第19讲.线性空间的同构与综合例题
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
一线性空间的同构(基本概念)
⎪⎩⎪⎨⎧↓映射集合线性空间的同构直和和并子空间与子空间的运算与坐标变换过度矩阵线性空间的基变换坐标基线性空间的维数→→→→,,:)(,,,同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构 二．习题举例例1：求线性空间的维数1）数域P 上所有反对称矩阵组成的线性空间。
2)1(-n n 2）数域P 上所有上三角形矩阵组成的线性空间。
2)1(+n n例2：证明：P n 的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。
证明：设V 是P n 的任意一个真子空间，不仿设 V=L(r ααα ,,21)，)(n r < 它是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+++=+++--,0,0,0)(11)(22221211212111n n r n r n nn n n x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间， 记k W 为线性方程组02211=+++n kn k k x b x b x b ，k=1,2,…,n -r 的解向量空间,显然是P n 的n-1维子空间，且V 恰好是这n-r 个n-1维子空间的交。
例3设n ααα ,,21是n 维线性空间V 中的n 个向量，V 中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：n ααα ,,21是V 的一组基。
证明：只须证明n ααα ,,21线性无关，事实上，如果rk r r ααα ,,21是n ααα ,,21的一个极大线性无关组，则rk r r ααα ,,21是V 的一组基，所以n k =，向量组rk r r ααα ,,21就是向量组n ααα ,,21，是线性无关。
例4：在5R 中求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-+-=+-+-02203224022543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ，的解空间的维数与一组基。
解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211213224111122A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→533605336021121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000035112021121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→00000351120310001；解空间的维数是3，一组基是 )6,0,0,5,2()0,2,0,1,0(),0,0,2,1,0(321=-==βββ例5：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A ，证明：实数域上矩阵A 的全体实系数多项式)(A f 组成的空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==0110|)(A A f V 与 复数域C 作为实数域R 上的线性空间},|{R b a bi a V ∈+='同构。
线性空间的同构理论
线性空间的同构理论以下内容来⾃上学期我的⾼等代数学习⼼得下⾯简单整理有关线性空间同构的性质与其相关结论和定理.下⾯的两个定理是讨论各种问题的基础(注意均未要求维数有限)定理1(同构的万有性质)设V1和V2同构，φ是同构映射，则对于任意向量空间W，对任意σ∈L(V1,W),存在唯⼀的σ′∈L(V2,W),使得σ=σ′∘φ定理2(商空间的万有性质)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,πS是V→V/S的⾃然同态.对于向量空间W,若τ∈L(V,W)满⾜S⊂ker(τ),则存在唯⼀的τ′∈L(V/S,W)，使得τ=πS∘τ′下⾯的对应原理也相当重要定理3(对应原理)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,则在⾃然同态下，V的所有包含S的向量空间与V/S的所有⼦空间建⽴了⼀⼀对应由此可推出下⾯的三个同构定理定理4(第⼀同构定理)设V,W是两个向量空间,σ∈L(V,W)是线性映射.则V/Ker(σ)≅Im(σ)定理5(第⼆同构定理)设S,T⊂V是向量空间V的两个⼦空间，则(S+T)/S≅S/(S∩T)定理6(第三同构定理)设S⊂T⊂V均为向量空间，则V/ST/S≅V/T另外，还有命题1设V=V1⊕V2,S=S1⊕S2均为向量空间，则V S=V1⊕V2S1⊕S2≅V1S1⊞V2S2下⾯的定理与对偶空间相关定理7设V是向量空间，则dim(V)≤dim(V∗).等号成⽴当且仅当V是有限维.定理8设V是向量空间，对α∈V,定义¯α∈V∗∗，满⾜¯α(f)=f(α).则映射τ:V→V∗∗:α↦¯α是单同态。
且当V是有限维的时候，τ是同构映射命题2τ(span(M))=M00命题3(S+T)0=S0∩T0,(S∩T)0=S0+T0命题4设V=S⊕T均为向量空间，则T∗≅S0从⽽，当V有限维时，dim S+dim S0=dim V命题5设V=S⊕T均为向量空间，则(S⊕T)∗=S0⊕T0下⾯⼏个命题与转置映射有关定理9设V,W是向量空间,τ∈L(V,W)是线性映射，τt∈L(W∗,V∗)是转置映射，(τt)t∈L(V∗∗,W∗∗)是转置映射的转置映射，则(τt)t(¯α)=¯τα定理10设V,W是向量空间，τ∈L(V,W)，则ker(τt)=Im(τ)0Im(τt)=ker(τ)0 Processing math: 100%。
线性空间的同构商空间总结
V1 F n V2 V1 V2
定理：数域F上两个有限维线性空间V1与V2同构
dimV1 dimV2.
