每日一讲 期中复习 双直角模型 教师版
几何模型｜对角互补模型之双直角（一）
几何模型｜对角互补模型之双直角（一）原题重现：1、如图，D为等腰RT△ABC外一点，若∠ADB=90°，求证：（1）AD-BD=√2CD；（2）∠ADC=45°思路分析：已知：AC=BC；∠ACB=∠ADB=90°；进一步倒角可得∠CAD=∠CBD；要求线段和差倍分的关系，常见方法为截长补短，又考虑题目等腰直角三角形的特殊性，构造直角三角形也不失为一种好方法。
方法讲解：法一：截长补短（在AD上取一点E，使AE=BD，连接CE）①由∠CAD+∠BAD+∠CBA=∠BAD+∠CBA+∠CBD=90°得∠CAD=∠CBD；②△CAE≌△CBD（ASA）③∠ACE=∠BCD，CE=CD；④△CED为等腰直角三角形，得证。
法二：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）①倒角可得∠CAD=∠CBD，∠ACE=∠BCD；②△CAE≌△CBD（ASA）③AE=BD，CE=CD；④△CED为等腰直角三角形，得证。
法三：四点共圆（对于问题（2））最简单原题重现：2、如图，D为等腰RT△ABC外一点，若∠ADC=45°，求证：∠ADB=90°思路分析：已知：AC=BC；∠ACB=90°，∠ADC=45°；问题的关键是45°角怎么用.方法讲解：法一：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）①△ABC和△DEC均为等腰直角三角形；②△CAE≌△CBD（ASA）③∠AEC=∠BDC法二：四点共圆原题重现：3、如图，D为外一点，若∠ADC=45°，∠ADB=90，求证：AC=BC.方法讲解：法一：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）①△DEC为等腰直角三角形；②倒角得∠ACE=∠BCD，∠AEC=∠BDC=135°；③△CAE≌△CBD（ASA），得证。
法二：四点共圆总结归纳：对于等腰RT△ABC外一点，若这一点与底边构成一个以其为斜边的直角三角形，有如下结论：1、当这一点与等腰的顶点同侧（1）AD-BD=√2CD；（2）∠ADC=45°2、当这一点与等腰RT△ABC的顶点异侧①AD+BD=√2CD；②CD平分∠ADB.。
每日一讲 期中复习 双直角模型 学生版
每日一讲期中复习几何之双直角三角形模型双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。
但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质。
模型讲解【思考】请正确作出右边的图形的辅助线1、如图，在直角坐标系中，直线643+-=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，AB 中点为P ，则点P 到直线x y -=的最短距离PQ 的长度为 ．2、如图，在△ABC ，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转．（1）当AC 平分∠A ´CB ´时，BD 的长为 ．（2）连接AA ´，当△AA ´C 为等边三角形时，BD 的长为 ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中βα∠∠和的三角函数值为已知。
（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．4、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）5、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？（2）已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=，AC=1+，BC=2，⊙O的直径BE交AC于点D．①求证：△ABC是勾股三角形；②求DE的长．。
解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走( 5 5 2 5 3 )千米
变式题
C
A
30°
D
45°
B
方法总结 所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两 个直角三角形. 解决这类问题时，抓住两三角形的公共边，并找到公共边与其它相关
边的关系，直接计算或列方程解决问题.
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如图， A 、 B 两地之 间有 一 座山， 汽车 原 来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶. 已知 AC = 10 千米， ∠A = 30°，∠B = 45°. 则隧道开通后，汽车从 A地到B 地比原来少走多少千 米？(结果保留根号)
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解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两
个直角三角形，
其位置关系有两种：Leabharlann 叠合式背靠式
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C
解：作 CD⊥AB，垂足为 D.
