高职高考复习精品习题：不等式的解法(含答案)
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
完整版)解不等式组计算专项练习60题(有答案)
完整版)解不等式组计算专项练习60题(有答案)1.解不等式组60题参考答案：1.解：由不等式①得2a-3x+1≥0，即x≤(2a+1)/3；由不等式②得3b-2x-16≥0，即x≤(3b-16)/2.又因为a≤4<b，所以2a+1≤9，3b-16≥8，所以x的取值范围为x≤3或x≥-11/2.2.解：由不等式①得x≤-1或x≥3；由不等式②得x≤4/3或x≥2.综合起来，x的取值范围为x≤-1或x≥3，或者4/3≤x≤2.3.解：由不等式①得x>(a+1)/2；由不等式②得x0，所以a/2>(a+1)/2，所以不等式组的解集为a/2<x<(a+1)/2.4.解：由不等式①得x≥1；由不等式②得x<3.所以不等式组的解集为1≤x<3.5.解：由不等式①得x≤-2；由不等式②得x>-3.所以不等式组的解集为-3<x≤-2.6.解：由不等式①得x>-1；由不等式②得x≤2.所以不等式组的解集为-1<x≤2.7.解：由不等式①得x≤-1；由不等式②得x≥-2.所以不等式组的解集为-2≤x≤-1.8.解：由不等式①得x>-3；由不等式②得x≤1.所以不等式组的解集为-3<x≤1.9.解：由不等式①得x>-1；由不等式②得x≤4.所以不等式组的解集为-1<x≤4.10.解：由不等式①得x-3.所以不等式组的解集为-3<x<2.11.解：由不等式①得x≥1；由不等式②得x<3.所以不等式组的解集为1≤x<3.1.由不等式组的①得x≥-1，由不等式组的②得 x<4，因此不等式组的解集为 -1≤x<4.2.由不等式①得x≤3，由不等式②得 x>0，因此不等式组的解集为0<x≤3.3.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.4.原不等式组可化为：x+45，x<-1.因此不等式组的解集为-3<x≤3.5.解不等式①得 x<5，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<5.6.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.7.解不等式①得x≥-1，解不等式②得 x<3，因此不等式组的解集为 -1≤x<3.8.解不等式①得 x<1，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<1.9.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.10.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.11.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.12.解不等式组的①得-∞<x<1，因为②中的不等式没有解，所以不等式组的解集为 -∞<x<1.13.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.14.原不等式组可化为：x>-3，x≤3.因此不等式组的解集为-3<x≤3.15.解不等式组的①得 x<1，因为②中的不等式没有解，所以不等式组的解集为 -∞<x<1.16.解不等式①得 x<2，解不等式②得x≥-1，因此不等式组的解集为 -1≤x<2.17.解不等式①得x≥1，解不等式②得1≤x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.18.解不等式①得x≥-1，解不等式②得 x<3，因此不等式组的解集为 -1≤x<3.19.解不等式①得 x<1，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<1.20.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.21.不等式①的解集为x≥1，不等式②的解集为 x<4，因此原不等式的解集为1≤x<4.22.解不等式①得 x<0，解不等式②得x≥3，因此原不等式无解。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
高职高考数学不等式测试题(有答案可打印)
高职高考数学不等式测试题（有答案可打印）不等式在高职高考数学考试中很常见，由于比较简单，多出现在选择题和填空题中，稍微难一点的都在选择题最后一两道题，熟能生巧，只有多加练习才能拿高分。
其实不等式这块不难，还是一句话，要记住公式，公式记不住，一切都免谈，当然公式记住了题目里还是有些弯弯绕绕，还是要揣摩老师出题心思，不难这个大关是很难功课的。
为什么有些岗位只要专科生不要本科生？专科生的优势在哪里？看到这个题目可能很多人又要开始说什么了，专科生比本科生还强？开玩笑吧，现在很多企业要的是本科生，这个社会还是很看重学历的，行了，话不多说，举几个例子吧。
网友一：可能因为是专科生吧，就业观念很实际，很少挑三拣四，而且动手技能很强，很得企业青睐，再者说，专科生都比较踏实肯干，这就使得高职院校毕业生就业有一定的优势。
高职院校对学生的培养注重的是操作技能培训，定位更加清晰准确，而本科生的缺陷在于“理论化”，再者说，专科生的薪资要求比较低，企业考虑到用人成本，用专科生比本科生投入少产出多，更容易被企业接受。
网友二：我是个人事，先不说自己的学历吧，就说我面试时遇到的吧，来一个本科生，薪资要求两三千不愿意干，就算是愿意的吧，脑子里想的也是要学东西，学好了好跳槽走人，而那些来面试的专科生，说到薪资要求上两三千块钱都是觉得欣然接受的，这就是专科生和本科生的差距。
其实我就从公司的角度出发来说吧，这个工作做的工作不多，要求也不多，专业性技能不强，没有社会经验的专科生都能工作，所以说招本科生还不如招个专科生，做得好还不会想着什么时候跳槽，再者说公司给那么多的工资，最后结果又不能出乎意料之外，公司就觉得很不值。
网友三：我是专科生，当年高考时没考好，分数只能上三本，但是三本学校学费太贵了，我就去读了专科。
毕业后踏上社会开始找工作，发现学历真的没那么重要，公司里有985/211学校毕业的，但是在公司都是没差别的，做得不好还是天天被上司骂，还是看个人能力做事，能力强拿得工资就多。
