二维经验模态分解的关键问题

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经验模态分解方法中端点问题的处理

ＬＵＨｕ－ｉｇ，ＩＺｉｗｉ，ＩＪａ－ａｇＩｉｔＮｈ－ｅＬｉｎｙｎｎ
１．合肥工业大学计算机网络所，合肥２００３０９２安徽大学计算机科学与技术学院，．合肥２０３３０９
１ｎｔｕｅｏｏｕｅｔｒｙｔｍ，ｆｉＵｎｖｒｉｆＴｃｎｌｇＨｅｅ３０９，ｈｎ．ｓｔｔｆＣｍｐｔｒＮｅｗｏｋＳｓＩｉｅＨｅｅｉｅｓｙｏｅｈｏｏｙ，ｆｉ２００Ｃｉａｔ２ＳｈｏｆＣｍｐｔｒＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ，ｈｉＵｎｖｒｉ，ｆｉ２０３，ｈｎ．ｃｏｌｏｏｕｅｃｅｃｎｅｈｏｏｙＡｎｕｉｅｓｔＨｅｅ３０９Ｃｉａｙ
摘
要：经验模态分解方法可以有效提取非线性非稳定信号的瞬时特征，但是在利用样条插值获得信号上、下包络过程中存在着
棘手的端点问题。有文献提出利用线性神经网络对信号进行延拓的方法，来解决经验模态分解方法中存在的端点问题。提出利用ＢＰ和ＲＦ网络对信号进行延拓的方法解决该问题；Ｂ并利用实验对三种网络的延拓效果进行比较，明了ＲＦ神经网络的有效性。证Ｂ
ｅｎｉｅｒｇａｄＡｐｉａｉｎ，０８４（）２－０ｒＥｇｎｅｉｎｐｌｔｓ２０，４８：７３．ｎｃｏ
ＡｂｔａｔＴｅｍｐｒａｍｏｅｅｏｏｉｏｍｅｈｄａｅｔａｔｎｔｎａｅｕｃａａｔｒｔｓｆｎｎ— ｉｅｒａｄｎｎ。ｔｔｎｒｓｒｃ：ｈｅｉｃｌｉｄｄｃｍｐｓｔｎｉｔｏｃｎｘｒｃｉｓａｔｎｏｓｈｒｃｅｓｉｏｏ。ｎａｎｏ — ａｏａｙｉｃｌｓｉｓｇａｓｅｆｃｉｅｙＢｕｈｒｉａｎｏｖｄｎｓｕｉｔｅｃｕｓｏｅｔｇｔｏｅｖｌｐｆｔｅｄｔｓｇｓｌｅｉｔｒｏａｉｎｉｎｌｆｔｌ．ｔｔｅｅｓｎｉｖｌｅｅｄｉｓｅｎｈｏｒｅｆｇｔｎｗｎｅｏｓｏｈａａｕｉｐｉｎｅｐｌｔ．ｅｖｉｎｎｏＡｌｅａｕｅａｍａｅｓｏｉｅｒｎｕａｎｔｒｔｓｌｅｎｐｉｔｒｂｅｏｍｐｒａｍｏｅｅｏｏｉｏｍｅｈｄＴｉｉｒｔｒｈｓｔｄｕｅｆｌａｅｒｌｅｗｏｋｏｏｖｅｄｏｎｐｏｌｍｓｆｅｉｃｌｎｉｄｄｃｍｐｓｔｎｉｔｏ．ｈｓｐｐｒｐｏｏｅｈｕｅｏａｄＲＢｅｗｏｋｔｓｌｅｔｅｐｏｌｍｓｐｒｍｅｔａｅｓｄｔｏａｅｅｔｎｉｎｒｓｌｆｔｅａｅｒｐｓｓｔｅｓｆＢＰｎＦｎｔｒｏｏｖｈｒｂｅ．ｅＥｘｉｎｓｒｕｅｏｃｍｐｒｘｅｓｏｅｕｔｏｈｓｔｒｅｎｔｏｋ，ｎｒｖｈｔＲＢｅｒｌｎｔｒｓｍｏｅｅｆｃｉｅｈｅｅｗｒｓａｄｐｏｅｔａＦｎｕａｅｗｏｋｉｒｆｔ．ｅｖＫｅｒｓＥｉｃｌＭｏｅＤｅｏｏｉｏｅｄｏｎｒｂｅ；ｉｅｒｎｕａｅｗｒＢＰｎｔｒＲＢｅｗｏｋｓｇａｓｅｔｎｉｎｙｗｏｄ：ｍｐｒａｄｃｍｐｓｉｎ；ｎｐｉｔｐｏｌｍｓｌａｅｒｌｎｔｏｋ；ｅｗｏｋ；Ｆｎｔｒ；ｉｎｌｘｅｓｏｉｔｎ

