第五讲机械振动和机械波
机械振动机械波
机械振动机械波1. 引言机械振动和机械波是机械工程中重要的研究领域，它们在各个行业中都有广泛的应用。
机械振动研究的是物体在受到外力激励后产生的周期性运动，而机械波研究的是物体中能量传递的波动现象。
本文将介绍机械振动和机械波的基本概念、传播特性以及相关应用。
2. 机械振动2.1 振动的基本概念振动是物体围绕其平衡位置做周期性往复运动的现象。
物体在振动过程中会存在振幅、周期、频率等基本参数。
振幅表示振动的最大偏离量，周期表示振动一次所经历的时间，频率表示单位时间内振动的次数。
振动的基本参数可以通过物体的振动函数来描述。
2.2 单自由度振动系统单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，最简单的例子是弹簧振子。
弹簧振子由一个弹簧和一个质点组成，当质点受到外力激励时，会产生振动。
弹簧振子的振动可以用简谐振动来描述，简谐振动是一种最简单的周期性振动。
2.3 多自由度振动系统多自由度振动系统是指由多个自由度组成的振动系统，例如多个质点通过弹簧相互连接而成的系统。
多自由度振动系统的振动模式较为复杂，可以通过求解振动微分方程得到系统的振动模式和频率。
3. 机械波3.1 波动的基本概念波动是指能量传递在空间中传播的现象。
波动可以分为机械波和电磁波两大类，其中机械波是需要介质传播的波动现象。
机械波可以通过绳子上的波浪、水波以及地震波等来进行形象化理解。
3.2 机械波的分类根据振动方向和能量传播方向的不同，机械波可以分为横波和纵波两种。
横波是指振动方向垂直于能量传播方向的波动，例如绳子上的波浪；纵波是指振动方向和能量传播方向相同的波动，例如声波。
3.3 机械波的传播特性机械波的传播速度和频率有一定的关系，传播速度等于波动频率乘以波长。
波长是波动中一个完整波动周期所占据的距离。
不同介质中的机械波传播速度不同，波动传播过程中会发生折射、反射、衍射等现象。
4. 机械振动和机械波的应用机械振动和机械波在各个行业中都有广泛的应用。
05第5章机械振动与机械波
根据牛顿第二运动定律：
2
kx ma
即：
k d x k 令 x 0 2 m dt m 2 d x 2 x 0 2 dt
微分方程的解: 周期T为：
x Acos( t 0 )
2
m T 2 k
第 15 页
单摆
以通过O点且垂直直面的线为轴 ，取向外为正方向，则角位移θ的 正向与之同向。分析可知，小球仅 受到重力距，为：
2
微分方程的解: 周期T为：
m cos( t 0 )
l T 2 g 2
第 17 页
பைடு நூலகம்
复摆
以通过O点且垂直直面的线为轴 ，取向外为正方向，则角位移θ的 正向与之同向。摆的重心为C，分 析可知，摆仅受到重力距，为：
M mgl sin k
θ较小时，sinθ≈ θ，则：
矢量端点在 x 轴上的投 影点P作简谐振动！
O
x
对应关系：旋转矢量的模即振幅，转动的角速度即角频
率，初始时刻与x轴正方向之间的夹角即初相位，任意时 刻与x轴正方向之间的夹角即相位，投影长度代表位移。
第8页
例1 一物体沿Ox轴作简谐振动，振幅为A＝0.2m，周期为T＝4s。 当t＝0时，物体的位移为0.1m，且向Ox轴负向运动。求：