不等式单招试题答案
不等式单招试题答案一、选择题1. 若 $a > 0$，$b < 0$，则下列不等式正确的是（）。
A. $a + b > 0$B. $a + b < 0$C. $a - b > a$D. $a - b < a$答案：C解析：由于$a > 0$，$b < 0$，显然$a + b$的和小于$a$，故A、B选项错误。
又因为$a$为正数，$b$为负数，所以$a - b$一定大于$a$，故选C。
2. 对于实数$x$，若$x^2 - 3x + 2 < 0$，则$x$的取值范围是（）。
A. $(1, 2)$B. $(0, 3)$C. $(2, 3)$D. $(1, 3)$答案：C解析：将不等式$x^2 - 3x + 2 < 0$进行因式分解，得到$(x - 1)(x- 2) < 0$。
由此可知，$x$的取值应在两个根1和2之间，故选C。
3. 已知$a, b, c$为正实数，且满足$a + b + c = 1$，求证：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$证明：由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）可知，对于任意正实数$a, b, c$，有：$$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) \geqslant (1 + 1 + 1)^2$$代入已知条件$a + b + c = 1$，得到：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$二、填空题4. 若$x, y$满足$x^2 + y^2 = 4$，则$x^2y + xy^2$的最大值为______。
答案：4解析：由题意知$x^2 + y^2 = 4$，根据平方和的性质，$x^2y +xy^2$的值不会超过$(x^2 + y^2)(y + x)$的一半，即$4(x + y)$的最大值的一半。
不等式的解法含答案
2.2不等式的解法考点1 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．考点2 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．考点3 不等式恒成立问题不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0.考点4 分式不等式、高次不等式的解法分式不等式不能两边直接同时乘以分母，而是移项后转化为分子分母的乘积与0的大小关系。
注意分母不为0的讨论()0()()0()f x f x g x g x >⇔>，()0()()0()f x f xg x g x <⇔< ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩，()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩解高次不等式时，使用数轴穿根法。
其步骤是：（1）将的最高次项的系数化为正数，（2）将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积，（3）在数轴上上从小到大依次标根，从右上方依次穿根，奇次根穿过，偶次根不穿。
考点5 含绝对值不等式的解法含绝对值不等式通过化归，去掉绝对值号，变成不含绝对值符号不等式。
2019高职高考数学复习-不等式的解法
解集
数轴表示
x>b x<a a<x<b
Ø
2.一元二次不等式的解法 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数 y=ax2+bx+c的有关性质求解,具体见下表:
a>0, Δ=b2-4ac
Δ>x2+ bx+ c
的图象
一元二次方程 ax2+ bx+ c=0 的根 一元 不等式 ax2+ bx+ c>0 二次 的解集 不等 不等式 式的 ax2+ bx+ c<0 解集 的解集
【例2】 解下列不等式 (1)(3x-4)(2x+1)>0 (2)-x2-x+12>0
( 2) 【分析】 将不等式的两边同时乘以-1, 再因式分解为(x-3)(x+ 4)<0, 两个式子的积 两个式子的积大于 0, 那么, 这两个式子或者都大于 0, 或者都小于 0; 小于 0, 则这两个式子的值的符号相反. ������������ − ������ > ������ ������������ − ������ < ������ 【解法一】 解原不等式等价于 ( 112 ) <0, 或 ( 2 ) 【解法一】 两边同乘以 -1, 得 x2+ x化为 ( x3 ) ( x+ 4 ) < 0 + ������ < ������ ������������ + ������ > ������ ������������ ������ ������ − ������ ������ > ������ ������ − ������ < ������ 原不等式可等价于 ( 1) x> ; 或( 2) ( 不等式组 ( 1) 的解集是 不等式组 2 ) 的解集是 x<������ ������ + ������ ������ < ������ ������ + ������ > ������ ������ ������ ������ ������ ( 1原不等式组的解集为 ) 的解集是∅; ( 2) 的解集是{ 4<x< ∴ x| x>������3 或 x<-������}( 或记作( -∞, -������)∪( , + ∞) ) . ������ ∴原不等式组的解集为{x| -4<x<3}( 或记作( -4, 3) )
高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解