exp 2 : n阶对角阵
exp 1: 次数 n 1的多项式
f ( x) an1xn1 a1x
在基1, x,
Fn [ x ]
a0
, xn1.
a0 an1
A
a11
ann
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
V3
1 2
V1
1
V2
1 1(1) 2
1 2 (1)
2 1(2 )
2 2(2)
记为 2 1
(1 2 ) 2 (1(1 2 )) 2 (1 2 ) 1 2 (1) (2 ) (k ) 2 (1(k )) 2 (k1( )) k21( ) k ( ).
( W ) ( W ) ( ) W ,
c( W ) c W .
则V 对于所定义的运算构成域F上的线性
空间，称为V的商空间. 记作V /W.
11
定理18：设V是n维线性空间，W是V的
m维子空间，则dimV /W n m.
证 : 设1, ,m是W的一组基，扩充为V 的基，1, ,m , m1, , n. 若
例21:
y
W
W
O
V R2, W是过原点的直线 W是平行W的直线.
x
9
模W的同余类的基本性质:
(1) 若 W , 则 W W.
(2) 若 W , 而 W ,
则 ( W ) ( W ) ,
证(1) W W ,使 .
W , 1 W，使 1 1 （ 1） W 左 右；
km1 ( m1 W ) km2 ( m2 W ) kn (n W ) 0 W ,
线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构教学目的 理解同构的定义、性质，并能应用其处理一般问题，初步了解现代代数学同构思想的实质.重 点 同构定理 难 点 同构的定义 课 型 新授课 教学过程一 同构映射设V 为n 维向量空间12,,,n εεε 为V p 的一个基作:ϕαα→在12,,,n εεε 下的坐标（12,,,n ααα ），V —P n 由坐标的唯一性，ϕ是一个1-1对应（1-1的，映上的） 11,nni i i i i i a b αεβε==∀==∑∑ p k ∈∀11(),()n ni i i i i i i a b k k αβεααε==+=+=∑∑()()()()11221212,,,,,,,,,n n n n b a b b a a a b b b ϕαβαα∴+=+++=+ ()()βϕαϕ+=()()()()1212,,,,,,n n k ka ka ka k a a a k ϕαϕα===ϕ 有一个很重要的特征，保持和的象=象的和，欲数的象的俗数,引出了下面重要的概念.定义11，设V, V ’用期为P 上线性空间，'11V V δ→-是的对应,使,,V k p αβ∀∈∀∈有（1）()()()δαβδαδβ+=+ （2）()()k k δαδα=则称δ为'V V →的一个同构映射，并称V 与V 同构，记作 'V V ≅注1o由前面的讨论，n V p =dim 则n P P V ≅注2o 要证'V V ≅只须找1个，同构映射即可，（不须找2个以上，甚至验证所在）二 基本性质3o 反射性 ,V V ≅而1,v ααα=→即可 4o 对称性：若'V V≅，则V V ≅'证：p k V ∈∈∀''',,βα设()()()()''''Q k k δααββαβαβδαα==+=+=则 ()()()()()11'1''1'1,,2δααδββδαββδδβ-----==+=+=∂+ ()()1'1'hd k k δαδα--== 1α-∴是一个同构映射V V V V ≅→‘',故 5o 传递性，若''''',:V V V V V V α≅≅≅则使 证：'':,,V V V k P ααβ→∀∈∈且()()()()()()()()()()τδαβτδαβτδαδβτδβτδαταβ+=+=+==+()()()()()()()()()()k c k k k k τδαδατδατδατδα==== 故'':V V ≅τδ附带说明了，同构映射的逆和积仍为同构映射结论：若数域P 上两个线性空间V ，V ′且‘'dim dim V V V v ≅=则 证：设 n n o P V P V n V V ≅≅=='’,1dim dim 由济由4o'V p n ≅由5o ，V ≌V ′反过来数域P 上的同构的线性空间是否维数相同？ 