高中数学必修二 滚动训练五(§4.1～§4.2)
高中数学 滚动训练5必修4 试题(共3页)
滚动(gǔndòng)训练五
一、填空题：
1．假设，，那么．
2．设的值
3．计算: .
4．假设函数为奇函数，那么=
5．假设函数的定义域为，那么实数的取值范围
是．
6．，那么的最大值为_______________
7．方程的解在区间内，，那么=
8．曲线与直线围成的面积是___________.
9．奇函数满足对任意，
的值是。
10．()
f x的图象如下图，那
f x是定义在上的奇函数，当时，()
么不等式的解集为
请将答案填到下面的横线上：
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、
9、 10、
二、解答(jiědá)题
11．函数
(1) 求a的值；
(2)证明)
f的奇偶性；
(x
(3)
12．函数的图象过点〔0，〕，最小正周期为，且最小值为－1.
〔1〕求函数()
f x的解析式.
〔2〕假设(jiǎshè)，()
f x的值域是，求m的取值范围.
内容总结
（1）(2)证明的奇偶性。
高中人教版数学A版必修2(课时作业与单元测试卷)：第三、四章 滚动检测 Word版含解析
C．2 D．1
答案：B
解析：由离为d，则由三角形ABC的面积为1可得1＝ ×2 ×d，解得d＝ ，即 ＝ ，解得b＝3－a或b＝1－a，又因为|OC|＝ ＝ ，所以a2＋(3－a)2＝ 或a2＋(1－a)2＝ ，整理得4a2－12a＋9＝0或4a2－4a－7＝0，解得a＝ ，a＝ ＋ ，a＝ － ，即a有三个不同的解，所以点C的个数为3.
6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
答案：A
解析：圆心为C(1,0)，∵AB⊥CP，kCP＝ ＝－1，∴kAB＝1，且直线AB过点P(2，－1)，∴直线方程为x－y－3＝0.
答案：3x＋y－6＝0
解析：设A(m,0)，B(0，n)．由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．
由两点式直接得方程 ＝ ，即3x＋y－6＝0.
15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是________．
即不论m取什么实数，它恒过两直线2x＋y－10＝0与x＋3y－15＝0的交点．两方程联立，解得交点为(3,4)．
又有(3－2)2＋(4－3)2＝2＜16，
∴点(3,4)在圆内部，
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交．
(2)解：从(1)的结论和直线l过定点M(3,4)且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得
第三、四章滚动检测
班级____姓名____考号____分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2020新人教版高中数学必修二《平面向量及其应用》章末双测滚动验收达标检测卷+解析
2020新人教版高中数学必修二《平面向量及其应用》章末双测滚动验收达标检测卷+解析章末双测滚动验收达标（一）平面向量及其应用A 卷——学考合格性考试滚动检测卷(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( ) A ．北偏西34°27′ B ．北偏东55°33′ C ．北偏西55°32′D ．南偏西55°33′解析：选A 根据方向角的概念可知A 正确．故选A.2．如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－bD ．|a |＝|b |解析：选D 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．故选D.3．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由sin A ＝sin C ，知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．故选B. 4．下列命题中正确的是( ) A.OA ―→－OB ―→＝AB ―→B.AB ―→＋BA ―→＝0C ．0·AB ―→＝0D.AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→解析：选D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA ―→－OB ―→＝BA ―→；AB ―→，BA ―→是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB ―→＋BA ―→＝0；0·AB ―→＝0.故选D.5．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ―→＋OC ―→＋CB ―→等于( ) A.AB ―→ B.BC ―→ C.CD ―→D ．0解析：选A AO ―→＋OC ―→＋CB ―→＝AC ―→＋CB ―→＝AB ―→.故选A. 6．已知A (1,2)，B (3，－1)，C (3,4)，则AB ―→·AC ―→等于( ) A ．11B ．5C ．－1D ．－2解析：选D AB ―→＝(2，－3)，AC ―→＝(2,2)，则AB ―→·AC ―→＝2×2＋(－3)×2＝－2.故选D.7．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C 由a ∥b 知1×2－m 2＝0，即m ＝2或－ 2.故选C. 8．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF ―→＝OF ―→＋OE ―→ B.EF ―→＝OF ―→－OE ―→ C.EF―→＝－OF ―→＋OE ―→D.EF ―→＝－OF ―→－OE ―→解析：选B EF ―→＝EO ―→＋OF ―→＝OF ―→－OE ―→＝EO ―→－FO ―→＝－OE ―→－FO ―→.故选B. 9．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF ―→＝( )A.12AB ―→＋12AD ―→ B ．－12AB ―→－12AD ―→C ．－12AB ―→＋12AD ―→D.12AB ―→－12AD ―→ 解析：选D EF ―→＝12DB ―→＝12(AB ―→－AD ―→)．故选D.10．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)．∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0，∴y ＝－9.故选D.11．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.故选B.12．在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上答案都不对解析：选B ∵a ＝7，b ＝10，c ＝6，∴b >a >c ，∴∠B 为最大角．由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋62－1022×7×6<0，∴∠B 为钝角．故选B.13．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB ―→同向的单位向量是( ) A.35，－45 B.－35，45 C.－45，35 D.45，－35 解析：选A 因为与AB ―→同向的单位向量为AB ―→|AB ―→|，|AB ―→|＝(4－7)2＋(1＋3)2＝5，AB ―→＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，所以AB―→|AB ―→|＝35，－45.故选A. 14．已知向量BA ―→＝12，32，BC ―→＝32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32，|BA ―→|＝|BC ―→|＝1，所以cos ∠ABC ＝BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A. 15．已知作用在点A 的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)解析：选A F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F 的终点为P (x ，y )，则OP ―→＝OA ―→＋F ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．故选A.16．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形解析：选C ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2BC ―→，∴四边形ABCD 为梯形．故选C.17．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3D ．－3解析：选B 由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2＋(3k －8)a ·b －12b 2＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.故选B.18．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选B.19．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.?0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0＜c ≤403.故选D.20．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5解析：选D ∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，∴由余弦定理可得：b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得：2c 2＝2c 3，∴解得c＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上) 21．若C 是线段AB 的中点，则AC ―→＋BC ―→＝________.解析：∵C 是线段AB 的中点，∴AC ＝CB .∴AC ―→与BC ―→方向相反，模相等．∴AC ―→＋BC ―→＝0.答案：022.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，则OD ―→＝________.(用r 1，r 2，r 3表示)解析：OD ―→＝OC ―→＋CD ―→＝OC ―→＋BA ―→＝OC ―→＋OA ―→－OB ―→＝r 3＋r 1－r 2.答案：r 3＋r 1－r 223．已知|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝33，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝332×3＝32，所以θ＝π6.答案：π624．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________. 解析：|a ＋b |＝52?a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，条件代入得|b |＝5. 答案：525．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝________.解析：∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22，∴B ＝45°或135°. ∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.答案：45°三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.(本小题满分8分)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，试用a ，b 表示DC ―→，BC ―→，MN ―→.解：如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．