高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解一、选择题1．(文)(2010·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1且x ＝－2}D ．{x |x ≥1或x ＝－2}[答案] D[解析] 不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0，∴x ≥1或x ＝－2，故选D.(理)(2010·天津文，7)设集合A ＝{x |x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4} [答案] C[解析] |x －a |<1⇒a －1<x <a ＋1，又∵A ∩B ＝∅， ∴a ＋1≤1或a －1≥5，∴a ≤0或a ≥6.2．(2010·湖南株洲二中)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若实数a 满足f (2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，32 B.⎝⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫12，72D.⎝⎛⎭⎫－32，32 [答案] D[解析] 由f ′(x )的图象知，f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f (2a ＋1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32<a <32.3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 [答案] A[分析] 比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f (x )的单调性，再在单调区间内比较大小．[解析] 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，73上的最大值， 又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．4．(2010·河北唐山)若a 2＋b 2>1，则下列不等式成立的是( ) A ．|a |＋|b |>1 B ．|a ＋b |>1 C ．|ab |>1D ．|a |>1且|b |>1[答案] A[解析] 取a ＝0，b ＝2，排除C 、D ；取a ＝－1，b ＝1，排除B ，故选A.5．(2010·重庆南开中学)已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2 B ．x <－x <x 2 C ．x 2<x <－xD ．x <x 2<－x[答案] D[解析] ∵x 2＋x <0，∴－1<x <0， ∴0<x 2<1,0<－x <1， 又x 2－(－x )＝x 2＋x <0， ∴x 2<－x ，故x <x 2<－x .[点评] 可取特值检验，由x 2＋x <0得－1<x <0，取x ＝－13知，x <x 2<－x .6．(文)(2010·河南南阳市调研)不等式⎪⎪⎪⎪x 1－x >x1－x 的解集为( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0或x >1} C ．{x |x >0}D ．{x |x <1}[答案] B[解析] ∵⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x ，∴x1－x <0，∴x (x －1)>0，∴x <0或x >1. (理)(2010·重庆市)不等式⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x 的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <12}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >12}[答案] B[解析] ⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x ，即⎪⎪⎪⎪2－1x >2－1x ， ∴2－1x <0，∴0<x <12.[点评] a ≥0时，|a |＝a ；a <0时，|a |＝－a >a .由1x >2不要仅得出x <12，应注意1x >2隐含x >0.7．(2010·金华十校)已知f (x )＝⎩⎨⎧ln 1xx >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e ) [答案] A[解析] 不等式f (x )>－1化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >0ln 1x >－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－1， ∴1x >1e或x <－1，∴0<x <e 或x <－1. 8．(文)(2010·山东肥城联考)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[答案] A[解析] 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，选A.(理)(2010·山东肥城联考)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] C[解析] 方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.9．(2010·浙江杭州质检)设函数f (x )＝ln(x －1)(2－x )的定义域是A ，函数g (x )＝ln(a x －2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 5[答案] B[解析] 由(x －1)(2－x )>0得：1<x <2，∴A ＝{x |1<x <2}；由a x －2x －1>0得a x －2x >1，∴a x >2x ＋1，其解集为B ，∴A ⊆B ，∴a ≥3.[点评] 显然当0<a <1时，a x >2x ＋1在(1,2)上不成立，∴a >1，在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝2x ＋1的图象，要使A ⊆B ，须使y ＝a x 在(1,2)上的图象位于y ＝2x ＋1的上方，当a ＝1时，y ＝21＋1＝3，故a ≥3.10．