6o()()()00,δδαδα=-=-证 ()()()00.0.0δδαδα===()()()()()1.10δαδαα-=-=-=7o()()()11221122()r r r r k k k k k k δαααδαδαδα+++=+++()()1122)(r r k k k δαδαδ=+++∂= 左右 线性组俣的条是象的线性组合.8o 若12,,,s d d α 线性相关，则()()12,,,()s δαδαδα 线性相关 证：12,,,s k k k ∃ 不全为0，()()1122(00s s k k k δδαδαδαδδ=+++=== 左）（）（）（）右9o 若12,,,s ααα 线性无关，则()()()12,,s δαδαδα ,线性无关证：设()110,0ss i i i i i i k k δαδα==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑则()1100δδ-= 是的故0只有一个原象0，∑==∴si i i k 10α而1212,,,0s s k k k ααα∴==== 线性关 因此()()()1,,,s s δαδαδα 线性无关 10o设'11,V V V V V δ≤≅那么的象集()(){}'11V V V δδαα=∈≤证()()100V δδ∈= ()1‘1,V V 记作非空∂∴()()’''''111,,,,,V V αβαβααδββ∀∈∃∈∂==则使()1'''1V V ∈+=+∈+βαβαδβα且()'1'1V k k V k ∈=∈ααδα且 ''1V V ≤∴11o设()1111dim 'dim ,''V V V V V VV =≅≤则δδ证：设()121,,,''r i i V αααδαα=∈ 的基 ()()121112',',,'',,,r r L V V L αααααα∴⊆=⋯ 而()'''1‘1ββδββ=∈∃∈∀V V 则由()()()12111''',',,'r r ri i i i i i r i i i k d k k L ββδβααααα====⇒===∈∑∑∑()112'',',,'r V L ααα∴⊆即()112'',',,'r V L ααα= 由0912',',,'r ααα 线性无关，秩为r()()11212dim '',',,'',',,'r r V r αααααα=== 秩秩 1dim r =结论 若δ≅V 'dim dim 'V V V =则 证：'dim dim 'V V V =∴则映上δ综合上面2结论有定理12：数域P 上两个线性空间同构当且 仅它们维数相同线性空间并不问元素是什么，运算的意义是什么。
第19讲.线性空间的同构与综合例题
第19讲，综合复习与线性空间的同构关于线性空间的基本要求（一）1. 判断给定的集合关于所定义的运算是不是线性空间2. 熟练掌握线性空间中向量的线性相关、无关的概念与判定, 知道线性空间同构的概念和相关定理.3.求给定线性空间的基和维数4.求不同基之间的过渡矩阵、求向量在指定基下的坐标5.知道子空间的交、和与直和定义及其直和的等价命题6. 知道如何求子空间的交空间以及和空间的基与维数,熟练掌握维数公式, 知道如何求子空间的补空间.12综合例题例1 实数域上全体m ⨯n 实矩阵所构成的集合V = M m ,n (R)在矩阵的加法及数乘两种运算下构成实线性空间. 给出M m ,n (R) 的一组基, 并求dim M m ,n (R).解如果用E ij 来表示(i , j ) 位置上的元素为1, 其余位置上的元素为0 的m ⨯n 矩阵, 容易证明这mn 个矩阵作为V 的向量组是线性无关的.容易看出来对任意A = (a ij )m ⨯n 都有∑∑===m i n j ij ij E a A 11,可见E ij , i =1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n 这mn 个矩阵组成V 的一组基, 自然dim M m,n (R) = mn.3例2求实数域R 上全体n 阶对称矩阵所构成的线性空间U 的一组基和维数.解容易看出实数域上全体n 阶对称矩阵构成构成的矩阵集合U 是V = M m ,n (R) 的子空间.由对称矩阵定义不难得到如下的矩阵为U 的基:⎩⎨⎧≤<≤+==.1;,,,,n j i E E j i E F i j j i i i j i 所以dim U = 1+2+…+n = n(n+1)/2.4例3R n [x ] 是实数域R 上次数小于n 的多项式与零多项式所组成的线性空间. 给定n 个互不相同的数a 1, a 2,⋯, a n , 令),())(()(21n a x a x a x x f ---= 试证多项式组),,2,1()/()()(n i a x x f x f i i =-=是R n [x ]的一组基.解我们知道dim R n [x ] = n , 只需要证明f i (x ) (i =1, 2,…, n ) 线性无关就可以了.).,,2,1,;(0)(,0)(n j i j i a f a f j i i i =≠=≠设,0)()()(11=++++x f k x f k x f k n n i i 由上式, 当x = a i 时, 得到k i f i (a i ) = 0.