(精选)分类讨论在导数中的应用
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。
例析分类讨论思想在解答含参导函数问题中的应用
备考指南灵活运用分类讨论思想来求解.值以及导函数的零点.一、1.其系数进行分类讨论：①判断导函数是否为二次函数；②负，的变号零点．例1.(2020年江西省名校f(x)=ax3-3x+1，对任意x立，则实数a的取值范围为(A.[2,+∞)B.[4,+∞)解：对函数f(x)=ax3-3x+1当a≤0时，对任意x则函数f(x)在[-1,1]可得f(x)min=f(1)=a-2<0当0<a≤1时，f′(x)=3ax2-≤0，所以函数f(x)在[-1,1]所以f(x)min=f(1)=a-2<0当a>1时，函数f(x)在调递增，在≥0，且f(1a)=1-2a≥0，即实数a的取值范围为{}4大小关系不确定，0,1的单调性，求得问题的答案.2.对二次导函数中的判别式进行分类讨论在研究函数的单调性时，通常需要根据导函数值与0之间的关系来进行判断.对于二次导函数来说，往往需要根据对应一元二次方程的根的判别式与0之间的关系来讨论函数的单调区间和单调性．例2.(2020年广东茂名二模卷)设函数f(x)=(x2+m)e x.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若g(x)=2e x-nx-1-f(x)，当m=1，且x≥0时，g(x)≤0，求实数n的取值范围．解：（1）依题意得函数f(x)的定义域为R，对其求导得f′(x)=(x2+2x+m)e x，设函数h(x)=x2+2x+m，则其判别式Δ=4-4m.①若Δ≤0，即m≥1，则h(x)≥0恒成立，可得f′(x)≥0恒成立，当且仅当m=1，x=-1时，f′(x)=0，所以函数f(x)在R上单调递增．②若Δ>0，即m<1，令h(x)=0，得x=-1-1-m或x=-1+1-m.当-1-1-m<x<-1+1-m时，f′(x)<0；当x<-1-1-m或x>-1+1-m时，f′(x)>0.所以函数f(x)在区间(-1-1-m,-1+1-m)上单调递减，在区间(-∞,-1-1-m)和(-1+1-m,+∞)上单调递增．综上可知，当m≥1时，函数f(x)在R上单调递增；当m<1时，函数f(x)在(-1-1-m,-1+1-m)上单调递减，在(-∞,-1-1-m)和(-1+1-m,+∞)上单调递增．（2）当m=1时，g(x)=e x-x2e x-nx-1，对其求导得g′(x)=(1-x2-2x)e x-n.设函数h(x)=(1-x2-2x)e x-n，则h′(x)=-(x2+4x+1)e x，当x≥0时，h′(x)<0，则函数h(x)单调递减，即函数g′(x)单调递减，故g′(x)≤g′(0)=1-n.51要使g (x )≤0在x ≥0时恒成立，需[0,+∞)上单调递减，即使g ′(x )≤1-n ≤0，即n ≥1，此时g (x )≤g (0)=0，故n ≥1.综上可知，实数n 的取值范围是[1,+∞)在本题中，别式与0的大小关系无法确定，讨论Δ与0的大小关系.若一元二次方程ax 2(a >0)的两根为x １、x ２(x １<x ２)，则当Δ>０()-∞,x １和()x ２,+∞上单调递增，在()x １,x ２当Δ≤０时，函数在R 上单调递增.若a <0程的左右同时乘以-1，数，再按照上述方法进行讨论.二、求解含参指对数导函数问题的零点往往无法直接求得，分解，的零点.若所得的零点中含有参数，类讨论，以便确定零点的取值范围，的单调区间和单调性，确定函数的极值点.例3.已知函数f (x )=(x 2-ax )ln x -32x 2+（1）求函数f (x )的单调递减区间；（2）证明：当a =1时，f (x )≤23x 3-52x 2++16(x >0)恒成立．(1)解：由题意可得f (x )的定义域为(0,数求导得f ′(x )=(2x -a )(ln x -1).令f ′(x )=0或x =e .当a ≤0时，2x -a >0，由f ′(x )<0，得x 所以函数f (x )的单调递减区间为(0,e )当0<a <2e 时，由f ′(x )<0得x ∈(a2,e )所以f (x )的单调递减区间为(a2,e )；当a =2e 时，由x >0可知f ′(x )≥0所以f (x )无单调递减区间；当a >2e 时，由f ′(x )<0可得x ∈(e ,a2)，所以f (x )的单调递减区间为(e ,a2).综上可知，当a ≤0时，函数f (x )为；当0<a <2e 时，函数f (x )a =2e 时，函数f (x )a >2e 时，函数f (x )的单调递减区间为(e ,a 2).（2）证明：当a =1时，设函数g (x )=f (x )-(23x 3-52x2+2x )-(14ln 2+16)，对其求导得g ′(x )=(2x -1)(ln x +1-x ).设函数m (x )=ln x +1-x ，则m ′(x )=1-xx，易知当0<x <1时，m ′(x )>0；当x >1时，m ′(x )<0.所以函数m (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以m (x )max =m (1)=0，即当x >0时，m (x )≤0恒成立.令g ′(x )=0，得x =12或x =1.则当0<x <12时，g ′(x )>0，当x >12时，g ′(x )≤0，当且仅当x =1时不等式取等号.所以函数g (x )在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，所以g (x )≤g (12)=0，所以f (x )≤23x 3-52x 2+2x +14ln 2+16(x >0)成立.因为导函数的零点中含有参数，所以需对a 的取值进行分类讨论，以便确定方程f ′(x )=0的根的取值范围以及两根的大小，从而确定函数的单调区间，再根据函数的单调性求得问题的答案.例4.已知函数f (x )=-a ln x -e xx+ax ,a ∈R .（1）当a <0时，讨论函数f (x )的单调性；（2）设函数g (x )=f (x )+xf ′(x )，若关于x 的不等式g (x )≤-e x +x 22+(a -1)x 在x ∈[1,2]上有解，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意知f ′(x )=(ax -e x )(x -1)x 2,x >0.设函数F (x )=(ax -e x )(x -1)，当a <0时，由ax -e x <0可得当x >1时，F (x )<0；当0<x <1时，F (x )>0.所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．（2）由g (x )=f (x )+xf ′(x )可得g (x )=-a ln x -e x +2ax -a .由题意知，存在x 0∈[1,2]，使得g (x 0)≤-e x+x 202+(a -1)x 0成立，即存在x 0∈[1,2]，使得不等式-a ln x 0+(a +1)x 0-x 202-a ≤0成立．（下转80页）Reading 部分“Qingming Scroll ”时，教师只给出关键词让学生预测文本内容。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
高三《导数的应用》说课稿
高三《导数的应用》说课稿以下是作者为大家准备的高三《导数的应用》说课稿（共含4篇），希望对大家有帮助。
篇1：高三《导数的应用》说课稿高三《导数的应用专题》说课稿导数是新课程教材中重要内容，是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想简捷地解决实际问题提供了广阔的前景。
