复数章节教案

【教学过程】辨析定义活动3：（1）引入虚数单位i,并规定21i=-复数的概念：形如z a bi=+这样的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部，且,a b都为实数。

并引入复数集，用大写字母C表示。

{/,,}C z z a bi a b R==+∈（2）根据复数的基本形式，对复数进一步分类。

当0b=时，a bi+就是实数，当0b≠时，a bi+是虚数，其中0a=且0b≠时称为纯虚数。

（3）复数相等的概念如果两个复数a bi+与c di+相等，则等价于a c=且b d=.并在此强调，复数一般不能比较大小。

思考：0(,)a bi ab R+=∈的充要条件是什么？（4）典型例题选讲：1．已知(21)(3)x i y y i-+=--,其中,x y R∈,求,x y.2．已知226(2)0x y x y i+-+--=,求实数,x y的值.学生通过看书，预先了解复数的概念，并在老师的引导下进一步认识复数的基本形式。

通过对复数中实部与虚部取值范围的讨论，让同学们理解复数与实数的关系。

对复数定义的更深一步理解。

通过例题的讲解，了解学生的知识掌握程度。

可以让学生先自己解答，老师再做讲解。

类比研究复数的几何意义。

（1）复数与复平面的一一对应复数z a bi=+与直角坐标系中的点(,)Z a b一一对应。

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面，简称复平面，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴（虚轴不包括原点）。

通过复数与复平面的一一对应和向量的一一对应，理解数形结合的思想，并把现在学习的新知识与以往学习的知识联系在一起。

教学过程设计师生活动设计意图类比研究（2）复数与平面向量的一一对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数一一对应，这样，我们可以用平面向量来表示复数。

复数z a bi=+与平面向量oz一一对应（3）典型例题选讲已知复数22(6)(2)z m m m m i=+-++-在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

分析：第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0，则226020m mm m⎧+-<⎪⎨+->⎪⎩解决实际问题。

体会数形结合的思想。

表示复数的点所在象限的问题。

（几何问题）复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题。

（代数问题）把新学习的知识与之前学习的知识进一步融合，让学生在发现中学习，并理解知识点之间的关系，有利于对新知识的理解和旧知识的巩固。

在解决具体问题时所发现的新的数学思想方法，可以帮助同学们在今后的学习中多角度的思考问题，解答问题，有利于学生思维的拓展。

共轭复数概念：一般地，如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数。

复数z的共轭复数记作z，即(,)z a bi a b R=+∈，则z a bi=-.典型例题精讲：已知22(1)z x x i=++，且222(1)(2)x x i y x y i++=++(,)x y R∈，求这个复数的共轭复数。

教学过程设计师生活动设计意图【教学过程】 第12课时（一）导入新课：复数的概念及其几何意义； （二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定： 1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 2、复数的加法运算律: 交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量 4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？ 解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内. 点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。

即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B 。

例3、复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数。

解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x 解得⎩⎨⎧-==12y x故点D 对应的复数为2－i 。

分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解。

解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心， 于是有(－2+i )+(x +yi )=0， ∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图，通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。

（三）课堂练习：1. 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ D ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i -2. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 2i i +在复平面内表示的点在第 二 象限.4. 计算：（1）(24)(34)i i ++- = 5 （2）5(32)i -+= -2-2i（3）(34)(2)(15)i i i --++--= -2-8i （4）(2)(23)4i i i --++= 2i（四）课堂小结：复数的加法与减法的运算及几何意义 （五）课后作业：课本第112页习题A ：1、2、3、4。

