数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法
[u
S
u 1 u ]dS [ udS dS r 4 2 r S S
1 u [ u ( P ) dS |P2 1 4 2 r S
dS] u(P1 )
S
u |P r 2
积分中值定理
其中，P1和P2分别表示小球面Sε上的两个点， 当ε0时， P1和P2 M0，那么上式的极限是 u lim[u ( P ) |P ] u ( M 0 ) 1 0 r
性质（1）：令u为调和函数，v=1，则
u dS 0 n
性质（2）平均值定理：设u在M0为中心、R为半径的 球内调和，球面上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 r 1 1 u [u r ]dS n n
u(M 0 ) 1 4R 2
M0 SR
格林函数法：格林公式
静电场场强（置于原点处的点电荷q在其周围空 间形成的电势场）
1 u 4 1 2 2 2 4r x y z q
求解任意点M(x, y, z)的梯度，计算时，令ε=q=1
1 1 1 x y z grad [ 3 , 3 , 3] 4 r 4 r r r x y z 3 3 3 进一步计算 u 1 1 1 ( r r r ) 4 r 4 x y z Δu u grad u
r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4π
Ω
1 fdV r
给定f和Ω，体 积分可以求解。
此项根据不同边界条件求解， 求解方法待续……
格林函数法：调和函数的性质
第二格林公式
[uv vu]dV [u
v u v ]dS n n
四．在分析引入英国后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国数学家。他的
工作培育了数学物理学方面的剑桥学派，其中包括了近代很多伟大的数学物理学家， 如威廉.汤姆逊、斯托克斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麦克斯韦等。 五．1828年，格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》，当时并 未引起人们注意，后来被英国数学物理学家汤姆逊发现，并认识到它的巨大价值。 1854年，他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上，此时格林已逝 世十三年了。格林的这篇论文，在数学和物理研究中，都有着重要的意义。 六．格林留下的著作虽然不多，但在现代数学物理方面具有举足轻重的地位，都是数学 物理中经典的内容。 七．格林那种自强不息的精神、自学成才的气节，深受赞扬。
拉普拉斯方程的格林函数法
分离变量法 积分变换法 行波法 格林函数法
热传导方程 扩散方程
拉普拉斯方程 势方程
波动方程
格林函数法是经典的数学物理方法，不仅在数学领域、在很多 工程技术领域应用广泛，如：量子力学、流体力学、材料科学、 地震工程、海洋工程、大气科学等等
Green(1793-1841)：英国数学家、物理学家
v v v P u ,Q u , R u x y z v uvdV u dS u vdV n
第一格林公式，其中n为曲面微元dS的外法向矢量。
格林函数法：从奥高公式到格林公式
第一格林公式
可交换位置
v uvdV u dS u vdV n
1 4 1 4
1 4 2
r 1 1 r 1 1 u 1 u [ u r ] dS [ u | r |r ]dS r n n 4 S r r S 2 1 u [ u ( r ) | ]dS r r S
1 lim r 4
r 1 u [u r 1 ]dS u(M 0 ) n n
1 u(M 0 ) 4
r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4
1 udV r
第三格林公式，M0是Ω中任意一点，r是点M到M0的距离。 如果在边界Σ上u和∂u/ ∂n已知，且Δu在Ω上已知，则 第三格林公式暗示了一个解。
1 4
1 v u v u [0 u ]dV [u v ]dS [u v ]dS r n n n n V S
1 4
r 1 1 1 u [ u r ] dS n n 4
r 1 1 u [ u r ]dS n n S
u ( P)dS
性质（3）极值定理：设u在Ω内调和、在边界上连续 且不为常数，则：它的最大最小值在边界上达到。
格林函数法：格林函数
狄利克雷问题
u 0 u |
r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4
在Ω上 Σ是Ω的边界
Laplace方程的特解形式（第三格林公式）
上述公式中，u和v交换位置，两式相减，得
[uv vu ]dV [u
v u v ]dS n n
称为第二格林公式 重要启示： 两个格林公式中，都存在Δu和Δv等项，正是Laplace 算子。 这或许是格林函数法的思想源头。 若求解未知函数u，我们有很大的自由选择函数v
2 2 2
q
4r
同样满足齐次Laplace方程。
1 0, r 0 这个函数作为v， 4r 代入格林公式，
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n
格林函数法：格林公式
1 v 1 0, r 0 4r 4r
以该点为中心的球，令半径趋于0
那么，Ω－Vε组成复连通域， 其表面是Σ+Sε
n
n
M0
Sε
Vε
格林函数法：格林公式
1 v 1 0, r 0 4r 4r
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n V S
2
格林函数法：格林公式
