光学小波变换(第8讲)
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小波变换课件
景
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种信号分析方法，它可以将一个信号分解成不同频率和时间的小波基函数的线性组合。
这种分解能够提供关于信号局部特征的信息，并且具有较好的时频局部化性质。
小波变换的基本原理是利用小波基函数对信号进行多尺度分析。
小波基函数是一组函数，它们具有有限时间和频率的特性。
通过对不同尺度的小波基函数进行缩放和平移，可以得到不同频率和时间的基函数。
在小波变换中，通常采用离散小波变换（DWT）进行信号分析。
离散小波变换将信号分解成不同尺度和位置的小波系数，每个小波系数表示信号在相应尺度和位置上的能量。
小波变换的优点之一是可以提供多分辨率的信号分析。
通过对信号进行分解，可以得到不同尺度上的信息，从而揭示信号在局部的频率特征。
这对于处理非平稳信号和突发信号非常有用。
小波变换还具有较好的时频局部化性质。
在时域上，小波基函数具有较短的时域长度，可以更好地描述信号的瞬时特征。
在频域上，小波基函数具有较宽的频带，可以更好地描述信号的频率特征。
小波变换在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
它可以用于信号去噪、压缩、特征提取等任务，也可以用于图像边缘检测、纹理分析等任务。
总之，小波变换是一种多尺度信号分析方法，通过对信号进行分解，可以提取信号在不同尺度和位置上的特征。
它具有较好的时频局部化性质，可以有效地描述非平稳信号和突发信号的特征。
第八章小波变换课件-5
a 是尺度因子， b 反映位移。
23/116
8.1.6 连续小波的性质
线性
设： x t g t h t WTx a, b WTg a, b WTh a, b
平移不变性 若 x t WTx a, b ，则 x t WTx a, b
小波被誉为数学显微镜！
30/116
多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函 数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分 辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构 的快速算法。下面由理想滤波器引入多分辨率分析的概念：
31/116
多分辨分析定义：
空间 L2 R中的一系列闭子空间 V j jZ，称为 L2 R 的多分辨率分析 或逼近，若下列条件满足：
22/116
对于任意的函数
f t L2 R
1
的连续小波变换定义为：
2
w f (a, b) f (t ) a,b (t )dt a
R
R
t b f (t ) dt f , a,b a
逆变换为：
1 f t C 1 t b W f a, b dadb 2 a a RR
13/116
用镜头观察目标 f (t ) (待分析信号)。 (t ) 代表镜头所起的作 用(如滤波或卷积)。 b 相当于使镜头相对于 目标平行移动。 a 的作用相当于镜头向 目标推进或远离。
f
b
小波变换的粗略解释
14/116
小波变换的时频分析图
尺度a较大 由 粗 到 精 距离远 视野宽 分析 频率低 概貌观察
多分辨 分析
正交变换-小波变换
2
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2
H 1 ( 0 ) 0
1
2
j 1
2
H 0 (2
j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变 换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2
H 1 ( 0 ) 0
1
2
j 1
2
H 0 (2
j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变 换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
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自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
小波变换详解
基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。
小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。
具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。
4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。
傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。
在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。
定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。
可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。
尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。
但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。
第9章 小波变换(08) 数字图像处理课件
采用上述方法，理论上产生的数据量将是原始数据的两倍。根据Nyquist采 样定理， 可用下采样的方法来减少数据量，即在每个通道内每两个样本数 据取一个， 便可得到离散小波变换的系数（Coefficient）。
D 1000个采样点
↓
S 1000个采样点
S 1000个采样点
cD 约500个DW T系数
A 1000个采样点
(t)
(t－k)
O
t
O
t
(a)
(b)
图7-15 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
第9章 小波变换及其在率之间的相互关系。傅立叶变 换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本 丢失。
• 与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获 得信号的时间信息。
9.1.4 多分辨分析（ Mallat快速算法，阮148）
• 1988年Mallat受到塔式算法的启发，在多分辨分析 的指导下建立了Mallat算法，它是小波变换的快速算 法，其作用相当于FFT。
•从多分辨分析——离散卷积——滤波处理，Mallat算 法本质上不需要知道小波函数的具体结构，只由系数 就可以实现f(t)的分解与重构。
cA 1
cD 1
cA 2
cD 2
cA 3
cD 3
(b )
A2
D2
S
Lo_ D ： 低 通 滤 波 器 ； Hi_D：
高 通滤 波器
L o_ D
A3
Hi_D D3
cA 1
cD 1
cA 2
cD 2
cA 3
cD 3
(a )
D 1000个采样点
↓
S 1000个采样点
S 1000个采样点
cD 约500个DW T系数
A 1000个采样点
(t)
(t－k)
O
t
O
t
(a)
(b)
图7-15 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
第9章 小波变换及其在率之间的相互关系。傅立叶变 换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本 丢失。
• 与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获 得信号的时间信息。
9.1.4 多分辨分析（ Mallat快速算法，阮148）
• 1988年Mallat受到塔式算法的启发，在多分辨分析 的指导下建立了Mallat算法，它是小波变换的快速算 法，其作用相当于FFT。
