数学物理方法

X k sin k x
X '' X 0 X '(0) X (l ) 0 2 , (k 1 2 ) / l , k 0,1, 2, X k cos k x
请问以上的特征函数系在L (0, l )上完备正交吗?
线性代数中有类似的问题和结论可以借鉴. 如果设线性变换T : C C 是自共轭的,
例4. 0 x a , y 0, u xx u yy 0, y 0, u (0, y ) u (a, y ) 0, x u ( x, 0) 1 , u ( x, ) 0, 0 x a. a
例5.(高维问题) 设D : 0 x , 0 y , in D, t 0, ut uxx u yy , on D, t 0, u 0, u ( x, y, 0) ( x, y ), in D.
f (a) f (b) 0, f '(a) f '(b) 0且r (a) r (b)
结论 : 设Lf (rf ') ' pf .考虑特征值问题 : a x b, Lf f 0, B.C.(端点分离式) 则算子L是自共轭的, 且该问题的特征值都是 实数,每个特征值都是单重的,所有特征函数 构成L (a, b)的一组正交基.
2 12
将下列方程分类 : 1)u xx 5u xy 0 2)4u xx 12u xy 9u yy u y 0 3)4u xx 6u xy 9u yy 0
CH2 FOURIER级数方法
1) FOURER级数及其收敛性 2) 齐次方程,齐次边界条件的解法 (分离变量法) 3) 特征值问题(特征函数展开法) 4)非齐次方程(齐次化原理) 5)非齐次边界条件 6)物理意义,共振现象
1 f (a) 2 f '(a) 0, 1 f (b) 2 f '(b) 0,(1, 2 ) (0,0),( 1, 2 ) (0,0)
注 : 可用变分法证明本结论.P54,陈祖墀(chi).
2
例14.(特征函数展开法) 0 x l , t 0, ut ku xx 0, u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0, u ( x, 0) ( x), 0 x l. 推广 : 方程改为非齐次方程呢 ?
*
2r ' q q q r ' Lf (rf ') ' pf . Lf , g f , Lg [r ( f ' g f g ')]b a 所以还需要结合边界条件来验证.
1 f (a) 2 f '(a) 0, 1 f (b) 2 f '(b) 0,(1, 2 ) (0,0),(1, 2 ) (0,0)
(2)[常数变易法]将齐次方程通解中的常
数变为函数代入。
(1)ay '' by ' cy e x , 结论 : 若 不是特征方程的根, 则(1)有形式为Ae x ; 若 是单重特种根, 则(1)没有Ae x 这样的解, 但有Axe x 这种形式的解; 若 是二重特征根, 则(1)无Axe x 这种 形式的解, 但有Ax 2 e x 形式的解. (2)ay '' by ' cy sin x, (3)ay '' by ' cy k0 k1 x ...... kn x n ,
4)非齐次方程
• 特征函数展开法求解非齐次问题
• 非齐次ODE的解法 (欧拉待定函数法,常数变易法,齐次化原理) • 非齐次PDE的齐次化原理 (热方程,波动方程)
复习:二阶常系数非齐次ODE特解的求法
ay' 'by'cy f ( x)
(1).[待定函数法]f(x)具有特殊形式时,上 述方程特解的求法.这里的特殊形式是 指:f(x)是指数函数、正弦函数、余弦函 数、多项式,或这些函数的某种组合.
3) 线性方程
• Biblioteka Baidu性算子,线性方程的定义 • 叠加原理 • 简单二阶线性PDE的分类
• • • • •
什么是线性方程 齐次/非齐次方程 齐次/非齐次边界条件 两个叠加原理 非齐次问题的线性拆分
• 二阶线性PDE的形式 • 为什么要对其分类 • 通过具体例子学习如何对其分类 (两个变量,多个变量)
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试问什么情况下L是自共轭算子 ?
Lf , g f , L g [r ( f ' g f g ') (q r ') f g ] ,
* b a
其中: L g (rg ) '' (qg ) ' pg rg '' (2r ' q ) g ' (r '' q ' p ) g . 自共轭要求 :
1) Fourer级数及其收敛性
• Fourier级数,Euler-Fourier系数 • 点点收敛 • 平方可积空间中的收敛性 • 函数系在平方可积空间中的完 备性
2) 齐次方程,齐次边界条件的解法 (分离变量法)
例1. 0 x l , t 0, ut ku xx , u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0, u ( x, 0) ( x), 0 x l. 推广 : B.C.改为齐次Neumann边界条件呢?