2 0.1 0.2
4
6
8
第 11 页
（2）t＝T/3时物体的位置、速度和加速度
x 0.2cos t m 3 2
4 x 0.2cos 0.2 m 2 3 3
dv 2 a 0.05 cos t m/s 2 dt 3 2 a dv 4 0.05 2 cos 0.493 m/s 2 dt 2 3 3
高中物理知识点之机械振动与机械波
高中物理知识点之机械振动与机械波机械振动与机械波是高中物理中的重要知识点，涉及到物理学中的振动和波动的相关理论及应用。
下面将从机械振动的基本概念、机械振动的特性、机械波的传播和机械波的特性等方面进行详细介绍。
一、机械振动的基本概念机械振动是物体在作用力的驱动下沿其中一轴向或其中一平面上来回往复运动的现象。
常见的机械振动有单摆振动、弹簧振动等。
1.单摆振动：单摆是由一根细线或细杆悬挂的可以在竖直平面内摆动的物体。
摆动过程中，单摆的重心沿圆弧形轨迹在竖直平面内来回运动。
2.弹簧振动：弹簧振动是指将一端固定，另一端悬挂质点的弹簧在作用力的驱动下做往复振动的现象。
弹簧振动有线性振动和简谐振动两种形式。
二、机械振动的特性1.幅度：振动中物体运动的最大偏离平衡位置的距离。
2.周期：振动一次所需要的时间，记为T。
3.频率：振动在单位时间内所完成的周期数，记为f。
频率和周期之间的关系为f=1/T。
4.角频率：单位时间内振动角度的增量，记为ω。
角频率和频率之间的关系为ω=2πf。
5.相位：刻画振动状态的物理量。
任何时刻振动的状态都可由物体与参照物的相对位移和相对速度来描述。
三、机械波的传播机械波是指质点或介质在空间传播的波动现象。
按传播方向的不同，机械波可以分为纵波和横波。
1.纵波：波动传播的方向与波的传播方向一致。
纵波的传播特点是质点沿着波动方向做往复运动，如声波就是一种纵波。
2.横波：波动传播的方向与波的传播方向垂直。
横波的传播特点是质点沿波动方向做往复运动，如水波就是一种横波。
四、机械波的特性1.波长：波的传播方向上，相邻两个相位相同的点之间的距离。
记为λ。
2.波速：波的传播速度。
波速和频率、波长之间的关系为v=λf。
3.频率：波动现象中，单位时间内波的传输周期数。
记为f。
4.能量传递：机械波在传播过程中，能量从一个质点传递到另一个质点，并随着传播的距离逐渐减弱。
5.反射和折射：机械波在传播过程中，遇到不同介质的边界时会发生反射和折射现象。
05第5章机械振动与机械波
根据定轴转动定律：
M
J
ml 2
d2
dt 2
mgl
d2 g 0
dt 2 l
g
l
d 2
dt 2
2
0
mcos(t 0 )
T 2 2 l
g
3、复摆
M mgl sin k
θ较小时 M mgl k
J
d2
dt 2
ka=mg
对物体应用牛顿第二定律：
m
d2 y dt 2
mg
T1
对滑轮应用转动定律：
J T1R T2R
绳子无质量且不可伸长： 绳子在滑轮上不打滑：
T2 k(a y)
R
d2 y dt 2
(m J / R2 ) d2 y ky dt 2
(m
1 2
M
)
d2 y dt 2
Ep rSx2g
Ek
1 2
rlS
dx dt
2
系统机械能守恒：
1 2
rlS
dx dt
2
r Sx2 g
Const.
