奥数-等腰三角形和等边△-第十讲教师版
奥数-等腰三角形和等边△-师
第十讲 等腰三角形和等边三角形一、 基础知识1．等腰三角形的性质及推论：（1） 等腰三角形的两底角相等（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）（3） 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于︒602．等腰三角形的判定及推论：（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等（3）有一个角为︒60的等腰三角形是等边三角形尤其要注意全等在等腰、等边三角形中的应用.二、名校真题回放1．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)如图，在△ABC 中，AC AB =，它的周长为24，又BC AD ⊥于D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长为多少？解答：82．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)在等边三角形ABC 中，E D ,分别在边AC BC ,上，AE DC =,F BE AD 交于点,.请你判断ABE DAC ∠∠和的大小关系，并证明你的结论.解答：ABE DAC ∠=∠3．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知：如图，△ABC 中，AC AB =，D 为AC 上一点，A DBC ∠=∠21.求证：BD AC ⊥ 解答：利用三角形内角和.4．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知△ABC 的三边c b a ,,满足等式：02222=-+-bc ab c a ，试说明△ABC 是等腰三角形.解答：0)2)((=++-b c a c a5. （2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片ABCD ,AD ∥BC ,︒=∠90BDC .将其沿对角线BD 翻折后压平，AD 和'BC 相交于点E ，则图中的等腰三角形有__________________,_________________（只写出两个正确结论）解答：△BED ，△'BCC 等等.三、活题巧解（一）等腰三角形的性质例1．（2001年湖州市中考题）如图，在△ABC 中，BC AC C =︒=∠,90，AD平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长是多少？解答：6cm例2．（2002年上海市竞赛题）如图，BD AC ,相交于E ，AC 平分DAB ∠，且AC AD AE AB ==,，有以下四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）DE BC =；（3）DAB DBC ∠=∠21；（4）△ABE 是等边三角形.其中正确的结论是什么？ 解答：（2）（3）例3．(1996年连云港市中考题)在△ABC 中，AC AB =，P 为三角形内一点，APC APB ∠<∠，则PBC ∠与PCB ∠的大小关系如何？解答：作BAP CAQ ∠=∠，并使得AP AQ =，连接CQ ，得到PBC ∠<PCB ∠例4．（第11届“希望杯”试题）如图，在△ABC 中，︒=∠==60,4,2ACB BC AC ，将△ABC 折叠，使得点B 和点C 重合，折痕为DE ，则△AEC 的面积是多少？解答： 332 例5．（2004年洛阳市中考题）用一根长为a 米的线围成一个等边三角形，其面积为b 平方米，现在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三边的距离之和是多少米？解答：ab 6米例6．(1997年天津市竞赛题)如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，CD BD BDC =︒=∠,120，点N M ,分别在AC AB ,上，且︒=∠60MDN ，连结MN ，求证：△AMN 的周长等于2.解答：延长AC 至E ，使BM CE =，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，再证△MDN ≌△EDN .例7．(2000年无锡市竞赛题)在△ABC 中，AC AB =，过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.解答：共有4种情况，其内角相应度数为)7540,7540,7180(),72,72,36(),108,36,36(),90,45,45(︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒（二）等腰三角形的判定例8．(2002年泰州市中考题)如图，在△ABC 中，AC AB =，︒=∠36A ，CEBD ,分别为ACB ABC ∠∠,的角平分线，且相交于F ，则图中的等腰三角形有几个？解答：8个例9．（2003年长春市中考题）在△ABC 中，C B ∠=∠2，则AC 与AB 2之间的大小关系是什么？ 解答：作D BC C CAD 于交∠=∠，得到AB AC 2<例10．（1999年江苏省竞赛题）已知△ABC 是等边三角形，E是AC 延长线上的任意一点，△CDE 也是等边三角形，若NM ,分别是线段BE AD ,的中点，求证：△CMN 是等边三角形.解答：先证△ACD ≌△BCE ，再证△DCM ≌△ECN ，得到︒=∠=60,NCM CN CM例11．（1996年北京市竞赛题）三角形三边长c b a ,,满足c b a c b a +-=+-1111，则三角形一定是（ ） A.等边三角形 B.以a 为底边的等腰三角形C.以c 为底边的等腰三角形D.等腰三角形解答：把原式恒等变形，得到0))()((=+--c a b a c b ，故选D.例12．（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为a ，一腰的中线将周长分成3:5的两部分，则此三角形的底边长是多少？