双等腰三角形教师新版
八年级数学上册 13.3 等腰三角形(第2课时)教案 (新版)新人教版
13.3 等腰三角形（第2课时）教学内容等腰三角形的性质．教学过程一、导入新课思考：我们知道，如果一个三角形中有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？二、探究新知1．等腰三角形的判定定理让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．证明：在△ABC中，∠B＝∠C（如图）．作∠BAC的平分线AD．在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB＝AC．由此，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．2．判定定理的应用例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）．求证：AB＝AC．分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C．∴AB＝AC（等角对等边）．3．作等腰三角形例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法:（1）作线段AB＝a．（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．三、课堂小结1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图．四、课后作业习题13.3第2题．教学反思：。
【精品】双等腰三角形教师版
【关键字】精品双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠ED C。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠BAC=2∠BDC。
模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。
②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
八年级数学下册 1.1.4 等腰三角形教案2 北师大版(2021年整理)
八年级数学下册1.1.4 等腰三角形教案2 （新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册1.1.4 等腰三角形教案2 （新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册1.1.4 等腰三角形教案2 （新版）北师大版的全部内容。
课题：1.1.4等腰三角形教学目标：1。
探究并掌握等边三角形的判定方法。
2.探究并掌握含有30°角的直角三角形的性质。
3.在探究过程中，使学生进一步体会分类讨论、转化、逆向思维等数学思想方法，提高学生的能力。
教学重点与难点：重点:1.等边三角形判定定理的发现与证明.2.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.难点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教法与学法指导：教法：启发探究式教学．通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决问题的能力．学法:引导学生“自主探究-—合作交流——自我提高”．通过动手操作三角板，拼接等腰及等边三角形改变学生被动接受的学习方式，倡导学生自主参与，小组合作,积极互动，主动获取新知识，培养学生良好的学习习惯．课前准备：多媒体课件.教学过程：一、激趣导入，提出问题活动内容：欣赏几组图片(多媒体展示):同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志。
（1）图中的三角形有什么特点？(2）等边三角形与等腰三角形有什么关系？(3)等边三角形有哪些特点？(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？(教师板书课题)处理方式：先让学生观察，给学生1分钟思考的时间,然后找学生回答. 教师可让同学代表充分发表自己的看法．设计意图:通过生活中的图片引入等边三角形，使学生在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣,体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.并提出等边三角形的判定问题．明确重点的同时，激发学生的求知欲,精美的图片非常吸引学生，使学生很自然的进入本节的学习，进而顺利引入新课．二、自主合作，解决问题探究活动1:探究等边三角形的判定方法问题1：除了三边相等的三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质教学课件-2024鲜版
在等腰三角形中，有时会出现一些特殊情况，如等边三 角形、直角三角形等。在解题时，要注意这些特殊情况 的处理方法，避免出错。
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06 解题实例与解析
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实例一：利用等腰三角形性质求角度
问题描述：已知等腰三角形的一个底角为30°，求顶角的 度数。
解题步骤
解题思路：根据等腰三角形的性质，两个底角相等，因 此另一个底角也为30°。三角形内角和为180°，因此顶角 度数为180° - 30° - 30° = 120°。
1. 识别等腰三角形，确定底角和顶角的位置。
2. 利用等腰三角形性质，求出另一个底角的度数。 2024/3/28
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证明角相等
等腰三角形的两个底角相 等，这一性质可用于证明 角相等的问题。
辅助线应用
在等腰三角形中，常通过 作高、中线或角平分线等 辅助线，将复杂问题简化 为基本问题。
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设计中 有着广泛应用，如等腰三 角形的屋顶设计，既美观 又实用。
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等腰三角形的两底角的平分线 相等（两条腰上的中线相等，
两条腰上的高相等）。
等腰三角形底边上的垂直平分 线到两条腰的距离相等。
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等腰三角形的对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角的平分线、底边上 的中线所在的直线）。
对于轴对称图形，如果沿对称轴将它对折，那么两部分就完全重合。因此，在等腰 三角形中，如果沿底边的垂直平分线将它对折，那么两部分就完全重合。
计算机科学
在计算机图形学中，等腰三角形可用 于生成三维模型的基本形状，提高渲 染效率。
等腰三角形(教师版)
等腰三角形知识点一：等腰三角形：一、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
二、等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等;（等边对等角）2.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的平分线、底边上的中线或底边上的高所在直线。
三、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）注意：①等腰三角形的顶角可能是锐角、钝角或直角。