故k i = 0 (i = 1, 2,…, n), 所以f 1(x ), f 2(x ), …, f n (x ) 线性无关, 从而构成R n [x] 的基.5例4证明W = {f (x )|f (1) = 0, f (x )∈R n [x ]} 关于多项式加法和数乘也作成线性空间, 求W 的一组基和维数.解在例3中取a i = i , (i =1, 2,…, n ), 则f 1(x )∉W, 而其它多项式f i (x ) (i = 2,…, n ) 属于W, 由此我们知道了dim W = n -1,例5 设W 1, W 2 是线性空间V 的两个子空间, 则W 1和W 2的并是V 的一个子空间⇔W 1包含W 2, 或W 2包含W 1.证明充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然,存在元素u 属于W 1, 但不属于W 2, 元素v 属于W 2但不属于W 1. 则u+v 不属于W 1与W 2 的并, 与W 1和W 2的并是V 的一个子空间矛盾.且f i (x ) (i = 2,…, n ) 就是W 的一组基.6例6 线性空间V 的任意有限个子空间的并是V 的一个子空间⇔它们均包含在其中一个子空间之中.证明充分性是显然的. 现证必要性:对子空间的个数归纳: 设V 有s 个子空间, 分别记为W 1, W 2,⋯, W s , 它们的并是V 的一个子空间, 若11,s s W W W -⊆⋃⋃ 则11s W W -⋃⋃ 是V 的一个子空间, 由归纳假设它们均包含在其中一个子空间之中,W s 也包含在这个子空间中, 若必要性不成立可设11,s s W W W -⊄⋃⋃ 则存在α∈W s ,11,s W W -α∉⋃⋃ 且11,s s W W W -⋃⋃⊄ 且存在11,,s s W W W -β∈⋃⋃β∉ 由例5必有s > 2, 故,,(1),s s W α+β-α+β∉ 1s W W ⋃⋃ 是V 的一个子空间21,,(1),s s W W -∴α+β-α+β∈⋃⋃ 由抽屉原理其中有两个属于同一个W i , 由此可知iW α∈与11s W W -α∉⋃⋃ 矛盾.7例7. 证明：所有n 阶方阵空间M n 是线性子空间空间L 1和L 2的直和，其中L 1是对称方阵子空间，L 2是反对称方阵子空间。
线性空间试题
向量空间判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：- - ,k R,作成实数域R上的向量空间•( )•(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法:k ： = 0, k • R,作成实数域R上的向量空间•().(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是V3的子空间•().(4) 所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间M n(R)的子空间•().n(5) ｛( X「X2，…，X n)「X i =1,X i • R｝为R n的子空间•()•i :i⑹所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间M n (R)的子空间•( )•⑺｛(冷0, ,0,人)区人R｝为R n的子空间•( )•(8) 若〉1，〉2, >3, >4是数域F上的4维向量空间V的一组基，那么〉1，〉2，〉2 V3，〉3 *4是V的一组基•( )•(9) n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基•( )•(10)设冷，〉2，…，〉n是向量空间V中n个向量，且V中每一个向量都可由〉i，〉2，i，〉n线性表示，则二，—,…，：」是V的一组基•( )•(11) 设〉1,〉2,…/ n是向量空间V的一个基,如果'-1, '-2/' , 'n与〉1,〉2，…n等价，则"J,…，=也是V的一个基•( )•(12) x3关于基X3,X3 X,X2 1,X 1 的坐标为(1,1,0,0) •( )•(13) 设W ,V s为n维空间V的子空间，且V =V1 V^ V s •若dim V1 dimV2dimV s二n，贝U V| V2 V s为直和•(). (14) 设V1，V2,…，V s为n维空间V的子空间，且V =V「V2 • V s •若V1 V2 =0，(V1 V2) V3=0，，(V1 V2 V s4)V s=0,则V1 V2 V s 为直和•(). (15) 设V为n维空间V的子空间，且V二V, • V2• V s.若V i (\ V j)二｛0｝,则V, V2 -V s 为直和. (). (16) 设V V为n维空间V的子空间，且V =V, V2 - V s •若V i(V j)二｛0｝，i=j，则V, V2V s为直和•(). (17) 设MM,…，Vs为n维空间V的子空间，且V =V,•…，Vs.