经验模态分解在信号处理中的应用

经验模态分解在信号处理中的应用经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)是一种非线性自适应的信号分解方法，具有在信号处理中广泛的应用。

它的原理是将复杂的信号分解为各种本征模态函数(Intrinsic Mode Functions, IMF)，每个IMF代表了不同的频率和振幅信息，从而实现对信号的时频分析。

本文将介绍经验模态分解在信号处理中的应用，并探讨其优点和局限性。

一、经验模态分解的基本原理经验模态分解的基本原理是将信号分解为一组本征模态函数的和，其中每个本征模态函数都满足以下两个条件：1. 在整个信号长度范围内都能表现出来；2. 其均值为零。

具体的分解过程如下：1. 对给定的信号进行极值点的查找，并通过插值法得到上下包络；2. 将上下包络的平均值与原信号相减，得到一条称为细节的信号；3. 对细节信号进行重复步骤1和2，直到满足本征模态函数的条件为止。

二、经验模态分解的应用1. 时频分析经验模态分解能够将信号分解为不同频率的成分，从而实现对信号的时频分析。

通过对每个本征模态函数的振幅和频率的分析，可以得到信号的时变特征，进而有助于理解信号的本质和提取感兴趣的信息。

2. 降噪经验模态分解具有良好的去除噪声的效果。

由于每个本征模态函数都代表了一定频率范围内的信号成分，因此可以通过去除高频IMF来减少信号中的高频噪声，从而提高信号的清晰度和可读性。

3. 信号分析经验模态分解可用于信号的分析和挖掘，例如振动信号的故障诊断、语音信号的语调分析等。

通过对信号中的各个本征模态函数进行分析，可以获得信号在不同频率范围内的特征，并进一步实现对信号的分类和识别。

4. 图像处理经验模态分解在图像处理中也有广泛的应用。

通过将图像的行和列分别进行经验模态分解，可以将图像分解为一组本征模态函数，并对每个本征模态函数进行分析和处理。

这种方法在图像去噪、图像增强和特征提取等方面具有较好的效果。

二维数据bemd分解matlab

一、概述在科学研究和工程应用中，二维数据分析和处理是非常常见的问题。

其中，bemd分解（Bivariate Empirical Mode Dposition）是一种用于对二维数据进行分解的有效方法。

在本文中，我们将重点介绍如何使用Matlab工具进行二维数据的bemd分解，以及该方法在实际应用中的意义和作用。

二、二维数据bemd分解的原理和方法bemd是一种基于经验模态分解（Empirical Mode Dposition，简称EMD）的技术，在处理二维数据时是非常有用的。

该方法的基本原理是将二维数据分解为一系列二维本征模态函数（Intrinsic Mode Function，简称IMF），从而实现数据的局部化分析和处理。

在进行bemd分解时，通常会使用Hilbert-Huang变换来进行辅助处理，以确保得到的IMF函数具有较好的时频局部性质。

三、Matlab工具在二维数据bemd分解中的应用Matlab是一种广泛应用于科学计算和数据分析的工具，它提供了丰富的函数库和工具包，可以方便地进行各种数据处理和分析。