解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为a 61 例13．（2001年唐山市中考题）如图，在△ABC 中，AC AB =，D 为△ABC外一点，,60︒=∠ABD BDC ADB ∠-︒=∠2190，则AB 与CD BD +的大小关系如何？解答：延长CD 至E ，使BD DE =，连结AE .得到CD BD AB +=例14．(1999年天津市竞赛题)如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：EF AF =解答：延长ED 至H ，使DE DH =，连结CH .四、练习1．(第11届“希望杯”试题)若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，求底边的长. 解答：2或42．(2005年银川市中考题)如图，以直角三角形ABC 的两直角边BCAB ,为一条边，分别作等边△ABE 和等边△BCF ，连接EC EF ,.求证：（1）EC EF =；（2）CF EB ⊥. 解答：证明△EBF ≌△EBC3．（2001年柳州市中考题）如图，在等边△ABC 中，BE AD CD AE ,,=相交于P点，AD BQ ⊥于Q .求证：PQ BP 2=.解答：证明△ABE ≌△CAD4．(第11届“希望杯”试题)一个三角形的三条边的长分别是c b a c b a ,,(,,都是质数），且16=++c b a ，则这个三角形是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形解答：B5．(2002年江苏省初二第二试)如图，在△ABC 中，︒=∠=90,ACB BC AC ，D 是AC 上一点，BD AE ⊥于E ，BE 交AC 于D ，BD AE 21=，求证：BD 是ABC ∠的平分线.解答：延长BC AE ,相交于F .。
小学奥数《三角形的认识》教学课件
本讲主要内容： 三角形的定义； 三角形的分类； 三角形的三边关系； 三角形的内角和； 三角形的外角和。
新知探究
mathematics
知识梳理
数学知识点
mathematics
总一关：认识三角形 按边分类； 按角分类
新知探究
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第三关：多边形内（外）角和 每增加一条边，内角增加180度； 任意多边形外角和都是360度
1
2
3
1
3
2
其它多边形的内角和都 是通过三角形得到的
数学例题
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例题1： （1）三角形是由___________条边，___________个角，___________个顶点构成的； 下图 是一个三角形，如果用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，那么这个三角形可以表 示为___________。 （2）三角形可以按照角来分： 三个角都是锐角的三角形叫做____________________； 有一个角是直角的三角形叫做____________________； 有一个角是钝角的三角形叫做____________________。 （3）三角形也可以按照边来分： 有两条边相等的三角形叫做____________________； 三条边都相等的三角形叫做____________________。
多边形内角和： 设边数为n，内角和为180°×（n-2）。 多边形外角和： 任意多边形外角和是360°。
2 1
1
3
2
4
1
3
2
数学例题
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例题3： （1）三角形三个内角的角度之和是多少度？你是怎么得到的呢？ （2）如图 1，∠1+∠2+∠3+∠4=___________． （3）如图 2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____________． （4）如图 3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______________． （5）通过以上题目，总结： n边形的内角和=______________．
等腰三角形和等边三角形课件
02
等腰三角形的顶角记作$angle
A$，底角记作$angle
B$和
$angle C$。
性质
等腰三角形是轴对称 图形，有一条对称轴 ，即高线所在的直线 。
等腰三角形的三线合 一，即中线、垂线和 角平分线三线重合。
等腰三角形的两底角 相等，记作$angle B = angle C$。
等腰三角形的判定
巧。
中学数学竞赛
在中学数学竞赛中，等腰三角形和 等边三角形也是常见的考察内容， 旨在提高学生的数学素养和思维能 力。
大学生数学竞赛
在大学生数学竞赛中，等腰三角形 和等边三角形也经常出现，涉及的 知识点包括几何学、三角学和解析 几何等。
05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
一个等腰三角形的顶角是 70度，求它的底角？
等腰三角形和等 边三角形课件
汇报人： 202X-12-26
目录
• 等腰三角形的定义与性质 • 等边三角形的定义与性质 • 等腰三角形与等边三角形的异同
点 • 等腰三角形和等边三角形的实际
应用 • 练习题与答案解析
01
等腰三角形定义与性质
定义
01
等腰三角形是两边相等的三角形 ，记作$bigtriangleup ABC$， 其中$AB = AC$。
题目2
一个等腰三角形的底角是 45度，求它的顶角？
题目3
一个等腰三角形的两条腰 长为5厘米，求它的周长？
进阶练习题
题目4
一个等边三角形的边长为6厘米，求它的面积？
题目5
一个等边三角形的面积为15平方厘米，求它的边长？
题目6
一个等腰三角形的一个底角是60度，求它的顶角？
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
2. 如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°， CE⊥AB 于点 D，且 DE=DC.求证:△CEB 为 等边三角形.