1 4 1 1 [ 0 u ] dV r 4 V r 1 1 u 1 r 1 u 1 u lim [ u ( P ) |P2 ] ] u ( M 0 ) [ u r ] dS [ u r dS 1 0 n n 4 S n r n u lim[u ( P ) |P2 ] u ( M 0 ) 1 0 r
格林函数法：从奥高公式到格林公式
奥.高公式：
(
P Q R )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
其中，Ω是闭曲面Σ围成的空间。 取特定的P, Q, R，给定u(x, y, z), v(x, y, z)有二阶连 续偏导数，在边界上有连续的一阶偏导数
上式中， 表示外法线上的方向导数。 n
格林函数法：格林公式
1 4 1 1 [ 0 u ] dV r 4 V r 1 1 1 u [ u r ] dS n n 4 r 1 1 u [ u r ]dS n n S
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n
v ，而格林公式成立的前提 但是，v有奇性 lim r 0 条件是： u(x, y, z), v(x, y, z)在Ω内有二阶连续偏导 数，在边界Σ上有连续的一阶偏导数。 这种情况在数学上如何处理？ 挖去点M0(x0, y0, z0) Σ
2 2 1 3 x2 y z (r 3 5 r 3 3 5 r 3 3 5 ) 0 4 r r r
u满足齐次 Laplace方程
格林函数法：格林公式
静电场场强（置于非原点处(M0(x0, y0, z0))的点电 荷q在其周围空间形成的电势场）
1 u 4 q ( x x0 ) ( y y0 ) ( z x0 )
对于内界面Sε，方向导数如下
( cos cos cos ) n x y z r
格林函数法：格林公式
1 4 1 1 [ 0 u ] dV r 4 V r 1 1 1 u [ u r ] dS n n 4 n r r 1 1 u [ u r ]dS n n S n r
第三格林公式
1 u(M 0 ) 4
r 1 1 u [ u r ]dS n n
上式表明，调和函数在区域中的值，可以用它及它的导数 在区域边界上的值表示。 对于非齐次的情况，即泊松方程
u f ( x, y, z )
1 u(M 0 ) 4π
Σ
上式中， n
表示外法线上的方向导数，对于外界面Σ， 其表达式如下 cos cos cos
n x y z
n r
其中｛cosα, cosβ, cosγ｝是外界面Σ外法线n方向的单位矢量。
cos x r cos y r cos z r
u 0 u | ( x, y, z ) u f ( x, y, z ) u | ( x, y, z )
狄利克雷问题
格林函数法：基本思想
调和函数，即满足Laplace方程
u 0
1 u(M 0 ) 4 r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4 1 udV r
一．格林出生在一个磨坊主家庭，童年辍学在父亲的磨坊干活，他一边干活一边自修数 学和物理。
二．格林在1833─当时他已经40岁，才以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，4
年后毕业获学士学位，1839年被聘为剑桥大学教授。 三．格林发展了电磁理论，他引入的位势等概念，其意义远远超出了解位势方程。他首 次研究了与求解数学物理边值问题密切相关的特殊函数─格林函数。
1 u(M 0 ) 4
第四章拉氏方程的格林函数法.docx
第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。
§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。
Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。
Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。
3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
第6章拉普拉斯方程和格林函数法
n 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解.
这样的问题称为内问题.
6．2 格林公式
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设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域， P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上连续的，在 内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下
内 v1 r
是连续可微的.
在公式(4.9)中取 u 为调和函数 取 v 1 ，并以 r
K 代替该公式中的 ，得
(u2 1 1 2u)d
u
1 r
1
u
dS
,
K
rr
n r n
#
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因为在
K
内 2u 0,2 1 r
0.
而在球面
上
1 r
n
1 r
0
v
u n
u
v n
dS .
将上式与积分表达式相减得u(M0来自) u v n
1
4
1 n rMM0
1
4 rMM0
v
u n
dS
.
如果能选取调和函数 v 使满足
于是有
1
v
,
4 rMM0
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1
u(M0 ) u n 4 rMM0 v dS.