在进行二维数据bemd分解时，我们可以借助Matlab中的相关函数和工具来实现较为高效的计算和分析。

通过调用Matlab中的emd、hilbert等函数，可以很容易地实现二维数据的bemd分解。

四、二维数据bemd分解在实际应用中的意义和作用二维数据bemd分解在实际应用中有着广泛的意义和作用。

在信号处理领域中，bemd分解可以用于对图像、声音等二维信号进行分析和处理，从而提取出其中的局部特征和信息。

在地震学、气象学等领域中，bemd分解也可以用于对地震波形、气象数据等二维空时信号进行处理，以便进行地震监测、气象预测等工作。

五、结论通过本文的介绍，我们了解了二维数据bemd分解的原理和方法，以及在Matlab中进行bemd分解的具体步骤和技术。

我们还深入探讨了bemd分解在实际应用中的意义和作用。

经验模态分解方法

经验模态分解方法经验模态分解（EMD）方法是一种用于分解信号的技术。

通过此方法，信号可以被分解成多个固有模式（IMF），每个IMF都代表一种频率和振幅的组合。

EMD方法由黄钧翔教授于1998年首次提出，并在2000年正式出版。

该技术的主要思想是将信号分解成不同的频率成分，以便对其进一步分析。

该方法具有广泛的应用，包括滤波、时频分析、图像处理等领域。

EMD方法基于一些最基本的假设，包括：1. 所有信号是由不同频率和振幅的成分组成的。

2. 信号的每个成分都是固有的，并且能够以时间为轴进行分解。

3. 任何信号的分解都是唯一的。

按照EMD方法的工作原理，给定任何信号$X(t)$，首先将其分解为一组IMF。

每个IMF都是关于零均值和固有频率变化的振荡模式，其振幅与信号幅度相关。

因此，每个模式都具有自适应性质，即其频率和振幅随时间变化而变化。

IMFs可被表示为：$X(t) = \sum_{i=1}^{n} C_i(t) + R_n(t)$其中$C_i(t)$是作为信号的$IMF_i$表示的振幅函数，$R_n(t)$是一个残差（也被称为噪声）。

EMD方法可以在其基础上构建同时分析客观和主观信号的观察者模型，以便进行客观信号分析。

该模型基于以下假设：1. 某个信号的物理特性可以被分解为若干IMF。

2. 第$i$个IMF仅具有一种主导的频率。

3. IMFs随时间变化而变化并消失，同时具有自适应性。

4. IMFs的频率变化是从低到高的。

EMD方法的实现使用了一种称为仿射扩展的技术，它将信号逐步分解成越来越细的频率组件，直到所有成分都能够被表示为零均值的固有模式。

该算法具有高度自适应性和高效性，比其他方法更适合于处理非线性和非平稳信号。

除了非常实用的应用程序外，EMD方法还是研究复杂系统和自然环境的最有用的工具之一。

它可以用于分析海洋、气象和地震等领域中的时间序列数据，以及用于预测未来的天气和自然灾害。

它还可以在诸如医学和神经科学等领域中，用于探索人类生物系统内的事件交互。

改进的二维经验模式分解方法

改进的二维经验模式分解方法
张彦铎，汪敏敏，鲁统伟
（１．武汉工程大学计算机科学与工程学院，湖北武汉４３００７４；
２．智能机器人湖北省重点实验室，湖北武汉４３００７４）
拓，使信号不存在端点，从而避免了边界效应，但是此方法用于二维图像信号时，使图像的数据量
扩大８倍，使算法的时间复杂度增大．本文的实现
过程是针对边界效应做出的改进方法．
线性信号的方法．ＥＭＤ可以将信号分解为一些内
在模式函数（ＩＭＦ）和表示信号变化趋势的残余
１ＢＥＭＤ的实现过程
二维经验模式分解被广泛应用于图像处理中，它可以将将一副图像分解为若干表示图像不同频率的内在模式函数和表示图像变化趋势的残
吻合得很好，并且由于处理边界问题时附加的图像信息并不多乃至计算量小，使处理简单易行，论证了改进
的二维经验模式分解算法在图像处理中的可行性．
关键词：二维经验模态分解；内在模式函数；边界效应；筛分条件
（１）初始化：输入二维图像ｆ（ｚ，Ｙ），令ｒ１Ｉｌ（ｚ，）一ｆ（ｚ，Ｙ），ｒ１Ｉ１（ｚ，Ｙ）作为待处理的图像．