零向量表法是唯一的，则V| • V2亠•亠V s为直和•(). (18) 设冷，〉2，U 是向量空间V的一个基，f是V到W的一个同构映射，则W的一个基是f C 1)，f(：2)，…，f (： n). ( )•(19) 设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构，那么W也是数域F上的n维向量空间. (). (20) 把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成n类. ().答案(1)错误(2)错误(3)正确(4)错误(5错误(6正确(7)正确(8)正确(9)正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)正确(16)错误(17)正确(18)正确(19正确(20错误二填空题(1) 全体实对称矩阵，对矩阵的__________________ 作成实数域R上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R ［对加法和纯量乘法a二b =ab,k匕=a k,构成R上的向量空间则此空间的零向量为—.(3) 全体正实数的集合R，对加法和纯量乘法a二b = ab,k a = a k,构成R上的向量空间则a E R+的负向量为 ________ .(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)二(c, d) = (a c, b d ac),k (a,b) =(ka,kb k(k ^a2),2构成实数域R上的向量空间.则此空间的零向量为—.(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)二(c, d) = (a c, b d ac),k(k—1) 2k (a,b)二(ka, kb a ),2构成实数域R上的向量空间.则(a,b)的负向量为_____________ .(6) 数域F上一切次数Wn的多项式添加零多项式构成的向量空间F n[x]维数等于______ .(7) 任一个有限维的向量空间的基__________ 的，但任两个基所含向量个数是_________ .(8) 复数域C作为实数域R上的向量空间，维数等于________ ,它的一个基为_________ .(9) 复数域C看成它本身上的向量空间，维数等于 __________ ,它的一个基为________ .(10) 实数域R上的全体n阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于______ .(11) 向量=(0,0,0,1)关于基2 =(2,1,3,1),：3 = (1,1,0,0)% =(0,1,—1,—1)的坐标为__________ .(12) x2+2x+3关于F3[x]的一个基x3,x3+x, X2+1, x+1 的坐标为__________ .(13) 三维向量空间的基r =(1,1,0)」2 = (10,1),则向量-(2,0,0)在此基下的坐标为_________ .(14) V和W 是数域F上的两个向量空间，V到W 的映射f满足条件______________________________________________ ,就叫做一个同构映射.(15) 数域F上任一n维向量空间V都与向量空间________ 同构.(16) 设V 的子空间W,W2,W3,有W W2 二W W3 =W, W3=o,则W1 W2 W3________ 直和.答案1 2(1)加法和数量乘法(2)1 (3) — (4) (0,0) (5) (-a,a2 -b) (6) n 1 (7)不唯一，相a等(8)2;1i, (9)1; 1 (10卿1)(11)(1,0,-1,0) (12](0,0,1, 2(1 3(1, 1,1)2(1 4)f是V到W的双射；对任意\ ■ V , f - )= f e ) f 6对任意a F,x E V, f(a:)二af (: ) (1 5 F n(1 6不一 -定是三简答题(1) 设V二M n(R).问下列集合是否为V的子空间，为什么？1) 所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合W;2) 所有可逆的实n阶矩阵的集合W2；(2) 设L(R)是实数域R上所有实函数的集合，对任意f,g・ L(R), ■ • R,定义(f g)(x) = f (x) g(x),(，f )(x) V f (x), x R对于上述运算L(R)构成实数域R上向量空间.下列子集是否是L(R)的子空间？为什么？