵌问题后提问:为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌？引发学生的思索，接着又提出：哪几种多边形可以平面镶嵌？为了深化课题研究，教材进一步提出:哪两种正多边形可以平面镶嵌？设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习. 因此，本节的重点是经历平面镶嵌条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌.为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生自己准备正多边形，自己拼图，自主发现数学问题，进而解决问题，教师要适时启发学生把平面镶嵌的条件与内角和公式联系起来，进而建立解题模型.二、教学目标分析课题的学习，要求学生先实验得出结论，再把结论运用于实验，是对已学知识的复习、巩固和应用的过程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标：1．知识技能目标：①了解平面镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽的图案，积累一定的审美体验.②经历探索多边形平面镶嵌的条件过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计.2．数学思考目标：由多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面.3．解决问题目标：观察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件.4．情感态度目标：平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，通过探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性，培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展.三、教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1引入背景活动2实验探究活动3结果分析活动4知识运用创设情境，导入新课，了解多边形平面覆盖来自生活实际发现有的多边形能够覆盖平面，有的则不能讨论多边形能覆盖平面的基本条件，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析.进行简单的镶嵌设计，把所学知识运用到实践中.四、教学过程设计问题与情景师生行为设计意图[活动1]1．引入背景学生欣赏美丽的校园一角，教师指出：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖.从数学角度去分析，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题. 从观察生活现象入手，抽象出数学问题——平面镶嵌的问题,激发学习兴趣.[活动2]实验探究实验1 尝试用手中的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形进行平面镶嵌学生动手操作，记录结果.教师巡回指导,并展示镶嵌效果图案.通过实验,让学生发现正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌成一个平面图案,而正五边形则不能.实验2 用正三角形与正四形镶嵌成一个平面图案,用正三交形与正六边形镶嵌成一个平面图案学生在拼图的过程中,教师巡回指导. 教师对出现的不同的拼图方法予以肯定.学生完成实验后,出示镶嵌效果图案.学生通过实验知道两种正多边形也可以进行平面镶嵌.实验3 用任意三角形或任意四边形镶嵌成一个平面图案学生拼图,教师重点关注学生能否把不相等的角拼接在一个顶点处，能否把相等的边拼在一起. 教师出示镶嵌效果图.培养学生的操作能力,了解一般的三角形或四边形可以进行平面镶嵌.问题与情景师生行为设计意图[活动3]问题1分析实验结果问题2解释实验结果学生观察上述的实验结果,分组讨论平面镶嵌的条件, 发现问题与多边形的内角大小有密切关系，教师出示图例，引导学生发现拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°.师生归纳得出多边形平面镶嵌的条件:①拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;②相邻的多边形有公共边.例如下图中的点O处∠1+∠2+∠3+∠4=360°,OA两侧的多边形有公共边OA.图学生解释任意三角形能够进行平面镶嵌的理由:图中∠1+∠2+∠3=180°,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点,一定能使这点为顶点的6个角的和恰好等360°,并且使边长相等的两边贴在一起. 于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案.学生说明正五边形不能镶嵌成一个平面图案的原因:由多边形内角和公司,可以得到五边形内角和等于（5-2）×180°=540°，因此，正五边形的每个内角等于540°÷5=108°.360°不是108°的整数倍,也就是用一些108°的角不能拼出360°的角.学生运用已有的知识对实验结果进行推理分析,把感性认识上升到理性认识的高度,说明了理论来源于实践.验证平面镶嵌的条件,说明理论来源于实践又运用于实践.问题与情景师生行为设计意图[活动4]问题1小结反思问题2自由设计学生自由谈本节课的收获.教师注意纠正学生的错误与不足，对学生的进步予以表扬.教师先展示几组其它平面镶嵌的图形,扩展学生视野,然后要求学生独立设计一份平面镶嵌的图案，教师先个别辅导，再集中欣赏学生的作品.复习巩固已学知识，学生学会小结反思.将已学的知识用于实际.培养学生的创造能力,发展学生的审美意识.五、回顾与小结本课题的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法，特别关注了从实践到理论,再从理论到实践的全过程,教师对学生的实践进行指导,帮助学生优化思维过程，在此基础上，学生互相交流思维策略，设计创意，既满足了学生学习的多样化的要求，又扩展了学生的数学知识和使用数学语言的能力.。
人教版数学八年级上册11.4课题学习镶嵌-课件
想做一做
剪出一些形状、大小完全相同 的任意三角形纸板，拼拼看，它们 能否镶嵌成平面图案？
问题 剪出一些形状、大小完全相同 的任意四边形纸板，拼拼看，它 们能否镶嵌成平面图案？
问题
如果用其中两种正多变形镶嵌，哪 两种正多变形能镶嵌成平面图案？
我们可以利用多边形设计一些美丽的 图案．
2
1
3
3
4 13
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有选的择孩 Nhomakorabea在子秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
注意:只用正五边形、正八边 形一种图形不能镶嵌.
