§4 矩阵分块法
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§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
4 矩阵的分块运算
A2 B2 0
它们还是准对角阵.
10
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准对角阵的行列式具有如下性质:
A A1 A2 As . 由此可知,若 Ai 0 ( i 1,2, , s), 则 A 0, 从而A可逆, 且有
A11 1 0 A 0 0 A2
1
0
11
0 0 0 . 1 0 As 0
2
返回
例如，把A分成若干子块
a11 a A 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 A11 a24 A 21 a34 A12 A22 A13 . A14
当然，还有其它分块法. 比如：
a11 a A 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
A11 A1 s B11 B1t , B . A Ar 1 Ars Bs 1 Bst C11 C1t , 于是有 AB C r 1 C rt 其中 C ij Ai 1 B1 j Ai 2 B2 j Ais Bsj
其中子块Aij与Bij的行数相同, 列数也相同, 则有
4
返回
A11 B11 A B 21 21 A B Ar 1 Br 1
A12 B12 A22 B22 Ar 2 Br 2
A1 s B1 s A2 s B2 s . Ars Brs
( i 1,2,, r; j 1,2,, t ).
6
返回
注意: 在分块矩阵的乘积中,左矩阵列的分 法必须与右矩阵行的分法一样.
线性代数-矩阵分块法
§4 矩阵分块法
一 、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结 思考题
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
a 0
0 b
0 1
=
C1 C3
C2 C4
0 1 1 b
a 1 0 0
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
= A E
O B
,
其中OBEA
=
a0b1 01
01 0ba1
a 1 0 0
a10
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
=
( A1
A2
A3
A4
),其中A2413=
例
a
A
=
0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0
1 b
=
B1 B2 B3
,
即
a
A
=
0 00
1 a
1 1
0 0
1 1
0
0 bb
B1 = BB23
a 1 0 0
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
= C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A
=
0 1
AAsTsTrr
(5) 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对 角线
一 、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结 思考题
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
a 0
0 b
0 1
=
C1 C3
C2 C4
0 1 1 b
a 1 0 0
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
= A E
O B
,
其中OBEA
=
a0b1 01
01 0ba1
a 1 0 0
a10
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
=
( A1
A2
A3
A4
),其中A2413=
例
a
A
=
0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0
1 b
=
B1 B2 B3
,
即
a
A
=
0 00
1 a
1 1
0 0
1 1
0
0 bb
B1 = BB23
a 1 0 0
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
= C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A
=
0 1
AAsTsTrr
(5) 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对 角线
分块矩阵的方法,技巧与应用
分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。
特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。
这就是矩阵的分块。
设A 是一个m*n 矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵111212121212s s r r rs A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中ij A 表示一个矩阵。
关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵1. 导言在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。
对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。
分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。
本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。
2.1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。
例:在矩阵21210000010012101101E A A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭中,2E 代表2级单位矩阵,而11211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0000O ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵111221221032120124111153B B B B B ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭中,111012B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,123201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,211011B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ,224120B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是21112111212212211121112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中11121121010111211341024021111A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222123241110120304111332053A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭把上述计算结果作为小块的元素代入,得到1032120124011153AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
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又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
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A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
§4 矩阵分块法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1 n
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA ,A必须是方阵.
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子 式构成的矩阵
0 E
B11 E B B 22 21
所以
AB＝
E B B 21 22
B11 E AB B A B 1 11 21 1 22
其中
1 A1 B11 B21 1 3 0 1 A1 B22 1
伴 随 矩 阵
A
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
概 念
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩 阵 用伴随矩阵 A 求 法
1
1 A A
0 1 B
分块对 A 角矩阵 0
记
ij ) mn , ( a A=
x1 x2 x= , x n
b1 b2 b= , b m
B=
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 . a a m1 m 2 amn bm
将A按列分块,得
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列.
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
4 矩阵的分块
0 0 3 2
A 0 例2 设 D = C B 其中A，B都是可逆矩阵,
证明D可逆并求 D −1 解: 由A，B都是可逆矩阵, A ≠ 0 且 B ≠ 0 又 D = A B X 11 X 12 −1 得 D ≠ 0 所以D可逆的. 设 D = X 21 X 22 AX 11 AX 12 A 0 X 11 X 12 −1 DD = = CX + BX X CX 12 + BX 22 21 C B 21 X 22 11 X 11 = A−1 AX 11 = E E 0 AX = 0 −1 DD = E = X 12 = 0 得 12 得 0 E CX 11 + BX 21 = 0 X 21 = − B −1CA−1 −1 A 0 CX + BX = E −1 故D = 12 22 X 22 = B −1 −1 −1 −1 − B CA B
L L L
A1 A1 B A2 *: A2 B 1 Am×n Bn×s = B= M M Am Am B 有相应的重要结论(关于行的 关于行的)： 关于行的 (1) 乘积的第 i 行等于第一个矩阵的 i 行乘以第二个矩阵 第一个矩阵的
A11 ± B11 A21 ± B21 = M Am1 ± Bm1
A1n ± B1n L A2 n ± B2 n L Amn ± Bmn
其中
Aij
与
Bij (1 ≤ i ≤ m ,1 ≤ j ≤ n )
是同型矩阵
（二）矩阵数乘中矩阵分块 1 矩阵的数乘对矩阵的分块的要求：无要求 2 运算： ：
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1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 1 C 3 C4 b
19 June 2018
即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B1 0 B2 b B 3 b
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3 3
第二章 矩阵及其运算
a 0 又如 A 1 0
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9 9
第二章 矩阵及其运算
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6设 A A2 , As
o
o
A21
若 Ai 0 i 1, 2,
A11 A 1
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中 A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
5 5
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第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、矩阵分块的运算法则
1
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的
运算. 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线
分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
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2 2
第二章 矩阵及其运算
a 0 例如 A 1 0 a 0 A 0 0
1 0 0 B1 a 0 0 B2 , 0 b 1 B3 1 1 b
B1r , Btr
ms m
其中Ai1, Ai 2, , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , , Btj的行数
那么
C11 C1r l1 l2 lt l AB n1 n2 nr n C C s1 sr t Cij Aik Bkj i 1, , s; j 1, , r . 其中
第二章 矩阵及其运算
（2）设
A11 A A s1
A1r , Asr
为数，那么
A11 A A s1
A1r
. Asr
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k 1
m1 m2
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8 8第二章 矩阵Fra bibliotek其运算 A11 4 设 A As1
T T A A 1r As1 11 T . , 则 A AT AT Asr sr 1r
4 4
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第二章 矩阵及其运算
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
1 0 0 a 0 0 A O a b 1 0 1 0 , 其中O B E A 0 b 1 E B 0 0 1 b a 1 1 1 b
, s , 则 A 0,
并有
o
o
. 1 As
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第二章 矩阵及其运算
二、分块矩阵的运算规则 (1)设矩阵A与B的行数相同， 列数相同， 采用相同 的分法， 有
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
（5）设A为n阶矩阵， 若A的分块矩阵只有在主对角
线上有非零矩阵， 其余子块都为零矩阵， 且非零子块
都是方阵， 即 A1 O A2 其中 Ai i 1,2, s 都是方阵， A , 那么称A为分块对角矩阵. O A s
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那么 其中 Aij 与 Bij 的行数相同，
A11 B11 A B A B s1 s1
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A1r B1r . Asr Bsr
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7 7
（3）设A为 m l 矩阵，B为 l n 矩阵， 分块成
l1 m1 A11 A ms As1 lt A1t , Ast n1 l1 B11 B lt Bt1 nr
第二章 矩阵及其运算