②等腰三角形的底角是锐角。
例1.（1）如图，AC AB =，AB CE AC BD ⊥⊥,,求证：CE BD =。
（2）如图，AB CE AC BD ⊥⊥,，且CE BD =,求证：AC AB =。
（1）法一：ABD ∆≌ACE ∆(S A A ..)∴CE BD =。
法二：BD AC CE AB ⋅=⋅2121，∵AC AB =，∴CE BD =。
（2）证明：BEC Rt ∆≌CDB Rt ∆(H.L)，∴ACBABC ∠=∠∴AC AB =。
练习一：1.如图，AC AB =，CE BD 、分别为角平分线，求证：CE BD =。
证明：EBC ∆≌DCB ∆(A S A ..)，∴CE BD =。
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是050，则这个等腰三角形的底角是多少度？解：︒20或︒70注意：等腰三角形的题常要分情况讨论，不能漏解。
3.如果等腰三角形的周长是cm 25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形周长的差是cm 4，那么这个等腰三角形的腰长等于多少？解：cm 7或cm 329。
4.如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若9=+CN BM ，求线段MN 的长。
解：∵ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点E ，∴EBC MBE ∠=∠，ECB ECN ∠=∠，∵MN ∥BC ，∴MEB EBC ∠=∠，ECB NEC ∠=∠，∴MEB MBE ∠=∠，ECN NEC ∠=∠，∴ME BM =，CN EN =，∴9=+=+=CN BM EN ME MN 。
专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ． 则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】 由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ， 即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】 根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒， 根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论： 如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。
八年级数学下册1.1.2等腰三角形课件(新版)北师大版
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= 1 AC， n
AE= 1 AB，那么BD=CE. n
简Байду номын сангаас为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
探索等边三角形性质
△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数。
小结
我掌握的定理有
；
我学会了
；
我还知道了
.
作业
必做题：课本第7页 习题1.2 知识技能 第2、3题.
选做题：课本第7页 习题1.2 数学理解 第4题.
∴△BDC≌△CEB(SAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
（三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等”
方法一： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是 △ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，（已知） ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直的定义）． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠CEB=∠BDC． ∴△BDC≌△CEB(AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
3 BD=CE吗?如果∠ABD=
1∠ABC，∠3ACE=
1∠ACB呢?
4
4
由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD= 1AC，AE= 1AB，那么BD=CE吗?如果AD=
3
3
AC，4A1E= AB呢?41由此你得到什么结论?
想一想, 做一做
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= 1∠ABC， n
双等腰三角形教师版
双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，E其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，B CD那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
A AE EB CD B CD模型二、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠∠。
BAC=2BDC模型二变式、①如图，，∠∠，求证：。
AB=AC CAD=2CBD AB=AD BCD②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
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B CBB双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
求证：（1）∠CAD=2∵ABD=∠ADB=α∵，∴设∠ABC=其中两个等三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠BAC=2∠BDC。
模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。
②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β+α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=2β+2α，F FF∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证∠BAC=2∠BDC；∠BAD=2∠BCD。
模型二与模型三都可以看成点A为△BCD的外心。
模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？模型四、如图，等腰△ABC中，AB=AC，等腰△DEF中，DE=DF，图中AB与DE共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角，通过前面的方法可证∠CPF=2∠FQC。
