2.3等差数列前n项和
（1）
（2） 解得n=10或n=13/3（舍）
由（1）得a1=23-3n, 代入（2）得
3 n 43 n 130 0
2
解得 a 1 7， n 10
解法2.d=3，an=20，Sn=65
a 1 ( n 1) 3 20 n ( n 1) 3 65 na 1 2
练习 1.某面粉加工厂定期向外购买小麦，已 知该厂每天需要用小麦6t，每吨小麦的价格为2000 元，从购买当天算起，小麦的保管等其他费用为平 均每吨每天3元，购小麦每次需付运费900元. （1）若该厂每隔n天购买一次小麦，求每次向 外购买小麦的总费用？ （2）求该厂多少天购买一次小麦，才能使平 均每天所支付的总费用最少？
S9 9 ( a1 a 9 ) 2 9 ( a1 a1 8 d ) 2 9 20 2 90
例 5 .在等差数列
a n 中 , 前 8 项和
a1 a 2 a 8 p ,
后 8 项和 a n 7 a n 6 a n q （ n 8 ) 则求前 n 项和 S n
逆序相加法
解：根据a1+an=a2+an-1==a7+an-n6=a8+an-7
a1 a 2 a 8 p , a n 7 a n 6 a n a n a n 1 a n 6 a n 7 q
两式相加得
Sn
8（a1+an)=p+q
Sn n ( a1 a n ) 2
n ( n 1) 2
把 a n a 1 ( n 1) d 代入，得
S n na 1
d
即Sn可以用首项a1和公差d表示.
每个公式都含有4个量,所以已知a1、an、n、d、 Sn 中的３个量可以求出另外的两个，即“知三求二”
例1.在等差数列{an}中，已知an=11-3n,求Sn. 解法1.由等差数列的通项an=11-3n,知a1=11-3=8.
例8. 首项为正数的等差数列 a n ，它的前3
项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之 和最大？
解法一：因为数列{an}为等差数列且a1>0,由题意
可知此数列为递减数列，且，
即
所以
a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 11
a 4 a 5 a 11 0
a n ( a n d ) ( a n 2 d ) [ a n ( n 1) d ]
相加
2 S n ( a1 a n ) ( a1 a n ) ( a1 a n ) Sn n ( a1 a n ) 2
等差数列前n项和公式
2.3
等差数列的前n项和
主要内容
等差数列前n项和公式 等差数列前n项和的函数特性 等差数列前n项和的应用
1+2+3++100=?
10岁的高斯如何求和
高斯（Gauss，1777-1855）德国数学 家，是历史上最伟大的数学家之一， 被誉为“数学王子”
设：S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 则 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 相加得2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
例6. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+0.5n，求 这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是什么？
解：当n=1时，a
a 当n>1时，
n
1
S1 1
2
2
1 2
1 2
3 2
n [( n 1)
2
S n S n 1 n
2n 1 2
n 1 8 2 ( p q) 1 16 n ( p q ).
n ( a1 a n ) 2
练习
1. 等差数列{an}，Sn表示前n项和,求比值S2n+1：Sn 2. 等差数列{an}，前n项和Sn=2,前2n项和为S2n=6,求 前3n项和S3n 3.等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项与奇 数项和之比为32：27，求公差d的值. 4.等差数列共15项，第8项为3，求这个数列的奇数项 之和. 5.a1，a2，a3，，a2n+1成等差数列，奇数项之和为 60,偶数项之和为45，求n.
解得 a 1 7， n 10
例3：已知一个等差数列的前10 项的和是310， 前20项的和是1220，由此可以确定求其前项n和的公 式吗？
分析：只要根据已知的两个条件求出首项a1 和公差d即可.
解：由题设：
S 10 310
S 20 1220
a1 4 d 6
Sn n ( a1 a n ) 2 n ( 8 11 3 n ) 2
2
3 2
n
19 2
n
解法2.由通项an=11-3n,知a1=11-3=8.d=-3
S n na 1
3 2
n ( n 1)
2
d 8n
n n
2
( 3)
n
2 19
2
2
解:设方案A第n年年末加薪an，因为每年末加薪 1000元，则an=1000n； 设方案B第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300 元，则bn=300n； (1)在该公司干10年(20个半年)， 方案A 共加薪S10=a1＋a2＋…＋a10=55000元； 方案B 共加薪T20=b1＋b2＋…＋b20=63000元. 所以，方案B比较合算.