则DC ―→＝AN ―→＝12AB ―→＝12a ，BC ―→＝NC ―→－NB ―→＝AD ―→－12AB ―→＝b －12a ，MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝－AD ―→－12CD ―→＝－AD ―→－12－12AB ―→＝14a －b . 27．(本小题满分8分)在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cosC ＝255.(1)求BC 边的长；(2)求AB 边上的中线CD 的长．解：(1)由cos C ＝255，得sinC ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C )＝sin(135°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022×31010＝3 2. (2)由正弦定理，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022×55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理，得CD ＝ BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2×1×32×22＝13. 28．(本小题满分9分)设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k ＞0)．(1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值．解：(1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2. ∵|a |＝|b |＝1.∴k 2＋1＋2k a ·b＝3(1＋k 2－2k a ·b )．∴a ·b ＝k 2＋14k.∵k >0，∴k 2＋14k ≠0，∴a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)∵a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.由(1)知a ·b ＝k 2＋14k ，∴k 2＋14k ＝12.∴k ＝1.B 卷——面向全国卷高考滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中不正确的是( )A.AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0B.AB ―→－AC ―→＝BC ―→ C ．0·AB ―→＝0D ．λ(μa )＝(λμ)a解析：选B AB ―→－AC ―→＝CB ―→＝－BC ―→，故B 不正确．故选B. 2．(全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解析：选A 法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .故选A.法二：利用向量加法的平行四边形法则．在?ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |，知|AC ―→|＝|DB ―→|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.3．设向量a ＝(－3,4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A.－65，85 B ．(－6,8) C.65 ，－85 D ．(6，－8)解析：选D 因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－λa,4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D. 4．设a ，b ，c 为非零向量，若p ＝a |a |＋b|b |＋c|c |，则|p |的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[0,3]D ．[1,3]解析：选Ca|a |，b|b |，c|c |分别为a ，b ，c 方向上的单位向量，∴当a ，b ，c 同向时，|p |取得最大值3，且|p |的最小值为0.故选C.5．(2019·山东青岛二模)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝3，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝( )A ．3B ．9C ．12D ．15解析：选D a ·b ＝3×2×cos 2π3＝－3，∴a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝9－2×(－3)＝15.故选D.6．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选C 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，所以a ＋λb ＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a ＋λb )⊥c ，所以(a ＋λb )·c ＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.－12，0 D.12，＋∞解析：选D 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，m >0，∵a ＋b >c ，a ＋c >b ，即m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.故选D.8．(2019·湖南师大附中模拟)如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF ―→＝( )A.34AB ―→＋14AD ―→B.14AB ―→＋34AD ―→C.12AB ―→＋AD ―→ D.34AB ―→＋12AD ―→ 解析：选D 根据题意得AF ―→＝12(AC ―→＋AE ―→)，又AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.故选D.9．(2019·宁夏六盘山一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝22，c ＝2，cos A 2＝144，则b ＝( )A ．1 B. 3 C ．2D ．4解析：选D ∵a ＝22，c ＝2，cos A 2＝144，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×1442－1＝34，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(22)2＝b 2＋22－2×b ×2×34，整理得b 2－3b －4＝0，∴解得b ＝4或－1(舍去)．故选D.10．(2019·北京清华附中模拟)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14c 2a 2－c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin C ∶sin A ∶sin B ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．6 3B ．47C ．87D ．12解析：选A ∵sin C ∶sin A ∶sin B ＝2∶3∶7，则c ∶a ∶b ＝2∶3∶7，∵△ABC 周长为10＋27，即a ＋b ＋c ＝10＋27，∴c ＝4，a ＝6，b ＝27，所以S ＝14c 2a 2－c 2＋a 2－b 222＝6 3.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n解析：选AB 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．故选A 、B.12．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△A BC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或32解析：选CD 对于A ：sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ?△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π?A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故A 错误；对于B ：由sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<="" ＝c="">2.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°.∴A ＝90°或A ＝30°.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.D 正确．故选C 、D.13．给出下列四个命题，其中正确的选项有( )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA ―→＝(3，－4)，OB ―→＝(6，－3)，OC ―→＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34解析：选ABC A 中，令OA ―→＝a ，OB ―→＝b .以OA ―→，OB ―→为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确．B 中，∵(AB―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，∴|AB ―→|2＝|AC ―→|2，故△ABC 为等腰三角形．故B 正确．C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故C 正确．D 中，∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA ―→·BC ―→＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA ―→与BC ―→同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故D 不正确．故选A 、B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 14．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析：(a ＋b )·(a －2b )＝|a |2－a ·b －2|b |2＝1－a ·b －8 ＝－7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b . 故a ，b 的夹角为π2.答案：π215．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×－12＝7.答案：716．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4. 又|a ＋b |＋|a －b |2≤(a ＋b )2＋(a －b )22＝a 2＋b 2＝5，∴|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：设a ，b 的夹角为θ. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,2 5 ]，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4，最大值为2 5. 答案：4 2 517．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)．答案：36四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.19.(本小题满分14分)如图所示，平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM ―→与HF ―→；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ―→·HF ―→. 