课堂小结
本节课我们通过活动，探讨，知道任 意一个三角形，四边形或正六边形可 以镶嵌成一个平面，并且探索出正多 边形镶嵌的条件．即：一种正多边形 的一个内角的倍数是否是360°
作业: 请同学搜集一些平面镶嵌图案,
用硬纸片做出其中的一二个模型.
想一想
镶嵌平面图案需要的什么条件？
拼接在同一个点的各个角的和 恰好等于360度
13 2
要用几个形状、大小完全相 同的图形不留空隙、不重叠 地镶嵌一个平面，需使得拼 接点处的各角之和为 360°．
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
7.4-课题学习—《镶嵌》教案
7.4-课题学习—《镶嵌》教案知识技能:学生通过自己实践与探索,发现正多边形能够镶嵌的规律.数学思考:学生通过动手,动脑,相互交流,展示成果等多种活动.探索用一种或多种正多边形镶嵌的规律。
解决问题:用一种或两种正多边形进行镶嵌需满足什么条件?情感态度:关注学生的情感体验,让学生在充分感受数学的美的同时,体验数学实验过程中合作和成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣.教学重点:理解平面镶嵌的概念,探究用一种或两种正多边形镶嵌的规律.教学难点:学生通过数学实验发现用正多边形能够镶嵌的规律.教学方法：探究发现。
课前准备:（学生准备: ①每位同学分别准备好6-8个边长为5厘米长的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形。
②搜集有关镶嵌图片。
教师准备:①生活中有关镶嵌图片②多媒体课件）教学过程：一．引入新课.大家见过美丽的地板图案吗?它们都是有什么基本图形拼出来的呢?为什么用正方形和正六边形呢?用一般的四边形或六边形可以吗?其他的多边形能行吗?请同学们欣赏课件的一组图片.（多媒体课件演示）二、合作交流，解读探究。
.用地板铺地,用瓷砖贴墙.都要求砖与砖严丝合缝,无空隙,把地面或墙面全部覆盖,从数学角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题下面我们来研究哪些正多边形能镶嵌成平面图案,并思考为什么会出现这种结果.活动1:探索用一种正多边形镶嵌的规律。
拼一拼：（1）用学具中的一种正多边形进行镶嵌让学生分别剪一些边长相等的正三角形,正方形,正五边形,正六边形.如果用其中一种正多边形镶嵌,哪几中正多边形能镶嵌成一个平面图形.（由学生上台展示）（2）哪几种正多边形能够镶嵌?(课件演示)正三角形,正方形,正六边形都可以,正五边形不可以.①由正三角形拼成的图案中,每个拼接点有6个角,每个角都等于正三角形的内角为60,六个角等于360.即：6×60=360②在正四边形拼接点处有四个角.每个角都等于90,四个角的和等于360.即4×90=360③在由正六边形拼成的图案中,每个拼接点处有三个角,每个角都等于120,三个角的和等于360.即：3×120=360（3）在一个顶点处有几个多边形?每个内角是多少? 正五边形为什么不能镶嵌呢?正十边形呢?（4）能够镶嵌的共同特征是什么?规律:在用同一种正多边形进行覆盖时,关键是看正多边形的一个内角,当周角360是一个内角的整数倍时,即一个内角的正整数倍是360时,这种正多边形可以覆盖平面,否则不可以.即：如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是360°的约数（或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！填一填：⑴当围绕一点的几个正多边形的内角和为时,就能拼成一个平面图形.⑵.能用一种正多边形铺满地面的有。
课题学习镶嵌PPT课件
几个全等三角形拼接时,每个角只需用 两次,就能拼出一个周角,所以
三角形一定可以密铺.