令
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
r
1 r2
1
2
,
因此
u
1 r
dS
n
1
2
udS
1
2
u 4 2
格林函数法
第四章格林函数法拉普拉斯方程边值问题的求解方法调和函数： 1 拉普拉斯（Laplace ）方程的基本解§4.1 格林（Green ）公式及其应用具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace 方程的函数。
三维Laplace 方程的基本解：22200011(,,)()()()MM u x y z r x x y y z z ==-+-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。
0000(,,)M x y z 同学们自己验证。
二维Laplace 方程的基本解：220011(,)lnln()()MM u x y r x x y y ==-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。
000(,)M x y 同学们自己验证。
问题：基本解是否为整个区域内的解？2 Green 公式（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 在 上连续，在 内有连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z Ω()(cos cos cos )P Q R d P Q R dS x y z αβγΩΓ∂∂∂++Ω=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：令 其中 是 的外法线方向。
{cos ,cos ,cos }n αβγ=Γ（2）第一Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω()v u v u v u vu vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,v v vP u Q u R ux y z∂∂∂===∂∂∂代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
（2）第二Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω(()v uu v v ud u v dS n n ΩΓ∂∂∆-∆Ω=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：由第一Green 公式，有()v u v u v u v u vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()u u v u v u v v ud v dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰两式相减即可得。
拉普拉斯方程和格林函数法
以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解. 这样的问题称为内问题.
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6．2 格林公式 设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域，
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 上连续的，在
内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题， 拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题 也可以换一种说法：在区域 内找一个调和函数， 它在边界 上的值为已知.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面 上给出 连续函数 f
，要求寻找这样一个函数 u( x , y , z ) 它在 中是调和函数，在 上连续，在 u 上任一点处法向导数 存在，并且等于已知函数 f n u f 在该点的值： n 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
内是调和的，M是 0
内任一点， K a 表示以 M为中心，以 0
1 u( M 0 ) udS . 2 4 a Ka
a
为半径，
且完全落在区域 内部的球面，则成立下列平均值公式
证明 将调和函数的积分表达式应用于球面 K a
且有
1 1 1 1 1 , 2, r a n r r r a
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（1）第一边值问题 在空间 ( x , y , z ) 中某一区域 的边界 上给定了连续函数 f ，要求这样一个函数 u( x , y , z ) ，它在闭域 (或记作 )上连续，在
内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
整理课件
13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
整理课件
14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
整理课件
15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
拉普拉斯方程的格林函数法
拉普拉斯方程的格林函数法
本次课主要内容
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法4.2 格林公式
4.1拉普拉斯方程边值问题的提法
狄氏问题
•在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。
3、内问题与外问题
以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。
重点讨论内问题
4.2 格林公式
二个格林公式
借助于二个格林公式，可以得到拉氏方程的狄氏问题与牛曼问题的解的积分表达式。
为何引入格林公式
积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来
我们要求解的数值方程中均含有Δ，格林公式是将未知函数从微分算符Δ下解脱出来的工具。
而格林公式则是曲面积分中高斯公式的直接推论。
两个推论(Gauss 公式)
格林公式建立了区域Ω中的场与边界Γ上的场之间的关系。
因此，利用格林公式可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。
格林公式说明了两种标量场之间应该满足的关系。
因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林公式求解另一种场的分布特性。
3、调和函数的性质
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1)在具有二阶连续偏导数；Ω+Γ称u 为Ω上的调和函数。
2、调和函数的性质。
2
∇=u (2)。
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
第四章Laplace方程的格林函数法
第四章Laplace⽅程的格林函数法第四章 Laplace ⽅程的格林函数法在第⼆、三两章，系统介绍了求解数学物理⽅程的三种常⽤⽅法—分离变量法、⾏波法与积分变换法，本章来介绍Laplace ⽅程的格林函数法。
先讨论此⽅程解的⼀些重要性质，在建⽴格林函数的概念，然后通过格林函数建⽴Laplace ⽅程第⼀边值问题解的积分表达式。
§4.1 Laplace ⽅程边值问题的提法在第⼀章，从⽆源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace ⽅程22222220u u uu u x y z=?≡++=作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace ⽅程，它不能提初始条件。
⾄于边界条件，如第⼀章所述的三种类型，应⽤得较多的是如下两种边值问题。
（1）第⼀边值问题在空间(,,)x y z 中某⼀个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样⼀个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有⼆阶连续偏导数且满⾜Laplace ⽅程，在Γ上与已知函数f 相重合，即uf Γ=（4.1）第⼀边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄⽒问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄⽒问题。
Laplace ⽅程的连续解，也就是所，具有⼆阶连续偏导数并且满⾜Laplace ⽅程的连续函数，称为调和函数。
所以，狄⽒问题也可以换⼀种说法：在区域Ω内找⼀个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。