解：(1)由已知得AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝12a ＋b .连接AF (图略)，∵AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝a ＋13b ，∴HF ―→＝HA ―→＋AF ―→＝－12b ＋a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×－12＝－6，从而AM ―→·HF ―→＝12a ＋b ·a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 20．(本小题满分14分)已知正方形ABCD ，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)(1)BE ―→＝OE ―→－OB ―→＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF ―→＝OF ―→－OC ―→＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵BE ―→·CF ―→＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE ―→⊥CF ―→，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP ―→＝(x ，y －1)，CF ―→＝(－2，－1)，∵FP ―→∥CF ―→，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP ―→∥BE ―→，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2，解得x ＝65，∴y ＝85，即P 65，85. ∴AP ―→2＝652＋852＝4＝AB ―→2. ∴|AP ―→|＝|AB ―→|，即AP ＝AB .21．(本小题满分14分)已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60° ＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．22．(本小题满分14分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<2，从而38<3<="" <90°，0°<2，从而38<3<="" <90°，0°2. 因此，△ABC 面积的取值范围是??<2，从而38<3<="" <90°，0°??<2，从而38<3<="" <90°，0°38<2，从而38<3<="" <90°，0°，32. 23．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )?<2，从而38<3<="" <90°，0°0≤θ≤π2. (1)若AB ―→⊥a ，且|AB ―→|＝5|O A ―→|，求向量OB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°；<2，从而38<3<="" <90°，0°(2)若向量AC ―→与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值为4时，求OA ―→·OC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°. 解：(1) AB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(n －8，t )，∵AB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA ―→|＝|AB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°|，<2，从而38<3<="" <90°，0°∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8，∴OB ―→＝(24,8)或OB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(－8，－8)．<2，从而38<3<="" <90°，0°(2) AC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(k sin θ－8，t )．∵AC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16.<2，从而38<3<="" <90°，0°∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k sin θ－4k 2＋32k ，∵k ＞4，∴1＞4<2，从而38<3<="" <90°，0°k<2，从而38<3<="" <90°，0°＞0，<2，从而38<3<="" <90°，0°当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32<2，从而38<3<="" <90°，0°k .<2，从而38<3<="" <90°，0°由32<2，从而38<3<="" <90°，0°k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(4,8)，<2，从而38<3<="" <90°，0°∴OA ―→·OC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝8×4＋0×8＝32.<2，从而38<3<="" <90°，0°。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章 数列 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示
第四章4.1 数列的概念第1课时 数列的概念与简单表示A 级必备知识基础练1.[探究点三]数列{a n }中,若a n =√16-2n,则a 4=( ) A.12B.√2C.2√2D.82.[探究点三]已知数列-1,14,-19,…,(-1)n 1n2,…,它的第5项的值为( ) A.15B.-15C.125D.-1253.[探究点三]已知数列的通项公式a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,则a 2a 3等于( ) A.70B.28C.20D.84.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n 项为( ) A.6n-1B.-6n+1C.6n+2D.-6n-25.[探究点二·陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为( )A.a n =(-1)n+12nB.a n =(-1)n 2nC.a n =(-1)n+12nD.a n =(-1)n 2n6.[探究点二、三](多选题)已知数列√2,2,√6,2√2,…,则下列说法正确的是( )A.此数列的通项公式是√2nB.8是它的第32项C.此数列的通项公式是√n +1D.8是它的第4项7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…,1n,…B.sin π7,sin 2π7,sin 3π7,…,sin nπ7,…C.-1,-12,-14,-18,…,-12n -1,…D.1,√2,√3,…,√n ,…8.[探究点四(角度2)]已知数列{a n }的通项公式为a n =2 021-3n,则使a n >0成立的正整数n 的最大值为 .9.[探究点三]已知数列{a n }的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象: (1)a n =2;(2)b n ={n ,n 为奇数,-2n,n 为偶数.10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式. (1)1,-12,14,-18,….(2)10,9,8,7,6,…. (3)2,5,10,17,26,…. (4)12,16,112,120,130,….(5)3,33,333,3 333,….11.[探究点三]已知数列{a n},a n=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?B级关键能力提升练12.设a n=1n +1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2(n∈N*),则a2等于( )A.14B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+1513.若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n,则数列{a n }的各项中最大项是( ) A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项14.(多选题)已知数列{a n }的前4项依次为2,0,2,0,则数列{a n }的通项公式可以是( ) A.a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数B.a n =1+(-1)n+1C.a n =2|sinnπ2| D.a n =21-(-1)n215.[湖南长沙月考]数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则实数t 的取值范围是( ) A.[4,7)B.(325,7)C.[325,7)D.(1,7)16.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n+k 2n,若数列{a n }为递减数列,则实数k的取值范围为 .17.函数f(x)=x 2-2x+n(n ∈N *)的最小值记为a n ,设b n =f(a n ),则数列{a n },{b n }的通项公式分别是a n = ,b n = . 18.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n 2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{a n}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?C级学科素养创新练19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )A.14.8B.19.2C.19.6D.20.420.若数列{a n }的通项公式为a n =n n 2+(n ∈N *),则这个数列中的最大项是( ) A.第43项 B.第44项 C.第45项D.第46项21.在数列{a n }中,a n =n 2n 2+1.(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. (3)区间(13,23)内有没有数列中的项?若有,有几项?第1课时 数列的概念与简单表示1.B 由a n =√16-2n可知16-2n>0,即n<8,所以a 4=√16-8=√2.2.D 第5项为(-1)5×152=-125.3.C 由a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,得a 2a 3=2×10=20.4.B 由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为a n =(-1)n-1(3n-1),所以第2n 项为a 2n =(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.B 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故a n =(-1)n 2n.故选B.6.AB 数列√2,2,√6,2√2,…,即√2,√4,√6,√8,…,则此数列的通项公式为√2n ,故A 正确,C 错误;令√2n =8,解得n=32,故8是它的第32项,故B 正确,D 错误.故选AB.7.CD 选项C,D 既是无穷数列又是递增数列. 8.673 由a n =-3n>0,得n<3=67323,又因为n ∈N *,所以正整数n 的最大值为673. 9.解列表法给出这两个数列的前5项:它们的图象分别为10.解(1)a n =(-1)n+112n -1;(2)a n =11-n; (3)a n =n 2+1; (4)a n =1n (n+1);(5)a n =13(10n -1). 11.