2.任意四边形的四个内角之和是360°,而密铺 时拼接点的四个角刚好能拼成一个周角,所以
任意四边形一定可以密铺.
3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接 出周角,所以
做一做 （2）用同一种四边形可以密铺吗？ 在密铺过程中，请大家观察讨论： 每个拼接点处的四个角与这种四边形 的四个内角有什么关系？
和为 360°
2
1
3
3
4 13
2
3
任意全等的四边形可以密铺，在每个 拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好 是这个四边形的四个内角的和，它们的和 为360º。且相等的边互相重合。
密铺的两个条件：
1、全等的一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。
做一做
（1）用形状、大小完全相同的三角形 能否密铺？
在密铺过程中，请大家观察讨论：每 个拼接点处有几个角？它们与这种三角 形的三个内角有什么关系？
接点处的六个 角和为360°
任意三角形的密铺
任意全等的三角形能密铺 ,在每个拼 接点处有六个角，而这六个角和恰好是这 个三角形的内角和的两倍，也就是它们的 和为360º，且相等的边互相重合。
看一看
看一看
看一看
看一看
看一看
为什么有些地板或墙 壁可以用正方形铺成也可 以用六边形铺成，而且他 们之间没有缝隙，也不重 叠？
义务教育七年级（下）数学（冀教版）
平面图形的镶嵌
我 那 知 道
学一学
平面图形的镶嵌（平面图形的密铺）:
用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼 接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平 面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
人教版八年级数学上册课题学习镶嵌
探究2：用边长相等的两种正多边形
镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平 面图案？
讨论
正三角形和正方形能镶嵌 正方形和正六边形能镶嵌
用形状相同的一种或形状不 同的几种平面图形进行拼接，彼 此之间不留空隙，不重叠地把平 面的一部分完全覆盖，这就是平 面图形的镶嵌．
注意：各种图形拼接后要既 无缝隙，又不重叠
利用镶嵌可以得到各种各样的图案
探究1：仅用一种正多边形镶嵌，
哪些正多边形能单独镶嵌成一个 平面图案？
做一做： 正方形
欣赏
欣赏
欣赏
欣赏
欣赏
Shuxue
小结
谢谢
台州市书生中学朱仁江制作
4
3
1
2
因为 ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌 成平面图案。
归纳:
1、拼接在同一个点的各个角 的和等于360度
2、只用正三、四、六边形可 以镶嵌.其他正多边形不能镶嵌
3、任意三角形一定可以镶嵌.
4 、任意四边形一定可以镶嵌
练一连
1、若限用一种正多边形镶嵌，不可能是（ ）
A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形
2、用两种正多边形镶嵌不能与正三角形匹配的正多边形是（ ）
A、正方形 B、正六边形 C、正十二边形 D、正十七边形
3、明明家若想用边长相同的两种正多边形水泥砖铺地面，若其中一种为 正六边形的水泥砖，请你帮助选择，你会再选择哪一种正多边形的水泥砖， 试着画出 示意图。 4、（2000。安徽）我们常见到的如图那样的地面，它们分别是全用正方形或全用 正六边形形状的材料铺成的这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面
八年级数学《课题学习-镶嵌》教案
《§7.4镶嵌》教学设计
四、教学方法：本课由用地板砖铺地，引入镶嵌问题后通过设问，引发学生的思索，为了深化课题研究，设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习。
针对七年级学生的认知结构和心理特征，为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注。
在实践中探索规律，在研讨中发现结论，达到让“学优生领先，中游生冒尖，学困生发展”的全人化培养目标。
五、学法指导：《课标》要求“数学教学应努力体现从‘问题情境出发、建立模型、寻求结论、应用与推广’的基本过程”。
这就要求数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。