A
30°
D
45°
B
1 在 Rt△ACD 中，∵∠A= 30° ，∴CD = AC=5 千米 2 CD 5 ∴ AD 5 3 千米 tan 300 3 3
在 Rt△BCD 中，∵∠B= 45° ∴BD = CD = 5，BC= 5 2 千米 ∴ AC+ BC-AB= 10 5 2 (5 3 5) =（ 5 5 2 5 3 ）千米
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：01 双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(教师版)
专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。
这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。
但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .．．A ．20AC B ．DC【答案】7【答案】2023112(1)若20AB cm ，求MN 的长；(2)b初步感知：(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k，则AC__________；若3AC BC ，则k例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB.例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，OC 是AOB 内部的一条射线，OD 、OE 分别是AOB 、AOC 的角平分线．若20DOC ，25AOE ，则BOD 的度数为（）A ．70B ．100【答案】A【分析】根据OD 、OE 分别是12AOE COE AOC ，根据70AOD AOC DOC 【答案】①②④【分析】①根据OD 平分AOC【答案】110°或130°【分析】A、根据角的和差得到∠AOE=13∠AOB=20°，②当∵∠AOC =90°，∠BOC =30°，∵OE 是∠AOB 的一条三等分线，∴①当∠AOE =13∠AOB =20°【答案】(1)40 (2)所以当射线 12DOE n m ．∵°AOB m ，AOC n 、OE 分别平分AOB 、 ∴ 1122DOE AOD AOE AOB AOC m n ∴所以当射线OC 在AOB 的内部时， 12DOE m n．若射线OC 在AOB 外部时，如图3∵°AOB m ，AOC n 、OE 分别平分AOB 、 ∴ 1122DOE AOD AOE AOB AOC n m ∴所以当射线OC 在AOB 的外部时， 12DOE n m．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．例8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图AOB 分成两个角，分别为AOC 和BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的(1)若90AOB ，射线OC 为AOB 的“3等分线”，则(2)如图2，已知60AOB ，过点O 在AOB 外部作射线是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP 的度数（【答案】(1)30 或60 (2)30 或90 或120 或180【分析】（1）根据“3等分线”的定义分13AOC AOB （2）分OA 为POB 的“3等分线”和OB 为AOP 的“3根据“3等分线”的定义可得，1302AOP AOB 或AOP ②当OB 在AOP 的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，1302BOP AOB 或BOP 此时，3060AOP 或60120180AOP90 或120 或180 ．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC= ，直接写出∠DPE的度数（用含 的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．综上所述：线段MN的长度为5cm．故选：A．①②③B．③④C．①②④【答案】AA ．20225102 B ．20235102 C ．20225102 D ．20235102A．30 B．25 【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出【详解】解：OE∵平分COD，【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，OC 是AOB 内的一条射线，OD 平分BOC ，OE 平分AOC ，2940DOE ，则AOB 的度数为（）．A ．58B ．5920C ．60D ．5840【答案】B 【分析】根据OE 平分AOC ，OD 平分BOC ，可得2AOC COE ，2BOC COD ，从而得到2AOB DOE ，即可求解．【详解】解：∵OE 平分AOC ，∴2AOC COE ，∵OD 平分BOC ，∴2BOC COD ，∴ 2222AOB AOC BOC COE COE COE COEDOE ，∵2940DOE ，∴294059202AOB ．故选：B【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到2AOB DOE 是解题的关键．9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，下列说法正确的是（）A ．图中只有两个120°的角B ．图中只有∠DOE 是直角C ．图中∠AOC 的补角有3个D ．图中∠AOE 的余角有2个【答案】C 【详解】解：∵射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，∴60AOC COD BOD ，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，∴30AOE COE DOF BOF ，∴120AOD FOE BOC ，故A 选项不符合题意；90DOE FOC ，故B 选项不符合题意；∠AOC 与∠AOD 、∠FOE 、∠BOC 都是互为补角，故C 选项符合题意；∠AOE 与∠AOC 、∠COD 、∠BOD 都是互为余角，故D 选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC 、DBE ，如图1放置，（30D 、45BAC ），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且090CBE ，有下列四个结论：①在图1的情况下，在DBC 内作DBF EBF ，则BA 平分DBF ；②在旋转过程中，若BM 平分DBA ，BN 平分EBC ，MBN 的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90 的次数为3次；④DBC ABE 的角度恒为105 ．其中正确的结论个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．【详解】①如图可得15D B A A B F ，所以BA 平分DBF ，①正确；②当045CBE 时，设D BM x ，∵BM 平分DBA ，∴x ABM DBM ，∴602A B E x ， 45602215EBC x x ，∴7.5EBN x ，6027.552.5MBN x x x当4590CBE 时，设D BM x ，∵BM 平分DBA ，∴x ABM DBM ，∴602A B E x ，∴215EBC x ，60M B E x∴7.5E B N C B N x ，∴607.552.5MBN x x ，故②正确；③30CBE 时BD BC ，45CBE 时AB DE ，75CBE 时DB AB 故③正确；④当045CBE 时105D BC ABE ，当4590CBE 时105D BC ABE ，故④错误；综上所述，正确的结论为①②③；故选：C ．