解(1)由已知,得{1-p +q =0,4-2p +q =-4,解得{p =7,q =6,所以a n =n 2-7n+6,所以a 5=52-7×5+6=-4.(2)令a n =n 2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C ∵a n =1n+1n+1+1n+2+1n+3+ (1)2(n ∈N *),∴a 2=12+13+14.13.C 因为a n =-2n 2+25n=-2·(n-254)2+6258,且n ∈N *,所以当n=6时,a n 的值最大,即最大项是第6项. 14.ABC ∵a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数,∴a 1=2,a 2=0,a 3=2,a 4=0,故A 正确;∵a n =1+(-1)n+1,∴a 1=1+(-1)2=2,a 2=1+(-1)3=0,a 3=1+(-1)4=2,a 4=1+(-1)5=0,故B 正确; ∵a n =2|innπ2|s,∴a 1=2|sin π2|=2,a 2=2|sin2π2|=0,a 3=2|sin3π2|=2,a 4=2|sin4π2|=0,故C 正确; ∵a n =21-(-1)n2,∴a 1=21-(-1)12=2,a 2=21-(-1)22=1,a 3=21-(-1)32=2,a 4=21-(-1)42=1,故D 错误.故选ABC.15.A 因为数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则{7-t >0,t >1,4(7-t )+4≤t 2,解得4≤t<7. 故选A.16.(0,+∞) 由数列{a n }为递减数列可知a n+1<a n 对n ∈N *恒成立,即3(n+1)+k 2n+1<3n+k 2n,因此3(n+1)+k 2n+1−3n+k 2n=3(n+1)+k -6n -2k2n+1=3-k -3n 2n+1<0,即k>3-3n,因为n ∈N *,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n 的最大值为0,所以k>0.17.n-1 n 2-3n+3 当in =f(1)=1-2+n=n-1,即a n =n-1;将x=n-1代入f(x)得,b n =f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n 2-3n+3.18.解(1)令a n =0,得n 2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n 2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ,a n+1,则有a n =a n+1,即n 2-21n 2=(n+1)2-21(n+1)2.解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.19.C 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可.20.C 设f(x)=xx 2+(x>0),则f(x)=1x+x ,又由x+x≥2√,当且仅当x=√时,等号成立,则当x=√时,x+x取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44<√<45,a 44=44442+<a 45=45452+,则数列中的最大项是第45项. 21.(1)解a 7=7272+1=4950. (2)证明∵a n =n 2n 2+1=1-1n 2+1,∴0<a n <1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)解令13<n 2n 2+1<23,则12<n 2<2,n ∈N *,故n=1,即在区间(13,23)内有且只有1项a 1.。
人教版高中数学选择性必修第二册4.1 数列的概念 同步练习(含解析)
第四章数列4.1数列的概念基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点D.数列的项数一定是无限的2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,13,132,133,…B.sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13,…C.-1,-12,-13,-14,…D.1,2,3,4,…,30题组二数列的通项公式及其应用3.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+(−1) +12,n∈N*,则该数列的前4项依次为(深度解析)A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,12,0D.2,0,2,04.数列{a n}的通项公式为a n=3 +1, 为奇数,2 -2, 为偶数,则a2a3=()A.70B.28C.20D.85.(2020山东菏泽高二上期中)已知数列1,3,5,7,…,2 -1,若35是这个数列的第n项,则n=()A.20B.21C.22D.236.(2020河南郑州八校高二上期中)已知函数f(x)=(3- ) -3, ≤7,-6,x>7,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是(易错)C.(2,3)D.(1,3)7.(多选)下列四个命题中,正确的有()A.k项为1+1B.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n=2n-1D.数列{a n}的通项公式为a n= +1,n∈N*,则数列{a n}是递增数列8.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…;(2)12,34,78,1516,3132,…;(3)-1,85,-157,249,…;(4)5,55,555,5555,….9.已知a n=9 (n+1)10 (n∈N*),则数列{a n}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.10.在数列{a n}中,a n=n2-kn(n∈N*),且{a n}为单调递增数列,求实数k的取值范围.题组三数列的递推公式及其应用11.已知a n+1-a n-3=0,n∈N*,则数列{a n}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定12.若数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1,则a4=()A.7B.13C.40D.12113.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=1+ 1− ,则a2021的值为()A.2B.-3C.-12D.1314.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是()A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥215.数列{a n}中,若a n+1= 2 +1(n∈N*),a1=1,则a n=.16.已知数列{a n}中,a1a2…a n=n2(n∈N*),则a9=.题组四数列的前n项和公式及其应用17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-n(n∈N*),则a5=()A.6B.8C.12D.20∈N*),S n=10,则n等18.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n于()A.90B.119C.120D.12119.已知数列{a n}的前n项和为S n,求数列{a n}的通项公式.(1)S n=2n-1,n∈N*;(2)S n=2n2+n+3,n∈N*.易错20.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=An2+Bn+C,A≠0.(1)当A=2,C=0,且a2=-10时,求数列{a n}的通项公式;(2)设{a n}的各项均为负实数,当a1=-36,a3=-9时,求实数A的取值范围.能力提升练题组一数列的通项公式及其应用1.(2020天津静海一中高二上期中,)设a n=1 +1+1 +2+1 +3+…+12 (n∈N*),那么a n+1-a n等于()A.12 +1B.12 +2C.12 +1+12 +2D.12 +1-12 +22.(2020山东滨州高二上期中,)数列2,0,2,0,…的通项公式可以是()A.a n=2( =2 +1, ∈N*)0( =2 , ∈N*)B.a n=2sin∈N*)C.a n=(-1)n+1(n∈N*)D.a n=cos nπ+1(n∈N*)3.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二上期中,)已知数列{a n}的通项公式为a n= 2+130(n∈N*),且数列{a n}从第n项起单调递减,则n的最小值为()A.11B.12C.13D.不存在4.(2020山东滕州一中高二上阶段检测,)已知数列{a n}的通项公式为a n=2020−22021−2 ,且存在正整数T,S,使得a T≤a n≤a S对任意的n∈N*恒成立,则T+S=()A.15B.17C.19D.215.(多选)()若数列{a n}满足:对任意正整数n,{a n+1-a n}为递减数列,则称数列{a n}为“差递减数列”.给出下列数列{a n}(n∈N*),其中是“差递减数列”的有()A.a n=3nB.a n=n2+1C.a n=D.a n=ln +1题组二数列的递推公式及其应用6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知数列{a n}满足a n+1=2 ,0≤ <12,2 -1,12≤ <1,若a1=67,则a2020的值为()A.37B.47C.57D.677.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列{a n}对任意的n∈N*都有a n+1< + +22,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是()A.数列{a n+1-a n}为单调递减数列,且a5>1B.数列{a n+1-a n}为单调递增数列,且a5>1C.数列{a n+1-a n}为单调递减数列,且a5<1D.数列{a n+1-a n}为单调递增数列,且a5<18.()在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln1+∈N*),则a n=.9.(2020湖南娄底高二上期中,)若数列{a n}满足(n-1)a n=(n+1)a n-1(n≥2,n∈N*),且a1=1,则a100=.10.(2020黑龙江牡丹江一中高二上期末,)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图,则第13行中实心圆点的个数是.题组三数列的前n项和公式及其应用11.(2020山东淄博一中高二上期中,)若数列{an}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2)(n∈N*),则S10=()A.15B.12C.-12D.-1512.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知S n为数列{a n}的前n 项和,若a1=52,且a n+1(2-a n)=2(n∈N*),则S21=.13.(2020广东中山高二上期末统考,)若数列{an}满足a n+a n+1= +1- -1(n∈N*),其前n项和为S n,且S99=311,则a100=.14.()设数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)a n=2n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)n项和为S n,求证:S n<23.答案全解全析基础过关练1.C A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.2.C数列1,13,132,133,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13,…是无穷数列,但它不是递增数列;数列-1,-12,-13,-14,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.