13.3等腰三角形讲义 教师版

13.3 等腰三角形学习目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题。

3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30︒的直角三角形的性质学习重难点：1. 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法2. 能够用等腰三角形的知识点解决相应的数学问题。

3. 等腰三角形性质和判定的探索与应用。

知识点一：等腰三角形的概念有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。

其中相等的两条边叫做腰，另一条叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底脚。

如图，在ABC∆中,AC AB =，则ABC ∆为等腰三角形，其中AB ，AC 为腰，BC 为底边，A ∠为顶角，B ∠、C ∠为底角.【例题1】1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ）A ．7B ．8C ．5D ．7或8【分析】因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解．【解答】解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，所以，它的周长是7或8．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．【例题2】已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40° B．70° C．100°D．140°【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．【变式1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A．8 B．10 C．8或10 D．6或12【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10；当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2=4，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有10．故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【变式2】若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）A．20° B．50° C．80° D．100°【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B ．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．知识点二 等腰三角形的性质 【重点】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）几何语言：在ABC ∆中，C B AC AB ∠=∠∴= （等边对等角）性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”） 几何语言：如图所示（1）;21,∠=∠=AC ABBC AD CD BD ⊥=∴,（2）BC AD AC AB ⊥=,CD BD =∠=∠∴,21（3）CD BC AC AB ==,BC AD ⊥∠=∠∴,21【例题1】如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，BD 平分∠ABC ，则∠ABD 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．20°D ．25°【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC 和∠C 的度数，由角平分线的性质就可以求出∠ABD 的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=20°．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，此题比较简单．【例题2】如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（）A．15° B．20° C．25° D．40°【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．【解答】解：设∠B=x∵AC=DC=DB∴∠CAD=∠CDA=2x∴∠ACB=（180°﹣4x）+x=105°解得x=25°．故选：C．【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．120°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=，∴∠1+∠PBC=70°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=70°，∴∠BPC=180°﹣（∠2+∠PBC）=180°﹣70°=110°，故选：A．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论不一定成立的是（）A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AEDC．∠B=∠C D．∠AED=2∠ECD【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D不一定成立，即可得出答案．【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，选项B正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，选项C正确；∵ED≠EC，∴∠AED=2∠ECD不一定成立，选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．知识点三等腰三角形的判定【重难点】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写成“等角对等边”）【例题1】在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE∥BC，AE平分∠DAC，求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由AE∥BC，根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等，即可证得∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，又由AE平分∠DAC，即可证得结论．【解答】证明：∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∴∠EAC=∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠EAC，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理应用．【例题2】已知：如图所示，在锐角△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】首先延长AD至E，使AD=DE，连接BE，根据三角形全等的判定方法，可得：△ADC≌△EBD；然后根据全等三角形的对应边相等，可得：∠CAD=∠BED，据此推得AB=BE=AC，判断出△ABC是等腰三角形即可．【解答】证明：如图，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD，∴BE=AC，∠DAC=∠DEB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠BED，∴AB=BE，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，以及三角形全等的判定方法和应用，要熟练掌握．【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．【分析】由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C，又由BE平分∠ABC，∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可证得∠AFE=∠AEF，继而证得：△AEF为等腰三角形．【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBE，∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，即△AEF为等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【变式2】17．从①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．【分析】首先选择条件证得△BAD≌△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论．【解答】解：选择的条件是：③∠B=∠C ④∠BAD=∠CDA（或①③，②③，①④）；证明：在△BAD和△CDA中，∵，∴△BAD≌△CDA（AAS），∴∠BDA=∠CAD，即∠ADE=∠DAE，∴△AED是等腰三角形【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，选择条件证得△BAD≌△CDA是解答此题的关键．知识点四等边三角形的定义及性质【重点】1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形2.性质：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60 。

（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条轴对称。

【例题1】如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠1=∠CBE，根据∠2=∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．【解答】解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠CBE，∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．故选：D．【例题2】如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．【变式1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．（1）求证：DB=DE；（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．（2）由DF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠DBC=30°（等腰三角形三线合一），∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB=DE，∴DF垂直平分BE，∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=3，∴DC=6，∵AD=CD，∴AC=12，∴△ABC的周长=3AC=36．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．知识点五等边三角形的判定【重点】1.三个角都相等的三角形是等边三角形2.有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形【例题1】15．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？【分析】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质求∠B、∠C的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质．等边三角形的三个内角都是60度．【例题2】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定形状【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．【例题3】下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．【解答】解：有两个角等于60°的三角形为等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形为等边三角形；三边都相等的三角形为等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1】△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】如图：在△ABC中，下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（）A．AB=AC，∠B=∠C B．AD⊥BC，BD=CDC．BC=AC，∠B=∠C D．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD【分析】根据等边三角形的判定判断即可．【解答】解：A、AB=AC，∠B=∠C，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；B、AD⊥BC，BD=CD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；C、BC=AC，∠B=∠C，能说明△ABC是等边三角形，正确；D、AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；故选：C．【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的判定方法解答．知识点六含30︒角的直角三角形的性质【重难点】在直角三角形中，如果有一个锐角等于30︒，那么它所在的直角边等于斜边的一半。