【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点A 、B 、D 表示的数分别是9 ，1 ，1，且点C7【答案】120160【分析】①利用角平分线的定义可得BOM CON AOM ②由角的加减可得AOM 设AB x ，，则1,3AC x 2,3CB x AD DB 111CD AD AC x x x，DE DB EB3223913332AC AB故答案为：132或13【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线①当DC 在左侧时，如图1，②当点D 与点A 重合时，如图2，MN MC CN 12AC DN DC即22MN AC AB DC 2MN DC MN MC CN 12AC BC BN12 QD【答案】1【分析】先由线段中点定义得出1PD AD，∴MP 时，NP ；(1)若点P在线段AB上运动，当7∵2AP t ，M为AP的中点，②P同理：12MP AP t，2NP如图，2t ，M为AP的中点，NAB ，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ；(2)如图2，作OF 平分AOB (3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD 时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ 内部，26BOC DOF ，5271GOH POQ EOF ，求BOP 的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)117（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ，OM 平分且AOB ，求AOM BON 的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB 的外部时，ON 时，猜想：MON 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．【答案】（1）30 （2）14 （3）没有关系，MON232023··(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF 的度数；EOF 的度数；(3)当AOB 和COD 的位置如图3【答案】(1)90 (2)90 (3)901(1)若6cm AC ，则EFcm ；(2)当线段化？如果不变，请求出EF 的长度，如果变化，请说明理由；【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律．别平分AOC 和BOD ，若150AOB 度，COD25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）CD ，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN cm；如图②，若24cm（3）（解决问题）AB ，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以如图③，已知24cm3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．。
专题 双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(老师版)
专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。
这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。
但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.A ．20AC =B ．DC 【答案】718【答案】2023112-三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的(1)若20AB cm =，求MN 的长；(2)b初步感知：(1)如图1，点C在线段AB上，若2k=，则AC=__________；若3AC BC=，则k=例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N 分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．＜的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC ∠=∠.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC ∠=∠.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB ︒∠=-∠.A ．70︒B ．100【答案】A【分析】根据OD 、OE 分别是12AOE COE AOC ∠=∠=∠，根据70AOD AOC DOC ∠∠=+=︒【答案】①②④，得出AOBa【答案】2n，据此规律可解答．【答案】110°或130°【分析】A、根据角的和差得到∠∠AOE=13∠AOB=20°，②当∠∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠∵OE是∠AOB的一条三等分线，【答案】(1)40︒(2)所以当射线()12DOE n m ∠=+︒．【分析】（1）根据角平分线定义求出以需要分类讨论：若射线OC 求出DOE AOD AOE ∠∠∠=-12AOE AOC ∠=∠，求出∠【详解】（1）∵120AOB ∠=︒∵°AOB m ∠=，AOC n ∠=、OE 分别平分AOB ∠、∠∴()1122DOE AOD AOE AOB AOC m n ∠=∠-∠-∠=-︒∴所以当射线OC 在AOB ∠的内部时，()12DOE m n ∠=-︒．若射线OC 在AOB ∠外部时，如图3∵°AOB m ∠=，AOC n ∠=、OE 分别平分AOB ∠、∠∴()1122DOE AOD AOE AOB AOC n m ∠=∠+∠+∠=+︒∴所以当射线OC 在AOB ∠的外部时，()12DOE n m ∠=+︒．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．例8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图分成两个角，分别为AOC ∠BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的(1)若90AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“3等分线”，则(2)如图2，已知60AOB ∠=︒，过点O 在AOB ∠外部作射线外两条射线为角的“3等分线”，求AOP ∠的度数（AOP ∠【答案】(1)30︒或60︒(2)30︒或90︒或120︒或180︒【分析】（1）根据“3等分线”的定义分13AOC AOB ∠=∠（2）分OA 为POB ∠的“3等分线”和OB 为AOP ∠的“3根据“3等分线”的定义可得，1302AOP AOB ∠=∠=︒或AOP ∠②当OB 在AOP ∠的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，1302BOP AOB ∠=∠=︒或BOP ∠此时，3060AOP ∠=︒+︒=或60120180AOP ∠=︒+︒=︒90︒或120︒或180︒．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；（2）如图1，若∠APC =α，直接写出∠DPE 的度数（用含α的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．，综上所述：线段MN的长度为5cm．故选：A．①②③B．③④C．①②④【答案】A∵AD BM =，∴AD MD BD =+，∴12AD AD BD =+，∴23AD BD BD BD BD +=+=，即3AB BD =，故①符合题意；A ．20225102+B ．20235102+C ．20225102-D ．20235102-【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．A．30︒B．25︒【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出【详解】解：OE平分COD∠，A ．58︒B ．5920'︒C ．60︒D ．5840'︒【答案】B 【分析】根据OE 平分AOC ∠，OD 平分BOC ∠，可得2AOC COE ∠=∠，2BOC COD ∠=∠，从而得到2AOB DOE ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵OE 平分AOC ∠，∴2AOC COE ∠=∠，∵OD 平分BOC ∠，∴2BOC COD ∠=∠，∴()2222AOB AOC BOC COE COE COE COE DOE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵2940DOE '∠=︒，∴294059202AOB ∠==''︒︒⨯．