10 a 1 45 d 310 得： 20 a 1 190 d 1220
所以
S n 4n
n ( n 1) 2
6 3n
2
n
例4.在等差数列{an}中，a3+a7=20,求S9 分析：已知条件只有a3+a7=20,求不出首项a1和公 差d,只有a1和d的关系2a1+8d=20. 解：设首项为a1和公差为d, a3+a7=20 a1+2d+a1+6d=20 2a1+8d=20
1 2
( n 1)]
当n=1时，a1也满足上式， 所以{an}通项公式
an 2n 1 2
{an}是首项为3/2，公差为2的等差数列.
前n项和的函数的特性
一般地，如果一个数列{an}的前n项和为
S n pn
2
qn r
其中p、q、r为常数，且p不为零，那么这 个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项 与公差分别是什么？
n n 1
0 (或 a n 0 ）成立的最大的
S n即可. 这是因为：当 a n 0 时， n S 当 a n 0 时， S , 即递减 .
S n 1 ,
即递增，
2.二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其 前n项和的最值. 注意n取正整数.
练习：已知等差数列16，14，12，10， … (1) 前多少项的和为0？ (2) 前多少项的和最大？
2
d 2
)x
的自变量 x 取正整数时的函数值.
解：由题意知：等差数列的首项a1=5，公差为
d 5 7
所以
S n 5n 5 14
2
n ( n 1) 2 75 14 n
(
5 7
)
n
配方
5 14
(n
15 2
)
2
1125 56
所以，当n取与7.5最近的整数即7或8时，Sn 取最大值.
应用问题举例
例9.在美国广为流传的一道数学题目是：假设你 正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方 案： A、每年年末加1000元； B、每半年结束时加300元. 请你选择． （1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多 少元? （2）如果在该公司干n年，你会选择其中的哪一种？
分析：对于方案A：工作第一年年底加薪1000 元，第二年年底加薪2000元，第三年年底加薪3000 元，… 对于方案B ：工作第一个半年加薪300元，第 二个半年加薪600元，第三个半年加薪900元， … 显然应该比较两种方案的所有工作年限的累 计薪水.
S n a1 a 2 a 3 a n
S n a1 a 2 a 3 a n
a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1) d ]
又 S a a a n 2 a1 n n n 1
练习2. 流行性感冒（简称流感）是由流感病毒 引起的急性呼吸道传染病，某市去年11月份曾发生流 感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者 有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感 染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病 毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均 比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市 在这30日内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几 日，该市感染病毒的新患者人数最多？并求这一天的 新患者人数.