经验模态分解 (emd)方法

经验模态分解 (emd)方法一、EMD方法概述经验模态分解(EMD)是一种用于信号分解和特征提取的自适应方法，它可以将一个复杂的信号分解为一系列本征模态函数(IMF)的叠加。

IMF是具有自适应频率的函数，它们能够准确地描述信号的局部特征。

EMD方法不需要先验知识和基函数的选择，因此在信号分析和图像处理领域中得到了广泛应用。

二、EMD方法的基本原理EMD方法的基本原理是将信号分解为一组IMF，并且每个IMF均满足以下两个条件：1)在整个信号上，它的正负波动次数应该相等或相差不超过一个；2)在任意一点上，它的均值应该为零。

通过迭代处理，可以得到一系列IMF，并且每一次迭代都能更好地逼近原始信号。

三、EMD方法的步骤EMD方法的具体步骤如下：1)将原始信号进行局部极大值和极小值的插值，得到上、下包络线；2)计算信号的局部均值；3)将信号减去局部均值，得到一次IMF分量；4)判断分量是否满足IMF的两个条件，如果满足则停止，否则将分量作为新的信号进行迭代处理，直到满足条件为止。

四、EMD方法在信号分析中的应用EMD方法在信号分析中有着广泛的应用。

例如，在地震学中，可以利用EMD方法对地震信号进行分解，提取出不同频率范围的地震波，从而对地震波进行特征提取和识别。

另外，在生物医学信号处理中，EMD方法可以应用于心电图信号的分解和特征提取，有助于对心脏疾病进行诊断和监测。

五、EMD方法在图像处理中的应用EMD方法在图像处理中也有着广泛的应用。

例如，在图像压缩领域，可以利用EMD方法对图像进行分解，提取出不同频率的图像分量，从而实现对图像的压缩和重构。

此外，在图像去噪和边缘检测中，EMD方法也能够有效地提取出图像的局部特征信息，有助于准确地去除噪声和检测图像边缘。

六、EMD方法的优缺点EMD方法具有以下优点：1)能够自适应地分解信号，无需先验知识和基函数的选择；2)能够准确地描述信号的局部特征；3)能够处理非线性和非平稳信号。

经验模态分解中的优化理论与方法研究

经验模态分解中的优化理论与方法研究经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，简称EMD）是一种非参数化的时间序列分解方法，通过将信号分解成一系列局部振荡模态函数（Intrinsic Mode Functions，简称IMFs），可以有效提取出信号的时频信息特征。

然而，在EMD方法中存在一些问题，如模态函数数目不确定、重构误差较大等，为了解决这些问题，研究者们致力于优化EMD方法，以提高其分解效果和提取特征的准确性。

优化EMD方法的研究主要包括两个方面：优化理论和优化方法。

在优化理论方面，研究者们提出了一些改进的目标函数和约束条件。

目标函数的改进主要是针对EMD方法中存在的模态函数数目不确定问题。

传统的EMD方法是通过不断提取数据的极值点来获取IMFs，但这种方法在处理含高频成分的信号时会出现模态函数数目过多或过少的情况，造成信号特征提取不准确。

为了解决这个问题，研究者们提出了一些基于模态函数振幅和频率的目标函数，通过优化目标函数来确定合适的模态函数数目。

另外，约束条件的改进主要是通过引入新的约束条件，如振动模态函数的正交性约束、频率间隔约束等，来提高模态函数的分离性和准确性。

在优化方法方面，研究者们提出了一些新的分解算法和改进的数值求解方法。

传统的EMD方法是通过迭代地提取极值点来获取IMFs，但这种方法在计算速度和分解精度上存在一定的局限性。

为了克服这些问题，研究者们提出了一些改进的EMD方法，如快速EMD（Fast EMD）、改进的EMD算法等。

这些方法通过优化极值点的提取、插值和外推过程，提高了分解效率和准确性。

另外，为了优化IMFs的计算，研究者们还提出了一些数值求解方法，如改进的信度指标法和多尺度模型法等，通过引入新的数学模型和算法，提高IMFs的计算准确性和稳定性。

