分块矩阵技巧
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
分块矩阵
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
1 3 4 2 1 3 , 0 2 1 0 0 2
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块
若A与B相乘, 需A的列的划分与 B的划分相一致
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
1 0 1 −1 2 2 3 0 A= 3 1 2 2 2 0 2 −2 4 4 6 0 2A = 6 2 4 4
−1
0 ( E是n阶单位阵 ) E
A X 11 = E , A X 12 = O , 有 C X 11 + B X 21 = O , C X + B X = −1 , X 11 X 12 = O , = − B −1 C A−1 , X 21 = B −1 , X 22
A n×n
C
Bm×m
= A⋅B
C
Bm×m
A n×n ( −1)mn A ⋅ B = 0
5 2 例2 设A= 0 0
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分割成小块的技术，以便更有效地处理和计算。
这种方法在计算机科学和数学领域中被广泛应用，可以提高计算效率和减少计算时间。
矩阵分块法的基本思想是将大型矩阵分割成若干个小块，然后对每个小块进行单独的计算。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率，同时也可以更好地利用计算机的并行计算能力。
在实际应用中，矩阵分块法可以用于解决各种数学问题，如线性代数、微积分、概率论等。
例如，在线性代数中，矩阵分块法可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量，从而解决各种实际问题，如图像处理、信号处理等。
矩阵分块法的实现需要考虑多个因素，如矩阵的大小、分块的大小、计算机的硬件配置等。
通常情况下，矩阵分块法需要进行一定的优化和调整，以便更好地适应不同的应用场景。
矩阵分块法是一种非常重要的数学技术，可以提高计算效率和减少计算时间，对于解决各种实际问题具有重要的意义。
在未来的发展中，矩阵分块法将继续发挥重要作用，为各种科学和工程问题的解决提供更加高效和可靠的方法。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
浅谈矩阵分块的技巧与应用
以得 到 Ｂ Ａ Ｙ ＝ ０ ， 那么 Ｃ Ｙ ＝ ０ ， 因为矩 阵 Ｃ的列线性无关 ， 所以一
定有 Ｙ ＝ ０ ， 所 以矩 阵 Ａ的 列 是 线 性 无 关 的 。
假设 ≠０ ， 我们 能有 以下几个结论 ： 证 明 ： 存 在 Ｐ ｎ ｎ ， Ｑ ｋ ｋ ， ｌ Ｐ ｌ ≠ 。 ， Ｉ Ｑ Ｉ ≠ 。 ， 使 Ｐ Ａ Ｑ ＝ ［ ： ］ ， 可 知 推论 ： （ １ ） 矩 阵 Ａ的列线 性相关 （ 很 明显 Ａ 的秩 小于 ｋ ） 的充要 条件是存 在 Ｂ ｎ ｋ ≠０ ， 使得 Ａ Ｂ ＝ ０ 。 ［ Ｑ ～ 。 （ ２ ） 矩阵Ａ 的行线性 相关 （ 很 明显 Ａ的秩小于 ｋ ） 的充要 能够使得 Ｃ Ａ ＝ ０ 。 （ １ ） 设 ｐ － １ ＿ ＝ （ Ｍ Ｌ ） ， Ｑ 一 － － ＝ ， ｛ 删Ａ 则 ＝ Ｐ ［ Ｉ ｌ ｎ ｒ ｌ ａ Ｑ ｌ － ＝ （ Ｍ 条件 是存 在 Ｃ≠０， 证明： （ １ ） 先证充分性 。假设 存在 Ｂ ¨ ｋ ≠０ ， Ｂ ＝ （ ｂ ｈ ： … ｂ ｍ 】 ， ｂ ． 是矩 阵 Ｂ的列 向量 ， １ ≤ｉ ≤ｍ，并 且 ｂ ≠０ ，可 以使 得 Ｌ ［ ］ ＝ Ｍ Ｎ ｏ
２ ０ １ ５年 第 ２期
总第 ３ ４ ２ 期
自然 科学
浅谈矩阵分块的技巧与应用
曾 丹
（ 西华 师 范大 学 ， 四川 南充 ６ ３ ７ ０ ０ ０ ）
摘 要： 矩 阵是 高等代数 中的一项 重要 内容 ， 适 当选择 分块技 巧 ， 应 用矩 阵的分块 思想 简化 计算过程 ， 实现 矩 阵分 ¨ 一 一 解、 求秩 、 线性 相 关性 关 系 的应 用 。
关键词 ： 矩阵 ； 应用 ； 技巧； 分 块
