矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。
分块矩阵运算公式
分块矩阵运算公式
分块矩阵运算是一种改进性的矩阵运算方法，其目的是将大型矩阵分割成小型矩阵，易于
使用算法进行处理。
大型矩阵由于其计算量庞大，尤其是在有限的空间和时间条件下，计
算速度明显受到影响。
分块矩阵运算技术可以有效地提高大型矩阵的计算效率，使其计算
更加高效。
分块矩阵运算分为两种：“operand-partition”和“op-partition”。
前者用于多操作数矩阵的
运算，即将每一步的操作数矩阵拆分成不同大小的块，分块矩阵运算可以加快矩阵运算速度。
其中，“op-partition”分为两种，第一种是将操作符内部拆分，即将其置于操作符之间，第二种是将操作数矩阵内部拆分，使拆分后的每个矩阵放在对应的地方。
总的来说，通过结合分块矩阵运算的两种方式，可以将大型矩阵的计算任务分解为多个较小的矩阵，从而大大提高矩阵的计算效率，尤其是某些复杂的运算任务。
最后，分块矩阵是一种提高矩阵计算效率的先进计算技术，可以有效解决大型矩阵计算中
特征复杂度较大的问题，帮助算法快速计算并找出最优解。
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块法求矩阵开题报告
分块法求矩阵开题报告分块法求矩阵开题报告一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
而求解矩阵的问题一直是一个热门的研究方向。
本文将介绍一种求解矩阵的方法——分块法。
二、分块法的基本原理分块法是一种将大规模的矩阵分解成多个较小规模矩阵的方法。
通过将矩阵按照一定的规则进行分块，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。
分块法的基本原理是将矩阵划分为多个子矩阵，然后利用这些子矩阵之间的关系来求解原始矩阵。
三、分块法的应用1. 线性方程组的求解分块法在求解线性方程组时发挥了重要作用。
通过将系数矩阵和常数向量分块，可以将大规模的线性方程组转化为多个较小规模的子方程组。
然后，通过求解这些子方程组，最终得到原始线性方程组的解。
2. 特征值和特征向量的计算求解矩阵的特征值和特征向量是许多科学和工程问题中常见的任务。
分块法可以将大规模的特征值问题转化为多个较小规模的子问题。
通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的特征值和特征向量。
3. 矩阵的乘法和逆矩阵的计算矩阵的乘法和逆矩阵的计算是线性代数中常见的操作。
利用分块法，可以将大规模的矩阵乘法和逆矩阵的计算转化为多个较小规模的矩阵操作。
通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的乘积和逆矩阵。
四、分块法的优势和挑战1. 优势分块法可以将大规模的矩阵问题转化为多个较小规模的子问题，从而简化了计算的复杂度。
通过合理地选择分块方式，可以充分利用矩阵的结构特点，提高计算效率。
2. 挑战分块法在实际应用中面临一些挑战。
首先，选择合适的分块方式是一个关键问题。
不同的分块方式可能会导致不同的计算效果。
其次，分块法需要处理子矩阵之间的边界问题，这对于算法的实现和优化提出了一定的要求。
五、总结分块法是一种求解矩阵的方法，通过将矩阵分解为多个较小规模的子矩阵，可以简化计算的复杂度，提高计算效率。
分块法在线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算以及矩阵的乘法和逆矩阵的计算等方面有广泛的应用。
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
矩阵分块法
1 1 O Байду номын сангаас 1 E 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0 1 B11 1 B 21 0
E , B22
§4
(4)设
矩阵分块法
A11 A A s1 A1r , Asr
A11T T A A1r T
2 A11 2A 2 A21
2 A12 2 A22
2 1 2 2 2 3 2 4 6 2 4 2 5 2 6 8 10 12 . 2 7 2 8 2 9 14 16 18
§4
矩阵分块法
主要内容：
一、分块矩阵的定义
二、分块矩阵的运算法则
§4
矩阵分块法
引言:对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 定义:将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每 一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵.
§4
例
矩阵分块法
§4
例
2 2 0 A 0 0 0 0
矩阵分块法
5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 6 7 0 0 0 2 4 4 0 0 0 7 5 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 6 0
A1 O O
定义:对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
amn xn bn ,
x1 b1 a11 x b a21 2 2 A aij , x ,b ,B xn bn am1
§4 矩阵分块法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1 n
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA ,A必须是方阵.
