对尺规作图不能问题的再探求

对尺规作图不能问题的再探求
摘要：由尺规作图的准则1，准则2 ，定理1，定理2来研究
著名的尺规作图不能问题。

关键词：作图准则；尺规作图；立方倍积；三等分角；化园为
方
中图分类号：g42 文献标识码：a 文章编
号：1009-0118（2011）-12-0-02
一、预备知识
任何能用尺规来完成的作图，无论它多么复杂，都不外乎归结
为三条公法的有限次的有序结合，因此，要说明准则可以借助解析
几何知识，把每一条作图公法用代数解析式表示出来，就不难得出
结论。

（一）通过两个已知点作直线
在直角坐标系里，设两点p(a,b)q(c,d)则|a|,|b|,|c|,|d|都是
已知线段，过pq的直线方程是
如果用一般式表示，则为ax+by+c=0
式中a=d-b b=a-c c=bc-ad,它们都是仅含|a|,|b|,|c|,|d|
的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。

（二）以已知点为圆心，已知长为半径作圆
设已知点坐标为（e,f）,已知长为r，则|都是已知线段。

以（e,f）
为圆心，r为半径的圆的方程是(x-e)2+(y-f)2=r2
或x2+y2+dx+ey+f=0
其中d=-2e,e=-2f f=e2+f2-r2都是仅含|e| |f| r的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。

（三）关于求作交点的问题
1、作两已知直线的交点，
设两直线l1,l2的方程为
l1：a1x+b1y+c1=0
l2:a2x+b2y+c2=0
知a1，a2 b1 b2 c1 c2都是已知线段的有理整函数
若a1b2-a2b1≠0
则xy通过解方程用a1，a2，b1，b2，c1，c2的加，减，乘，除的式子表示。

x,y是仅含a1，a2，b1，b2，c1，c2的有理函数，即交点坐标都可以从已知线段用有理运算作图求出。

2、作已知直线和已知圆的交点
设已知直线l和圆c的方程为
l:ax+by+c=0
c:x2+y2+dx+ey+f=0
由（1）（2）知，a,b,c,d,e,f都是已知线段的有理整函数。

解这个方程组得x=p+q和x=p-q （s1≥0）
y=m+n和y=m-n （s2≥0）
其中p,q,s1及m,n s2也是仅含a,b,c,d,e,f的有理函数
即交点坐标x,y可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。

3、作两已知圆的交点
设两已知圆c1和c2的方程为
c1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0
c2:x2+y2+d2x+e2y+f2=0
这个方程组与下面的方程组同解：
c1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0
l1:(d1-d2)x+(e1-e2)y+(f1-f2)=0
此方程组得解与第2种情形有相同形式，即两圆交点的坐标x,y 可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。

由上述总结得出准则1
准则1：一个作图题中所要求出的线段x，可由一次齐次式
x=f(a1,a2,…am)表示，这个作图问题可用尺规作出的充分必要条件是：f是已知线段ak经过有限次的有理运算（加，减，乘，除）及开平方运算而得出。

显然一次和二次方程的根能用尺规作图，三次（甚至四次）方程的根能否仅用尺规作图，还需有如下准则2。

准则2有理系数的三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根能用尺规作图的充要条件是它有一个有理根。

由此可知，如果有理系数的三次方程没有有理根，那么长度等于它的任何实根的线段不能用尺规来作图。

至于判断方程是否有有理根，可用下面的代数知识的。

定理1 设方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0具有整系数，且有
有理根，p q是互质的整数，则p必是an的约数，而q是a0的约数。

如果a0=1，若方程有有理根，则此根必是an的约数。

定理2 设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an为一整系数多项式。

如果有质数p不为a0的约数，p为是a1，a2…，an的公约数，但p2不是an的约数，则f(x)在有理数范围内不可约。

显而易见，整系数的三次方程f(x)=ax3+bx2+cx+d=0
如果多项式f(x)在有理数范围内不可约，则此方程必没有有理根，根据定理2这个三次方程的根不能仅用尺规作图。

二、著名的尺规不能问题
约在两千四百多年前，在希腊盛传着下列三个作图题：
（一）立方倍积问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体积的两倍。

（二）三等分角问题：求作一角，使等于已知角的三分之一。

（三）化圆为方问题：求作一正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

下面分别说明这三个问题仅用尺规作图是不可能的。

1、立方倍积问题
设已知立方体的棱长为a所求作立方体的棱长为x，则按提意有x3=2a3
即x3-2a3=0
令a=1，则此方程变的更简单形式：x3-2=0
根据准则2，如果方程含有有理根，只可能是1，-1，2，-2，
但代入检验均不符合。

故方程没有有理根。

由准则1知方程的根不能仅用尺规作图，因此立方倍积问题属于尺规作图不能问题。

2、三等分角问题
设已知角∠xoy=a,op,oq是它的三等分线，∠xop=∠poq=∠qoy=?%a,在这两条三等分线中，只要能求得任何一条，即可求得另一条，现研究射线op。

取单位长为半径画弧交射线oz,oy,op与a,b,c,引bd,ce垂直ox于d,e。

令od=a oe=x则a=cos?%a，x=cos
根据三角公式cos?%a=4cos3-3cos
因而得到三次方程：a=4x3-3x 即4x3-3x-a=0
如果能证明方程的根不能用尺规作图，则e点不可得，于是射线op也就不能作出了。

为此，我们取?%a=
此时a=cos=
于是得到方程的一个特例如下：
8x3-6x-1=0设y=2x化简这个方程得y3-3y-1=0
由于1，-1不能满足方程，所以方程没有有理根，从而方程
8x3-6x-1=0也没有有理根。

这就是说的角不能用尺规三等分，因此三等分任意角当然属于尺规不能问题。

3、化圆为方问题
设已知圆的半径为r，所求正方形边长为x，按题意有
x2=?%ir2
令r=1即得x=
这就是说，要我们作一条线段x。

使它的长度等于。

这条线段当然存在，但由于?%i是无理数，不是有理系数的代数方程，当然更不是加，减，乘，除开平方所表示的，所以它不能仅用尺规作图。

研究尺规作图不能问题目的还在于在遇到仅用尺规作图问题时，先应该对这个问题做出一个判断，看能不能仅用尺规来作出，判断的方法除了用准则外，还可以将问题归结为某一已知的作图不能问题，那么就可断言当前的问题也不能仅用尺规作图。

参考文献：
[1]陈达.几何研究[m].江苏高校试用教材.。