1) 所有连续函数的集合W ;2) 所有奇函数的集合W,;3) WA ={f |f L(R), f(0) = f(1)};(3) 下列集合是否为R n的子空间？为什么？其中R为实数域.1) W =W=(X1,X2，…，X n) |X1 +X2 十…+X n =0,x E R}；2) W2 ={ ：= (x1,x2,,xn)丨xn =0,xi 尺；3) W s ={，(X1,X2, ,X n) | 每个分量X 是整数};⑷设A, X, b分别为数域F上m n,n 1,m 1矩阵，问AX = b的所有解向量是F上的向量空间吗？说明理由.(5) 下列子空间的维数是几？1) L((2, -3,1),(H4,2),(5, -2,4)) R3;2) L(x -1,1 -x2,x2 -x) F[x](6) 实数域R上m n矩阵所成的向量空间M mn(R)的维数等于多少？写出它的一个基.(7) 实数域R 上,全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若：仆〉2,…，〉n是数域F 上n维向量空间V 的一个基，>1 *2,〉2叱込,…，打二心n,〉n孔斯也是V的一个基吗?(9) x-1, x 2,(x-1)(x 2)是向量空间F2［X］的一个基吗？(10) 取R4的两个向量〉i =(1,0,1,0)厂2 =(1,-1,2,0) •求R4的一个含：-i^-2 的基•(11) 在R3中求基=(1,0,1),色=(1,1,—1),5 = (1—1,1)到基'^(3,0,1), ' ^(2,0,0), ' ^(0,2, -2)的过渡矩阵.(12) 在中F4求向量© =(1,2,1,1)关于基％=(1,1,1,1)宀=(1,1,一1,—1),4 = (1,—1,1,—1) ：4 =(1, -1, -1,1)的坐标.(13) 设W表示几何空间V3中过原点之某平面~1的全体向量所构成的子空间，W2为过原点之某平面二2上的全体向量所构成的子空间，则W W2与W W是什么？W W2能不能是直和？(14) 设W =L(：1,：2,： 3),W2 =L「1「2),求W W2和W W2.其中% =(1,2, —1,—2),勺=(3,1,1,1),叫=(一1,。
线性空间的基与维数及线性同构
有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同， 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法， 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间． 空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 定义２ 设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使
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容易看出来对任意 A = (aij)mn 都有
A a ij E ij ,
i 1 j 1
可见 Eij, i =1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n 这mn个矩阵组成 V 的一组 基, 自然 dim Mm,n(R) = mn.
2
例2 求实数域 R 上全体 n 阶对称矩阵所构成的线 性空间 U 的一组基和维数. 解 容易看出实数域上全体 n 阶对称矩阵构成构成的 矩阵集合 U 是 V = Mm,n(R) 的子空间. 由对称矩阵定义不难得到如下的矩阵为 U 的基:
n ( x y , , x y )T ( ) ( xi yi ) i 1 1 n n i 1 X Y ( ) ( ) n (k ) k xi i (kx1 , , kxn )T kX k ( ). i 1 所以 V 同构于 Fn.
1
综合例题
例1 实数域上全体 mn 实矩阵所构成的集合 V = Mm,n(R)在矩阵 的加法及数乘两种运算下构成实线性空间. 给出 Mm,n(R) 的一组 基, 并求dim Mm,n(R). 解 如果用 Eij 来表示 (i, j) 位置上的元素为 1, 其余位置上的元 素为 0 的mn矩阵, 容易证明这 mn 个矩阵作为 V 的向量组是 线性无关的.
f ( x ) ( x a1 )( x a 2 )( x a n ),
试证多项式组 f i ( x ) f ( x ) /( x ai ) ( i 1,2, , n) 是Rn[x]的一组基. 解 我们知道 dim Rn[x] = n, 只需要证明 fi(x) (i =1, 2,…, n) 线性 无关就可以了. 设 k1 f 1 ( x ) k i f i ( x ) k n f n ( x ) 0,
因为 P 可逆, 所以 R(A) 与 R(B) 同构.