故选C.3.A解法一:由a n=1+(−1) +12,n∈N*,n分别取1,2,3,4,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.解法二:因为当n∈N*且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N*且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{a n}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.方法技巧当一个数列中的项的系数出现“+”“-”相间时,应先把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示.4.C由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.5.D由题意得,2 -1=35,即2n-1=45,解得n=23,故选D.6.C根据题意,得a n=f(n)=(3- ) -3, ≤7, ∈N*,a n-6,n>7,n∈N*,要使{a n}是递增数列,需满足3− >0, >1,(3- )×7-3< 8−6,解得2<a<3.故选C.易错警示分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列{a n }递增需满足a 7<a 8,而函数f(x)递增则需满足7(3-a)-3≤a 7-6,二者有较大的区别.7.ABD 对于A,k 项为1+1,A 正确;对于B,令n 2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B 正确;对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{b n },则其通项公式为b n =2n (n ∈N *),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n =b n +1=2n +1(n ∈N *),C 错误;对于D,a n = +1=1-1 +1,则a n+1-a n =1 +1-1 +2=1( +1)( +2)>0,因此数列{a n }是递增数列,D 正确.故选ABD.8.解析(1)易知该数列是首项从4开始的偶数,所以该数列的一个通项公式为a n =2n+2,n ∈N *.(2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的通项公式可写为a n =2 -12 ,n ∈N *.(3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n .又第1项可改写成分数-33,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为a n =(-1)n · ( +2)2 +1,n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以变为59×9,59×99,59×999,59×9999,即59×(10-1),59×(100-1),59×(1000-1),59×(10000-1),即59×(10-1),59×(102-1),59×(103-1),59×(104-1),所以它的一个通项公式为a n=59×(10n-1),n∈N*.9.解析解法一:由a n=9 (n+1)10 (n∈N*)得,a n+1-a n=9 +1(n+2)10 +1-9 (n+1)10 =9 (8-n)10 +1,n∈N*.当n<8时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n,即{a n}在n<8时单调递增;当n=8时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n,得a8=a9;当n>8时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n,即{a n}在n>8时单调递减.所以数列{a n}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=99108.解法二:设a n为最大项,则 ≥ -1,≥ +1(n≥2,n∈N*),≥9 -1·n10 -1,≥9 +1(n+2)10 +1,解得8≤n≤9.又因为n∈N*,所以n=8或n=9,故{a n}的最大项为a8=a9=99108.10.解析由a n=n2-kn,得a n+1=(n+1)2-k(n+1),所以a n+1-a n=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.因为{a n}为单调递增数列,所以a n+1-a n>0,即2n+1-k>0(n∈N*)恒成立,即k<2n+1(n∈N*)恒成立,所以k<3,所以k的取值范围为(-∞,3).11.A∵a n+1-a n=3>0,n∈N*,∴a n+1>a n,即该数列中的每一项均小于它的后一项,因此数列{a n}是递增数列,故选A.12.C由题意得,a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.故选C.13.A∵a1=2,∴a2=1+21−2=-3,从而a3=1+(−3)1−(−3)=-12,a4=13,a5=1+131−13=2=a1.∴{a n}是以4为周期的数列,又2021=505×4+1,∴a2021=a1=2,故选A.14.B由题中图形知,a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,故选B.15.答案12 -1解析由已知得,a2=13,a3=15,a4=17,a5=19,……,以此类推,可得a n=12 -1(n∈N*).16.答案8164解析由题意得,a1a2…a8=82,①a1a2…a9=92,②②÷①得,a9=9282=8164.17.B由S n=n2-n得,S5=52-5=20,S4=42-4=12,∴a5=S5-S4=20-12=8.故选B.18.C∵a n+ +1= +1- ,∴S n=(2-1)+(3-2)+…+( +1- )= +1-1=10,∴n+1=121,∴n=120.19.解析(1)∵S n=2n-1(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.经检验,当n=1时,符合上式,∴a n=2n-1(n∈N*).(2)∵S n=2n2+n+3(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.经检验,当n=1时,不符合上式,∴a n=6( =1),4 -1( ≥2, ∈N*).易错警示由数列{a n}的前n项和S n求通项公式时,要注意验证当n=1时的情况.若a1=S1适合a n(n≥2,n∈N*)的表达式,则通项公式可以合并,否则就写成分段的形式.20.解析(1)由题意得,当A=2,C=0时,S n=2n2+Bn.则当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+B(n-1)]=4n+(B-2).又a2=-10,∴a2=8+(B-2)=-10,∴B=-16,∴a n=4n-18(n≥2,n∈N*),当n=1时,可得a1=S1=2×12+(-16)×1=-14.经检验,当n=1时,符合a n=4n-18,∴a n=4n-18,n∈N*.(2)由题意得,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2An+(B-A),∴a3=6A+(B-A)=5A+B=-9.∴B=-5A-9,∴a n=2An+(B-A)=2An-6A-9(n≥2,n∈N*),若{a n}的各项均为负实数,则A<0,∴a n=2An-6A-9在n≥2时单调递减,又∵a1=-36<0,∴只需a2<0即可,即a2=4A-6A-9<0,∴A>-92.故实数A的取值范围为-92<A<0.能力提升练1.D∵a n=1 +1+1 +2+1 +3+…+12 ,∴a n+1=1 +2+1 +3+…+12 +12 +1+12 +2,∴a n+1-a n=12 +1+12 +2-1 +1=12 +1-12 +2.2.B选项A中,n取不到1,其通项公式中不含a1,A错误;选项B中,当n是奇数时,a n=2×1=2,当n是偶数时,a n=2×0=0,B正确;选项C中,a1=0≠2,C错误;选项D中,a1=cosπ+1=0≠2,D错误.故选B.3.A∵a n= 2+130,∴a n+1= +1( +1)2+130,∴a n+1-a n= +12+2n+131- 2+130=- 2-n+130( 2+2n+131)( 2+130).由数列{a n}从第n项起单调递减可得a n+1-a n<0,即-n2-n+130<0,n∈N*.即n2+n-130>0,解得n<-1-5212或n>521-12,又n∈N*,∴n>521-12.∵22<521<23,∴10.5<521-12<11,∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,即从第11项起,{a n}单调递减,∴n的最小值为11,故选A.4.D依题意得,a n=2020−22021−2 =1-12021−2 =1+12 -2021,∴当n≥11(n∈N*)时,2n≥211=2048,数列{a n}递减,且a n>1,∴(a n)max=a11,当n≤10(n∈N*)时,2n≤210=1024,数列{a n}递减,且a n<1,∴(a n)min=a10,∴a10≤a n≤a11,∴T+S=21,故选D.5.CD选项A,由a n=3n,得a n+1-a n=3,则{a n+1-a n}为常数列,不满足“差递减数列”的定义;选项B,由a n=n2+1,得a n+1-a n=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{a n+1-a n}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;选项C,由a n= ,得a n+1-a n= +1- =显然{a n+1-a n}为递减数列,满足“差递减数列”的定义;选项D,由a n=ln +1,得a n+1-a n=ln +1 +2-ln +1=ln( +1)2 ( +2)=ln1+随着n的增大,此值变小,所以{a n+1-a n}为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.6.D依题意得,a2=2a1-1=2×67-1=57,a3=2a2-1=2×57-1=37,a4=2a3=2×37=67=a1,∴数列{a n}是以3为周期的周期数列.∵2020=3×673+1,∴a2020=a1=67.故选D.7.D∵数列{a n}对任意n∈N*都有a n+1< + +22,∴a n+2-a n+1>a n+1-a n,∴{a n+1-a n}为单调递增数列.∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9.∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.8.答案2+ln n解析由a n+1=a n+ln1+得a n+1-a n=ln +1 =ln(n+1)-ln n,∴a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[ln n-ln(n-1)]=2+ln n(n∈N*).9.答案5050解析由(n-1)a n=(n+1)a n-1,得 -1= +1 -1(n≥2,n∈N*),则a100=a1· 2 1· 3 2·…· 100 99=1×31×42×…×10199=5050.10.答案144解析不妨构造数列{a n}表示第n行实心圆点的个数,由题图可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和.易知a1=0,a2=1,且n≥3时,a n=a n-1+a n-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.11.A依题意得,a2n=6n-2,a2n-1=-6n+5,∴a2n-1+a2n=3,即a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=a9+a10=3,∴S10=a1+a2+…+a10=3×5=15,故选A.12.答案83解析由a n+1(2-a n)=2,得a n+1=22− ,又a 1=52,所以a 2=22− 1=-4,a 3=22− 2=13,a 4=22− 3=65,a 5=22− 4=52=a 1,所以数列{a n }是周期为4的数列,因为21=4×5+1,所以a 21=a 1=52,所以S 21=5(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 21-4+13+5+52=83.13.答案10-311解析∵a n +a n+1= +1- -1(n ∈N *),∴a 1+a 2=2-0,a 3+a 4=4-2,a 5+a 6=6-4,……a 99+a 100=100-98,∴S 100=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 99+a 100=(2-0)+(4-2)+(6-4)+…+(100-98)=100-0=10,又S 99=311,∴a 100=S 100-S 99=10-311.14.解析(1)由数列{a n }满足a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)a n =2n(n ∈N *),①得当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)a n-1=2(n-1),②①-②得(2n-1)a n =2(n ≥2,n ∈N *),即a n =22 -1(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,a 1=2,满足上式,所以a n =22 -1,n ∈N *.(2)证明:设c n = 2 +3,由(1)可知,c n =22 -12 +3=2(2 -1)(2 +3)=12∴S n=c1+c2+…+c n=121−55-9…2 -3-2 +1= 1212 +12 +3=23-14 +2-14 +6=23-2 +2(2 +1)(2 +3),∵n∈N*,∴S n<23.。