综上所述，经验模态分解中的优化理论和方法研究是一个重要的研究方向。

通过改进EMD方法的目标函数和约束条件，以及引入新的分解算法和数值求解方法，可以提高EMD方法的分解效果和特征提取准确性，为信号处理和数据分析提供更可靠和有效的工具。

经验模态分解和希伯尔特变换进行信号的频率、幅值和相位

经验模态分解和希伯尔特变换进行信号的频率、幅值和相位（实用版）目录1.信号处理的需求与目的2.经验模态分解与希伯尔特变换的原理和方法3.频率、幅值和相位的提取与应用4.总结与展望正文一、信号处理的需求与目的在现代科学研究和工程技术中，信号处理是一项重要的技术手段。

信号处理主要是对信号进行分析、处理和识别，从而提取有用的信息。

信号处理的核心任务之一就是提取信号的频率、幅值和相位信息。

这些信息对于信号的识别、分析和应用具有重要的意义。

二、经验模态分解与希伯尔特变换的原理和方法1.经验模态分解（EMD）经验模态分解是一种自适应的信号处理方法，可以有效地将信号分解为不同频率的成分。

EMD 主要通过迭代过程来寻找信号中的内在频率，并将信号分解为不同频率的模态函数。

这种分解方法可以避免传统傅里叶变换中频率截断和泄漏等问题，使得信号的频率成分更加精确。

2.希伯尔特变换（Hilbert Transform）希伯尔特变换是一种广泛应用于信号处理的数学工具，可以提取信号的频率、幅值和相位信息。

希伯尔特变换的基本思想是将信号的时域表示转换为其频域表示。

通过希伯尔特变换，可以得到信号的频谱，从而提取信号的频率、幅值和相位信息。

三、频率、幅值和相位的提取与应用1.频率提取通过经验模态分解和希伯尔特变换，可以提取信号的频率信息。

这些频率信息对于信号的识别和分析具有重要意义。

例如，在机械振动信号处理中，通过提取信号的频率信息，可以判断机械的故障类型和原因。

2.幅值提取信号的幅值信息反映了信号的能量大小。

通过经验模态分解和希伯尔特变换，可以提取信号的幅值信息。

在实际应用中，幅值信息可以用于评估信号的质量和性能。

3.相位提取信号的相位信息反映了信号在不同时间点的相对位置。

通过希伯尔特变换，可以提取信号的相位信息。

在实际应用中，相位信息可以用于分析信号的传播特性和时变性。

四、总结与展望经验模态分解和希伯尔特变换为信号的频率、幅值和相位提取提供了有效的方法。

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Key Problems of Bidimensional Empirical Mode DecompositionGuangtao GeSchool of Information and Electronic Engineering Zhejiang Gongshang UniversityHangzhou, Chinaggtggtggt@Guangtao GeDepartment of Information Science & ElectronicEngineeringZhejiang UniversityHangzhou, Chinaggtggtggt@Abstract—In recent years , an emerging theory of Empirical Mode Decomposition (EMD) is an important breakthrough inthe field of signal processing. This paper reviews three key problems in the development of the Bidimensional EmpiricalMode Decomposition (BEMD) theory and introduces the latest developments of surface-fitting algorithms, boundary corruption solution methods and the BEMD criterion for stopping the sifting process. Then this paper also commentsseveral open problems in BEMD theory and discusses the existing difficult problems .Keywords-component; Bidimensional Empirical Mode Decomposition; surface-fitting; boundary corruption; BEMD criterion二维经验模态分解的关键问题葛光涛1， 21.浙江工商大学信息与电子工程学院，杭州，中国，3100182. 浙江大学信息与电子工程学系，杭州，中国，310027ggtggtggt@【摘要】近年国际上出现的经验模态分解理论(Empirical Mode Decomposition , EMD)是信号处理领域的一个重大突破。