因此，通过本课的教学，在教师的组织引导下，倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习。
六、教学准备：多媒体课件。
课题学习：镶嵌_辛贺华
四、几点说明
四、几点说明
1、本课题的学习应以探究问题 为中心，让学生围绕问题展开实验 探究活动，给学生充分的探究时间， 教师适时的引导点拨，让学生经历 数学知识的生成过程，加深学生的 亲身体验。在整个探究活动中，要 相信学生，让学生大胆地学、问、 思、辨、行。
2、多边形的镶嵌方式有两 种，①有些图案中的多边形的 顶点在另一个多边形的边上 （如下图）；②多边形的顶点 与顶点重合，边与边重合，我 们在初中只探讨第二种情况。
360
是不是求出的
多少？ 正多边形每个内角的正整数倍，若是正整数倍，则可以进行平面镶嵌； 360 能否镶嵌与 有关吗？ 一个内角的度数 若不是整数倍，则不能进行平面镶嵌。
进行平面镶嵌的关键：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 360 。
思考：用同一种正多边形进行平面镶嵌共 有几种情况呢？能不能用数学式子来论证 一下呢？
一个内角的度数
能否镶嵌 能 能
60 90
正八边形
正十边形 正十二边形
108 120 135 144 150
不能
能 不能 不能 不能
你发现的规律：用一种正多边形进行平面镶嵌时，要先根据公式
(n若能镶嵌，在同一个拼接点 2) 180 求出正多边形的一个内角，再判断 处的几个多边形的角之和为 n
（3）用同 一种正五边 形可以吗？
有缝隙！单独用正五边形 不能平面镶嵌
（4）用同 一种正六边 形可以吗？
（5）用同 一种正八边 形可以吗？
有重叠！单独用正八边形 不能平面镶嵌
归 纳 ： 用 同 一 种 正 多 边 形 进 行 平 面 镶 嵌 的 规 律
名称
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形
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么另外一个为（ ）
A．正3角形 B．正4边形 C．正5边形 D．正6边形
Shuxue
1.本节学习的数学知识 2.通过本节学习你的收获 3.你学习中还存在的问题
Shuxue
小结
再
希望同学们: 关注身边的数学 关注数学中的美
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见
Doodle赏析： 作为一个版画家，埃舍尔的作品 大多为黑白素描，因此Logo也是黑白 的，没有使用任何彩色。两个o互相 伸出一只手去画对方，则是完全参照 了埃舍尔代表作之一的《Drawing hands》。
好漂亮的地板!这是 怎么铺设的?一点空隙 也没有.
中间空缺 处应补上什
么图形？
Shuxue
试一试
(6)用边长相等的正方形和正八边形能不能镶嵌图案呢？
∵ 90°×1 + 135°×2=360°,
∴ 当90°●X+135°●Y=360°时，X=1，Y=2
正三角形、正方形、正六边形的镶嵌
正五边形与“星”的镶嵌
正 五 边 形 、 菱 形 的 镶 嵌
·
希 特 丢勒 1世纪5
艺 术 家 阿 尔 布
思一思
单独用同一种平面图形如果不能镶嵌,用两 种或者两种以上平面图形能不能镶嵌呢?
∵ 60°×3+90°×2=360°
试一试 ∴ 当60°●X+90°●Y=360°时，
X=3，Y=2 (1)用边长相等的正三角形和正方形能不能镶嵌图案呢？
Shuxue
Shuxue
试一试
(3)用边长相等的正三角形和正六边形能不能镶嵌图案呢？
A．3，2或2，3
B．2，3或4，1
C．4，1或2，2
D．1，4或2，3
7、一个多边形截去一个角后，形成的多边形内角和为2520°，则
原多边形是（ ）
A．十五边形
B．十五边形或十六边形
C．十六边形
D．十五边形或十六边形或十七边形
8、一幅美丽的图案，在某个顶点出由四个边长相等的正多边形镶
嵌组成，其中的三个分别是：正三角形，正四边形，正六边形，那
练一练
5、用正三角形与正方形铺满地面，设在一个顶点周围有m个正三
角形，n个正方形，则m、n的值为（ ）
A．m＝1，n＝5
B．m＝5，n＝3
C．m＝2，n＝3
D．m＝3，n＝2
6、建筑设计师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备用边长相
同的正三角形与正六边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，
正三角形、正六边形的个数分别为（ ）
中间空缺 处应补上什
么图形？
中间空缺 处应补上哪
种图形？
Shuxue
学一学 平面镶嵌
用形状相同或不同的平面封闭图形， 把一块地面、墙面既无缝隙，又不重叠地 全部覆盖，在数学中叫做平面镶嵌.