两边同时对时间求导：
d2 dt
x
2
2g l
x
0
上式说明，液柱作简谐振动， 振动的角频率为：
2g
l
与管的形状、截面积以及液体种类无关！
解
1
2
3
(
2
)
5
机械振动和机械波
机械振动和机械波1. 引言机械振动和机械波是物理学中重要的概念，涉及到物体在空间中的运动和传播。
机械振动是指物体围绕平衡位置往复运动的现象，而机械波则是指在介质中能够传播的能量和信息。
本文将介绍机械振动和机械波的基本概念、特征和数学描述以及相关应用。
2. 机械振动机械振动是物体做往复运动的现象，它包括周期性振动和非周期性振动。
周期性振动是指物体在一定时间内反复做相同的运动，而非周期性振动则是指物体在一定时间内做不同的运动。
2.1 周期性振动周期性振动是最常见的一种机械振动。
一个周期性振动经历从平衡位置到最大位移再回到平衡位置的过程，称为一个完整的振动周期。
振动周期的时间称为周期，用符号T表示。
频率是指单位时间内振动的次数，用符号f表示，它的倒数即为周期：T = 1/f。
周期性振动的周期和频率可以通过以下公式计算：T = 2π√(m/k)f = 1/(2π)√(k/m)其中，m是振动物体的质量，k是恢复力常数或振动系统的刚度。
2.2 非周期性振动非周期性振动是指物体在一定时间内做不同的运动。
非周期性振动的描述需要使用更复杂的数学模型，例如分解为不同频率的正弦波，通过傅里叶变换等方法进行分析。
3. 机械波机械波是能量和信息在介质中传播的现象。
介质可以是固体、液体或气体。
机械波可以分为两类：横波和纵波。
横波是指波的传播方向和振动方向垂直的波动，例如水波；纵波是指波的传播方向和振动方向平行的波动，例如声波。
3.1 横波横波的传播方式是通过介质中的粒子振动引起相邻粒子的振动，从而使波沿垂直方向传播。
典型的横波是水波，当我们抛入一颗石头后，水面上就会出现圆形的波纹，波纹垂直传播，而水分子只是在垂直方向上做上下振动。
3.2 纵波纵波的传播方式是通过介质中的粒子振动引起相邻粒子的振动，从而使波沿传播方向传播。
典型的纵波是声波，当我们在空气中发出声音时，声音会以纵波的形式传播，空气分子在声波传播的方向上做着来回的压缩和膨胀。
机械振动机械波
机械振动机械波机械振动和机械波是物理学中重要的概念，涉及到了物体的振动和波动特性。
机械振动是指物体或系统在受到外界力的作用下发生的周期性或非周期性的振动运动，而机械波是指机械振动在介质中传播的能量传递过程。
机械振动有两个重要的参数，即振动周期和振幅。
振动周期是指一个完整的振动循环所需要的时间，通常用秒（s）表示。
振幅则是指振动的最大位移或最大速度，通常用米（m）来表示。
机械振动分为简谐振动和非简谐振动两种。
简谐振动是指当物体受到恢复力的作用后，其振动状态可以通过正弦或余弦函数来描述。
而非简谐振动则是指物体受到的恢复力不满足线性关系，振动状态无法通过简单的正弦或余弦函数来描述。
机械振动的运动可以通过振动方程来描述。
对于简谐振动而言，振动方程可以表示为x(t) = A * sin(ωt + φ)，其中x(t)是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
振动方程可以描述物体振动的位移、速度和加速度的关系，从而提供了对振动状态的全面了解。
机械波是机械振动在介质中传播的能量传递过程。
波动是由于介质中某一点的振动引起附近点的振动，从而传递能量。
机械波有两种主要类型，即横波和纵波。
横波是指波动的振动方向垂直于能量传播方向的波动，例如水波。
纵波则是指波动的振动方向与能量传播方向一致的波动，例如声波。
机械波的传播速度可以通过介质的性质和条件来确定。
对于弹性介质而言，传播速度可以表示为v = √(E/ρ)，其中v是波速，E是介质的杨氏模量，ρ是介质的密度。
不同介质的波速是不同的，比如在空气中，声速大约为343m/s，而在水中，水波的波速则约为1480m/s。
机械波的特性还包括波长和频率。
波长是指相邻两个振动峰或波谷之间的距离，通常用λ表示，单位是米。
频率是指在单位时间内波动中的相邻振动周期的个数，通常用赫兹（Hz）表示。
波长和频率之间有一个简单的关系，即v = λ * f，其中v是波速，λ是波长，f 是频率。
机械振动和机械波
四、振动图象与波的图象的比较
振 动 图 O 象 X 波 的 图 t 象 O X Y
1.两个图象的纵坐标都表示质点偏离平衡位置的位移 两个图象的纵坐标都表示质点偏离平衡位置的位移 2.振动图象的横坐标表示时间，O点为质点的平衡位置 振动图象的横坐标表示时间， 点为质点的平衡位置 振动图象的横坐标表示时间 波的图象的横坐标表示在波的传播方向上各质点的平衡位置 3.两种图象的形状都是正弦曲线 两种图象的形状都是正弦曲线 4.振动图象表示一个质点在不同时刻的位移 振动图象表示一个质点 不同时刻的位移 振动图象表示一个质点在 波的图象表示多个质点 某一时刻的位移 多个质点在 的位移， 波的图象表示多个质点在某一时刻的位移，对横波而言则表 示多个质点在某一时刻的空间位置分布
能量分析
弹簧振子在振动中的弹性势能最大值与简谐运动的振幅相联系。 振幅越大，弹性势能也就越大，振子振动过程中的机械能也就越大。
位移、回复力、 位移、回复力、加速度和速度的方向
振子在左边 振子在右边 位移 回复力 加速度 速度 O 平衡位置
受迫振动 共振
固有振动
单摆和弹簧振子在振动的时候，它们的周期和频率都与振幅无 关；振动的周期和频率只由振动物体本身的性质决定，这种振动叫 固有振动。振动的频率（周期）叫固有频率（周期）。
驱动力的 频率
共振曲线
受迫振动物体 的振幅
f