人教版数学高二B版必修5练习 第二章 数列 滚动训练(二)
滚动训练(二)一、选择题1.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6答案 C解析 由正弦定理BCsin A ＝ABsin C 得sin C ＝AB ·sin A BC ＝6×323＝22，∴C ＝π4或3π4.又∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.2.{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2017，则序号n 等于( )A.667B.668C.669D.673答案 D解析 由2017＝1＋3(n －1)，解得n ＝673.3.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则B 的值是() A.π3B.π6C.π3或2π3D.π6或5π6答案 D解析 因为a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，所以2ac cos B tan B ＝ac .所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，故选D.4.在等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7等于( )A.10B.20C.16D.12答案 D解析 ∵{a n }是等差数列，∴d ＝a 5－a 35－3＝52， ∴a 7＝a 3＋(7－3)×d ＝2＋4×52＝12. 5.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11为( )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 6.已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( )A.2B.12C.3D.13答案 C解析 ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35， ∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3. 故选C.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A.5B.6C.7D.8答案 B解析 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.二、填空题8.在△ABC 中，已知C ＝60°，a b ＋c ＋b a ＋c＝. 答案 1解析 a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2.(*) 因为C ＝60°，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，所以a 2＋b 2＝ab ＋c 2，代入(*)式得a 2＋b 2＋ac ＋bcab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1. 9.在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a cos A＝. 答案 213解析 由题意可得12bc sin A ＝3，解得c ＝4， 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×4×12＝13， 所以a cos A ＝1312＝213. 10.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为. 答案 2A解析 数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ， 当n ＝1时满足，所以d ＝2A .11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝. 答案 4解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列， 所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0， 解得m ＝4.三、解答题12.已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 由已知条件，可得S n ＋1＝2n +1，则S n ＝2n +1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n +1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2，n ∈N ＋. 13.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，n ∈N ＋.(1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式.(1)证明 (a n ＋1－2n +1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)解 由(1)可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1， 故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n ，n ∈N ＋.四、探究与拓展14.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ等于( )A.2B.5C.－12D.12答案 C解析 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n . 则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27. 因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 15.已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出数列{b n }的通项公式.解(1)设等差数列的公差为d，因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故a n＝2n，n∈N＋.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列.所以b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故b n＝4n，n∈N＋.。
2023版新教材高中数学滚动练习二统计与概率新人教B版必修第二册
滚动练习二 统计与概率一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A．7 B．15 C．25 D．352．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值为( )A．0 B．C．D．3．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，则抽取的第4件产品的编号是( )第7行 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676第8行 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879第9行 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954A．169 B．556 C．671 D．1054．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A．28 B．40 C．56 D．605．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A．0.9 B．0.2 C．0.7 D．0.56．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品 C．至多有一件一等品 D．都不是一等品7．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A．B．C．D．8．设有两组数据x1，x2，…，x n与y1，y2，…，y n，它们的平均数分别是x和y，则新的一组数据2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2x n－3y n＋1的平均数是( ) A．2x－3y B．2x－3y＋1 C．4x－9y D．4x－9y＋1二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，A表示A的对立事件，以下结论正确的是( )A．P(A)＝P(A) B．P(A＋A)＝1C．若P(A)＝1，则P(A)＝0 D．P(AA)＝010．小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程(单位：km)的数据，绘制了下面的折线图：根据折线图，下列结论正确的是( )A．剔除第8周数据，周跑步里程逐周增加B．周跑步里程的极差小于20 kmC．周跑步里程的平均数低于第7周对应的里程数D．周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数11．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( )A．目标恰好被命中一次的概率为＋B．目标恰好被命中两次的概率为×C．目标被命中的概率为×＋×D．目标被命中的概率为1－×12．已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是( )A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.2，P(AB)＝0.5B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0D．如果A与B相互独立，那么P(AB)＝0.4，P(AB)＝0.4三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________．16．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想．18．(12分)某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10)2[10，20)3[20，30)5[30，40)15[40，50)40[50，60]35(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；(2)从对B餐厅评分在[0，20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10)范围内的概率；(3)求学生对A餐厅评分的平均数．