（2）第⼆边值问题在某光滑的闭曲⾯Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样⼀个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任⼀点处法向导数un存在，并且等于已知函数f 在该点的值：u f nΓ= （4.2）这⾥n 是Γ的外法向⽮量。
第⼆边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。
以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满⾜Laplace ⽅程的解，这样的问题称为内问题。
数学物理方程学习指导书第6章拉普拉斯方程的格林函数法
第6章 拉普拉斯方程的格林函数法在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u uu x y z∂∂∂∇≡++=∂∂∂作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ (或记作Ω)上连续，在Ω内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即.u f Γ= (6.1)第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知.（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导数un∂∂存在，并且等于已知函数f 在该点的值： .uf n Γ∂=∂ （6.2） 这里n 是Γ的外法向矢量.第二边值值问题也称牛曼（Neumann ）问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件,u f Γ=这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条件*）lim (,,)0(r u x y z r →∞==（6.3）（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件(6.3)，并且它在边界Γ上取所给的函数值.u f Γ= （6.4）（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭曲面Γ的外面部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件(6.3)，而且它在Γ上任一点的法向导数'un ∂∂存在，并满足 ,'uf n Γ∂=∂ （6.5） 这里n '是边界曲面Γ的内法向矢量.下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.6．2 格林公式为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 是在Ω+Γ上连续的，在Ω内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式*）从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解可能不唯一.例如，在单位圆Γ外求调和函数，在边界上满足1=Γu.容易看出，及1),,(1≡z y x u22221),,(zy x z y x u ++=都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆Γ上满足上述边界条件.P Q R d x y z Ω⎛⎫∂∂∂++Ω ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ [cos(,)cos(,)cos(,)],P n x Q n y R n z dS Γ=++⎰⎰ (6.6)其中d Ω是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，dS 是Γ上的面积元素.下面来推导公式(6.6)的两个推论.设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令,,,v v v P uQ u R u x y z∂∂∂===∂∂∂ 则有2()u v u v u v u v d d x x y y z z ΩΩ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇Ω+++Ω ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ,vudS nΓ∂=∂⎰⎰ 或2().vu v d u dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.7） (6.7)式称为第一格林(Green)公式.在公式(6.7)中交换,u v 位置，则得2().uv u d v dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.8） 将(6.7)与(6.8)式相减得到22().v u u v v u d u v dS n n ΩΓ∂∂⎛⎫∇-∇Ω=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （6.9） (6.9)式称为第二格林公式.利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内任一点的值.设0000(,,)M x y z 是Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数1v r == （6.10）函数1r除点0M 外处处满足拉普拉斯方程，这函数在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用，通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解.由于1v r=在Ω内有奇异点0M ,我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面,εΓ在Ω内挖去,εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图6-1），在K εΩ-内1v r=是连续可微的.在公式(4.9)中取u 为调和函数，而图6-1取1v r=，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得 221111(),K u r u u d u dS r r n r n εεΩ-Γ+Γ⎡⎤⎛⎫∂ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎢⎥∇-∇Ω=-∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ （6.11） 因为在K εΩ-内2210,0.u r∇=∇=而在球面εΓ上221111,r r n r r ε⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==∂∂ 因此22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值.同理可得22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰ 此外u n ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭是un ∂∂在球面εΓ上的平均值，将此两式代入(6.11)可得 11440.u u u dS u n r r n n εππεΓ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 现在令0,ε→由于00lim ()u u M ε→=（因为(,,)u x y z 是连续函数），0lim 40u n επε→⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭（因为(,,)u x y z 是一阶连续可微的，故un∂∂有界）则得 000111()()(),4MM MM u M u M u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=--⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ (6.12)此外为明确起见，我们将r =记成0MM r .(6.12)说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式(6.12)用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示*）.(ii)牛曼内问题有解的必要条件设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取u 为所给的调和函数，取1v =，就得到0udS nΓ∂=∂⎰⎰(6.13) 由(6.13)可得牛曼内问题u f nΓ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭有解的必要条件为函数f 满足*）上面的推导是假定点),,(0000z y x M 在区域Ω内，如果0M 在Ω外或0M 在边界Γ上，我们也可用同样方法推得另外两个式子，把它们合并在一起可得⎰⎰Γ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΓΩ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-。