纵观这几年的高考，考察的力度逐年加大，因此在高三复习中必须引起足够的重视。
在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目。
导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年高考数学的一大热点。
另外，导数又具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景很多，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑。
从这个意义上说，高三师生采取什么样的策略复习，复习的重点落在何处？显得至关重要。
1、教材分析与考点分析在教材中，导数处于一种特殊的地位。
一方面它是沟通初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生由有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧；另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如常与函数、数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，并成为解决相关问题的重要工具。
从高考关于导数单元的考查情况来看，以下两个特点非常明显：（1）循序渐进：从总体上看，高考考查导数的有关知识是循序渐进的过程。
导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，分析近几年的高考试题，可以看出高考对导数考查的思路已基本成熟。
考查的基本原则是重点考查导数的概念与应用。
这部分内容的考查一般分为三个层次：第一层次：主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和与实际背景有关的问题（如瞬时速度，边际成本，加速度、切线的斜率）第二层次：主要考查导数的.简单应用，包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中，我们经常会遇到各种不同的函数和问题，为了更好地理解和解决这些问题，我们需要进行分类讨论。
下面将介绍导数中常见的五种分类讨论，并探讨每种分类讨论的应用。
一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于这些函数，我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。
例如，对于常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解，这是导数求解中最基础的分类讨论。
二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。
对于复合函数的导数求解，我们可以运用链式法则。
链式法则指出，若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数，则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。
通过链式法则的应用，我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数，从而简化导数的计算。
三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数，其自变量和因变量的关系并不明显。
对于隐函数的导数求解，我们可以运用隐函数求导法。
隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。
具体而言，我们可以将隐函数的方程两边求导，并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。
隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质，还可以解决一些与隐函数相关的问题。
四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。
对于参数方程的导数求解，我们可以运用参数方程的求导法。
参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量，并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。
具体而言，我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量，然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
导数小专题-----单调性的分类讨论
导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。
那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。
这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。
以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。
（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。
判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。
综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。
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归纳整合 写出结论
3
例题
例 1： 函数 f (x) 2ax3 3(a 1)x2 6x 3a ，讨论 f (x) 的单调性。
解： f(x)6a2x 6a1x6
No Image
4
例题
例2: 若函数 f(x)ax12ax1a2 x(ax21)x1(x0),求 f ( x)在区 间[1，e]上的最小值 .
2）若导函数能够因式分解，首先因式分解， 然后比较两个根的大小及与给定区间端点 值的大小。
3）若不能够因式分解则需考虑判别式Δ， 需对Δ>0、 Δ=0、 Δ<0进行分类讨论；
7
体验高考
已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1 .（ a 1 ），讨论 f (x)
x
2
的单调性
8
个人观点供参考，欢迎讨论！
解： p(x)a2x(a1)x1
设 (a x1)x (1)6a x1x1
5
小结
f(x)ax1x(a1)lnx在利用导数求函数极值、最值及单调区间等 问题时，若导函数是一个含有参数的一元二次函 数，我们需对参数进行分类讨论。通过本节课的 学习,你的收获是什么？
小结
1）若导函数的二次项系数为参数，需对二 次项系数为正、负或零进行分类讨论；
复习回顾
1. 函 数
f (x) 1 x3 1 (a 1)x2 ax 32
,求它的单调增区间
________________________
2．函数
f
(x)
1 (a 3
1) x 3
1 2
x2
1 4
x
1 5
在其定义域内有极
值点，求 a 的范围。
2Hale Waihona Puke 分类讨论的一般流程 明确讨论对象 确定讨论主体