证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC， ∴BC＝BE. ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， CE⊥AB于点D， ∴∠ECB＝60°. ∴△CEB为等边三角形.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
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在△ABE与△ADC中，
∴△ABE≌△ADC（SAS）. ∴AB＝AD. ∴AB＝BD＝AD，即△ABD是等边三角形.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
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角形.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
（1）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°-∠BAC-∠C =180°°-70°＝50°. ∵BE 平分∠ABC， ∴∠FBD＝ ∠ABC＝25°. ∵AD⊥BC，∴∠BDF＝90°. ∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
B
组
4. 如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C， BC=2AB=2BE，AD 是 BC 边的中线. 求证:△ABD 是等边三角形.
证明：∵BC＝2AB=2BE，AD是BC边的中线， ∴AB＝BD＝CD=BE. ∴∠E＝∠BAE. ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E，∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C. ∴AE＝AC.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
八年级奥数：等腰三角形的性质
八年级奥数：等腰三角形的性质等腰三角形的性质解读课标两边（角）相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是一类特殊三角形，具有以下丰富的性质：等腰三角形的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合；特别地，等边三角形的各边相等、各角都为60°．等腰三角形的性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．熟悉以下基本图形、基本结论：问题解决例1 已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是__________．例2 如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB =AC ．BC =BD ，AD =DE =BE ，则∠A 的度数为（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°例3 如图，在△ABC 中，已知∠A =90°，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ．求证： ∠ADB =∠CDF ．例4 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE =BD ．求证：BD 是∠ABC 的角平分线． 12例5 操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN．数学冲浪知识技能广场1．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____________．2．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= _________．3．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH ，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管____根．4．如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那∠C的度数是______．5．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的大小等于__________度．6．一如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．A．①②③ 8．①②④ C．②③④ D．①③④7．如图，△ABC 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAD =，则∠EDC =（ ）．A ．B ．C ．D ． 8．在等腰△ABC 中，AB =AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分成15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．A ．7 8．11 C ．7或11 D ．7或109．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（ ）．A ．60．B ．45．C ．30．D ．不确定10．如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ）．A ．AC >2AB B ．AC =2AB C ．AC ≤2ABD ．AC <2AB11．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC 的其他边上．请在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图中标明所画等腰三角形的腰长（不要求尺规作图）．12．