简谐运动的图像
x(cm) 作简谐运动物体的振动 10 图像是正弦（或余弦）曲线。 如图就是一个弹簧振子的振 0 动图像。 10
A
0.25 0.5 t(s)
从图中可以直接读出作简谐运动物体振动的振幅和振动周期。 根据周期又可以计算出振动的频率。 从振动图像中可以看出振子的位移和时间的对应关系。如在 t=0.125时，振子的位移是x=10cm。
物理电工电子类电子课件机械振动和机械波
1. 有些洗衣机的脱水筒在正常运转时，洗衣机的振动并不强烈。但当脱水筒转动逐渐减慢直到停下的过程中，在某一小段时间内洗衣机却会发生强烈的振动。请解释该现象。
第二节 受迫振动与共振
作业与活动
项目任务与实践活动
第二节 受迫振动与共振
3. 电磁打点计时器在接通低压交流电后，振动 片（如图）做受迫振动。请观察电磁打点计时器的 结构，并分析它是如何工作的。
三、单摆的周期
第一节 简谐运动
把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可忽略不计，这种装置称为单摆。单摆是实际摆的理想化模型。如图 5-4，单摆摆长为 ，把球拉离点 O 由静止释放，球在重力 和线的拉力 共同作用下，在竖直面内沿着半径为 的一段圆弧 来回运动，点 为平衡位 置。可以证明，在摆角很小（通常 ）的情况下，单摆的振动可近似视为简谐运动。
二、共振
做中学
第二节 受迫振动与共振
从实验可见，固有周期与摆 A 周期相差越小的摆振幅越大，与摆 A 周期相同的摆 D 的振幅最大。 大量实验表明，物体做受迫振动时，驱动力的周期（或频率）与物体的固有周期（或固有频率）相差越小，受迫振动的振幅就越大（图 5-10）。当驱动力的周期（或频率）与物体的固有周期（或固有频率）相等时，受迫振动的振幅达到最大。物理学中，将这种现象称为共振。
05
机械振动和机械波
导入 从熟悉而又陌生的波说起
波就在我们身边。池塘里碧波荡漾、大海中波涛汹涌，这是水波；公园里鸟儿啼叫、音乐厅中琴声缭绕，这是声波；地震时房屋倒塌、桥梁断裂，这源于破坏力极大的地震波。水波、声波和地震波都是由于机械振动而形成的机械波。此外，用手机拨打电话，用微波炉加热食物等，这些都利用了电磁波；光波也属于电磁波。近年来，人们还探测到了来自双黑洞合并的引力波。这些波我们既熟悉又陌生，它们虽各有特点，但却有许多共同之处。本章，我们学习机械振动和机械波。什么是机械振动？机械波是怎样形成的？让我们去揭开机械振动和机械波的奥秘吧！
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五讲 机械振动和机械波§５．1简谐振动５．1.1、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力回F与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比,方向相反。
即满足：K F -=回的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律,物体的加速度m Km F a -==回，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比,方何相反。
现有一劲度系数为k 的轻质弹簧,上端固定在P 点,下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作Ｏ点。
现把物体拉离O 点后松手,使其上下振动，如图５-１－1所示。
当物体运动到离O 点距离为ｘ处时，有mg x x k mg F F -+=-=)(0回式中0x 为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有mg kx =0,因此 kx F =回说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。
因回复力指向平衡位置O,而位移x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。
注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。
5.1.２、简谐振动的方程由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。
可引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O 为圆心,以振幅A 为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5－1-２，设有一质点在参考圆上以角速度ω作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为0ϕ,那么在时刻ｔ,参考圆上的质点与O 的连线跟x 的夹角就成为0ϕωϕ+=t ,它在x 轴上的投影点的坐标)cos(0ϕω+=t A x （2）这就是简谐振动方程,式中0ϕ是ｔ=0时的相位，称为初相:0ϕω+t 是t 时刻的相位。
