《线性代数》分块矩阵
U621-线性代数-2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中 有时需要将一个矩阵分 成若干个“子块”(子矩阵) 使原矩阵显得结构简单 而清晰
举例
1 0 0 3
给定矩阵
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 01
如果令
1 0 0
3
I3
0 0
1 0
0 1
A1
1 0
O (0
0
0) A2(1)
1 0 0 3
则
1 01
(ε1
ε2
ε3
α)
分块矩阵的运算
分块矩阵运算时 把子块作为元素处理
如果将矩阵Amn分块为
A11 A12
A
A21
A22
As1
As2
A1t
A2t
(Apq )
Ast
设k为数 则kAk(Apq)(kApq)
分块矩阵的运算
分块矩阵运算时 把子块作为元素处理
如果将矩阵Amn Bmn分块为
如果将矩阵Aml Bln分块为
A11 A12
Aml
(Apk
)
A21
A22
As1
As2
A1r
A2r
Asr
B11 B12
Bln
(Bkq
)
B21
B22
Br1
Br 2
B1t
B2t
Brt
其中Apk的列数与Bkq的行数相同 则
C
AB
( Apk
)(Bkq
)
r k 1
Apk
Bkq
例1 设矩阵
0
4k
0 k
解 将矩阵A B分块如下
1 0 1 3
(人大版)线性代数PPT课件：2.4 分块矩阵
0
0) A2(1)
1 0 0 3
则
A
0 0
0
1 0 0
0 1 0
1 0 1
I3 O
A1 A2
说明 给了一个矩阵 可以根据需要把它写成不同的分块矩阵
举例
1 0 0 3
给定矩阵
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 01
如果令
I2
1 0
10
A3
0 0
31
O
0 0
0 0
1 0 0 3
则
a1n
a2n M
amn
( A1,
A2, L ,
An )
1 0 L
I
n
0 M 0
1L M 0L
0
0 1M
(ε1
,
ε2,
L
,
εn )
则
AIn A(ε1, ε2 , L , εn ) (Aε1, A ε2 , L , A εn )
可知
(A1, A2, L , An) A εj Aj (j1, 2, , n)
同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和、积 仍是同结构
的上(或下)三角形分块矩阵
0 01
D F
O I
kA
k
I O
C I
kI O
kC kI
k 0 k 3k
0 0 0
k 0 0
2k k
0
4k
0 k
解 将矩阵A B分块如下
1 0 1 3
A
0 0 0
1 0 0
2 1 0
4 01
I O
C I
例1 设矩阵
1 0 1 3
分块矩阵的行列式
分块矩阵的行列式1. 介绍分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，由多个矩阵组合而成。
它的主要特点是将大的矩阵分解为较小的子矩阵，通过对这些子矩阵的运算来推导整个矩阵的性质。
在线性代数中，行列式是矩阵的一个重要概念，可以用来判断矩阵是否可逆，计算矩阵的特征值等。
本文将重点介绍如何计算分块矩阵的行列式。
2. 分块矩阵的定义分块矩阵可以看作是由多个子矩阵组合而成的一个大矩阵，其中每个子矩阵可以是一个矩阵或者是一个标量。
分块矩阵通常可以表示为以下形式：$$ A = \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} &A_{23} \\\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\\\ \\end{pmatrix} $$上述矩阵中的A ij可表示为子矩阵或者标量，每个子矩阵的形状可以不同。
根据子矩阵的位置和性质，分块矩阵可以分为多种类型，如对角分块矩阵、上三角分块矩阵、下三角分块矩阵等。
3. 分块矩阵的行列式计算方法对于分块矩阵，行列式的计算可以通过逐个计算子矩阵的行列式得到。
具体地，对于上述示例中的矩阵A，它的行列式可以计算为：$$ |A| = |A_{11}| \\cdot |A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}| \\cdot |A_{33} -A_{31}A_{11}^{-1}A_{13} - A_{32}A_{22}^{-1}A_{21} + A_{31}A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}| $$上述公式中，|A11|表示A11的行列式，A22−A21A11−1A12表示Schur补。
通过逐个计算子矩阵的行列式并按照公式相乘的方式，可以得到整个分块矩阵的行列式。
4. 适用性和优势分块矩阵的行列式计算方法适用于具有特殊结构的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等。
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
线性代数第二章 矩阵代数 S5分块矩阵
O
D
A1
，
B
1
O
O
D1
这与对角形矩阵的结论是一致的.