本文综述了二维经验模态分解(Bidimensional Empirical Mode Decomposition , BEMD)理论发展过程中涉及的三个关键问题,并着重介绍了曲面拟合、边界污染处理和停止准则制定这三个方面的最新进展,评述了其中的公开问题,对研究中现存的难点问题进行了探讨。

【关键词】二维经验模态分解；曲面拟合；边界污染；停止准则1 引言1998 年美国国家宇航局（NASA）的Norden E.huang等人首次提出对一列时间序列数据先进行经验模态分解(以Empirical Mode Decomposition表示 , 简写作EMD)，然后对各个分量作希尔伯特变换。

这种变换被称为希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang transform, HHT）[1,3]。

这种信号处理方法被认为是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。

该方法从本质上讲是对一个复杂的信号进行平稳化处理[2]，其结果是将信号中不同尺度的波动或趋势逐级分解开来，由于这种分解是基于局部特征尺度，作为一种完全的数据驱动方法，它具有良好的局部适应性，因此，该方法既能对平稳信号进行分析，又能对非平稳信号进行分析。

以往很多的一维信号处理方法被成功地推广到空间二维信号处理领域，被应用于二维图像数据的处理时同样可以得到良好的效果[4]。

例如，傅立叶变换、离散余弦变换以及小波变换等信号处理的技术已经广泛应用于数字图像处理领域，具体应用包括图像滤波、图像复原、图像增强、图像拼接、图像压缩以及数字水印等方面。

经验模态分解方法在一维信号处理方面已经获得巨大的成功，所以如果能将一维经验模式分解方法推广到二维，将会给图像处理等领域提供一种新的有效的数据处理手段。

二维经验模态分解理论的发展过程中主要涉及以下几个重要问题[5]：曲面的精确拟合，边界污染的克服，合理停止准则的制定等。

二维经验模态分解包络曲面和均值曲面拟合的优劣直接关系到每一步分解的执行结果，并最终决定了各模态的性质和独立性，是二维经验模态分解理论发展过程中必须解决的首要和根本的问题。

2.1经典的曲面拟合方法经验模态分解理论问世伊始，学者们早期的工作就是在不断的丰富和发展一维经验模态分解中的包络曲线拟合方法。

将极值点联结为光滑的曲线，需要选用适当的函数进行曲线插值拟合[6]。

现在已经采用的经典插值方法包括：多项式插值、阿克玛(Akima)插值、分段Hermit插值和样条插值等等[7,8]。

当被拟合的极值点由一维空间散布到二维空间时，问题的就变得更为复杂。

将EMD分解向二维推广的过程中，最初采用的方法是将图像分别按行（列）分析，利用EMD 方法逐行（列）进行插值处理，然后把处理结果合成，进而得到合成的各层二维IMF[9,10]，这种方法的本质是利用一维信息来分析二维信号，并没有考虑到二维信号的结构特征。

另外一种改进的方法是参考小波变换从一维推广到二维的张量积方法，分别在水平和竖直两个正交方向上提取图像的二维包络[11]，这种方法主要适用于除水平和竖直两个方向外其他方向空间相关性不强的图像，也不利于将图像的整体特征包融在拟合算法内。

更合理的思想是对于二维散布的极值点进行整体性的二维拟合。

因此，二维信号的包络曲面拟合问题实质也就是一个空间散乱点的曲面拟合问题，这是计算几何中的一个经典难题。

目前，已有的空间散乱点曲面拟合基本方法是：先对空间散乱点在水平面的投影进行三角剖分，然后在各个剖分基元上，对若干个点采用某种插值方法进行局部的拟合，最终再把各个局部拟合曲面平滑连接为最终的包络曲面。