(文)(2010·北京顺义一中月考)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x －3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )A ．[1,4]B ．[2,4]C ．[3,4]D ．[2,3][答案] D[解析] 对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|＝|x 2－3x ＋4－(2x －3)|＝|x 2－5x ＋7|＝|(x －52)2＋34|＝(x －52)2＋34≤1成立，∴(x －52)2≤14， ∴2≤x ≤3，因此选D.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x <0)－x (x ≥0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (x ≤0)1＋x (x >0)，若g [f (x )]≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0,1]D ．[－1,1][答案] B[解析] ①x ≥0时，f (x )＝－x ≤0， ∴g [f (x )]＝g (－x )＝1－(－x )＝1＋x ； ②当x <0时，f (x )＝x 2>0， ∴g [f (x )]＝g (x 2)＝1＋x 2；∴g [f (x )]min ＝g [f (0)]＝1，由g [f (x )]≥a 恒成立， 得a ≤1. 二、填空题11．(文)(2010·芜湖十二中)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )是单调递增的，则不等式f (x ＋1)>f (1－2x )的解集是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] ∵f (x )在(－∞，0)上单调增，f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调减， ∵f (x )为偶函数，∴不等式f (x ＋1)>f (1－2x )化为f (|x ＋1|)>f (|1－2x |) ∴|x ＋1|<|1－2x |，∴(x ＋1)2<(1－2x )2， ∴x <0或x >2.(理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是________．[答案] x <－1或x >23[分析] 本题解题时要注意，“∃a ∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a ∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．[解析] 令m (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，m (a )是关于a 的一次函数， ∵命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题， ∴m (1)>0或m (3)>0，即x 2－x －2>0 ①或3x 2＋x －2>0 ②， 由①得x <－1或x >2；由②得x <－1或x >23.所以，所求实数x 的取值范围是x <－1或x >23.13．(2010·湖北黄冈)若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0的解集为________．[答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|，∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0化为log 2|x －1|<0，∴0<|x －1|<1，∴1<x <2或0<x <1.14．(2010·上海奉贤区调研)不等式|x |≥a (x ＋1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,0][解析] 如图，当直线l 逆时针旋转到与x 轴重合时，直线l 总在y ＝|x |的图象的下方，∴－1≤a ≤0.三、解答题15．(文)已知关于x 的不等式：(a ＋1)x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a >0时，解该不等式．[解析] (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴1<x <2，解集为{x |1<x <2}．(2)a >0时，(a ＋1)x －3x －1<1⇔ax －2x －1<0⇔(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝1.①当2a＝1即a ＝2时，解集为∅②当2a >1即0<a <2时，解集为{x |1<x <2a}．③当2a <1即a >2时，解集为{x |2a<x <1}．(理)(2010·山师大附中模考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对一切实数x 都成立．求实数a 的取值范围．[解析] 由已知：(x －a )⊗(x ＋a )<1， ∴(x －a )(1－x －a )<1， 即a 2－a －1<x 2－x .令t ＝x 2－x ，只需a 2－a －1<t min .t ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，∵x ∈R ，∴t ≥－14. ∴a 2－a －1<－14，即4a 2－4a －3<0，解得：a ∈⎝⎛⎭⎫－12，32. 16．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．17．已知函数f (x )＝12x 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e (x ∈R )在x ＝0和x ＝1处取得极值．