一般问题
从1开始前n个自然数的求和问题 1+2+3++n=？ 逆序相加 1 + 2 + 3 ++(n-1)+n +1
n+(n-1)+(n-2)++ 2 (n+1)+(n+1) + (n+1) 1+2+3++n =
2.3等差数列的前n项和公式
2．3 等差数列的前n 项和(一)[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导方法；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的有关的问题 [预习导引]1．数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . 即S n =a 1＋a 2＋…＋a n 问题1：如何由数列的前n 项和n S 求出通项公式n a ？2．等差数列前n 项和公式问题2：如何快速计算1+2+…+n=?问题3：受上述算法的启示，如何推导等差数列前n 项和公式n S ，方法是什么？新知1：等差数列前n 项和1()2n n n a a S +=（常与性质“若m n k l +=+则m n k l a a a a +=+”使用） 问题4：将通项1(1)n a a n d =+-代入上式，你能得到怎样的前n 项和公式n S ？新知2：等差数列前n 项和21(1)A B 2n n n S na d n n -=+=+其中A ________,B __________==（常建立1,a d 的方程组或看成关于n 的函数）题型一 与前n 项和S n 有关的基本量的计算 例1 在等差数列{a n }中(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d . (2)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .跟踪演练1在等差数列{a n }中(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.题型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．跟踪演练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由．题型三 利用S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .当堂达标A 组1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482．在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663．一个五边形的内角度数成等差数列，且最小角是046，则最大角是（ ） A.0108 B. 0139 C. 0144 D. 01704．在小于100的正整数中共有 个数能被3除余2? 这些数的和是 。
2.3 等差数列的前n项和(一)讲学稿
前置作业： 1、 已知数列 an 是等差数列， a1 4, a8 18, n 8 ，求 S n
2、已知数列 an 是等差数列， a1 10, d 2, n 20 ，求 S n
研讨探究： 探究一：等差求和公式的推导(预习) 问题 1：计算 1 2 3 100 （思考：计算 1 2 3
2、已知数列 an 是等差数列， d 2, n 15, an 10 ，求 a1 及 S n
3、设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和，若 S 5 25, S 10 100 ，求 an
当堂检测： 1、 （1）设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3, a6 11 ，则 S 7
d=
总结反思：
101）
问题 2：计算 1 2 3
n
探究：数列 an 是等差数列， S n 是前 n 项和，则 S n a1 a2
an 怎么求？
探究二：求和公式的灵活应用 1、已知数列 an 是等差数列， a2 4, a7 18, n 8 ，求 S n （比较一下前置 1）
（2）若 an 中存在 am , an , ap , aq ，满足 m n p q ，则 （3）求和公式： S n = =
2、方法提点：灵活应用通项公式和求和公式解题。
重要例题示范： 例 已知数列 an 是等差数列， a5 10, S 5 30 ，求 S n
an a1 n 1 d a1 4d 10 a1 2 解：方法一：根据 ， n n 1 得： 5a 10d 30 ，解得 d d 2 1 S n a1n 2
数学学科讲学稿
2.3等差数列前n项和6
新课讲授
问题 2:一般地，如果一个数列{an}的前 n 项 2 和为 Sn=pn +qn+r.其中 p、q、r 为常数，且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如 果是，它的首项与公差分别是什么？
n(a1 an ) Sn 2
2. 等差数列的前 n 项和公式 2：
n( n 1)d S n na1 2
例题讲解
已知数列{an}的前 n 项和为 1 2 S n n n 求这个数列的通项公式. 2 这个数列是等差数列吗？如果是，它 1. 的首项与公差分别是什么？
新课讲授
S1 a1 p q r，当n 1时； an S n S n1 2 pn ( p q )，当n 2时.
课堂小结
2.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用 an： 当 a1＞0，d＜0，前 n 项和有最大值.可由 an≥0，且 an＋1 ≤0，求得 n 的值； 当 a1＜0，d＞0，前 n 项和有最小值.可由 an≤0，且 an＋1≥0，求得 n 的值.
如果Байду номын сангаас个数列前 n 项和公式是常数项 为 0，且关于 n 的二次型函数，则这个数 列一定是等差数列.
应用巩固
2 4 2. 已知等差数列 5， 4 ， 3 ，... ， 7 7 的前 n 项的和为 Sn，求使得 Sn 最大 的序号 n 的值.
