数学建模讲义统计模型
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
数学建模+建立统计模型进行预测课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)
年个人消费支出总额x/万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
若y与x之间有线性相关关系,某人年个人消费支出总额为2.6万元,据此估
计其恩格尔系数为
.
5
5
=1
i=1
参考数据: ∑ xiyi=4, ∑ 2 =22.5.
^
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其经验回归直线 =
现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了
初步处理,得到下面的一些统计量的值.
x/万元
y/t
2
2.5
4
4
5
4.5
3
3
6
6
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答
5
=
则样本点的中心坐标为
19.65+m
,
5
19.65+m
4,
5
,
19.65+
代入y=1.03x+1.13,得 5 =1.03×4+1.13,
^
解得 m=6.6.故选 B.
答案:B
2.(多选题)下列说法正确的是(
)
附:χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
α
xα
0.1
2.706
0.05
3.841
直线附近,并且在逐步上升,
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
《数学建模》课件：第十章 统计回归模型
回归和拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言， 一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说，拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view （回归分析的基本理论及软件实现）
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic（完全二次）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
6.80
0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品，顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异， 而不是他们价格本身。
因此，在研究各因素对销售量的影响时，用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
数学建模统计模型教学教案
数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模与统计》第十章，具体内容为第一节的统计模型。
详细内容包括描述统计和推断统计的基础知识，重点探讨如何构建线性回归模型，以及如何运用该模型进行数据的预测和分析。
二、教学目标1. 理解并掌握描述统计和推断统计的基本概念和方法；2. 学会构建线性回归模型，并运用模型对实际问题进行预测和分析；3. 培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：线性回归模型的构建和应用。
教学重点：描述统计和推断统计的基本概念，以及线性回归模型的构建和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 引入：通过展示一组实际数据，引出描述统计和推断统计的概念，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：a. 简要介绍描述统计和推断统计的基本概念；b. 详细讲解线性回归模型的构建方法和应用。
3. 例题讲解：a. 演示如何构建线性回归模型；b. 结合实际案例，展示如何运用线性回归模型进行预测和分析。
4. 随堂练习：a. 让学生独立完成一组实际数据的描述统计分析；b. 引导学生构建线性回归模型，并对数据进行预测和分析。
六、板书设计1. 描述统计和推断统计的概念；2. 线性回归模型的构建方法；3. 线性回归模型的应用案例；4. 随堂练习的解答。
七、作业设计1. 作业题目：a. 对一组实际数据进行描述统计分析；b. 根据给定的数据，构建线性回归模型，并进行预测和分析。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对描述统计和推断统计的概念掌握情况，以及对线性回归模型构建和应用的理解程度。
2. 拓展延伸：a. 探讨其他统计模型（如非线性回归、时间序列分析等）在实际问题中的应用；b. 引导学生参加数学建模竞赛，提高解决实际问题的能力。
重点和难点解析1. 线性回归模型的构建方法；2. 线性回归模型在实际问题中的应用；3. 课后作业的设计与答案。
《数学建模统计模型》PPT课件
0.11 123 139 98 115
1.10 207 200 160 /
16
分 ❖ 酶促反应的基本性质
析
底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；
底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值
基本模型
y
Michael应的速度 待定系数 =(1 , 2)
y f (x, ) 1x
建立实际回归模型的过程
• 实际问题 • 设置指标变量
– 解释变量的重要性；不相关性；用相近的变量代替或几个指标 复合；个数适当——这个过程需反复试算
• 收集整理数据 – 时间序列数据：随机误差项的序列相关，如人们的消费习惯 – 横截面数据：随机误差项的异方差性，如居民收入与消费 – 样本容量的个数应比解释变量个数多 – 缺失值，异常值处理
• 30个销售周期数据： – 销售量、价格、广告费用、同类产品均价
销售周期 公司价 (元) 它厂价 (元) 广告(百万元)
1
3.85
3.80
5.50
2
3.75
4.00
6.75
…
…
…
…
29
3.80
3.85
5.80
30
3.70
4.25
6.80
价差(元) -0.05 0.25 … 0.05 0.55
销售量(百万支) 7.38 8.51 … 7.93 9.26
1 j k m
quadratic（完全二次）： y 0 1 x1 m xm jk x j xk
1 j,k m
12
完全二次多项式模型
y 0 1x1 2 x2 3 x1x2 4 x12 5 x22
MATLAB中有命令rstool直接求解
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模中的统计学ppt课件
它反映了总体 方差的信息
样本标准差:
S
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
.