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子 式构成的矩阵
0 E
B11 E B B 22 21
所以
AB＝
E B B 21 22
B11 E AB B A B 1 11 21 1 22
其中
1 A1 B11 B21 1 3 0 1 A1 B22 1
伴 随 矩 阵
A
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
概 念
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩 阵 用伴随矩阵 A 求 法
1
1 A A
0 1 B
分块对 A 角矩阵 0
记
ij ) mn , ( a A=
x1 x2 x= , x n
b1 b2 b= , b m
B=
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 . a a m1 m 2 amn bm
将A按列分块,得
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列.
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
§4 矩阵分块法
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 1 C 3 C4 b
19 June 2018
即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B1 0 B2 b B 3 b
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
19 June 2018
3 3
第二章 矩阵及其运算
a 0 又如 A 1 0
19 June 2018
9 9
第二章 矩阵及其运算
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6设 A A2 , As
o
o
A21
若 Ai 0 i 1, 2,
A11 A 1
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中 A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
5 5
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、矩阵分块的运算法则
1
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的
运算. 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线
分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
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A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
A2 1
1 2
31.
所以
1 0 0
A1
5 0
1
1
0
2
3
例3 设 A 的伴随矩阵
1 0 0 0
A
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 8
且ABA－1 = BA－1 + 3E, 求矩阵B.
解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2.在 ABA－1 = BA－1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得
a13 a24
a31
a32
a33
a34
A11
a11
4
a21
a31
A12
a12
a22
a32
A13 A14
a13 a23
a14 a24
A11 A21
a33
a34
A31
二、分块矩阵的运算
1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加.
设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
a21x1 a22x2
a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
记
A = (aij )mn ,
x1
x=
xxn2 ,
b1
b=
bbm2 ,
a11 a12
B=
a21
am1
a22 am2
a1n b1
a2n amn
bbm2 .
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知向量 , b 称为 常数项向量 , B称为增广矩阵, 记为:
显然
A A1 A2 As .
若 Ai 0(i＝1,2, , s), 则 A 0,
所以
A11
A1
A2 1
. AS 1
例2 设
5 0 0
A 0
3
1
,
求A
1
0 2 1
解
5 0 0
A 0
0
3 2
1 1
A1 0
0 A2
A1 5,
A11
1 5
;
A2
3 2
11,
B
Bi1
Bij
Bir
A st
Bt1
Btj
Btr
其中Ai1, Ai2 , , Ait列数分别等于
B1 j , B2 j , , Btj的行数，那么
C11 C12
AB
C21 C s1
C22 Cs2
C1r
C2r
Csr
其中
Cij Ai1B1 j Ai2B2 j Ait Btj
A11 A1r
B11 B1r
A
B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数 相同, 那末
A11 B11 AB
As1 Bs1
A1r B1r
Asr Bsr
其运算律与矩阵的加法相同.
2.分块矩阵的数乘 设分块矩阵
A11 A
B ( A b),
或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b )
利用矩阵的乘法,此方程可记为:
Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成:
1T
T 2
mT
x
b1
b2
,
M
bm
即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
(i 1,2, ,s;j 1,2, ,r)
例1.设
1 0 0 0
1 0 1 0
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
100 ,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
求AB.
解 把A,B分块成
1 0 0 0
1 0 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
100 ,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
E 0
A1
E
B11 B21
E B22
所以
E
AB＝
A1
0
E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
其中
1 2 1 0 1 0 A1B11 B21 1 1 1 2 1 1
3 0
24
1 1
01
2 1
14,
1 2 4 1 3 3 A1 B22 1 1 2 0 3 1
按列分块矩阵, Ax = b又可写成
x1
1 ,2 ,L
n
x2 xn
b
即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
矩阵 主 要 知 识网 络图
2B = A*B + 6E
即
( 2E － A* )B = 6E
故
B = 6 (2E－A* )－1
1 0 0 0
由于
2E－A*
＝
0 0
1 0
0 1
0
0
0 0 1 6
所以
1 0 0 0
(2E－A*)－1
=
0 0
1 0
0 1
0
0
0
0
1 6
1 6
因此
6 0 0 0
B
0
6
0
0
0 0 6 0
1 0 1 0
于是
AB
1 2 1
2 4 1
0 3 3
113 .
4.分块矩阵的转置 设分块矩阵
A11 A1r
A
As1 Asr
则
AT11 ATs1
AT
.
AT1r
AT
sr
5.分块对角矩阵（准对角矩阵）. 设
A1
A
A2
As
其中
Ai (i＝1,2, , s)都是方子块.