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转角（0°<<90°），得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F ．（1）在图中不再添加任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）．（2）当△BB 1D 是等腰三角形时，求．13．已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，D 为AB 边的中点，∠EDF =90°，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图①），易证S △DEF +S △CEF =△ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC ．又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明． α12α13α14α23αααα12思想方法天地14．如图，在△ABC 中，AB =BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN =NA ，若∠BAM =∠NAC ，则∠MAC =_______________．15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为____________度．16．已知△ABC 的某两个内角的比是4：7，且AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，则∠EBD 的大小是_____________． 117．如图，AA ’、BB ’分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ’=BB ’=AB ，则∠BAC 的度数为__________．18．在平面直角坐标系中，已知点A （3， 3），P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）个． ．A ．2B ．3C ．4D ．519．如图，在△ABC 中，已知AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别为AC 、BC 上一点，且ED ⊥DF ，EM ⊥AB 于M ，FN ⊥AB 于N ，下列结论：①DE =DF ；②CE +CF =AC ；③S 四边形CEDF =S △ABC ；④EM +FN =AB ．其中正确的有（ ）． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④20．如图，在等腰Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为（ ）．A ．∠AED >∠AGFB ．∠AED =∠AGFC ．∠AED <∠AGF D ．不能确定21．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，DC =BC ，求∠ADC +∠ABC 的值．121222．如图，AE 、AD 是直线且AB =BC =CD =DE =EF =FG =GA ，若∠DAE =，求的值．应用探究乐园23．一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形最大内角的所有可能值．24．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段同侧作△ACD 和△BCE ，且CA =CD ，CB =CE ，∠ACD =∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图①，若∠ACD =60°，则∠AFB =____________；如图②，若∠ACD =90°，则∠AFB =___________；如图③，若∠ACD =120°，则∠AFB =____________；（2）如图④，若∠ACD =，则∠AFB =_______________（用含的式子表示）；（3）将图④中的∠ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度，如图⑤；试探究∠AFB 与的数量关系，并予以证明．ααααα。
等腰三角形和等边三角形的判定PPT课件
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ADE=∠AED（. 等量代换）
∴ △ADE为等腰三角形. （有两个角相等的三角形是等腰三角形）
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动脑筋
有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形吗？为什么？
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如图，在等腰三角形ABC中，
性质
判定
等
A 有两边 1.两腰相等
1.两边相等
腰
相等的
三
三角形 2.两底角相等 2.两角相等
角
是等腰
形 B
C 三角形 3. “三线合一”
4.是轴对称图形
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等边三角形
名称 图 形 定 义
性质
判定
等
A 三边相 1.三边相等
1.三边相等
边
等的三
三
角形是 2.三角相等
2.三角相等
角 形B
等边三
由此得到等腰三角形的判定定理：
结论
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”).
注意：“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中。
A
几何语言表示如下：
在∆ABC中，
∵∠B=∠C
∴AB=AC
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B
C
巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？
300
400
400
750
第6页/共22页
结论
由此并且结合三角形内角和定理， 还可以得到等边三角形的判定定理： 三个角都是60°的三角形是等边三角 形。