3) 特征值问题
• 特征值问题的简单算例 • 一般的Sturm-Liouville问题的结论 • 特征函数展开法
例11. 0 x l, u '' u 0, u (0) u '(l ) 0.
例12. 0 x l, u '' u 0, u (0) 0, u '(l ) u (l ) 0. 其中 0为常数.
例13. u '' u 0, u (0) u (l ), 0 x l, u '(0) u '(l ).
常用特征问题 齐次边界条件
X '' X 0 X (0) X (l ) 0 2 , k / l , k 1, 2, X k sin k x
例2. utt a u xx , 0 x l, t 0, t 0, u (0, t ) u (l , t ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), 0 x l. t
2
例3. 0 x a, 0 y b, uxx u yy 0, 0 y b, u (0, y ) u (a, y ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x), 0 x a.
两个变量的情况 : a11u xx 2a12u xy a22u yy a1u x a2u y a0u 0 根据a -a11a22的符号,分三种情况 : 0椭圆型, 0抛物型, >0双曲型. 做适当的变量代换后可化为标准型: uxx u yy 0, uxx 0, u xx u yy 0.
X '' X 0 X '(0) X '(l ) 0 2 , k / l , k 0,1, 2, X k cos k x
X '' X 0 X (0) X '(l ) 0
2 , (k 1 ) / l , k 0,1, 2, 2
数学物理方法
2016/2-6
• 什么是数学物理方法 • 需要的基础知识:微积分,ODE
• 学习方法(总结各种方法的优缺点)
CH1 典型方程的定解问题
1) 数学模型的建立 2) 定解问题 3) 线性PDE
1) 数学模型的建立
• 弦振动方程与波动方程 • 热传导方程 • 稳态方程
• 设一根均匀柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,在 外力作用下让其做微小的横振动,研究其振 动规律. • 方程的推广(空气阻力,弹性阻力,外力) • 高维情形(鼓振动,声波,电磁波)
• 设绝热管中充满不流动的液体,考虑液体的 温度关于空间和时间的变换规律. • 方程的推广(热源,热汇) • 高维情形(导热体)
• 稳态方程,拉普拉斯方程(平衡态,与时间无关)
• 方程的推广(泊松方程)
2) 定解问题
• 定解条件 • 具体的定解问题
• • • •
为什么需要定解条件 定解条件有哪些 如何得到定解条件 具体的定解问题及其物理含义
例9.(扇形域) 设D : 0 r a, 0 . in D, u xx u yy 0, on 0, , u 0, u h( ), on r a. r
例10.(圆外区域的Laplace方程) 设D : x y a ,
2 2 2
例15.(练习) 0 x , t 0, ut ku xx cos 2 x, u x (0, t ) u x ( , t ) 0, t 0, u ( x, 0) 1, 0 x .
例16.(练习) 0 x , t 0, utt u xx 0, u (0, t ) u ( , t ) 0, t 0, x x 0 x , u ( x, 0) 3 2 cos 3 x, ut ( x, 0) 1 cos x cos 3 x, 0 x .
k k
2
则T的特征向量构成C 的正交基.(完备正交) 这里的正交是在共轭内积为零.
k
自共轭算子的定义 : 设T : L2 (a, b) L2 ( a, b), f , g L2 ( a, b), Tf , g f , Tg , 则称T 是自共轭算子.
设算子Lf rf '' qf ' pf , x [a, b], 其中r , q, p C [a, b]是实函数, r 0,
in D, u xx u yy 0, on D, u h( ), 当x 2 y 2 时, u有界.
例11.(圆环上的Laplace方程) 设D : a x y b ,
2 2 2 2
in D, uxx u yy 0, on r a, ur A, u B, on r b. 其中A, B为常数.
例6.设D : 0 x , 0 y , 0 z , in D, uxx u yy uzz 0, B.C. u ( , y, z ) g ( y, z ), u (0, y, z ) u ( x, 0, z ) u ( x, , z ) u ( x, y, 0) u ( x, y, ) 0.
例7.(练习)设D : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1, in D, uxx u yy uzz 0, B.C. uz ( x, y,1) g ( x, y), 其它五个面上均为齐次Neumann边界条件.
例8.(圆上的Laplace方程) 设D : x 2 y 2 a 2 , u xx u yy 0, u h( ), in D, on D.