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例3 F 上的 n 维线性空间 V 同构于 Fn. 证明 设 1 , , n 为 V 的一组基, V, 在 1 , , n 下的坐 标 X 是唯一确定的, 所以可定义 V 到 Fn 的映射 使得
( ) X , 显然 是双射, 且若 ( ) X ( x1 , , xn )T , ( ) Y ( y1 , , yn )T . 则
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(4) 同构的线性空间有相同的维数. 证明 由(3) 1,, n 线性无关 (1),, (n) 线性无关, 而 1,, n, 线性相关 (1),, (n), ( ) 线性相关, 所以 1,, n 是 V1 的基 (1),, (n) 是 V2 的基. 定义4 设 A, B 是两个非空集合, 是 A 到 B 的一个双射, 则 对每个 bB, 都有唯一的一个 aA, 使得 (a) = b, 故可定义 映射 1：B A，1 (b) a , 并称 -1 为 的逆映射. (5) 同构的逆映射还是同构映射. 证明 设 是 V1 到 V2 的同构映射, 1 , 2 V2 , 有 ( 1 ( 1 2 )) 1 2 ( 1 ( 1 )) ( 1 ( 2 )) ( 1 ( 1 ) 1 ( 2 ))
f i (ai ) 0, f i (a j ) 0 ( i j; i , j 1,2, , n).
由上式, 当 x = ai 时, 得到 ki fi(ai) = 0. 故 ki = 0 (i = 1, 2,…, n), 所以 f1(x), f2(x), …, fn(x) 线性无关, 从而 4 构成 Rn[x] 的基.
E i ,i Fi , j E i , j E j ,i i j; 1 i j n.
所以 dim U = 1+2+…+n = n(n+1)/2.
3
例3 Rn[x] 是实数域 R 上次数小于 n 的多项式与零多项式所组 成的线性空间. 给定 n 个互不相同的数 a1, a2,, an, 令
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性质 (1) (0) (0 ) 0 ( ) 0
( ) ((1) ) (1) ( ) ( )
(2) 1 , 2 , , n V , k1 , k 2 , , kn n n ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) k n ( n )
7
8
例8. 设W 1和W 2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明存在 aV，满足a W 1 ，a W 2 。 证明： 取 W 1, W 2 ， 若 W 2 或 W 1 则找到了满足条件的元素。 下面考虑 W 2 且 W 1 的情形 + 既不属于W 1 也不属于W 2
行 A 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n B
则存在可逆矩阵 P 使得 PA = B, 故
n i 1 n i 1
P1 1 , P 2 2 , , P n n , P ki i ki i
进一步, (1) 若 A 中不同元素在 B 中有不同的象, 即若 a1 ,a2 A, 由 (a1 ) (a2 ) a1 a2 , 则称 为单射. (2) 若 B 中每个元素均有原象, 即若 (A) = {(a)|aA} = B, 则称 为满射. (3) 若 既是单射, 又是满射, 则称 是双射. 例1 设 A 是一个集合, A 上的映射 id : A A, id(a) = a 是 A 到 A 的一个双射, 称为 A 上的恒同映射, 亦记为 IA .
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例9. 设W 1,W 2 ,…, Ws是n维线性空间V的s个非平凡子空间，证明存 在 aV，满足a W i （i=1,2,…,s）。 证法2. 对s进行归纳，s=2时结论成立 假设对s-1个非平凡子空间结论成立， 则存在 V，且 W i （i=1,2,…,s-1） 若 W s则已找到符合条件元素，考虑 W s的情形 存在 W s，则对所有k F， k + W s 若k 1,k 2 F，且k 1≠ k 2，则k 1 + 与k 2 + 不会同时属于W i （i=1,2,…,s）。 取s个不同的值 k 1,k 2 ,…,k s, 则k i + 中必至少有一 个不属于任何一个W i （i=1,2,…,s）
第19讲，综合复习与线性空间的同构 关于线性空间的基本要求（一） 1. 判断给定的集合关于所定义的运算是不是线性空间 2. 熟练掌握线性空间中向量的线性相关、无关的概念与 判定, 知道线性空间同构的概念和相关定理. 3. 求给定线性空间的基和维数 4. 求不同基之间的过渡矩阵、求向量在指定基下的坐标 5. 知道子空间的交、和与直和定义及其直和的等价命题 6. 知道如何求子空间的交空间以及和空间的基与维数, 熟练掌握维数公式, 知道如何求子空间的补空间.
