分治法
分治法-PPT精选
不成功检索在i级外部结点终止的元素比较次数是i-1
2019/11/26
BINSRCH计算复杂度的理论分析
1）不成功检索的最好、最坏和平均情况的计算时
间均为Θ(logn) ——外结点处在最末的两级上； 2）最好情况下的成功检索的计算时间为 Θ(1)
2019/11/26
以比较为基础的有序检索问题最坏情况的时间下界
定理2.3 设A(1:n)含有 n(n≥1)个不同的元素，排序为A(1)< A(2) < …< A(n)。又设用以比较为基础的算法去判断是 否 xA(:1n) ，则这样的任何算法在最坏情况下所需的最小 比较次数FIND(n)有：
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FIND k(lo ng )1()n
任何一种以比较为基础的算法，在最坏情况 下的计算时间都不低于Ο (logn)。因此， 不可能存在最坏情况比二分检索数量级还低 的算法。
最坏情况下的成功检索的计算时间为 Θ(logn)
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3）平均情况下的成功检索的计算时间分析
利用外部结点和内部结点到根距离和之间的关系进行推导： 记，
由根到所有内结点的距离之和称为内部路径长度，记为I； 由根到所有外部结点的距离之和称为外部路径长度，记为E。
则有，E=I+2n
解。
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DANDC的计算时间
若所分成的两个子问题的输入规模大致相等，则DANDC 总的计算时间可用递归关系式表示，如下：
g(n)
n足够小
T(n) =
2T(n/2) + f(n) 否则
注： T(n)：表示输入规模为n的DANDC计算时间 g(n)：表示对足够小的输入规模直接求解的计算时间 f(n)：表示COMBINE对两个子区间的子结果进行合并
分治法解决问题的步骤
分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
不同DFT方法的比较与选择
不同DFT方法的比较与选择傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是傅里叶变换的离散形式，广泛应用于信号处理、图像处理、数字滤波等领域。
目前，有多种不同的DFT方法可供选择，每种方法都有其优缺点，因此需要根据具体应用场景选择适当的方法。
常见的DFT方法包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）、分治法（Divide and Conquer）、蝶形算法（Butterfly Algorithm）等。
下面将对这几种方法进行比较与选择。
1.FFT是DFT方法中最常用的一种。
FFT算法利用了对称性质和递归的思想，具有高效的计算速度和较小的算法复杂度。
在信号处理和图像处理中，通常使用基于FFT的快速算法进行频域分析和频谱估计。
FFT算法能够快速计算出离散信号的频谱，适用于处理大量数据点或需要实时处理的应用。
2.分治法是另一种常见的DFT方法。
该算法将DFT问题分解为若干小规模的DFT问题，然后通过递归求解得到最终的结果。
分治法适用于处理规模较小的信号或需要逐步分析的应用。
由于分治法涉及递归计算，对于大规模问题可能存在计算效率较低的问题。
3.蝶形算法是一种优化的DFT计算方法，通过巧妙地使用旋转因子和矩阵乘法来减少计算量。
蝶形算法比较适用于对称信号和周期信号的频谱估计。
蝶形算法的计算复杂度较低，适用于对计算效率要求较高的应用场景。
在选择DFT方法时，需要考虑以下几个因素：1.数据规模：当数据规模较大时，FFT算法通常是较好的选择，因为其计算速度较快。
而当数据规模较小时，分治法和蝶形算法可能更适合，因为它们更加灵活和可控。
2.应用场景：不同的应用场景对DFT方法的要求也不同。
例如，在音频信号处理中，常常需要对实时音频流进行频谱分析，这时候FFT算法是较为合适的选择。
分治法
顾铁成
1
引例：称硬币
如果给你一个装有16枚硬币的袋子，其中有一
枚是假的，并且其重与真硬币不同。你能不能 用最少的比较次数，找出这个假币？
为了帮助你完成这个任务，将提供一台可用来 比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可
以知道两组硬币的重量是否相同。
2
引例：称硬币
常规的解决方法是先将这些硬币分成两
15
当 k = 1 时，各种可能的残缺棋盘
16
三格板的四个不同方向
17
【输入】
第一行输入棋盘 的总行数，第二 行输入残缺棋盘 的格子坐标。
【样例输入】 4
4 1
【样例输出】 2 2 3 3 2 1 1 3 4 4 1 5
【输出】
覆盖的矩阵图。
0 4 5 5
18
问题分析
很明显，当K=0时，是不需要三格板的，而当
24
【样例输入】 5 3 23 8 91 56 4 【样例输出】 1
25
问题分析
对于一组混乱无序的数来说，要找到第k
小的元素，通常要经过两个步骤才能实 现：
第一步：将所有的数进行排序； 第二步：确定第k个位置上的数。
26
问题分析
传统的排序算法（插入排序、选择排序
、冒泡排序等）大家都已经很熟悉了， 但已学过的排序方法无论从速度上பைடு நூலகம்还 是从稳定性方面，都不是最佳的。
将7作为一个参照数；
将这个数组中比7大的数放在7的左边； 比7大的数放在7的右边；
这样，我们就可以得到第一次数组的调整：