参考圆上的质点的线速度为ωA ,其方向与参考圆相切，这个线速度在x 轴上的投影是0cos(ϕωω+-=t A v ) （3） 这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为2ωA ，其方向指向圆心，它在x 轴上的投影是02cos(ϕωω+-=t A a ) (４） 这也就是简谐振动的加速度图5-1-1图5-1-2由公式（2）、(4)可得 x a 2ω-=由牛顿第二定律简谐振动的加速度为x m km F a -==因此有m k=2ω (5）简谐振动的周期T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以 k m w T ⋅==ππ22５.1．3、简谐振动的判据物体的受力或运动，满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动： ①物体运动中所受回复力应满足 kx F -=；②物体的运动加速度满足 x a 2ω-=;③物体的运动方程可以表示为)cos(0ϕω+=t A x 。
事实上，上述的三条并不是互相独立的。
其中条件①是基本的,由它可以导出另外两个条件②和③。
§5.2 弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。
5．2．１、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力,因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期k mT π2=。
（１)恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m 和k 都相同（如图5-2-１),则它们的振动周期T 是相同的,也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。
如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长0l ,振子的质量为ｍ=1．0kg,电梯静止时弹簧伸长l ∆=0.10ｍ,从t=0时,开始电梯以g/2的加速度加速下降s t π=，然后又以ｇ／2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长l ∆随时间ｔ变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速度的非惯性系,因此要考虑弹簧振子所受到的惯图5-2-1性力f 。
在匀速运动中，惯性力是一个恒力,不会改变振子的振动周期,振动周期m k T /2/2πωπ==因为l mg k ∆=/,所以 )(2.02s g l T ππ=∆= 因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为)(52.0//次===ππT t n当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2,在此力和重力mg 的共同作用下,振子的平衡位置在2//211l k mg l ∆==∆的地方,同样,当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在2/3/232l k mg l ∆==∆ 的地方。
在电梯向下加速运动期间,振子正好完成5次全振动,因此两个阶段内振子的振幅都是2/l ∆。
弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下,如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T 时刻而是从4.5T 时刻开始的,那么t l ~∆图线将是怎样的?(2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为1k 、2k ……n k 的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F 力作用下伸长时，各弹簧的伸长为1x ,那么总伸长∑==ni ix x 1各弹簧受的拉力也是F,所以有 i i k F x /= 故∑==ni i k F x 11根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数 :x F k /= 即得∑==ni i k k 11/1如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸长是相同的。
要使各弹簧都伸长x ,需要的外力:∑∑====ni in i i k x x k F 11根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数:∑===ni ik x Fk 1 导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图５-２－3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。
由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。