故选：B【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到2AOB DOE ∠=∠是解题的关键．9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，下列说法正确的是（）A ．图中只有两个120°的角B ．图中只有∠DOE 是直角C ．图中∠AOC 的补角有3个D ．图中∠AOE 的余角有2个【答案】C 【详解】解：∵射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，∴60AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，∴30AOE COE DOF BOF ∠=∠=∠=∠=︒，∴120AOD FOE BOC ∠=∠=∠=︒，故A 选项不符合题意；90DOE FOC ∠=∠=︒，故B 选项不符合题意；∠AOC 与∠AOD 、∠FOE 、∠BOC 都是互为补角，故C 选项符合题意；∠AOE 与∠AOC 、∠COD 、∠BOD 都是互为余角，故D 选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC 、DBE ，如图1放置，（30D ∠=︒、45BAC ∠=︒），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且090CBE ︒<∠<︒，有下列四个结论：①在图1的情况下，在DBC ∠内作DBF ∠②在旋转过程中，若BM 平分DBA ∠，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE ∠+∠的角度恒为105︒．其中正确的结论个数为（A ．1个B ．2个【答案】C表示的数，进而得到E【答案】120(160-【分析】①利用角平分线的定义可得∠-∠=∠利用MON BOC BOM∠+∠②由角的加减可得AOM80)设AB x =，，则1,3AC x =2,3CB x =AD DB ==111DE DB EB x x x =-=-=3223913332AC AB ==⨯=故答案为：132或13【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线在同一直线上，线段AC MN DN DM =-()12BD DC CM =-+12BD DC =-MN MC CN =+()12AC DN DC =+-=即22MN AC AB DC =+-2MN DC =MN MC CN =+()12AC BC BN =+-12=QD 【答案】1【分析】先由线段中点定义得出1PD AD=，【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的MP=时，NP=；(1)若点P在线段AB上运动，当7∵2AP t =，M 为AP 的中点，∴同理：12MP AP t ==，2NP 如图，2t =，M 为AP 的中点，N 为(2)【拓展与延伸】已知线段10cm AB =，点P 以1cm/s方向返回．当(1)根据题意，小明求得MN=______先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点AC (1)如图1，求证：AOB EOB DOE ∠-∠=∠；(2)如图2，作OF 平分AOB ∠(3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD ∠=︒时，作射线OA 的反向延长线的平分线，若（2）若将（1）中的条件“ON平分BOC∠，OMAOBα∠=，求AOM BON∠+∠的度数；（3）如图2，若ON、OC在AOB∠的外部时，猜想：MON∠与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．【答案】（1）30︒（2）14α（3）没有关系，MON∠平分(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF ∠的度数；的度数；(3)当AOB ∠和COD ∠的位置如图3时，求【答案】(1)90︒(2)90︒(3)90︒1(1)若6cm AC =，则EF =cm ；(2)当线段AOB25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若24cm CD =，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则CN =cm ；（3）（解决问题）如图③，已知24cm AB =，动点P 从点A 出发，以2cm/s 速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t ，请求出为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P 为AQ 的“奇妙点”时，83t =或4或247；当点Q 为AP 的“奇妙点”时，7213t =或6或7211．【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：2C D C N =，即N 为CD 的中点；情况2：2D N C N =，即N 为靠近C 点的三等分点；情况3：2C ND N =，即N 为靠近D 点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN 的长度．（3）由题意可知，A 不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P 、Q 未相遇之前，P 是“奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P 、Q 相遇之后，Q 是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；（2）N Q 是线段CD 的“奇妙点”∴根据定义，此题共分为三种情况．当2C D C N =，即N 为CD 的中点时，有CN =12cm ．当2D N C N =，即N 为靠近C 点的三等分点时，有CN =8cm ．当2C N D N =，即N 为靠近D 点的三等分点时，有CN =16cm ．故答案为：8或12或16．（3）解：由题意可知，A 点不可能是“奇妙点”，故P 或Q 点是“奇妙点”．24A B cm =∴t 秒后，2AP t =，243A Q t =-．26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）5,165t AOD =∠=︒或35,75t AOD =∠=︒【分析】（1）根据角平分线定义计算（2）根据角平分线定义和角的和差运算．（3）根据角的旋转变化列式计算即可．【详解】解：（1）∠AOD +∠BOC ＝∠AOB +∠COD ＝90°+60°＝150°，∠BOD ﹣∠AOC ＝∠COD ﹣∠AOB ＝90°﹣60°＝30°；（2）∵OM 、ON 分别平分∠AOC ，COD。
北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形(两个基本模型)教学课件
B
A
E
C
D
自学指导3:(8分钟) 根据图中条件解非直角三角形. (结果保留根号)
A
A
4 2cm
300 1350
B
C
300 1350
D B 4cm C
D
基本图形2：
m
解：A设 Bx
在R△ t AB中 D
？x tan AB BD BDtA anBtaxn
在R△ t AB中 C
tan AB
BC BC AB x
A 10 D
C
45°
A5
30°
┌
DB
30° B 50°
B 45° 30°
┌A
┌
D
A mD
C
C
20
2.(2020•孝感)如图,在▱ABCD中,对角线AC、 BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b, 则▱ABCD的面积是____(用含a、b的代数式表示)
2.(2019•巴中)一副直角三角板如图放置,点C在 FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠E=30°,∠A=45°,AC=12 2,求CD的长．
∠A=____,∠B= ,b= .