24
§2.5.2 方阵的迹
定义 设A＝(aij)n×n，则A的迹为
tr (A) = a11+a22+…+ann
性质
• tr (A+B) = tr (A) + tr (B) • tr (kA) = k·tr(A) • tr (AB) = tr (BA) • tr (P -1AP) = tr (A) • A diag( A1, A2 , , As )，则
0
2a2 1 a3 a
0 0
0 0 b3 2b 3b2
0
0 2b2
1
.
b3 2b
20
5 0 0 例3 设 A 0 3 1, 求 A1.
0 2 1
解
5 A 0
0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O , A2
A1 5,
A11
1 5
;
3
A2
2
1, 1
A21
1 2
22
利用分块乘法有
AA1
B C
O X
D
Z
Y
T
BX
X
B1
CX
DZ
BY CY DT
E
Er O
O
Es
于是 BX E
Y
O
Z
D1CB1
r
BY T D1 O
CX
DZ
O
CY DT Es
23
故
A1
B1 D1CB1
O
D1
B O
分块矩阵的13个公式
分块矩阵的13个公式分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以让我们更简洁、高效地处理复杂的矩阵运算。
下面就来给大家讲讲分块矩阵的13 个公式。
咱们先来说说分块矩阵的加法公式。
假设我们有两个分块矩阵 A 和B ，它们的分块方式相同，那么对应块相加就得到了A + B 。
比如说，A 中有个块是[1 2; 3 4]，B 中对应的块是[5 6; 7 8]，那相加之后这个块就变成了[6 8; 10 12]。
再来看分块矩阵的数乘公式。
如果有一个数 k ，乘以分块矩阵 A ，那么就是每个块都乘以这个数 k 。
就像你有一堆水果，每个水果的价格都乘以一个倍数，总价也就相应地变化啦。
接着说分块矩阵的乘法公式。
这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋。
分块矩阵相乘时，要保证左边矩阵的列的分块方式和右边矩阵行的分块方式一致。
比如说 A 是 m×n 的矩阵，分块成 A11、A12 等，B 是n×p 的矩阵，分块成 B11、B12 等。
那么 A 乘以 B 时，就是 A11B11 +A12B21 等等这样的运算。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我给学生们讲分块矩阵的乘法，有个学生怎么都理解不了。
我就拿教室座位打比方，把每个座位看成矩阵的元素，不同的排和列看成分块。
经过这样形象的解释，他终于恍然大悟，那种成就感真的很棒！分块矩阵的转置公式也很重要。
就是把每个块都转置，然后调整一下位置。
这个就像是把书架上的书换个方向摆放，位置也变一变。
还有分块对角矩阵的乘法公式。
如果是分块对角矩阵相乘，那就简单多了，对应对角线上的块相乘就行。
分块矩阵的逆公式也有讲究。
如果一个分块矩阵可逆，那么它的逆矩阵也是分块矩阵，而且每个块的逆也有特定的规律。
分块矩阵求行列式的公式也不能忘。
这需要根据具体的分块情况来计算，有时候可以通过分块简化行列式的计算。
再说说分块矩阵的秩的公式。
通过分块，可以更方便地判断矩阵的秩。
分块矩阵的伴随矩阵公式也有它的特点。
线性代数 §4 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
(Block matrix)
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算
(1)(加)法 设矩 A 与 B 阵 的行数 ,列相 数,同 相 采用相同 ,有 的分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A
, B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B E
CO,其中OBEA ab10001
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
A11B11 A1r B1r
AB
.
As1Bs1 AsrBsr
(2)
(数乘)
设A
A11
A1r
,为数,那末
As1 Asr
A11 A1r
A
.
As1 Asr
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A,B分块成 11 00 00 00
线性代数 矩阵及其运算2-4矩阵的分块法
思考题
B D 设 A , 其中B和C都是可逆方阵, 0 C
证明A可逆, 并求A .
1
思考题解答
证
1
由B , C可逆, 有 A B C 0, 得A可逆.