[ 4 2 6 6 1 ] 7 [ 10 22 9 8 ]
29
分治法经典案例
分治法经典案例
嘿，大家知道吗，这分治法可真是太厉害啦！就拿排序来说吧，比如一堆杂乱无章的数字，哎呀呀，那简直是一团乱麻！这时候分治法就出马啦。
想象一下，你要整理一个超级乱的房间，你会怎么做？当然是把房间分成几个区域，一个区域一个区域地整理呀，分治法就类似这个道理。
比如说归并排序，它就是把这堆数字不断地分成两半，再把两半合起来，就像你把房间先分成左边和右边，分别整理好后再合到一起。
再说说在图像识别里的应用。
假如你面前有一张超级复杂的图片，里面有各种形状、各种颜色的东西，哇，这要怎么搞清楚啊！但用了分治法，就像是把这张图片切成小块，一块一块地去识别、理解。
就好像你认识一个新朋友，你会先看他的脸，再看他的衣服，一步一步慢慢了解，对吧？
还有啊，在解决复杂的计算问题时，分治法也能大显身手。
好比你要算一道超级复杂的数学题，直接去算可能会让你头大，但是通过分治法，把问题分成小份，逐个击破。
就像你打游戏，一个大 boss 你一下打不过，那就一点一点地削弱它呀！
分治法不就是这样神奇而好用的东西吗？它能把超级复杂、看似不可能完成的任务，变得有条有理，能够被我们一步一步地解决掉。
所以说呀，分
治法真的是我们的好帮手，难道不是吗？它就像一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的难题大门，让我们在解决问题的道路上一路畅通无阻！这就是分治法的厉害之处，大家可千万别小瞧它哟！。
分治法练习题
分治法练习题分治法是一种常见的算法设计方法，其核心思想是将问题划分成若干个规模较小且结构相似的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的结果合并得到原问题的解。
在实际应用中，选取合适的问题划分方式以及合并子问题的结果是非常关键的。
下面，我将为您介绍两个分治法的练习题。
题目一：寻找最大子数组和给定一个整数数组，找到其连续子数组中的最大和。
例如，输入数组[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，其最大子数组和为6，对应的子数组为[4, -1, 2, 1]。
解题思路：1. 将原问题划分成规模较小的子问题：将数组分为两部分，分别求解左子数组和右子数组的最大子数组和，以及跨越中点的最大子数组和。
2. 递归求解子问题：对于左右子数组，可以再次使用分治法求解；对于跨越中点的最大子数组和，可以通过以中点为中心，向左右扩展来得到。
3. 合并子问题的结果：对于左右子数组的最大子数组和，取较大值作为整个数组的最大子数组和；对于跨越中点的最大子数组和，取两边相加的最大值。
题目二：求解逆序对个数给定一个数组，逆序对是指数组中两个元素a[i]和a[j]，满足i < j且a[i] > a[j]。
请设计一个算法，求解给定数组中逆序对的个数。
解题思路：1. 将原问题划分成规模较小的子问题：将数组平均分为两部分，分别求解左子数组和右子数组中逆序对的个数，以及两个子数组之间的逆序对个数。
2. 递归求解子问题：对于左右子数组，可以再次使用分治法求解；对于两个子数组之间的逆序对个数，可以通过归并排序的思想来求解。
3. 合并子问题的结果：将左右子数组合并为一个有序数组，并统计两个子数组之间的逆序对个数。
同时，递归返回的结果也需要累加进逆序对的总数。
通过以上两个练习题，我们可以更加深入地理解和应用分治法这一算法设计思想，同时也能提升对问题分解和结果合并的能力。
当然，在实际应用中，我们需要灵活运用分治法以及结合具体问题来设计合适的算法，并注意算法的效率和性能。
分冶法
f ( n) n 1 ( n ), d 1
d
T (n) 2T (n / 2) ( n 1)
a b 2, d 1, a b
d
d
T ( n) ( n lg n)
解递推方程得精确解： T (n) n log2 n n 1
10:39
13／42
减一技术
原问题(规模 n) (1) 子问题(n-1) (n-1)解 (n) 解 扩展解
无解
折 半 查 找
原问题解
插 入 排 序
10:39
22／42
插入排序（Insertion Sort）
任务：对 n 个元素作插入排序（规模 n） 减一策略 ——自顶向下：规模减小 ① 规模减小：规模减一，即 n-1 ② 求解：解 n-1规模子问题 ③ 扩展解：n-1规模解扩展为 n规模解 扩展方法的不同，有不同的插入排序 减一过程递归进行，直到 规模 = 1或0 为止 实现方法 —— 自底向上：规模增大 为便于实现，规模从 0 或 1 增加到 n
1, n 2 T ( n) k 2T ( n / 2) 1, n 2
10:39
7／42
分治法的一般时间效率分析 规模 n , 每次分为 a 个子问题，子问题规模相等 n/b 为简化分析, 不妨设 n = bk, k = 1, 2, 3, ...
通用分治递推式
c , n t 常量时间（基本操作次数） T ( n) aT ( n / b) f ( n), n t , a 1, b 2, c 0 f (n) : 分解时间 + 合并时间
平均 Tavg (n) 2n ln n 1.38n log2 n (n log2 n) 效率
算法的技术手段范文
算法的技术手段范文下面将介绍一些常见的算法的技术手段。
1.分治法分治法将问题划分为若干个规模较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
这种技术手段在快速排序和归并排序等算法中有广泛的应用。
