初中数学专题尺规作图(含答案)

第28课时尺规作图
◆考点聚焦
1．掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤．
2．利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，•对简单的作图能叙述作法．
3．运用基本作图、结合相关的数学知识（平移、旋转、对称、•位似）等进行简单的图案设计．
4．运用基本作图解决实际问题．
◆备考兵法
1．熟练掌握基本作图．
2．在画几何体的三视图时，要注意其要求，•即“长对正”“高平齐”“宽相等”．
3．认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图．
◆识记巩固
1．尺规作图的定义：_____________．
2．基本作图包括：_______，_______，________，________，_______．3．三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，•三角形三内角平分线的交点叫三角形的内心，外心到三角形的_______的距离相等，内心到三角形_______的距离相等．识记巩固参考答案:
1．限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图
2．作线段作角作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线作角平分线
3．顶点三边
◆典例解析
例1 （2008，新疆建设兵团）
（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．
解析（1）所作菱形如图①，②所示．
说明：作法相同的图形视为同一种，例如类似图③，•图④的图形视图与图②是同一种．
①②
③④
（2）图①的作法：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1，连结H1E1，E1F1，G1F1，G1H1．
四边形E1F1G1H1即为菱形．
图②的作法：在B2C2上取一点E2，使E2C2>A2E2且E2不与B2重合，连结A2E2．以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；
以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；
连结H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
例2 如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．
解析连结AB．因为OA=OB，因此△ABO为等腰三角形．要作出∠AOB的平分线，•只要确定出AB的中点即可．因AEBF为矩形，因此连结AB，EF，相交于M．根据矩形的性质，M即为AB的中点．连结OM，射线OM即为所求的角平分线．
例3台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学，几何学知识．如图是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡，现在击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？•请在图中用尺规作图这一点H，并作出E球的运行路线（不写画法，保留作图痕迹）．
解析作点E关于直线AB的对称点E1，连结E1F，E1F与AB相交于点H，球E•的运动路线是EH→HF．
点评本例是把实际问题通过抽象，把求H点的问题先转化为作E•点关于直线AB的对称点问题加以解决．数学课程标准对尺规作图提出了明确要求，是中考的重要内容之一，在复习时要掌握基本作图，要善于把具体问题的作图转化为基本作图．•学会对作图问题进行分析，归纳，掌握画法．
◆中考热身
1．（2008，江苏镇江）如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD 的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连结DF，在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不定作法，保留作图痕迹）
2．（2008，山西太原）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C．
（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，•不写证明）（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．
3．（2008，四川成都）如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使ABC•的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点_________．
（要求画出草图，保留作图痕迹）
◆迎考精练
一、基础过关训练
1．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AD是∠BAC的平分线．以AB上一点O为圆心，AD•为弦作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
2．请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD=BC．
（1）求tanB和sinB的值．
（2）在你所画的等腰△ABC中，假设底边BC=5米，求腰上的高BE．
3．作一条直线，平分如图所示图形的面积：
4．现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不会被任何一个同学发现？（画图，用阴影表示）
5．按下列要求作图，不写画法，要保留作图痕迹．
（1）在图1中，作出AB的中点M，作出∠BCD的平分线CN，延长CD到点P，使DP=2CD；（2）如图2是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆弧所在的圆心．
图1 图2
6．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=3
5
．
（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法，证明）；（2）若直线L与AB，AC分别相交于D，E两点，求DE的长．
7．成绵高速公路OA和绵广高速公路OB在绵阳市相交于点O，在∠AOB•内部有两个城镇C，D，若要修一个大型农贸市场P，使P到OA与OB的距离相等，且PC=PD，用尺规作出市场P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
二、能力提升训练
8．已知正方形ABCD的面积为S．
（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C 对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）
（2）用S1表示（1）中所作出的四边形A1B1C1D1的面积；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）•的要求作出一个新的四边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？
参考答案:
中考热身
1．解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．
（2）△BOE≌△BOF≌△DOF．证明（略）
2．解：（1）如图，AD即为所求
（2）△ABD∽△CBA，理由如下：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠BCA．
又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA．
3．分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连结A′A″，分别交OM，ON于点B，点C，则点B，点C即为所求作图略
迎考精练
基础过关训练
1．点拨：作AD的垂直平分线与AB的交点即为圆心，OA为半径．（作图略）
2．解：①画线段BC：
②作BC的垂直平分线MN与BC相交于D；
③在DM上截取DA=BC；
④连结AB，AC，△ABC即为所求．
（1）tanB=2，sinB=25
5
，
（2）BE=25米．
3．点拨：过几何体中心的任一条直线均可将该图形分成面积相等的两部分．（•如图）4．解：小明在图中的阴影部分区域就不会被两个同学发现．
5．（1）作图略．（2）点拨：在残片的圆弧上任选两条弦，分别作它们的中垂线，其交点即为圆心．
6．点拨：（1）①分别以A，C为圆心，以大于1
2
AC为半径画弧，两弧相交于M，N；•
②连结MN，过MN的直线即为所求的直线L．（2）DE=2． 7．点拨：（1）作∠AOB的角平分线OE；
（2）作DC的垂直平分线MN；
（3）MN 交OE 于P 点，P 即为所求． 能力提升训练
8．解：（1）如图1．
图1 图2 （2）设正方形ABCD 的边长为a ，∴S=a 2． 依题意A 1D 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 15． 易证A 1B 1C 1D 1是正方形， ∴S 1111A B C D =5a 2，∴S 1=5S ． （3）S 1=S 2．证明如下：
如图2，连结BD 1，BD ．在△BDD 1中，AB 是中线， ∴S △ABD =S △ABD1．
在△AA 1D 1中，BD 1是中线， ∴S △ABD1=S △A1BD1，S △AA1D1=2S △ABD1， 同理S △OC1B1=2S △CBD ， ∴S △AA1D1+S △OC1B1=2S ． 同理S △DD1C1+S △BA1B1=2S ， ∴S 四边形1111A B C D =5S=S 2， ∴S 1=S 2．。