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵初等变换的妙用分块矩阵是线性代数中常用的重要工具之一，它在矩阵运算和变换中有广泛的应用。
在实际应用中，我们经常遇到大规模矩阵的运算和变换，而分块矩阵可以通过对矩阵进行分块处理，使得复杂的运算变得简单直观。
本文将介绍分块矩阵初等变换的妙用，探讨其在线性代数中的重要作用。
一、分块矩阵初等变换的基本概念分块矩阵是将一个矩阵按照行或列进行划分，每个小块可以是一个数、一个向量、一个行/列向量，也可以是一个矩阵。
分块矩阵初等变换是指对分块矩阵进行的行/列交换、数乘、行/列加减操作。
在分块矩阵初等变换中，我们通常有以下三种基本操作：1. 行/列交换：即将两行/列进行互换。
2. 数乘：即将矩阵的某一行/列中的元素乘以一个非零数。
3. 行/列加减：即将矩阵的某一行/列加上或减去另一行/列的若干倍。
通过这些基本操作，我们可以对分块矩阵进行各种变换，从而达到简化运算、求解方程组、矩阵的相似变换等目的。
1. 矩阵的分块运算分块矩阵初等变换可以简化矩阵的运算。
对于一个大规模矩阵进行求逆运算时，可以将其分块为多个小规模的矩阵，然后对每个小矩阵进行求逆运算，最后组合起来，避免了对整个大矩阵进行求逆的复杂运算。
这样一来，不仅简化了运算，还提高了计算效率。
2. 方程组的求解分块矩阵初等变换也常用于解决方程组。
对于形如AX=B的线性方程组，其中A是一个大规模矩阵，B是一个向量，X是未知向量。
我们可以将矩阵A根据其特点进行分块处理，比如按照系数矩阵的形式进行分块，然后通过初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵，从而简化了方程组的求解过程。
3. 矩阵的相似变换在线性代数中，矩阵的相似变换是一个重要的概念。
而分块矩阵初等变换可以帮助我们更直观地理解矩阵的相似性。
通过对分块矩阵进行初等变换，我们可以将一个矩阵化为对角阵或者标准型，从而得到矩阵的一些特征信息，如特征值、秩等，为矩阵的进一步研究提供了便利。
4. 线性变换的表示在线性代数中，我们经常需要研究线性变换的性质和特点。
高等代数-矩阵方法
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
4 鞍山师范学院数学系
高等代数方法技巧——小胡糊工作室
E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
2-5分块矩阵
信息系 刘康泽
a 0 A= 1 0 1 a 0 1 0 0 b 1 0 0 A O = , 1 E B b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 1 a 1 1 0 其中： A = , E= , B = 1 b . 0 a 0 1
信息系 刘康泽
乘法规则与前面的完全一致小矩阵相乘信息系信息系刘康泽信息系信息系刘康泽11212222211121112111信息系信息系刘康泽2111信息系信息系刘康泽信息系信息系刘康泽分块矩阵的转置运算不仅是要将以子块为元素的矩阵行列互换而且还要将各子块矩阵的行列也互换
信息系 刘康泽
信息系 刘康泽
第２－５节 分块矩阵
信息系 刘康泽
0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1
− 1 2 4 1 3 3 , A1 + B22 = + = 1 1 2 0 3 1
于是
B11 AB = A1B11 + B21
其中 C ij =
∑A
k =1
s
ik
B kj （i=１，２，…, l；j=１，２，…，t ） 。
这里 Ai1 , Ai 2 ,L , Ait 中的列数分别与 B1 j , B2 j , L , Bij 中的行数相等。
信息系 刘康泽
1 0 例３ 设 A = −1 1 求 AB 。 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 2 , B = 1 0 0 −1 −1 1 1 0 4 2 0 1 , 1 0
两边取行列式得：
A 例５ 问 C
E O A B A B ， g = −1 −1 −CA E C D O D − CA B A B −1 −1 = A g D − CA B = AD − ACA B ， C D