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例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D， E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
专题27 等腰三角形与等边三角形(教师版)
一、选择题 9．（2020·绍兴）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小 {答案}C{解析}本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA ，∴△BCP 和△ABP 均是等腰三角形.在△BCP 中，∠CBP=θ，BC=BP ，∴∠BPC=90°-12θ.在△ABP 中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+12θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C ．7．（2020·铜仁）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．4{答案}C {解析}设等边三角形的边长为2x ，过等边三角形的一个顶点作对边的高，由等边三角形“三线合一”的性质得直角三角形的一条直角边为x ，由勾股定理得x2＋（2）2=（2x ）2，解得x=4，因此本题选C ．3．（2020·聊城）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°{答案}B{解析}可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．10．（2020·河南）如图，在△ABC 中，AB =BC =3，∠BAC =30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A.63 B.9 C.6 D. 33{答案}D{解析}∵分别以点A 、C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ， ∴AD=AC=CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC ，AD=CD ，连接BD 交AC 于点E ，∴BD 垂直平分AC ，∴∠AEB=90°.ABCD E F在Rt △ADE 中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=32，∴323∴四边形ABCD 的面积为：3333221=⨯⨯．9．(2020自贡)如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 的度数是（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°{答案} D ．{解析}本题考查了直角三角形，圆，等腰三角形等知识，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝40°，∵BC ＝BD ，∴∠BCD ＝∠BDC =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD ＝90°﹣70°＝20°，因此本题选D ．5．（2020·福建）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5=BD ，则CD 等于（ ）A.10B.5C.4D.3{答案}B{解析}本题考查了等腰三角形三线合一的性质，∵AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5=BD，∴CD=BD=5，因此本题选B ．(2020·南充） 6.如图，在等腰三角形ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°，AB=AC=a ，BC=b ，则CD=（ ）（第6题） A.2b a + B.2ba - C.a-b D.b-a {答案}C{解析}∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠C=∠BDC=36°，∴BD=BC=b ，同理：AD=BD=b ，∴CD=AC-AD=a-b ，故选C ．（2020·济宁）5.一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处.灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上.则海岛B 到灯塔C 的距离是（）A.15海里B.20海里C. 30海里D.60海里 {答案}C{解析}根据题意画图，如图，∠A=42°，∠DBC=84°，AB=15×2=30(海里), ∴∠C=∠DBC-∠A=42°,∴BC=BA=30(海里).10．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ＝12，有下列结论：NMHG AB CD EFC B FE ABC P QDD Q C B(P)AE①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋372.其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③{答案} D{解析}设AQ ＝x ，则BP ＝52—x①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝534，∴DE ＝34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而332≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝32，∴都存在，∴②正确；③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝34×32－12⋅x ⋅34－12×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为31316；③正确； ④如图，将D 沿AB 方向平移12个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝32－14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋392，④错误.DQ PCB A13.