2.动态规划动态规划将问题划分为多个阶段，根据问题的最优子结构特性，将其解决过程划分为多个阶段的决策过程。
动态规划算法通常需要使用递归和数组的结构来存储中间计算结果，以避免重复计算。
背包问题、最短路径问题等都可以使用动态规划算法来解决。
3.贪心法贪心法在每一步都选择当前最优解，然后继续向下一步迭代，直到得到最终解。
贪心法通常快速且简单，但不能保证得到全局最优解，有时只能得到近似解。
经典的贪心算法有霍夫曼编码和最小生成树算法等。
4.回溯法回溯法通过不断尝试和回溯来达到求解问题的目的。
在过程中，若当前路径不能满足问题的条件，就退回到上一步重新选择路径。
回溯法广泛应用于解决组合、排列、图的遍历等问题。
5.枚举法枚举法是穷举所有可能的解，然后从中选择最优解的一种方法。
枚举法常用于求解排列、组合等问题。
虽然在大规模问题上效率较低，但是在规模较小的问题上，可以得到精确的解。
6.分支限界法分支限界法通过不断扩展最优解的空间，并用界限函数排除不可能达到最优解的部分空间，从而提高算法的效率。
分支限界法常用于解决最优化问题，如旅行商问题、0-1背包问题等。
7.近似算法近似算法是用于求解NP难问题的一种方法，通过折中计算精确性和效率，给出一个近似解。
近似算法的设计思路包括贪心法、局部、随机化等。
近似算法不保证得到全局最优解，但可以在多项式时间内给出一个接近最优解的解。
8.随机算法随机算法利用随机数的性质来解决问题，通过随机挑选可能的解进行，以期望找到一个满足条件的解。
随机算法通常用于解决优化问题，如模拟退火算法和遗传算法等。
总之，算法的技术手段是多种多样的，通过合理的选择和组合，可以提高算法的效率和准确性。
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分治法【摘要】：分治法可以通俗的解释为：把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。
本文主要叙述了分治法的设计思想及与之有关的递归思想，了解使用分治法解决问题的过程。
【关键词】：分治法分解算法递归二分搜索Partition Method（Junna Wei）【abstract 】: the partition method can explain to popular: decomposition, put a slice of territory is decomposed into several pieces of small, then pieces of land occupation of conquest, the decomposition can be different political factions or something, then let them each other alienation. This paper mainly describes the design idea of the partition method and recursive thinking, related to understand the process of solving the problem using the partition method.【key words 】: partition method decomposition algorithm recursive Binary search 1.引论在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法，傅立叶变换……1.1背景任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
[6]如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：[7]1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
2.相关文献和理论2.1算法2.11算法概述算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
2.12算法特征[2]一个算法应该具有以下五个重要的特征：1、有穷性（Finiteness）算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止；2、确切性(Definiteness)算法的每一步骤必须有确切的定义；3、输入项(Input)一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件；4、输出项(Output)一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。
没有输出的算法是毫无意义的；5、可行性(Effectiveness)算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成（也称之为有效性）。
2.23对于算法的评定[3]同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。
算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。
一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。