•从多分辨分析——离散卷积——滤波处理，Mallat算 法本质上不需要知道小波函数的具体结构，只由系数 就可以实现f(t)的分解与重构。
cA 1
cD 1
cA 2
cD 2
cA 3
cD 3
(b )
A2
D2
S
Lo_ D ： 低 通 滤 波 器 ； Hi_D：
高 通滤 波器
L o_ D
A3
Hi_D D3
cA 1
cD 1
cA 2
cD 2
cA 3
cD 3
(a )
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05.10.2020
8
一维信号的傅里叶变换和逆变换
为方便分析采用一维的信号:
G (fx) g(x)ex p i2 [fxx]dx(1)
g(x) G(fx)exip2[fxx]dxf (2)
05.10.2020
9
快速过程或暂态过程
Short-time Fourier transform
(1)式表示信号g(x)中频率为fx的成份含量为G(fx), x 可以是时间变量或空间变量, G(fx)则分别表示时间频
光学小波变换
05.10.2020
1
小波变换的概念-1
小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探 信号处理的工程师 J.Morlet 和A.Grossmann 在分 析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震 信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对 小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的 内容。
对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分 析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，
而小波变换分析就是一个对非稳定信号进行处理 的有力工具。
05.10.2020
4
小波变换分析的应用领域
1,数学； 2,信号分析、图象处理； 3,量子力学、理论物理； 4,军事电子对抗与武器的智能化； 5,计算机分类与识别； 6,音乐与语言的人工合成； 7,生物医学工程成像与诊断； 8,地震勘探数据处理； 9,大型机械的故障诊断等方面等等。
ha,b(x) 1 h(xb), (5) aa
式中 b 称为小波变换的位移因子, a>0 称为伸缩因子.
05.10.2020
15
小波宽度的伸缩
右图可见当a增大时,小 波的宽度加宽(膨胀);
当a减小时,小波的宽度 变小(收缩).
(5)式表明基本小波是母 函数经平移和缩放的结 果.
基本小波即简称为小波 (Wavelet)
05.10.2020
3
小波变换的概念-3
信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的 组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对 信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递 或存储、精确地重构（或恢复）。
从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是 信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变 换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理 归结为信号处理问题。
率或空间频率的成份含量.
如果g(x)是一个时域或空域中分布在( ,) 中
的恒稳过程或稳定分布,则傅里叶分析会给出近乎完美 的结果 ,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局 部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电 脉冲等。
这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰 减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。
05.10.2020
10
小波信号
信号S(t)在某一时刻突然出 现，但很快衰减到零，是
S（t）
暂短的信号，称为小波信
号。许多光学信号，例如
远处空中的目标、显微镜
下的物体、被鉴别的指纹
等等。
t
0
它们不显著为零的分量只
分布在有限的区域内，即
是暂态过程。
t 我们仅对 内的时间信 号感兴趣。
05.10.2020
05.10.2020
5
数学、图像处理、生物医学工程 领域的应用：
数学领域：用于数值分析、构造快速数值方 法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。
图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊 断，去污等。
生物医学工程领域：成像方面的减少B超、 CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
11
WEVELET
05.10.2020
12
短时傅里叶变换（STFT）
为提取局部信号g(x)的信息，引入局部化变换的概念,其 有两个要素：
1，被分析的区间要有一定的宽度 x ，仅对它附近的
信息进行处理；
2，被分析的区间有一个中心坐标xc，当xc改变时，就
可提取不同的信息。
为了实现局部化,在傅里叶变换中加入一个窗函数w(x):
05.10信号处理上,富里叶变换分 析的一个不足之 处是它不能作局部分析,小波变换分析正好能 弥补这一不足。
小波变换分析从有限个具局部性与振动性的 小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分 析在时域和频域两方面同时局部化, 因而为各 类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析 更有 力的工具。
（3）式定义的变换即称为短时傅里叶变换(shorttime Fourier transform; STFT)。
特点是频率变量 f 和坐标变量x0同时出现在变换函数 中。 为卷积算符.
05.10.2020
14
小波变换的定义和性质
1,小波变换的定义 母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为:
1988年 Arneodo 及 Grasseau 等人将小波分析运 用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长 现象 。
05.10.2020
2
小波变换的概念-2
小波变换是一个时间和频率的局域变换，它 能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析（Multiscale Analysis），解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而 小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。
05.10.2020
7
傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
函数图像g(x,y)的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
G (fx ,fy) g (x ,y)ex i2 p (fx x [fy y)d ] xd ,
g(x,y) G (fx,fy)ex i2 p (fxx[,fyy)d ] xd ,
05.10.2020
1
Gw(f,x0) g(x)expi2(fx)w(xx0)dx（3）
05.10.2020
13
Short-time Fourier transform
在频域中的表达式:
G w ( f , x 0 ) [ W ( f ) e 2 i x f 0 ) x G p ] ( f )
W和G分别是w和g的傅里叶变换.只要有足够快的衰减 速度,窗函数就是一个局部化的函数。