例7. 证明：所有n阶方阵空间Mn是线性子空间空间L 1和L 2的 直和，其中L 1是对称方阵子空间，L 2是反对称方阵子空间。 例8. 设W 1和W 2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明存在 aV，满足a W 1 ，a W 2 。 例9. 设W 1,W 2 ,…, Ws是线性空间V的s个非平凡子空间，证明 存在 aV，满足a W i （i=1,2,…,s）。
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定义 设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从 V1 到 V2 的一个双射满足： (1) , V1 , 有 ( ) ( ) ( ), (2) V1 , k F , 有 (k ) k ( ), 则称 是同构映射, 称 V1 与 V2 是同构的. 例2 设矩阵 A 经过一系列初等行变换变为 B, 即:
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(3) 设 1,, n 是 V1 中向量, 则 V2 中向量 (1),, (n) 线 性相关 1,, n 线性相关.
证明 因为 是双射, 所以V1, () = 0 = 0, 所以 k11 kn n 0 (k11 kn n ) 0 k1 (1 ) kn ( n ) 由线性相(无)关的定义得证.
证明 对 n 归纳. 当 n = 1 时, 即定义1(2). 由定义1和归纳假 设有
(k11 k2 2 k n n )
(k11 k n1 n1 ) kn ( n ) k1 (1 ) kn1 ( n 1 ) kn ( n )
例4 证明 W = {f(x)|f(1) = 0, f(x)Rn[x]} 关于多项式加法和 数乘也作成线性空间, 求 W 的一组基和维数. 解 在例3中取 ai = i, (i =1, 2,…, n), 则 f1(x)W, 而其它多项 式 fi(x) (i = 2,…, n) 属于 W, 由此我们知道了 dim W = n-1, 且 fi(x) (i = 2,…, n) 就是 W 的一组基. 例5 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1 和 W2 的并是 V 的一个子空间 W1 包含 W2, 或 W2 包含 W1. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然, 存在元素 u 属于 W1, 但不属于 W2, 元素 v 属于 W2 但不 属于 W1. 则 u+v 不属于 W1 与 W2 的并, 与 W1 和 W2 的 并是 V 的一个子空间矛盾.
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线性空间的同构
定义 设 A, B 是两个非空集合, 如果按照某种确定的 法则, 使对每个 aA, 都有唯一的一个 bB 与其对 应, 则称这个对应关系 为 A 到 B 的一个映射, 并记 作： ：A B，(a) b 或
：A B，a b
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称 b 为 a 的象, 称 a 为 b 的原象.
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例6 线性空间 V 的任意有限个子空间的并是 V 的一个子 空间 它们均包含在其中一个子空间之中. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 对子空间的个数归 纳: 设 V 有 s 个子空间, 分别记为 W1, W2,, Ws, 它们 的并是 V 的一个子空间, 若 Ws W1 Ws 1 , 则 W1 W s 1 是 V 的一个子空间, 由归纳假设它们均包 含在其中一个子空间之中, Ws 也包含在这个子空间中, 若必要性不成立可设 Ws W1 Ws 1 , 且 W1 W s 1 Ws , 则存在 Ws, W1 Ws 1 , 且存在 W1 Ws 1 , W s , 由例5必有 s > 2, 故 , , ( s 1) W s ,W1 Ws 是 V 的一个子空间 , , ( s 1) W2 W s 1 , 由抽屉原理其 中有两个属于同一个 Wi , 由此可知 Wi 6 与 W1 W s 1 矛盾.