2图5-2-2图5-2-3当m 向下偏离平衡位置x ∆时，弹簧组伸长了2 x ∆,增加的弹力为212122k k k k xxk F +∆=∆=m 受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略)：x k k kk k k k k xF ∆+=+∆⨯=∑21212121422所以m 的振动周期21214)(2k k k k m T +=π=2121)(k k k k m +π再看如图5-2-4所示的装置,当弹簧１由平衡状态伸长1l ∆时，弹簧2由平衡位置伸长了2l ∆,那么，由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量）b l k a l k 2211∆=∆•1212l b a k k l ∆⋅⋅=∆由于弹簧2的伸长,使弹簧1悬点下降 122212l b a k k b a l x ∆⋅⋅=∆='∆因此物体m 总的由平衡位置下降了22221111l b a k k x l x ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅='∆+∆=∆ 此时m 所受的合外力 1222122111x b k a k b k k l k F ∆+=∆=∑所以系统的振动周期 2212221)(2b k k b k a k m T +=π(3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为A m 和B m 的两木块Ａ和Ｂ，用一根劲度系数为k 的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2－５）。
现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。
想象两端各用一个大小为F 、方向相反的力将弹簧压缩,假设某时刻A 、Ｂ各偏离了原来的平衡位置A x 和B x ,因为系统受的合力始终是零,所以应该有B B A A x m x m = ①A 、B 两物体受的力的大小 k x x F F B A B A )(+== ②由①、②两式可解得:A B B A A x m m m kF += BB BA B x m m m k F +=由此可见A 、B 两物体都做简谐运动，周期都是:)(2B A BA m m k m m T +=π图5-2-4图5-2-5此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。
如果弹簧总长为0l ，左边一段原长为0l m m m B A B +，劲度系数为k m m m BB A +;右边一段原长为0l m m m B A A+，劲度系数为k m m m BBA +,这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后,不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个,这样两个物体将做什么运动?系统的质心做什么运动? 5.2．2、单摆一个质量为ｍ的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O 点，小球摆动至与竖直方向夹θ角,其受力情况如图5－2-６所示。
其中回复力,即合力的切向分力为：θsin ⋅=mg F 回当θ<5º时，△OAB 可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置Ａ，且l x=θsin ，所以x l mg F =回 kx F =回（式中l mgk =)说明单摆在摆角小于５º时可近似地看作是一个简谐振动,振动的周期为 g lk m T ππ22==在一些异型单摆中，l 和g 的含意以及值会发生变化。
（１)等效重力加速度g '单摆的等效重力加速度g '等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。
如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时,绳子中张力为)(a g m ±，因此该单摆的等效重力加速度为g '＝a g ±。
周期为a g lT ±=π2 再如图５-2－7所示,在倾角为θ的光滑斜面上有一单摆,当摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为θsin mg ，因此单摆的等效重力加速度为g '=θsin g ,周期为θπsin 2g lT = 又如一节车厢中悬挂一个摆长为l 的单摆,车厢以加速度a在水平地图5-2-6图5-2-7图5-2-8面上运动（如图5-2-8)。
由于小球ｍ相对车厢受到一个惯性力ma f =，所以它可以“平衡”在ＯＡ位置，g atga =，此单摆可以在车厢中以O Ａ为中心做简谐振动。
当小球相对静止在平衡位置A 处时,绳中张力为22g a m +,等效重力加速度22g a g +='， 单摆的周期222g a l T +=π(2)等效摆长l '单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离,而是指摆球的圆弧轨迹的半径。
如图５-２－9中的双线摆，其等效摆长不是l ,而是θsin l ,周期g l T θπsin 2=再如图５-２－10所示，摆球m 固定在边长为L 、质量可忽略的等边三角形支架ＡBC 的顶角C 上，三角支架可围绕固定的ＡB 边自由转动,AB 边与竖直方向成a 角。
当ｍ作小角度摆动时,实际上是围绕AB 的中点Ｄ运动，故等效摆长LL l 2330cos 0=='正因为m 绕D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向D 点的弹力为a mg sin ，等效重力加速度为a g sin ，因此此异型摆的周期a g L g l T sin 2322ππ=''=（3）悬点不固定的单摆如图5－2－１１，一质量为M 的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为l ,摆球的质量为m 的单摆。