新课讲授
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
新课讲授
2.3 等差数列前n项和的性质
第2课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．知识点一 等差数列{a n }的前n 项和S n 的性质思考 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案 (a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 4－a 1)＋(a 5－a 2)＋(a 6－a 3)＝3d ＋3d ＋3d ＝9d ， (a 7＋a 8＋a 9)－(a 4＋a 5＋a 6)＝(a 7－a 4)＋(a 8－a 5)＋(a 9－a 6)＝3d ＋3d ＋3d ＝9d . ∴a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9是公差为9d 的等差数列． 知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，S n 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．1．等差数列的前n 项和一定是常数项为0的关于n 的二次函数．( × )2．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d2.( √ )3．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则{a n }不是等差数列．( √ )题型一 等差数列前n 项和性质的应用例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一 在等差数列中， ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝12(a 1＋a 9)12(b 1＋b 9)＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512. 反思感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 方法一 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法二 S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90·a 11＋a 1002＝－90，∴a 11＋a 1002＝－1，∴S 110＝110×(a 1＋a 110)2＝－110.题型二 求等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三 同方法一，求出公差d ＝－2.∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∴a 13>0，a 14<0.方法四 同方法一，求出公差d ＝－2.设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数f (x )＝Ax 2＋Bx 的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.反思感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形： ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n (n ∈N *)． (2)方法一 由(1)知，a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知，a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.题型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *.反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}．若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和．跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 2＝16，S 4＝24， 得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)． 由a n ≥0，解得n ≤512，则①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n . ②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n ) ＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5且n ∈N *，n 2－10n ＋50，n ≥6且n ∈N *.用数形结合思想求解数列中的参数问题典例 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析 方法一 由当且仅当n ＝8时S n 最大，知a 8＞0且a 9<0，于是⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d <0，解得－1<d <－78，故d 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－78. 方法二 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 对称轴x ＝－⎝⎛⎭⎫a 1－d 22⎝⎛⎭⎫d 2＝12－a 1d ，∵n ＝8时，S n 取最大值． ∴7.5<12－a 1d <8.5，即－8<7d <－7，∴d ∈⎝⎛⎭⎫－1，－78. [素养评析] 利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷．等差数列{a n }(a 1>0，d <0或a 1<0，d >0)中，a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为y ＝dx ＋(a 1－d )上的一系列点，要求S n 的最大(小)值，只需找出距x 轴最近的两个点；S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，其图象为y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2x 上的一系列点．要求S n 的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7(3＋11)2＝49.2．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 考点 等差数列前n 项和绝对值之和题点 求等差数列前n 项和绝对值之和解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1) ＝－3n ＋104.∵n ＝1也符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)．由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝S n ＝－32n 2＋2052n ； (2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.1．等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形(1)S n ＝n (a 1＋a n )2； (2)S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ；(3)S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2⎝⎛⎭⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列. 2．求等差数列前n 项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.一、选择题1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 B解析 ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5，∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2，∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.故选B.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，那么此数列前20项的和为( )A ．160B ．180C ．200D ．220答案 B解析 由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－24，得a 2＝－8，由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝78，得a 19＝26，于是S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 2＋a 19)＝10×(－8＋26)＝180.3．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B解析 ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝An 2＋Bn ，∴λ＝－1.4．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 C解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，可得2 011＋2 0162＝2 008＋k 2，解得k ＝2 019. 5．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 7．已知等差数列{a n }中，a 1 009＝4，S 2 018＝2 018，则S 2 019等于( )A ．－2 019B ．2 019C ．－4 038D ．4 038答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以S 2 018＝1 009(a 1＋a 2 018)＝1 009(a 1 009＋a 1 010)＝2 018， 则a 1 009＋a 1 010＝2.又a 1 009＝4，所以a 1 010＝－2，则S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＝2 019a 1 010＝－4 038. 8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④答案 B解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确．又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确． S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确． {S n }中最大项为S 6，④不正确．故正确的是①②.二、填空题9．等差数列{a n }的前m 项和S m 为20，前3m 项和S 3m 为90，则数列{a n }的前2m 项和S 2m 的值是 ．答案 50解析 由题易知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为 ．答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5且同时最大．∴n ＝4或5.11．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3(n ∈N *)，则a 7b 7＋a 9b 11＝ . 答案 463解析 设A n ＝kn (7n ＋45)，B n ＝kn (n ＋3)，则n >1，n ∈N *时，a n ＝A n －A n －1＝k (14n ＋38)，b n＝k (2n ＋2)，则a 7b 7＝k (14×7＋38)k (2×7＋2)＝172，a 9b 11＝k (14×9＋38)k (2×11＋2)＝416，所以a 7b 7＋a 9b 11＝172＋416＝463. 三、解答题12．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的自然数n 的值．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n ，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n 等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 B解析 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 15．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝ .答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.。
2.3等差数列前n项和
例2、已知一个等差数列 {a n }前10项的和是 310 , 前 20项的和是 1220 .由这些条件能确定这个 等差数 列的前 n项和的公式吗 ?