(1)求d 的值及b ，c 的关系式(用c 表示b )，并指出c 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极大值． ①判断c 的取值范围；②若此时函数f (x )在x ＝1时取得最小值，求c 的取值范围． [解析] (1)∵f ′(x )＝2x 3＋3bx 2＋2cx ＋d ， 又∵f ′(0)＝f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝02＋3b ＋2c ＋d ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0b ＝－2c ＋23.∵f ′(x )＝2x 3－2(c ＋1)x 2＋2cx ， 即f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )， ∵f (x )在x ＝0和x ＝1处取得极值． ∴c ≠0且c ≠1，即c 的取值范围是{c ∈R |c ≠0且c ≠1}． (2)①∵f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )，∴若c <0.当x ∈(c,0)时f ′(x )>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值； 若0<c <1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0，c )时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值；若c >1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上，若f (x )在x ＝0处取得极大值，则c 的范围为(－∞，0)．②若c <0，当x ∈(－∞，c )时f ′(x )<0，x ∈(c,0)时f ′(x )>0，x ∈(0,1)时f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0，∴函数f (x )只能在x ＝c 或x ＝1处取得最小值．要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只要使得f (c )≥f (1)．∴12c 4－(2c ＋2)c 33＋c 3＋e ≥12－2c ＋23＋c ＋e . ∴c 4－2c 3＋2c －1≤0，即(c －1)3(c ＋1)≤0. ∵c <0，∴－1≤c <0，即c 的取值范围是[－1,0)．。
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不等式的解法
一、 选择题：
1、下列语句中正确的是
（ ）
A 、若b a >，b c >，则c a >
B 、若b a >，则2
2bc ac >
C 、若b a >，则c b c a ->-
D 、若b a >，d c >，则bd ac > 2、不等式62<≤-x 用区间表示为 （ ）
A 、]6,2[-
B 、]6,2(-
C 、)6,2[-
D 、)6,2(- 3、不等式362
≤x 的解集是
（ ）
A 、}6{±≤x x
B 、}66{≤≤-x x
C 、}66{<<-x x
D 、}6{-≤x x 4、不等式0542
>+-x x 的解集是
（ ）
A 、),(+∞-∞
B 、),5()1,(+∞--∞
C 、∅
D 、),1()5,(+∞--∞ 5、不等式
03
2≤-x x
的解集是 （ ）
A 、]0,3(-
B 、)3,0[
C 、]3,3(-
D 、)3,3[- 6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是
（ ）
A 、)2,1()2,( --∞
B 、),2()1,2(+∞-
C 、)2,(--∞
D 、)2,1( 7、不等式35>+x 的解集是
（ ）
A 、}88{<<-x x
B 、}22{<<-x x
C 、}22{>-<x x x 或
D 、}28{->-<x x x 或
8、若不等式02<++q px x 的解集是}23{<<-x x ，则p ，q 的值分别是（ ）
A 、2-，3
B 、1，6-
C 、1-，6-
D 、1-，6 二、填空题：
1、若))((232
b x a x x x --=+-，则=+b a
2、关于x 的方程1)(32+-=-k x k x 的解是负数，则k 的取值范围是
3、不等式组⎩
⎨⎧≥>12
x x 的解集用区间表示为
4、若方程0)1(2=+-+m mx x 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是
三、解答题：
1、解下列不等式或不等式组： （1）12
34+>+x
x
（2）⎪⎩⎪⎨⎧>+≤0
53121
x x
（3）0652
≥--x x
（4）21
1
<+-x x
2、证明：当1>a 时，12
3+->a a a
3、解含绝对值不等式： 412<-++x x
【参考答案】
一、选择题：
二、 填空题：
1、 3
2、 2
1
<
k 3、),2(+∞ 4、2-≠m 三、解答题：
1、（1）解：不等式两边同时乘以6，得
63)4(2+>+x x
2->-x
2<x ∴原不等式的解集为)2,(-∞ （2）解：由①得 2≤x
由②得 3
5
->x
∴原不等式组的解集为]2,3
5
(-
（3）解：0)6)(1(≥-+x x
由0)6)(1(=-+x x 得6,121=-=x x ∴原不等式的解集为),6[]1,(+∞--∞
（4）解：
021
1
<-+-x x 整理得
013
<+--x x 01
3
>++∴
x x 0)1)(3(>++∴x x
由0)1)(3(=++x x 得1,321-=-=x x
∴原不等式的解集为
），（），（∞+--∞-13
2、证明：)1(23+--a a a
123-+-=a a a
)1()1(2-+-=a a a )1)(1(2+-=a a
1>a 01>-∴a 而012>+a
0)1)(1(2>+-∴a a
123+->∴a a a
3、解：当2-≤x 时，原不等式化为412<-+--x x
解得25
-<x
这时，2
5
-<x
当12≤≤-x 时，原不等式化为412<-++x x 即43<
这时，12≤≤-x
当1≥x 时，原不等式化为412<-++x x
解得2
3
<x
这时，2
3
1<≤x
综上所述，原不等式的解集为)2
3
,2[)25,(---∞。