此类算法包括：J.C.Nunes 等人提出的基于形态学操作和径向基函数插值(RBF，Radial Basis Function)的包络曲面拟合方法[12,13]，由于计算代价过高，J.C.Nunes又提出了改进的算法[14,15]；宋平舰等人采用B样条插值方法将经验模式分解方法二维化[16,17]；刘忠轩等人提出了DEMD 的方法[18]，这种方法在分解框架中考虑了图像的方向性, 并从分解的每个成分中对每个点提出三个特征以进行图像处理， DEMD 方法对于纹理图像的处理比较有效。

二维信号包络曲面拟合算法的提高方向是合理性，精确性和快速性。

由于曲面拟合算法的合理性和精确性主要取决于二维插值算法在计算几何领域的发展，因此，为了获得更适合实际应用的二维经验模态分解算法，许多信号和图像处理专家目前把更多的精力投入到二维信号包络曲面快速拟合算法的研究上。

例如，C.Damerval 等人提出一种基于三角剖分和立方样条插值的快速二维EMD 方法[19]，该方法一定程度上降低了计算量，提高了计算效率。

2.2基于有限元的二维经验模态分解快速算法Y. Xu等人提出了有限元法[20]，该方法是目前在速度上最具优势的一种算法。

这种基于有限元的二维信号均值曲面快速拟合算法的主要步骤如下：1)确定二维信号的特征点。

2)对特征点集进行德劳内三角剖分[21,22]（Delaunay method），得到三角形网格。

对特征点集进行德劳内三角剖分的结果如图 1.1所示，图中每个三角形的顶点都是特征点。

3)计算有限元基函数。

4)应用拉普拉斯算子平滑特征数据集。

5)插值建立二维信号均值曲面。

Fig. 1.1 Delaunay Partition of characteristic points set intotriangular mesh图1.1 特征点集德劳内三角剖分结果示意图拟合二维信号上下包络曲面的目的是求它们的平均值以获得均值曲面，Y. Xu的算则能够利用有限元基函数（finite-element basis functions）直接插值出均值曲面，因此，Y. Xu的算法客观上节省了至少一半的计算任务，这也是Y. Xu的算法在计算速度上有明显优势的最主要原因。

3边界拟合方法的研究进展在模态分解过程中数据集合的边界会出现发散和失真的现象，并会向内污染整个数据集，使获得的分解遭到严重破坏，因此边界污染也是分解过程中必须要克服的困难。

边界问题实质上是在拟合中出现的一种异常现象，是由边界拟合的不精确结果经过迭带后向内扩散而形成的。

在有限长信号的分析或处理过程中一般都会遇到边界处理问题。

在一维信号处理中，需要通过插值算法将极点联结成光滑的曲线，在信号内部的极值点总是能获得的，而在边界处拟合包络线或均值曲线时需用到边界外的极值点或信号，这些极值点或信号需要经过分析人为给定，数据外的信息为零，任何人为的预测都将引起误差，每次筛选又是用信号的极值点拟合信号的均值曲线其边界处理误差的影响不只局限在边界的有限范围内，而会向信号的内部传播，“污染”整个数据序列，使得整个结果严重失真。

Huang等人首先提出的边界处理方法是特征波法，即在信号的边界处加上一个特征波，特征波是指一个正弦信号，其周期和幅值是与边界相邻的三个波的平均周期和幅值，这种方法经证明能够有效的改善在三次样条插值端点处大的摆动(the wide swings)。

关于边界处的拟合问题，很多学者也提出了改进的方法：邓拥军等人提出了一种基于神经网络的方法对原始信号进行延拓[24]。

张郁山提出了一个“边筛分，边延拓”的边界处理方法[25]，利用自回归（AR）模型对一个给定信号两端进行延拓。

黄大吉等人提出了镜像闭合延拓和包络的极值延拓两种方法[26]。

余泊提出了自适应时变滤波分解经验模式分解法[27]。

盖强根据波形相关的思想提出了用信号中与边界三角波形最相匹配的波形来预测边界局部均值的波形匹配预测法[28]。