19．(12分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示：派出人数2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4个人或5个人培训的概率；(2)求至少有3个人培训的概率．20．(12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错的概率是，乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率．21．(12分)为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：50 1 1 660 1 3 3 4 5 871 2 3 6 7 7 7881 1 2 4 5 990 0 1 2 3(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；(3)记P(a≤X≤b)表示学生的考核成绩在区间[a，b]的概率，根据以往培训数据，规定当P(≤1)≥0.5时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．22．(12分)手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间(h)120125122124124B型待机时间(h)118123127120a 已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．(1)求a的值；(2)判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小(结论不要求证明)；(3)从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．(注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)滚动练习二 统计与概率1．答案：B解析：由题意设样本容量为n，则＝，解得n＝15.2．答案：B解析：∵E与F相互独立，P(E)＝P(F)＝，∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝.3．答案：D解析：找到第8行第8列的数8，并开始向右读，每次读取三位，凡不在001～800中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而最先抽取的4件产品的编号依次是169，556，671，105.故抽取的第4件产品的编号是105.4．答案：B解析：设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为x，所以x＋x＝140，解得x ＝40.5．答案：D解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，A，B相互独立．事件“恰有一人击中敌机”的概率为P(AB＋AB)＝P(A)·[1－P(B)]＋[1－P(A)]·P(B)＝0.5.6．答案：C解析：将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.7．答案：C解析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)＝，P(B)＝，所以事件A、B中至少有一件发生的概率为P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝1－P(AB)＝1－(1－)×(1－)＝，故选C.8．答案：B解析：由题意结合平均数的性质可知：2x1，2x2，…，2x n的平均数为2x，－3y1，－3y2，…，－3y n的平均数为y，则2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2x n－3y n＋1的平均数为2x－3y＋1.9．答案：BCD解析：P(A)＝P(A)错误，A错误；由对立事件的概念得A＋A＝Ω，即P(A＋A)＝P(Ω)＝1，B正确；由对立事件的性质P(A)＋P(A)＝1知，P(A)＝1－P(A)，故若P(A)＝1，则P(A)＝0，C正确；由对立事件的概念得AA＝∅，即P(AA)＝P(∅)＝0，D正确．10．答案：BCD解析：剔除第8周数据，周跑步里程逐周有增有减，A错误；周跑步里程的极差比20 km小，B正确；周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数，D正确；第7周对应的里程数为15 km，观察数据，知周跑步里程的平均数比15 km小，C正确．11．答案：BD解析：目标恰好被命中一次的概率应该为×＋×＝，A错误；B正确；目标恰好被命中一次的概率为×＋×，恰好被命中两次的概率为×，所以目标被命中的概率应是两式之和，C错误；目标没有被命中的概率为×，所以被命中的概率为1－×，D正确．12．答案：BD解析：如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A选项错误；如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B选项正确；如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.6，P(AB)＝0.1，故C选项错误；如果A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.4，P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.4，故D选项正确．13．答案：15解析：应从高二年级学生中抽取50×＝15名学生．14．答案：0.98解析：x＝＝0.98.15．答案：解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1－＝，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为××＝.16．答案：(1)0.004 4 (2)70解析：(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；(2)数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的用户数为100×0.7＝70.17．解析：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100.(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35)内，由30＋＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，这10人成绩的平均数为(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．18．解析：(1)由A餐厅分数的频率分布直方图，得对A餐厅评分低于30的频率为(0.003＋0.005＋0.012)×10＝0.2,所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20.(2)对B餐厅评分在[0，10)范围内的有2人，设为M1，M2，对B餐厅评分在[10，20)范围内的有3人，设为N1，N2，N3从这5人中随机选出2人的选法为：(M1，M2)，(M1，N1)，(M1，N2)，(M1，N3)，(M2，N1)，(M2，N2)，(M2，N3)，(N1，N2)，(N1，N3)，(N2，N3)共10种，其中，恰有1人评分在[0，10)范围内的选法为：(M1，N1)，(M1，N2)，(M1，N3)，(M2，N1)，(M2，N2)，(M2，N3).共6种.故2人中恰有1人评分在[0，10)范围内的概率为P＝＝.(3)平均数为：0.03×5＋0.05×15＋0.12×25＋0.2×35＋0.2×45＋0.4×55＝0.15＋0.75＋3＋7＋9＋22＝41.9.19．解析：(1)设有2人及以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4，即有4个人或5个人培训的概率为0.4.(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率公式可知要求的概率为P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.20．解析：(1)记“甲家庭答对这道题”“乙家庭答对这道题”“丙家庭答对这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有即所以P(B)＝，P(C)＝.(2)有0个家庭回答对的概率为P0＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝，有1个家庭回答对的概率为P1＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝××＋××＋××＝，所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝.21．解析：(1)设这名学生考核优秀为事件A，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，所以所求概率P(A)约为.(2)设从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件B，因为表中成绩在[80，89]的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，它们是(81，81)，(81，82)，(81，84)，(81，85)，(81，89)，(81，82)，(81，84)，(81，85)，(81，89)，(82，84)，(82，85)，(82，89)，(84，85)，(84，89)，(85，89).事件B包含9个基本事件，它们是(81，85)，(81，89)，(81，85)，(81，89)，(82，85)，(82，89)，(84，85)，(84，89)，(85，89).所以P(B)＝＝.(3)根据表格中的数据，满足≤1的成绩有16个，所以P(≤1)＝＝>0.5，所以可以认为此次冰雪培训活动有效．22．解析：(1)x A＝120＋＝123(h)，x B＝120＋，由x A＝x B，解得a＝127.(2)设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为s，s，则s<s.(3)设A型号手机为A1，A2，A3，A4，A5；B型号手机为B1，B2，B3，B4，B5，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C.从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：(A1，B1)，(A1，B4)，(A3，B1)，(A3，B4)，共4种．因此，P(C)＝，所以P(C)＝1－P(C)＝.所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是.。
高中数学必修二(人教A版)练习滚动习题(五)【范围4.1～4.3】 Word版含答案