例2图【第34 课时】 【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bia ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则： 利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bia ++的分母有理化得：原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘. 点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1. 例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法. 例4i43+引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性. 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i1+i⎛⎫⎪⎝⎭等于（）A．4i B．4i-C．2i D．2i-2.设复数z满足12iiz+=，则z=（）A．2i-+B．2i--C．2i-D．2i+3.复数32321⎪⎪⎭⎫⎝⎛+i的值是（）A.i-B.iC.1- D.14.已知复数z与()iz822-+都是纯虚数，求z.提示：复数z为纯虚数，故可设()0z bi b=≠，再代入求解即可.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识 .重点 .能力与思想方法 .【教学过程】动脑思考 探索新知我们首先通过一道例题来研究复数乘法运算的几何意义．例1 已知复数π26z =∠，求（1）i i z z ，；（2）在同一个坐标系内画出i z z 、与i z所对应的向量，观察它们的模与辐角之间的关系．解 （1）由于 πi=2∠，所以ππππ2πi 22()262623z =∠⋅∠=∠+=∠， π2πππ62()2()πi 6232z ∠==∠-=∠-∠． （2）在同一个坐标系内画出i z z 、与iz所对应的向量12OZ OZ OZ 、、（如图3－7）．观察图形发现，三个向量的模相等，向量1OZ 是向量OZ 绕坐标原点，沿着逆时针方向旋转π2得到的，向量2OZ 是向量OZ 绕坐标原点，沿着顺时针方向旋转π2得到的．动脑思考 探索新知设复数111222z r z r θθ=∠=∠，分别对应向量12OZ OZ 和，则12z z 对应的向量OZ 可以由向量1OZ 绕坐标原点逆时针旋转角2θ，然后再将模伸长（21r >）或压缩（21r <）成原来的2r 倍得到．这就是复数乘法的几何意义．作为特例，ϕ∠是模为1，辐角为ϕ的复数，任意复数z r θ=∠乘以ϕ∠，意义是其向量的模不变，绕坐标原点逆时针旋转了ϕ角．因此，ϕ∠叫做旋转因子．πi=2∠是一个特殊的旋转因子，复数i z 表示将z 对应的向量绕坐标原点，沿着顺时针方向旋转π2． 电学中将正弦交流电源作用下产生的电压和电流统称为正弦量．一般研究的都是同频率图3－的正弦量．因为频率相同，所以要确定电压，只要确定它的最大值m U 和初相ϕ就可以了．以电压为例，设电压sin()m u U t ωϕ=+，以它为虚部的复数为 cos()i sin()m m U U t U t ωϕωϕ=+++i()i i e e e t t m m U U ωϕωϕ+==⋅.设复数i m m U U e ϕ=，则其模是电压u 的最大值；其辐角为对应正弦量的初相位，旋转因子i etω是模为1，在复平面上以角速度ω沿逆时针方向旋转的向量，表示对应正弦量的角频率．由此看来，复数i m m U U e ϕ=的模和辐角正好能反映电压u 的最大值m U 和初相位ϕ．因此，正弦量可以用复数来表示．这种用复数来进行正弦交流电路分析计算的方法叫做相量法， 用来表示正弦量的最大值和初相的复数叫做相量．为了加以区别，表示相量时，在表示相量的大写字母上面加“· ”． 例如，sin()m u U t ωϕ=+，相应相量表示为i (cos isin )m m m m U U e U U ϕϕϕϕ==∠=+．巩固知识 典型例题例2 求下列已知电流的合成电流：1π30sin(100)3I t =+， 2π40sin(100)3I t =-.分析 两个同频率的正弦量的合成仍是正弦量，其频率不变，只是峰值及初相位与原来不同，电流12I I 和相应的相量为 πi 3130e I •=与πi()3240eI •-=.那么，我们只要求出12I I I •••=+的模和幅角，就可以求出复数I •的三角形式，从而求出合成电流I ．解 对应于电流1I 和2I 的相量分别为：πi 3130e I •=，πi()3240e I •-=则 12I I I •••=+ππii()3330e 40e-=+ππππ30(cos isin )40[cos()isin()]3333=++-+-1130(40(2222=++-35=-.于是 23536.06I =+=，tan 1354'357θθ-==-=-︒． 故1I 和2I 的合成电流I 36.06sin(1001354')t =-︒. 动脑思考 探索新知进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： （1）写出对应相量；（2）将各相量写成复数的代数形式； （3）进行复数的加、减运算；（4）将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量. 巩固知识 典型例题例3 已知电压1π)3u t ω=+，2πsin()4u t ω=-．求（1）电压的相量12U U ，；（2）12u u +．解 （1）1ππ2(cosisin )3322U =+=+，2ππcos()isin()4422U =-+-=-．（2）122i 2222U U +=++-1.4140.518i =+ 1.51(cos 207'isin 207')=︒+︒，故 12 1.51sin(2007')u u t ω+=+︒． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： 结论：（1）写出对应相量；（2）将各相量写成复数的代数形式；（3）进行复数的加、减运算；（4）将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量.*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．3（必做）；学习与训练训练题3．3（选做）。