X 设 A W
Z B D X , 则 Y 0 C W
Z E Y 0
0 0 Bs
设 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 A , B , 1 1 2 1 0 0 4 1 1 1 0 1 1 1 2 0 求 AB. 解 把A, B分块成 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 E O 0 1 0 0 A , A A 1 2 2 11 0 1 E 1 0 1 1 1 1 00 1 1
于是
B11 AB A1 B11 B21
1 1 2 1
E A1 B22
0 1 0 4 0 1 . 4 3 3 1 3 1
例2
5 0 0 设 A 0 3 1 , 求 A1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A 0 3 1 0 2 1 O
A11 A A21
A12 A22
A13 A23
称A为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。
★ 分块矩阵
如：
1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5
1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
4 1 2
1 2 0
A11 A21
A12 A22
,则
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
0 4 1
1 1 2
0
2
0
4.分块矩阵的乘法 设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，对A,B分块
3
A1s
A2s
Ars
用数k乘分块矩阵 A，等于用数k乘矩阵A的每一个子块，即
kA11 kA12
kA
kA21
kA22
kAr1
kAr2
kA1s
kA2s
kArs
3.分块矩阵的转置
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
是一个r×s型分块矩阵，它的转置是一个s×r型分块矩阵：
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1t
B2t
Bst
且子块 Ai1 , Ai2 , , Ais 的列数分别等于子块 B1j, B2j , , Bsj
的行数， 则
C11 C12
AB
C21
C22
Cr1
Cr2
C1t
C2t
Crt
s
其中 Cij Ai1B1 j Ai2B2 j AisΒsj Aik Bkj k 1
(i 1,2, ,r ; j 1, 2, ,t).
例3. 用分块法计算AB ,其中
0 0 5
A
4
2
1
,
0 1 2
解: A,B如上分块
1 2 4 1
B
5
3
1
0
C12 A11B12 A12B22 0
1 0)5 (5)(0) (0)
同理得
10
C13 A11B13 A12B23 （ 0）
14
C21=
5
14 20
C22=
3
3
C23 =
4
0
0 0 10 0
故
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
14 5
14 3
20 3
4 0
5.特殊分块矩阵的乘法
设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，将B的每一列分 成一个子块，变为列分块矩阵，即
b11 b12
B
b21
b22
bn1 bn2
b1s
b2
s
β1,
β2 ,
bns
, βs ,
此时把A看作只有一块的矩阵，则 Abj (j=1,2,..,n)有意义,从而有
Ar2 Br2
A1s B1s
A2s
B2s
Ars
Brs
2 1 0 3
例1.
设有矩阵
A
1
1
2
1
3 2 1 1
1 1 1 1 B 1 1 1 2
2 1 1 2
则
1 A B 0
0 0
1 3
2 3
5 3 0
2.数乘分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
2 1 0 31
23
8 7
解： AB 1 2 1 2 3 3 0
3 1 2 1 0
5 7
注：用先列后行法
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9
23 即 AB 1 2 1 2 3
3 1 2 1 0
23 1 1 2
31 2
2 3 -2 1 2 3 1 -1
2 3 -3 1 2 31 0
注：用先列后行法
作业：83页 16(1)；30
明月本无价，
高山皆有情。
愿同学们的学习、生活、 前途就像十五的月亮一 样，圆圆满满！
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
B11 B12
B
B21
B22
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
Aij , Bij (i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s) 都是同型矩阵，则
A11 B11
A
B
A21
B21
Ar1
Br1
A12 B12 A22 B22
AB A(b1, b2 , , bs ) ( Ab1 , Ab2, , Abs ) .
(验证，见下例.)
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
2 1 0 31
23
8
解： AB 1 2 1 2 3 3
3 1 2 1 0
5
注：用先列后行法
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
0 0 2 0
A
A11 A21
A12 A22
B
B11 B21
B12 B22
B13 B23
其中
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
B11 15,
B12
2 3
14,
B13 01,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
如果按行分块
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
α1
α2
amn
α m
称为行分块矩阵，其中 αi (ai1, ai2 , , ain )
4.2 分块矩阵的运算
1. 分块矩阵的加法 设A,B都是n×m矩阵，用相同的分法将A,B分块为
A11 A12
A
A21