滚动习题(五)[范围～][时间：分钟分值：分]一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知圆与直线－＝和－－＝都相切，圆心在直线＋＝上，则圆的方程为( )．(＋)＋(－)＝．(－)＋(＋)＝．(－)＋(－)＝．(＋)＋(＋)＝．圆：＋－－＝与圆：＋＋＋＋＝的位置关系为( )．两圆相交．两圆相外切．两圆相内切．两圆相离．已知(，)是圆＋－－＋＝内一点，则过的最长弦所在直线的方程是( )．＋－＝．－－＝．－－＝．＋－＝．若直线＋＝与圆＋＝有公共点，则( )．＋≤．＋≥＋≤＋≥．若实数，满足等式(－)＋＝，则的最大值为( )．为圆＋＝(>)内异于圆心的一点，则直线＋＝与该圆的位置关系是( )．相切．相交．相离．相切或相交．当方程＋＋＋＋＝所表示的圆取得最大面积时，直线＝(－)＋的倾斜角为( )．°．°．°．°．当曲线＝＋与直线－－＋＝有两个相异的交点时，实数的取值范围是( )二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．若直线：＋＝与圆：＋＝有两个不同的交点，则点(，)与圆的位置关系是．(填点在圆内、圆上或圆外)．圆＋－－＝与圆＋＋－－＝的公共弦所在直线的方程为．．直线：＝＋和：＝＋将单位圆：＋＝分成长度相等的四段弧，则＋＝．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)自点(－，)发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆＋－－＋＝相切，求光线所在直线的方程．．(分)在平面直角坐标系中，已知圆：(＋)＋(－)＝和圆：(－)＋(－)＝.()若点∈，点∈，求的取值范围；()若直线过点(，)，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．．(分)已知圆：(－)＋(－)＝，直线：(＋)＋(＋)＝＋.()求证：直线与圆恒相交．()当＝时，过圆上点(，)作圆的切线交直线于点，为圆上的动点，求的取值范围．滚动习题(五)．[解析]由圆心在＋＝上，可排除，，再结合图像，或者验证选项，中圆心到两直线的距离是否等于半径即可．．[解析] ∵圆：(－)＋＝，圆：(＋)＋(＋)＝，∴两圆的圆心距＝＝<＋，∴两圆相交，故选.．[解析]易知所求的直线必过圆心，即求与圆心所在直线的方程．因为圆心为(，)，所以所求直线的方程为－－＝.．[解析] 若直线＋＝与圆＋＝有公共点，则≤，即＋≥.．[解析] ∵实数，满足(－)＋＝，∴(，)是圆(－)＋＝上的点，记为点.∵表示直线的斜率，记为，∴直线：＝，将其代入圆方程，消去，得(＋)－＋＝.∵直线与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－)－(＋)≥，解得－≤≤，∴的最大值为.．[解析] 由圆的方程得圆心坐标为(，)，半径＝.由为圆内一点得＋)<.因为圆心到已知直线的距离＝＋))>。
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滚动训练五(§4.1～§4.2)一、选择题1．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上的点到直线4x －3y －2＝0的最近距离为1，则半径r 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．9 答案 A解析 由题意可得，圆心(3，－5)到直线的距离等于r ＋1， 即|12＋15－2|16＋9＝r ＋1，求得r ＝4.故选A.2．若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α等于( ) A ．45° B ．135° C ．60° D ．120°答案 B解析 将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程， 得⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24， ∴r 2＝1－3k 24， 当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1， 因此直线y ＝(k －1)x ＋2，即y ＝－x ＋2. 得直线的倾斜角α满足tan α＝－1， ∴α＝135°.3．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为 2.因为直线l 与圆C 相切，所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．4．若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.23 B ．1 C.12 D.34答案 B解析 ∵3a 2＋3b 2－4c 2＝0， ∴a 2＋b 2＝43c 2，则圆x 2＋y 2＝1的圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32； 则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长 l ＝2r 2－d 2＝1.故选B.5．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m ，n 满足的关系式是( ) A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8 D ．(m ＋2)2＋n 2＝8答案 C解析 圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2. 由题意，知(m －2)2＋n 2＝8.6．已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m >0)被圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0截得的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m 等于( ) A ．6 B ．8 C ．11 D ．9答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0可化为 (x ＋1)2＋(y －1)2＝8，圆心坐标为(－1,1)，半径为22，由题意可知，圆心到直线的距离d ＝|1＋m |5＝2.∵m >0，∴m ＝9.7．过点P (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为( ) A.35 B ．2 C ．4 D.125答案 C解析 根据题意，知点P 在圆C 上， ∴切线l 的斜率k ＝－1k CP ＝－11－42＋2＝43，∴切线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0. 又直线m 与切线l 平行， ∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故切线l 与直线m 间的距离d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4. 8．如图，定圆半径为a ，圆心为(b ，c )，则直线ax ＋by ＋c ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＋c ＝0，x －y ＋1＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋c a ＋b ，a －c a ＋b . 由图可知，－b >a >c >0，∴－b ＋c a ＋b <0，a －ca ＋b <0，∴交点在第三象限，故选B. 二、填空题9．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同的交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________． 答案 点P 在圆外解析 ∵直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同的交点， ∴1a 2＋b 2<1，即a 2＋b 2>1，∴点P (a ，b )在圆外．10．已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上一点P (a ，b )，则a 2＋b 2的最小值是________． 答案 30－10 5解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5， ∴原点到圆心的距离为5，则a 2＋b 2的最小值为(5－5)2＝30－10 5. 11．已知直线l ：y ＝33x ＋23与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析 由题意，得圆心到直线的距离d ＝231＋13＝3，∴|AB |＝212－9＝2 3.又易知直线l 的倾斜角为30°， ∴|CD |＝|AB |cos 30°＝2332＝4. 三、解答题12．已知圆心为N (3,4)的圆被直线x ＝1截得的弦长为2 5. (1)求圆N 的方程；(2)点B (3，－2)与点C 关于直线x ＝－1对称，求以C 为圆心且与圆N 外切的圆的方程． 解 (1)由题意得，圆心N (3,4)到直线x ＝1的距离等于3－1＝2. ∵圆N 被直线x ＝1截得的弦长为25， ∴圆N 的半径r ＝(5)2＋22＝3.∴圆N 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9.(2)∵点B (3，－2)与点C 关于直线x ＝－1对称，∴点C 的坐标为(－5，－2)， 设所求圆的方程为(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)， ∵圆C 与圆N 外切， ∴r ＋3＝(3＋5)2＋(4＋2)2＝10，得r ＝7.∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝49.13．已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B . (1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解 (1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)． 半径为12|OP |＝12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵P A ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0. 四、探究与拓展14．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫2，322 B ．(0，2) C.⎝⎛⎭⎫0，322D.⎝⎛⎭⎫2，322∪⎝⎛⎭⎫322，＋∞ 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2， 由两直线平行a (a ＋1)－6＝0， 解得a ＝2或a ＝－3，又当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去，此时两平行直线方程分别为x －y －2＝0和x －y ＋3＝0. 由直线x －y －2＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝b 2相切，得b ＝32＝322；由直线x －y ＋3＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝b 2相切，得b ＝22＝ 2. 当两直线与圆都相离时，b < 2.∴当“平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b >2，b ≠322，∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，322∪⎝⎛⎭⎫322，＋∞.故选D. 15．已知一个动点P 在圆x 2＋y 2＝36上移动，它与定点Q (4,0)所连线段的中点为M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点(0，－3)的直线l 与点M 的轨迹交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且满足x 1x 2＋x 2x 1＝212，求直线l 的方程． 解 (1)设M (x ，y )，动点P (x 0，y 0)， 由中点的坐标公式解得x 0＝2x －4，y 0＝2y ，由x 20＋y 20＝36，得(2x －4)2＋(2y )2＝36，∴点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝9.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，与圆M 交于A (0，5)，B (0，－5)，此时x 1＝x 2＝0，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，(x －2)2＋y 2＝9，消去y ，得(1＋k 2)x 2－(4＋6k )x ＋4＝0， x 1＋x 2＝4＋6k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k 2， 由已知得x 21＋x 22＝212x 1x 2，即7k 2－24k ＋17＝0， 解得k ＝1，k ＝177，经检验满足Δ>0.综上，直线l 的方程为x －y －3＝0或17x －7y －21＝0.。