高中数学核心考点：解析几何压轴大题四大策略

解析几何压轴大题四大策略解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．策略一 利用向量转化几何条件[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [题后悟通]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[针对训练]1．已知椭圆M ：x 24＋y 23＝1，点F 1，C 分别是椭圆M 的左焦点，左顶点，过点F 1的直线l (不与x 轴重合)交椭圆M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的离心率及短轴长．(2)问：是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，椭圆M 的离心率e ＝c a ＝12，短轴长2b ＝2 3.(2)设点B (x 0，y 0)，由题意知BC ⊥BF 1，点F 1(－1,0)，C (－2，0)， 由BC ·BF 1＝0，得(－2－x 0，－y 0)·(－1－x 0，－y 0)＝0， 即(x 0＋2)(x 0＋1)＋y 20＝0.①又知点B (x 0，y 0)满足x 204＋y 23＝1.②联立①②，解得x 0＝－2或x 0＝－10.由椭圆方程知，x 0＝－2或x 0＝－10均不满足题意，故舍去． 因此，不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上．策略二 角平分线条件的转化[典例] 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2.因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1x 2＋1＝8k ＋bx 1＋1x 2＋1k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q(x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2， 因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)． 又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在， 则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝my 1＋a y 2＋my 2＋a y 1＋y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝2my 1y 2＋a ＋1y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)． 法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2， 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线， 所以k PB ＋k Q B ＝y 1y 218＋1＋y 2y 228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴，所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8. 因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2， 所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 218， 即y ＝8y 1＋y 2(x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)． [题后悟通]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．[针对训练]2．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q(2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线P Q 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠AP Q ＝∠BP Q ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2.又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝4，c ＝2 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠AP Q ＝∠BP Q ，则直线P A ，PB 的斜率互为相反数， 设直线P A 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ， 直线P A 的方程为y －3＝k (x －2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －2，x 216＋y 24＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k 2k －31＋4k 2.同理可得x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k 2＝8k 2k ＋31＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 策略三 弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)， 又直线l 的斜率为1， 故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0， 则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 故直线OM 的斜率为13－23＝－12.(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立． 由题意，直线l 不与x 轴重合， 设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22m 2＋1m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，所以弦AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线CD 的方程为y ＝－m2x .联立⎩⎨⎧y ＝－m2x ，x22＋y 2＝1，消去y 并整理得⎝⎛⎭⎫1＋m22x 2＝2， 解得x 2＝21＋m 22＝4m 2＋2. 由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4m 2＋2， 可得|CD |＝1＋m 24·|2x 0|＝m 2＋4·4m 2＋2＝2 m 2＋4m 2＋2. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |， 所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2， 故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，代入|AB |，|CD |和|OM |， 得8m 2＋12m 2＋22＝4m 2＋4m 2＋2－4⎣⎡⎦⎤4m 2＋22＋m 2m 2＋22，解得m 2＝2，故m ＝± 2.所以直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1. [题后悟通]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM ||DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，则|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．[针对训练]3．已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线l ：y ＝kx ，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG |＝|BH |，求圆M 的半径r 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，因为a ＝2，c a ＝22，所以c ＝1，因此b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2－2＝0得(1＋2k 2)x 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－21＋2k 2，则|AB |＝1＋k 2·81＋2k 2＝ 81＋k 21＋2k 2.因为点M (2，0)到直线l 的距离d ＝|2k |1＋k 2， 所以|GH |＝2r 2－2k 21＋k 2. 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，与已知矛盾． 要使|AG |＝|BH |，只需|AB |＝|GH |， 即81＋k 21＋2k 2＝4⎝⎛⎭⎫r 2－2k 21＋k 2， 所以r 2＝2k 21＋k 2＋21＋k 21＋2k 2＝23k 4＋3k 2＋12k 4＋3k 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋k 42k 4＋3k 2＋1. 当k ＝0时，得r ＝ 2.当k ≠0时，r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＜2⎝⎛⎭⎫1＋12＝3. 又显然r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＞2，所以2＜r ＜ 3.综上所述，圆M 的半径r 的取值范围是[2，3)．策略四 面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝21＋2k ＋1＋4k 251＋4k 2，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝21＋2k －1＋4k 251＋4k 2.又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·41＋2k 51＋4k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1＝－21＋4k 2，x 2＝21＋4k 2， |EF |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 21＋4k 2. 根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1＝|2k |1＋k 2＝2k1＋k 2，d 2＝11＋k 2. 因此四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12·41＋k 21＋4k 2·1＋2k 1＋k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝24k 2＋4k ＋11＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22， 当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [题后悟通]如果利用常规方法理解为S 四边形AEBF ＝S △AEF ＋S △BEF ＝12|EF |·(d 1＋d 2)(其中d 1，d 2分别表示点A ，B 到直线EF 的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF |的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和，则更为简单．因为直线AB 的方程及其长度易求出，故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可．[针对训练]4．已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P (n,0)(n ＞4)满足条件|F A ||P A |＝e .(1)求n 的值；(2)设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1S 2＝|PM ||PN |.解：(1)依题意，|F A ||P A |＝e ＝12，|F A |＝2，|P A |＝n －4(n ＞4)，得2n －4＝12，解得n ＝8.(2)证明：由S 1＝12|PF ||PM |sin ∠MPF ，S 2＝12|PF ||PN |sin ∠NPF ，则S 1S 2＝12|PF ||PM |sin ∠MPF12|PF ||PN |sin ∠NPF ＝|PM |sin ∠MPF |PN |sin ∠NPF. 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，又P (8，0)， 则k PM ＋k PN ＝y 1x 1－8＋y 2x 2－8＝y 1x 2－8＋y 2x 1－8x 1－8x 2－8＝x 2y 1＋x 1y 2－8y 1＋y 2x 1x 2－8x 1＋x 2＋64 ＝my 2＋2y 1＋my 1＋2y 2－8y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2－8[m y 1＋y 2＋4]＋64＝2my 1y 2－6y 1＋y 2m 2y 1y 2－6m y 1＋y 2＋36.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，3x 2＋4y 2＝48，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋12my －36＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－12m 3m 2＋4，y 1y 2＝－363m 2＋4，所以k PM ＋k PN ＝－72m 3m 2＋4＋72m 3m 2＋4－36m 23m 2＋4＋72m 23m 2＋4＋36＝0，则∠MPF ＝∠NPF ，因此S 1S 2＝|PM ||PN |.[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考：1．平行四边形条件的转化2．直角三角形条件的转化3．等腰三角形条件的转化4．菱形条件的转化5．圆条件的转化6．角条件的转化。