（2020·湖北孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________米．（结果保留根号）（第13题）{答案}（533-1.6）．{解析}如图，过点A作AM⊥CM于M，则CM=5m，在Rt△BCM中，∠BCM＝30°,所以BM=CM∙tan30°=53.由题意可知△DCN是等腰直角三角形，所以CN=CD=3.4m,所以MN=5-3.4=1.6(m),因为△AMN是等腰直角三角形，所以MN=AM=1.6m，所以AB=BM-AM=（533-1.6）m.故答案为（533-1.6）．第13题答图6．(2020·荆门)如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，AE＝14AB，则△EBD的面积为( )A．334B．338C．34D．38{答案}BDECAB图3{解析}连结AD ．∠B ＝∠C ＝12×(180°－∠A )＝30°．由等腰三角形的“三线合一”可知AD ⊥BC ．∴AD＝BD ·tan B ＝1．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12××1AE ＝14AB ，∴S △EBD ＝34S △ABD＝38S △ABC ．故选B ．7. （2020·张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 2或4{答案}A{解析}本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A ．14．(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( ) A ．55°，55° B ．70°，40°或70°，55° C ．70°，40° D ．55°，55°或70°，40° {答案}D{解析}(1)当70°是顶角时，另两个角相等，都等于12×(180°－70°)＝55°；(2)当70°是底角时，另一个底角也是70°，顶角＝180°－70°×2＝40°．因此另外两个内角的底数分别是55°，55°或70°，40°．故选D ． 5．（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°{答案}D{解析} 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC =，40A ∠=，可得：70ABC ACB ∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB 可得：70BCD ABC ∠=∠=，所以选D ． 11．（2020·宜宾）如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B 、C 、D 在一条直线上，连结BE 、AD ，点M 、N 分别是线段BE 、AD 上的两点，且BM ＝13BE ，AN ＝13AD ，则△CMN 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形{答案} C{解析} 由△ABC 和△ECD 都是等边三角形，可得△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠MBC ＝∠NAC ，BE ＝AD ，∵BM ＝13BE ，AN ＝13AD ，∴BM ＝AN ，∴△MBC ≌△NAC （SAS ），∴MC ＝NC ，∠BCM ＝∠ACN ，∵∠BCM+∠MCA ＝60°，∴∠NCA+∠MCA ＝60°，∴∠MCN ＝60°，∴△MCN 是等边三角形．9．（2020·玉林）如图，A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西55°方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 {答案}A{解析}如图所示： ∵C 岛在A 岛的北偏东35°方向，∴∠CAD ＝35°，∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向，∴∠BAD ＝80°，∴∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝45°， ∵C 岛在B 岛北偏西55°方向，∴∠CBE ＝55°， 又∵DA ∥EB ，∴∠ABE＋∠BAD＝180°，∴∠ABE＝100°，∵∠CBE＝55°，∴∠CBA＝100°－55°＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴CA＝CB，在△ABC中，∴∠C＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：C．9．（2020·毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10{答案}B，{解析}本题考查等腰三角形的三边关系．解：分两种情况讨论：若3为底边，腰长为7，则此等腰三角形的周长为3＋7＋7=17；若7为底边，腰长为3，则此等腰三角形不存在，因为3＋3＜7，不符合三角形的三边关系，故选B.9．（2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．【解析】最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．10．（2020·天门仙桃潜江）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，△BAC=△DAE=90°，BD，CE 交于点F，连接AF．下列结论：△BD=CE；△BF△CF；△AF平分△CAD；△△AFE=45°．其中正确结论的个数有A．1 B．2个C．3个D．4个{答案}C{解析}∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB=AC ，AD=AE ， ∵∠BAD=90°+∠CAD ， ∠CAE=90°+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE ， 在△AEC 与△ADB 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△AEC ≌△ADB(SAS)， ∴BD=CE ，故①正确； ∴∠ADB=∠AEC ，∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°， ∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90∘， ∴BD ⊥CE ，故②正确； ∵作AN ⊥CE ，AM ⊥BD ∵△AEC ≌△ADB(SAS)， ∴AM=AN ，∵AF 是∠BFE 的角平分线， ∠BFE=90°，∴∠AFE=45°，故④正确 ，故③正确；因为QF ≠PF ，故③错误。