样本k阶原点矩 :
样本k阶中心矩 :
Ak
1 n
n i1
X
k i
它反映了总体k 阶矩的信息
M k
1 n
n
(Xi
i1
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
Байду номын сангаас
X
为样本1阶原点矩A1,样本二阶中心矩M
记为
2
Sn2 =
1 n
总体分布 的实际情
H 0 成立
况（未知） H 0 不成立
判断正确 犯第 II 类错误
犯第 I 类错误 判断正确
断言：在座的各位平均身高是170cm。
要检验这句话正确与否，我们可以采用单 正态总体的均值检验。
设总体 X ~ N(, 2 ) ，( X1, X 2,, X n )为取自
该总体的一组样本
y
y
y f (x)
Y f (X)
x
0
x0
(b) 统计关系
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。
因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定
yˆ 33.73 0.516x (单位：英寸)
这1078对夫妇平均身高为 x 68 英寸，而
子代平均身高 y 69英寸
尽管“回归”这个名称的由来具有其 特定的含义，人们在研究大量的问题中变
量 x 与 y 之间的关系并不总是具有“回归” 的含义，但用这个名词来研究 x 与 y 之间
数学建模统计模型教学教案
数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课选自《数学建模与统计》教材第十一章“统计模型”部分。
详细内容包括：11.1节线性回归模型的基本概念、11.2节一元线性回归模型的建立与性质、11.3节多元线性回归模型的建立与性质以及11.4节回归分析在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解线性回归模型的基本概念，掌握一元和多元线性回归模型的建立方法。
2. 学会运用回归分析方法解决实际问题，提高数据分析与处理能力。
3. 培养学生的团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点教学难点：多元线性回归模型的建立与求解。
教学重点：线性回归模型的基本概念、一元线性回归模型的建立与性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：计算器、草稿纸、学生用书。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如身高与体重的关系、房屋面积与价格的关系等，引导学生思考如何用数学方法描述这些关系。
2. 线性回归模型基本概念（15分钟）讲解线性回归模型的定义、表示方法及其应用场景。
3. 一元线性回归模型的建立与性质（20分钟）以身高与体重的关系为例，讲解一元线性回归模型的建立过程，包括数据的收集、散点图的绘制、回归方程的求解等。
4. 例题讲解（25分钟）讲解一道关于一元线性回归的例题，引导学生学会如何运用回归分析方法解决问题。
5. 随堂练习（15分钟）布置一些关于一元线性回归的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 多元线性回归模型的建立与性质（20分钟）介绍多元线性回归模型的建立方法，以房屋面积与价格的关系为例，讲解多元线性回归模型的求解过程。
7. 应用案例分析（15分钟）分析一个实际问题，让学生分组讨论，运用所学知识建立回归模型，并给出解决方案。
六、板书设计1. 线性回归模型基本概念2. 一元线性回归模型的建立与性质3. 多元线性回归模型的建立与性质4. 例题及解答七、作业设计（1）已知一组数据，求其线性回归方程；（2）已知线性回归方程，预测某一自变量对应的因变量值。
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n
Q ( b 0 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 )( b 0 b 1 x 1 i b 2 x 2 i b 3 x 3 i b 4 x 4 i y i) 2 i 1 1. 线性关系是否显著？
2. 当x=(8,30,10,10)时，95%的可能y落在哪个区间?
3. 是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响？
数学建模讲义
统计模型
— 回归分析
主要内容
0 引例 1 (多元)线性回归模型 2 参数的最小二乘估计 3 线性关系的显著性检验 4 区间预测 5 参数的区间估计(假设检验) 6 matlab多元线性回归 7 matlab非线性回归 8 非线性回归化为线性回归 9 matlab逐步回归 10 综合实例：牙膏的销售量 11 综合实例：投资额与国民生产总值和物价指数
3 线性关系的显著性检验
假 设 H 0 :1 . . . k 0
（Ⅰ）F检验法
U/k 当H0成 立 时 ， FQe /(nk1)~F(k,nk1)
如 果F>F1-α （ k， n-k-1） ， 则 拒 绝H0， 认 为y与x1,… ,xk之 间 显 著 地 有 线 性 关 系 ； 否 则 就 接 受H0， 认 为y与x1,… , xk之 间 线 性 关 系 不 显 著 .
间 的 数 量 关 系 ；
(2)在 x1x0,1x2x0,2..xk . , x0k,处 对 y的 值 作 预 测 与 控 制 ， 即 对 y作 区 间 估 计 .