注意：各种图形拼接后要既无缝隙， 又不重叠.
利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案
想一想
仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多边形能单 独镶嵌成一个平面图案？
（2）用形状、大小完全相同的任意四边 形可以镶嵌图案吗？
在镶嵌过程 中，观察每个拼 接点处的四个角 与这种四边形的 四个内角有什么 关系？
2 34
1 43
1
2
2 34 1
1 43 2
因为
∠1+∠2+∠3+∠4=360°
任
4
3
1
2
4
3
1
2
意 四
边
形
的
镶
任意全等的四边形可以镶嵌，在每个拼接点 嵌
处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形
2、商店出售下列形状的地砖：①正方形②长方形③正五 边形④正六边形，若只能选购其中一种地砖镶嵌地面，可 供选择的地砖有（ ）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4、用三块正多边形的木板铺地，拼在一起相交于一点的 多边形完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块 木板的边数应是（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
（2）“360°÷ 正n边形的内角度数 ＝ 正整数”时，正多边形可以进行单一平面镶
嵌。
13 2
友情提醒：
一个正多边形的顶点落在另一个多边形的 边上的这种情况，我们不做讨论。
Shuxue
做一做
（1）用形状、大小完全相同的任意三角 形能否镶嵌图案？
在镶嵌过程中， 观察每个拼接点处 有几个角？它们与 这种三角形的三个 内角有什么关系？
雷
正六边形、梯形的镶嵌
友情归纳三
用几种不同边数的正多边形适当组合 可以 进行平 面镶嵌，满足条件是在同一顶点处的 内角和是360°。
友情提醒一：虽然108°×2+ 144°×1=360°, 但是正五边形和正十边形不可以镶嵌.
友 情 提 醒 二 ：
练一练
1、在下列四组多边形地板砖中，①正三角形和正方形； ②正三角形和正六边形；③正六边形和正方形；④正八边 形与正方形，将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的 是（ ）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
2 31
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
1
3 3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
23
1
3
1
2
任
意
3
三
1
2
角
形
的
镶
嵌
∴2(∠1+∠2+∠3)=360° 任意全等的三角形能镶嵌 ,在每个拼接点处有六个
角，而这六个角和恰好是这个三角形的内角和的两倍， 也就是它们的和为360º，且相等的边互相重合。
Shuxue
做一做
∵ 60°×4 + 120°×1=360°, 60°×2+120°×2=360°
∴ 当60°●X+120°●Y=360°时， (1) X=4，Y=1 (2) X=2，Y=2
Shuxue
试一试
(5)用边长相等的正方形和正六边形能不能镶嵌图案呢？
∵当90°●X+120°●Y=360°时，X，Y不能取正整数 ∴用边长相等的正方形和正六边形不能镶嵌图案
的四个内角的和，它们的和为360º，且相等的边
互相重合。
友情归纳二
（1）所有的三角形和 四边 形 都可以进行单一的平面镶嵌。
（2）镶嵌平面图案需要的条 件：能否用几个形状、大小 完全相同的图形不留空隙、不
重叠地镶嵌一个平面，其关键
是看它的各个内角在组合过程 中能否构成一个 360度。 （拼接在同一个点的各个角 的和恰好等于360度。）
7.4 课题学习 镶嵌
Sh图形在拼接时有 什么特点?
Shuxue
埃舍尔的作品
Shuxue
毛瑞特斯·柯奈利斯·埃舍尔
(Maurits Cornelis Escher
1898.6.17-1972.3.27)
荷兰画家。他的画除了充满艺术 的本质之外，更暗藏着不少数学内容， 有无限、对称、不可能物件、密铺平 面和多面体等，十分耐人寻味。不少 科学家还将其作品作为严肃的论文主 题进行剖析和研究。他的作品也被称 为“不可能存在的存在”。
(1)正三角形
(2)正四边形
想一想 （3）正五边形可以镶嵌图案吗？
啊!拼不了啦,为
什么呢?你能说
13
2
说道理吗?
∠1+∠2+∠3=?
想一想 （4）正六边形可以镶嵌图案吗？
Shuxue
友情归纳一
（1）只用一种正多边形 可以进行平面镶嵌，
且只有正三角形、正四边形和正六边形能
够进行一种正多边形的平面镶嵌。