等腰三角形和等边三角形(整理)PPT课件
说一说 填一填
3. （ 两条边相等 ）的三角形是等腰三角形，
两个底角（相等）。
（
）的三角形是等边三角形，每个
角都是（ ）度，它又是一个
（
）。
说一说 填一填
3. （ 两条边相等 ）的三角形是等腰三角形， 两个底角（相等）。
（三条边都相等）的三角形是等边三角形， 每个角都是（ 60 ）度，它又是一个（ 锐 角三角形 ）。
说一说 填一填
• 1. （ 由三条线段围成 ）的图形叫做三 角形，三角形具有（ 稳定 ）性。三角 形有（ 3 ）个顶点，（ 3 ）条边， （ 3 ）个角，（ ）条高。
说一说 填一填
• 1. （ 由三条线段围成 ）的图形叫做三 角形，三角形具有（ 稳定 ）性。三角 形有（ 3 ）个顶点，（ 3 ）条边， （ 3 ）个角，（ 3 ）条高。
条路最近？途中那两条路一样长？为什么?
40米
20米
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
43
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
说一说 填一填
• 4.（1）一个三角形的内角和是（180）度。 • （2）用两块完全一样的三角形拼成一
个三角形，这个三角形的内角和是（180） 度。 • （3）把一个大三角形剪成两个小三角 形，每个小三角形的内角和是（180）度。
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第十讲等腰三角形和等边三角形基础知识b等腰三角形的性质及推论：（1）等腰三角形的两底角相等（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）（3）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。
2.等腰三角形的判定及推论：（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等（3）有一个角为60。
的等腰三角形是等边三角形尤其要注意全等在等腰.等边三角形中的应用.二.名校真题回放1.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）如图，在'ABC中，4B = AC, 它的周长为24,又AD丄BC于D, AABD的周长为20,则AD的长为多少？解答：82.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）在等边三角形ABC中，D卫分别在边BCAC上, DC = AE, AD、BE交于点F •请你判断ZDACfUZABE的大小关系，并证明你的结论.解答：ZDAC = ZABE3.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）已知:如图'△ABC中，AB=AC,D为AC上一点，ZDBC = -ZA•求证J AC丄BD 2解答：利用三角形内角和•4.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）已知△ ABC的三边4人C满足等式:“2+2ah-2be = O,试说明△ ABC是等腰三角形.解答5 (“ 一c)(« + C + 2h) = 05.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片ABCD,AD//BC, ZBDC = 90。
.将其沿对角线BD翻折后压平, 仙和BC'相交于点E,则图中的等腰三角形有__________________ , _________________ （只写出两个正确结论）解答：“BED,△〃（：（？等等.三、活题巧解(一)等腰三角形的性质例1.(竞赛选题)在A ABC 中，AB M AC, ZA=100° , BD 为ZB 的平分线，求证：BC=BD+ADo 证明：在BC 上截取BE=BD,截取BF=BA,连接DE, DFVAB=AC, ZA=100"八••ZC=40° . ZDBC=20° A ZDEB=80"/. ZCDE=ZDEB-ZC=8O** -40° =40° ・•. ZCDE= ZC, :、DE=EC ①XVAB=BF, ZABI>=ZFBD, BD=BD, A A ABD$^ A FBD ADA=DF ② 又VZDFC=180" -ZDFB=180" -ZA=80° , :.乙DEB=：ZDFC=8O" , ADE=OF ③ 由①©③的EC=AD /.BC=BE+EC=BD+AD例2. (2002年上海市竞赛题)如图，AC.BD 相交于AC 平分ZDAB.且AB = AE.AD = AC.有以下四个结论：(1) &C 丄BD ： (2) BC=DE ： (3) ZD 心『DAB ；⑷"亚是等边三角形•其中正确的结论是什么?(2) (3)等腰 A ABC 中，AB 二AC, ZA=20。
. D 是 AB 边上一点，AB=BC,连接 6 ZBDC=3O" i^AAED^ ABAC,连接 EC,贝!|ZAED=ZBAC 20", ZDAE=ZADE=ZB=ZACB=8(rAZCAE=ZDAE-ZBAC=80° -20" =60° 又 VAE=AB=ACA A ACE 是一个多边三角形，有AE 二EC=ED A ZDEC=ZAEC-ZAED=40°AZEDC=- (180" -40° ) =70"2AZBDC=180" - (ZADE+ZEDC) =30°例4.(第11届“希望杯”试题)如图，在△ ABC 中,AC = 2,SC = 4,ZACB = 60% 将△4BC 折叠，使得点B 和点C重合，折痕为DE,则△AEC 的面积是多少? 解答5 —Vs3解答: 例3 求证: 证明:F EDCBAADDB例5 (竞赛选题)A ABC 是等腰直角三角形，ZBAC=90* ,点D 是AABC 内一点，且ZDAC= ZDCA=150" 求证：BD 二BA 证明：以AD 为边在AADB 由作等边AAOE,连接BE,则Z1=Z2=Z3=6(r , AE=ED 二AD VZDAC=15O",A ZEAB=90" ・Z1・ZDAC=15O° . A ZDAC=ZEAB XVDA=AE, AB=ACA A EAB 丝 A DAG A ZEBA=ZDCA=150" ••■ZBEA=180" -ZEBA ・ZEAB=150° ZBED=360。