典型例题赏析例1：如图，Rt△ABC中，AB=AC，D、E BC、AC AD、DE，若∠BAD=2∠CDE，CD=4，AE=24，求AC例1解析：由AB=AC和∠BAD=2∠CDE，可得AD=AE=24，解△ACD，可得AC=例2：如图，正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，连接HF，若CH=3AH，请你探究HF与AF之间的数量关系.例2解析：由BG形ABE，由正方形ABCD，∠BGH=90°得∠BGH=2由模型二的变式可，为接下来固定图形起到了至关重要BC=，由△GBH 设AH=k，CH=3k，为等腰直角三角形，得GB=GH=2k，，AB=，得，由△ADF≌△ABE，，，，解△CFH，得，得例3：如图，在菱形ABCD的对角线AC上取点E，连接BE，使∠BEC=60°，在CD边上取点F，连接EF，且∠CEF=21∠ABE，若CF=4，CE=16，求AE的长.3由形边G相等，所以不缺少等腰三角形，但是∠CEF=21∠ABE 这个条件不知如何使用。
连接DE ，△ABE ≌△ADE ，∠ABE=∠ADE ，由DA=DC ，∠CEF=21∠ADE ，得DE=DF ，设EO=k ，BE=2k ，DE=DF=2k ，DC=BC=2k+4，CO=16-k ，，勾股△BOC ，得k=5，AE=6。
例4：在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线AB 的解析式为3y x =-+.（1）求抛物线解析式；（2）P 为线段OA 上一点（不与O 、A 重合），过P 作PQ ⊥x 轴交抛物线于Q ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，连接QN 并延长交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE. 答案∠NMP ，得△为等,Q(t ，223t t -++)，由M中点，MG=21322t t -++，NF=MG=21322t t -++，所以n =OG-NF=21122t t -。
（3）MN=MP=MQ ，得∠NQP=21∠NMP=45°，∠NHQ=∠AHP=45°，得∠QNH=90°，得EQ ⊥AB ，MN ∥AE ，由M 为AQ 的中点，得N 为EQ 的中点，得AN 垂直平分EQ ，得AQ=AE ，∠EAO=∠AEB-90°=(45°+∠AEQ)-90°=∠AEQ-45° 又∵∠AQP=∠AQE-45°，∴∠EAO=∠AQP ，∠EOA=∠QPA=90°，△APQ ≌△OEA ，AO=PQ=3，由Q(t ，223t t -++)，得2233t t -++=，10t =（舍），22t =。
（2）共腰双等腰部分NAPCBDB E B AC AC 强化训练习题1、如图：在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，且AD=AE ，∠BAD=68°，求∠CDE 的度数.2、如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ，D 、E 分别在CB 、AB AD 、DE ，且∠E=∠ADE ，若∠BDE=50°，求∠DAC 的度数.3、如图，在△ABC 中，线段BC 的垂直平分线交AB 于点F ，垂足为E ，D 为EF 上一点，连接AD 、BD 、CD ，若△ACD EF=2，求BF 的长.4、如图，在四边形ABDC 中，连接AD 、BC ，AB=BC=BD ，值为31，若AB=5，求CD 的长. 5、如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB=34，AE=AB ， AH于点H ，连接DE 交AH 于点G ，连接BG ，BG=10，求BE 的长6、如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC=60°，点E BC 上一点，若BA=BD ，求sin ∠ADE 的值.7、已知，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90º，D 是AC 垂直平分线上的动点，连接CE ，过E 作EF ⊥CE ，垂足为E AB 于F ，若AC=4，四边形BCEF 的面积为4.5时，求AF 的长8、°，AD=CD=BD 的长.，9、如图，等边△ABC 中， D 为直线BC 下方一点，满足∠BDC=90°，将点C 沿直线BD 折叠得到点E ，连接DE 、AE ，交射线DB 于点 F.（1）求证：∠AEC=30°；（2）请你猜想AE 、CE 、BF .10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点O 在AB OB=OC ，点D 在OC 的延长线上，连接AD ，点E 在AD 上，OE AC 于点F ，OE=OC ，∠ABC=∠CAD+30°，若OF=4，DE=3，求OD 的长. 答案： 1、∠CDE=68° 2、∠DAC=100° 3、BF=4EE4、5、BE=6、sin ∠ADE=127、AF=AF=8、BD=8 9、（1）略；（2）3CE+BF=AE 10、OD=7共底双等腰接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。
共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。
模型一、如图，AB=AC ，BD=DE ，（1）求证：∠ABD=∠CDE ；（2）延长ED 交AB 于F ，求证：∠BDC=∠BFE 。
证明：（1）∵AB=AC ，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE ，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC 与BE 共线，那么腰AB 与腰BD 的夹角∠ABD=∠ABC-∠DBE=α-β，那么剩余的腰AC 与剩余的腰DE 的夹角∠CDE=∠ACB-∠DEB=α-β， ∴∠ABD=∠CDE 。
（2）∵AB=AC ，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE ，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC 与BE 共线，那么腰AB 与腰DE 的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，那么剩余的腰AC 与剩余的腰BD 的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β， ∴∠BDC=∠BFE 。
模AB=AC BD=DE 。
，∠AB=AC 。
模CA 上一点，点E 为BC 上一点，DE 于AB=AC ，DB=DE ， 求ABD=∠BDC=∠BFE 。
证）∵ABC=∠ACB=α，∵DB=DE ，∴设∠DBE=∠β，EB其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角∠ABD=∠DBE -∠ABC =β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=∠DEB -∠ACB =β-α，∴∠ABD=∠CDE。
（2）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DE的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β，∴∠BDC=∠BFE。
模型二变式、①如图，AB=AC②如图，BD=DE③如图，AB=AC④如图，CA，CDE。
证AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵∠DBE=∠DEB=β，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DB的夹角∠ABD=180°-∠ABC-∠DBE=180°-α-β，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=180°-∠ACB-∠DEB=180°-α-β，∴∠ABD=∠CDE。