等差数列的前n项和计算公式
例3.已知数列{an}的前n项和为sn=n2+(1/2)n, 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
公式1 S n = n(a1 + an ) 2
2Sn=n(a1+an)
方法2：
+）
S n = a1 + (a1 + d ) + L + [a1 + n − 1)d ] （
S n = an + (an − d ) + L + [an − (n − 1)d ]
n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
高 斯 的 故 事
高斯上小学时， 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题： 计算从1到 的自然数之和。 计算从 到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目 的自然数之和 那个老师认为， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说： 老师，我做完了。 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边， 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他 在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 在笔记本上写着 ，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 老师买了一本数学书送给他。 老师买了一本数学书送给他。
例4 已知等差数列 2 4 5,4 ,3 , ... 的前n项和为S n , 求使 7 7 得S n 最大的序号n的值.
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
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例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
2.3 等差数列前n项和
2.3 等差数列前n 项和4、等差数列的前n 项和公式：①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S n a d n a d n A n B n +-==+=+-=+（其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0） ②特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法：（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+； （3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）； （4）数列{}n a 是等差数列2n S A n B n ⇔=+,（其中A 、B 是常数）。
6、等差数列的证明方法：定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++，…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S n a d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
2.3等差数列的前n项和
创设情景
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
a1 4 d 6
n(n 1) S n 4n 6 3n 2 n 2
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题型二 已知sn求an
例3. 已知数列 an 的前 项和为 Sn=2n2+3n , 求 这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果 是,它的首项与公差分别是什么?
n
s1 ,n 1, an与Sn的关系 an 当n=1适合于an s n s n 1 ,n 2.
时，则an =Sn-Sn-1。 当n=1不适合于an，则通项公式 应写成分段函数的形式。
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题型三 等差数列前n项和最值问题
例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取 最大值. 解法1 由S3=S11得
① ②
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ) 即S n 2
求和公式
等差数列的前n项和的公式： n(a1 an ) 在已知首项和尾项 Sn 不含d 时使用此公式。 2
思考：（1）公式的文字语言； （2）公式的特点；
可知三 求一
由于an a1 n 1 d 来自 故在已知首项和公差 时使用此公式。
《2.3 等差数列的前n项和》教学设计
附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
设计意图：培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？
学情预设：知三求一的问题
设计意图：培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。
问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？
引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析
设计意图：培养学生类比、反思等思维能力.
设计意图：这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延.更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法.力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值.
（五）剖析例题，理解巩固
例1、众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲.但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA 的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 请问：姚明这十天一共投了几个篮？
例2、求等差数列2、4、6、8、…、142的和.
设计意图：1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从。
2.2.3等差数列的前n项和
若A≠0（即d≠0）时， Sn是关于n的二次式且缺常数项.
公式与梯形面积类比：
补成平形四边形
分割成一个平行四 边形和一个三角形
a1
an
n
a1
a1
n
an
a1
(n 1)d
(a1 an ) n Sn 2
an=a1+(n-1)d (n-1)d n(n 1)d S n a1n 2
3 a1 2 n 15 (3)由题意 2 2 1 3 a1 ( n 1) 2 2
n 10; a1 3
例2、求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100 的元素个数,并求这些元素的和.
100 2 14 解： 7n 100 n 7 7 所以集合M中的元素共有14个，分别为：
引入
问题情境一
高斯上小学时,有一次数学老师给同学们 出了一道题:计算从1到100的自然数之和. 那个老师认为,这些孩子算这道题目需要很 长时间,所以他一写完题目,就坐到一边看 书去了.谁知,他刚坐下,马上就有一个学生 举手说：“老师，我做完了.”老师大吃一 惊,原来是班上年纪最小的高斯.老师走到 他身边,只见他在笔记本上写着5050,老师 看了,不由得暗自称赞.为了鼓励他,老师买 了一本数学书送给他.
两个公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是:公式 （1）已知an,公式（2）已知d . 已知三个量就可以求 出Sn ，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式.
运用
等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得