归纳:
要元解素直,而角且三其角中形必,必须须有一要知个道元素三角是形边中的. 3 个
A c
b
B
a
C
自学指导2:(10分钟) 两个基本图形的计算
根据图中的条件解非直角三角形. (精确到0.1)
A
4
450
B D 62
C△ABC=
,
S△ABC=
.
C
sinC= .
A
4
450
B
D
6 C
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每日一讲期中复习几何之双直角三角形模型
双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。
但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质。
模型讲解
【思考】请正确作出右边的图形的辅助线
1、如图，在直角坐标系中，直线64
3+-
=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，AB 中点为P ，则点P 到直线x y -=的最短距离PQ 的长度为 ．
【解答】A(8,0)、B(0,6)，则P(4,3)
当PQ ⊥OQ 时，PQ 最小，做PM ∥OB ，则M(4，-4)
∴PM=7
∴PQ=2
27
2、如图，在△ABC ，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转．
（1）当AC 平分∠A ´CB ´时，BD 的长为 ．
一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角
边为公共边，其中βα∠∠和的三角函数值为已
知。
（2）连接AA ´，当△AA ´C 为等边三角形时，BD 的长为 ．
【解答】（1）∠DCF=45°，设DF=CF=x
△DFB ∽△ACB
则BF=
x 34，BD=x 3
5 434=+x x ,7
12=x ∴BD=720 （2）方法同上，BD=13
12316-
3、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB ；
（2）若AB+CD=2+2，求AB ．
【解答】解：（1）过D 点作DE ⊥AB ，过点B 作BF ⊥CD ，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A ﹣∠C ﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC ﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE==，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE===，
∴AB=；
（2）设DE=x，则AE=x，BE===，
∴BD==2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF==x，
∴BF===，
∴CF=，
∵AB=AE+BE=，
CD=DF+CF=x，
AB+CD=2+2，
∴AB=+1
4、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．
（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？
（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【解答】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，
∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，
∴∠BCA=90°，
∵BC=12，AB=36×=24，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BD=BC=12，
∴时间t==小时=20分钟，
∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线．
（2）∵BD=BC，BE⊥CD，
∴DE=EC，
在RT△BEC中，∵BC=12海里，∠BCE=30°，
∴BE=6海里，EC=6≈10.2海里，
∴CD=20.4海里，
∵20海里＜20.4海里＜21.5海里，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
5、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满
足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？（2）已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=，AC=1+，BC=2，⊙O的直径BE交AC于点D．
①求证：△ABC是勾股三角形；
②求DE的长．
【解答】解：（1）∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，
∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；
（2）由题意可得：，
解得：x+y=102；
（3）①证明：过B作BH⊥AC于H，设AH=x，
Rt△ABH中，BH=，
Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2=4，
解得：x=，
所以，AH=BH=，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC===，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴452+602=752
∴△ABC是勾股三角形；
②连接CE，
∵∠A=45°，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直径，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，
过D作DK⊥AB于K，设KD=h，
∵∠EBC=45°，∠ABC=75°，
∴∠ABE=30°，
∴，AK=h，
∴h+h=，
解得：h=，
∴BD=2KD=2h=3﹣，
∴BE﹣BD=2﹣（3﹣）=﹣．。