1.时间复杂度算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法的时间复杂度也因此记做。
T(n)=Ο(f(n))。
因此，问题的规模n 越大，算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。
2.空间复杂度算法的空间复杂度是指算法需要消耗的内存空间。
其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。
同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。
3.正确性算法的正确性是评价一个算法优劣的最重要的标准。
4.可读性算法的可读性是指一个算法可供人们阅读的容易程度。
5.健壮性健壮性是指一个算法对不合理数据输入的反应能力和处理能力，也称为容错性。
2.2 递归算法[4]2.21原理递归的概念：一个过程(或函数)直接或间接调用自己本身,这种过程(或函数)叫递归过程(或函数).递归过程一般通过函数或子过程来实现。
递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。
递归算法简析：递归是计算机科学的一个重要概念,递归的方法是程序设计中有效的方法,采用递归编写，递归能使程序变得简洁和清晰。
2.22递归算法的特点递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。
在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成栈溢出等。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
2.23递归算法要求递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
2.24递归算法小结[1]由于递归算法结构清晰可读性强，且容易用数学归纳法证明算法的正确性，因此它为算法设计、调试程序带来很大的方便。
然而，递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
若在程序中消除算法的递归调用，则其运行时间将大为节省。
因此，有时希望在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。
通常消除递归采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈，从而达到将递归算法转化为非递归算法的目的。
仅仅是机械的模拟还不能达到缩短计算时间和存储空间的目的，还需要具体程序的特点对递归调用工作栈进行简化，尽量减少栈操作，压缩栈存储空间以达到减少计算时间和存储空间的目的。
3.研究方法和过程3.1递归算法与分治法从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是一个递归过程。
因此，分治法的计算效率通常可以用递归方程来进行分析。
为方便起见，设分解阈值 n0=1，且算法ADHOC解规模为1的问题耗费1个单位时间。
又设分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解，而且，将原问题分解为k个子问题以及用算法MERGE将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。
用T(n)表示该分治法Divide-and- Conquer(P)解规模为|P|=n的问题P所需的计算时间。
则:1.注意，递归方程及其解只能给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。
通常，我们可以假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n〈 mi+1时，T(mi)≤T(n)〈 T(mi+1)。
另一个需要注意的问题是，在分析分治法的计算效率时，通常得到的是递归不等式：2.注意，递归方程及其解只能给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。
通常，我们可以假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n〈 mi+1时，T(mi)≤T(n)〈 T(mi+1)。
另一个需要注意的问题是，在分析分治法的计算效率时，通常得到的是递归不等式：3.由于我们关心的一般是最坏情况下的计算时间复杂度的上界，所以用等于号(还是小于或等于号(≤)是没有本质区别的。
3.2算法的实现3.21分治法的基本步骤分治法在每一层递归上都有三个步骤：分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
3.22算法描述[1]它的一般的算法设计模式如下：Divide-and-Conquer(P)1. if |P|≤n02. then return(ADHOC(P))3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk4. for i←1 to k5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题7. return(T)其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。