-ZBEA-ZAED=150" A ZBEA=ZBED 又 TBE=BE, AE=ED A A BEA 丝 A BED ABD^BA例6・（1997年天津市竞赛题）如图，△ABC 是边长为1的等边三角形,ZBDC = 120°、BD = CD,点 M,N 分别在 AB/C 上，且ZMDN = 60。
，连结MV,求证：△AMN 的周长等于2.解答：延长/1<?至£,快CE = BM,连结DE •先证△ BMD 辿 CED.再证△ MDN 空△EDN.例7. （2000年无锡市竞赛题）在△ABC 中，AB = AC.过△ABC 某一顶点的直线可将△ ABC 分成 两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.解答，共有4种情况，其内角相应度数为：183 540° 540。
(450,45^900),(36^36M08«),(36Vr,7r),(— — —A例8. （2002年泰州市中考题）如图，在△ABC 中，AB = AC. ZA = 36% BD 、CE B C解答：8个（二）等腰三角形的判定分别为厶〃GZACB 的角平分线，且相交于F,则图中的等腰三角形有几个?例9.（第64届莫斯科数学竞赛题〉如图，在AABC 中，作出它的角平分线AK,中线BL 和高CM* 是缚边三角形证明：YA AMC 是直角三角形，L 是斜边AC 中的中点。
AAL=LC=ML 又 ML=LK=MK AAL=LC=LKA A ACK 也是直角三角形 •••AK 丄 BC・：AK 既是A ABC 的角平分线，又是它的高。
A AABC 是等腰三角形t AAB=AC又在RtABMC 中，K 是BC 中点，ABC=2MK=2KL=AC AAB=BC=AC•••A ABC 为等边三角形例10.（1999年江苏省竞赛题）已知△4BC 是等边三角形，£是4C 延长线上的任意一点，△（：£>£：也是等边三角形，若M.N 分别畏线 段AD.BE 的中点，求证：ZiCMN 是等边三角形. 解答：先证4ACD 沁 BCE.再证△DCM 丝△ECN,得到CM =CN 上 NCM =60°例H- （1996年北京市竞赛题）三角形三边长“上,C 满足一・- + - =—-—,则三角形一定是（） a b C“一o+c解答：把原式恒等变形，得到（b-c ）（a-b ）（a+c ） = Q.故选D.例12.（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为《 , 一腰的中线将周长分成5:3的两部分，则此三 角形的底边长是多少？A一点，ZABD = 60。
，ZADB = 90。
-二 ZBDC ，则 AB 与 BD + CD 的大小关系如/ \ \«uVB C如果A KLM 是等边三角形，证明：A ABC 也A.等边三角形C •以C 为底边的尊腰三角形B.以《为底边的等腰三角形D.等腰三角形 解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为-“6例13・（2001年唐山市中考题）如图，在△ABC 中，AB = AC. D 为△ABC 外 何？解答：延长仞至£,使DE = BD ・连结•得到AB^BD + CDL例14・（1999年天津市竞赛题）如图，△4BC中，AD是BC边上的中线，E是仙上的一点，且BE = AC,延长BE交AQ于F, 求证：AF=EF解答：延长ED至使DH = DE・连结CH.例15.（第11届初二培训）如图，已知等边三角形AABC内有一点N, ND丄BC, NE丄AB, NF丄AC, D, E, F 都是重足，M是A ABC中异于N的另一点，若Pi=ND+NE=NF. P2=MD=ME=MF.即Pi与P2的大小关系是,解：如图，连结AN, BN, CN 69 A ABN, ABCN, AACN,则S A ABC=S & ABX+S A BCN+S A ACN设A ABC的边长AB=BC=CA=a,高为h则-ah= -a*NE+-a •ND+-a*NF=>ND+NE+NF=h2 2 2 2同理• LLM作MD丄BG MF丄AC, ME'丄AB可得s MA +ME' +MF* =h又MDMMD，, MEMME，■ MF>MF* ,且其中至少有一个式子的等号不成立.A P I=ND+NE=NF<MD+ME+MF=P2四、练习1.（第10届初二希望杯试题）如图，C是线段AB上，在AB 的同侧作等边三角形△ ACM和ABCN,连结AN, BM.若Z MBN=38。
，则ZANB=_。
解:由△ ACM与△ BCN均为等边三角形，知AM=CM=AC,CN=BN=BC,在AACN与AMCB 中，AC二MC, CN=CB, ZCANMCT +ZMCN=Z MCB所以△ ACN^AMCB, ZANC= ZMBG因为ZMBNM8° ,所以ZMBC=60。
・38° =22° , ZANB=ZANC+ZCNB=82"2. （2005年银川市中考题）如图，以直角三角形ABC的两宜角边AB.BC为一条边，分别作等边△ABE和等边△BCF,连接EF,EC•求证.（1）EF = E6 (2) EB丄 CF. 解答：证明△ EBF辿 EBC3. （2001年柳州市中考题）如图，在等边△ABC中，AE = CD.AD.BE相交于P 点,Bg丄AD于Q.求证：BP = 2PQ.解答：证明'ABEg'CAD NMB CACFAEQD CA4. （1998年南宁市竞赛题）如图，正三角形ABC中，分别是AB.AC.BC的中点，M为RC上任意一点,ZXMSP为正三角形•求证:RM = QS・解答：连接P&PR5. （2001年沈阳市中考题）如图，ABCD是平行四边形，以AC为边长在两侧各作一个正三角形ACP.ACQ.求证：BPDQ为平行四边形.解答：\ADQ 沁 CBP、故DQ = BP,同理，BQ=DP6.（第7届初二第2试）如图,P是尊边AABC中的-4'^,PA=2.PB=2A/3,PC=4,则A ABC的边长是.C 解：如图，将A BAP绕B点逆时针旋转60° ,则BA与BC重合，BP移到Bld处，PA 移到MC 处，所以BM=BP> MC=PA, ZPBM-60"。