2 参数的最小二乘估计
用最小二乘法求0,...,k 的估计量：作离差平方和
n
Q i1
yi 0 1xi1...kxik
2
bˆ
0
4. y还受其他因素影响吗? 如x1*x2, yt-1,xt-1
1多元线性回归
y1 b0 b1x11b2x21L bkxk11
L
yn b0b1x1nb2x2nLbkxknn
为了可以使用普通最小二乘法进行参数估计，需对 模型提出若干基本假设 ：
(1)随机误差项服从0均值、同方差的正态分布:
i:N (0,2), i1 ,L,n
n
n
其中U yˆi y2（回归平方和） Qe (yi yˆi)2 (残差平方和）
i1
i1
（Ⅱ）r检验法
定 义 R L U yyU U Q e为 y与 x1,x2,...,xk的 多 元 相 关 系 数 或 复 相 关 系 数 。 由 于 Fnk k11 R R 22， 故 用 F和 用 R检 验 是 等 效 的 。
y1
1 x11 x12 ...x1k
0 1
Y...， X1 x21 x22 ...x2k， 1， 2
...
...... ... ... ...
... ...
yn
1 xn1 xn2 ...xnk
k n
y01x 1 .. .kxk 称为回归平面方程.
线 性 模 型 (Y,X,2In)考 虑 的 主 要 问 题 是 ： (1)用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 未 知 参 数和 2 作 点 估 计 和 假 设 检 验 ， 从 而 建 立 y与 x1,x2,..x.k,之
0 引例
例1: 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下，试确定一个 线性模型.
序 号 1
x1 7 x2 26 x3 6 x4 60
y 78.5
23
1 29 15 52
74.3
11 56 8 20
104.3
4
11 31 8 47
87.6
5
7 52 6 33
则线性关系不显著，反之显著。 F 1 0 .1 (4 ,1 3 4 1 ) 2 .8 0 6 4
4 预测
（1）点预测
求 出 回 归 方 程 y ˆˆ0ˆ1x1.. .ˆkxk， 对 于 给 定 自 变 量 的 值 x1 *,.x .k .， ,用 y ˆ*ˆ0ˆ1x1*.. .ˆkxk*来 预 测 y01x1*.. . kxk*.称 y ˆ* y 为 * 的 点 预 测 .
3 线性关系的显著性检验
记：
y
1 n
n i1
yi
y94.4231
回归平方和：
残差平方和：
n
U ( yˆi y)2 =2677.9 i1
n
Qe (yi yˆi )2 =47.86 i1
F U/k : F(k,nk1) Q e/(nk1)
若 FF 1(k,nk1)
F 2677.9/4 111.48 47.86/(1341)
(2)随机误差项在不同样本点之间是独立的,不存在序列相关:
cov(i,j)0, ij
(3)随机误差项与解释变量之间不相关:
c o v (i,x ij) 0 , i 1 ,L ,n ;j 1 ,L ,k
多元线性回归
一 般 称
Y X E () 0 ,C( O ,) V 2 In
为 高 斯 — 马 尔 柯 夫 线 性 模 型 ( k 元 线 性 回 归 模 型 ) ， 并 简 记 为 (Y ,X ,2 In)
（2）区间预测
y 的1 的预测区间（置信）区间为
ˆe
Qe n k 1
yˆ ˆe
1
X0
(X
T
X
)1
X
T 0
t1 /2
(n
k
1)，
Qe
n
(yi yˆi )2
yˆ ˆe
1
X0
(X
T
X
)1
X
T 0
t1
/2
(nBiblioteka k1)残差平i方1 和：
4 预测
在未知点 (x1,x2,L ,xk) 的点预测为： (7,40,10,30)
95.9
67
11 3 55 71 9 17 22 6
109.2 102.7
8
1 31 22 44
72.5
9 10
2 54 18 22
93.1
21 47 4 26
115.9
11 12 13
1 40 23 34
83.8
11 66 9 12
113.3
10 68 8 12
109.4
y b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 b 4 x 4
6 2 .4 0
选择0,...,k 使Q达到最小。
解得 ˆXTX1XTY
bˆ1
bˆ
2
bˆ 3
1
.
5
5
0 .5 1
0
.
1
0
得 到 的 ˆi代 入 回 归 平 面 方 程 得 ： yˆ0 ˆ1 x 1 . . bˆ.4ˆkx k 0 . 1 4
称 为 经 验 回 归 平 面 方 程 ˆ .i 称 为 经 验 回 归 系 数 .