晶体结构 (讲义)

第一章晶体结构§1.1 引言§1.2 晶体的特征●长程有序／外形规则／各向异性§1.3 空间点阵学说●基元／结点／格点／重复单元／子晶格§1.4 晶体结构的数学描述及晶系举例●三矢／晶系举例／晶列、晶面指数§1.5 半导体的晶体结构●金刚石／闪锌矿／岩盐／纤锌矿§1.6 倒格子与布里渊区●周期函数的级数展开／状态空间的几何表示／倒格子的概念／举例／波矢空间与布里渊区§1.2 晶体的特征（附件0）┌单晶体┌晶体┤固体（半导体）┤└多晶体│└非晶体（非晶态固体）●晶体：具有规则结构的固体长程有序──晶体中的原子（分子）至少在远大于其分子线度的范围内是按照一定的规律周期性排列的。

晶体举例：金属、岩盐、水晶、金刚石、白宝石、陶瓷材料●非晶体：不具有规则结构的固体短程有序──非晶态固体中原子（分子）的排列没有明确的周期性，其内部结构的有序性仅仅表现在分子线度内。

非晶体举例：玻璃、橡胶、塑料、白蜡“过冷液体”──无确定熔点●单晶体？多晶体？●单晶体：所有原子（分子）都按照统一的规则排列的晶体特征：有一定外形，且其外形呈现出高度的对称性，物理性质各向异性凸多面体，晶面解理，解理面，解理性晶带（a-1-c-2），晶棱(晶面交线)，带轴，晶轴单晶体举例：水晶、岩盐、金刚石●多晶体：由许多微细单晶体组成的晶体其原子（分子）在整个晶体中不按统一的规则排列特征：无一定外形，物理性质各向同性多晶体举例：各种金属、各种陶瓷材料→组成金属的小晶粒的线度为μｍ量级故金属至少在μｍ量级的范围内有序●理想晶体（完整晶体）：结构完全规则的晶体●近乎完整的晶体：在规则（排列）的背景中尚存在微量不规则性的晶体晶体中的微量不规则性──缺陷天然杂质或人为掺杂缺陷的两重性：纯 Fe ＋微量 C →钢白宝石＋微量铬离子→红宝石（Al2O3）（Cr+3）p-n结注：铬（gè）§1.3 空间点阵学说──主要概念与基本内容（附件1）●正确反映了晶体内在结构“长程有序”的特征⑴基元，晶体的周期性结构，周期●基元：组成晶体的最小基本单元┌─可以由一个或多个原子组成│├─可以由同种或异种原子组成│└─基元的等同性●晶体结构：由特定的基元沿空间三个不同的方向各按一定的距离周期性地平移而构成每一平移距离＝周期⑵结点，点阵，布喇菲点阵●结点：基元的抽象仅限于考察晶体结构的周期性特征可不涉及基元内部组成的具体情况可把基元抽象为一点可选取基元中任何一点代表基元──抽象表示基元的点子＝结点基元中结点的任意性基元间结点的一致性●结点的总体─→点阵／布喇菲点阵●空间点阵：晶体结构的一种抽象模型─┬──└→由一些相同的点子在空间有规则地作周期性排列的无限分布点子的总体＝点阵●点阵是晶体周期性结构的抽象：结点在点阵中周期性排列的情况≡基元在晶体中周期性排列的情况≡基元中任一原子（离子）在晶体中周期性排列的情况⑶格点，晶格，布喇菲格子●通过点阵中的结点，可以作：许多平行的直线族和平行的晶面族┌─点阵成为网格│└─网格化的点阵＝晶格●在晶格中，“结点”改称“格点”●格点的总体─→布喇菲格子──┬──└→布喇菲点阵的同义语●网格化描述：更形象地了反映晶体结构的周期性⑷重复单元，最小重复单元，原胞，晶胞（附件1）●晶格：许许多多、完全相同的、以格点为顶点的平行六面体的堆砌●平行六面体与格点的关系：顶点都在格点上内部表面→可有格点，也可无格点棱上●重复单元：任一符合上述定义的平行六面体●最小重复单元：内部、表面、棱上均无格点●原胞（布喇菲原胞）：棱上无格点内部、表面可有可无○由任一格点向与之相邻的三个格点分别引出三条线段,以此三条线段为边所确定的平行六面体。

○所有顶点都在格点上，任一边长都等于该边长所在方向上的晶格周期的平行六面体。

●原胞与晶格周期性的关系：原胞任一边的长度恰为晶格在该边所在方向上的一个周期固体物理学原胞（最小重复单元,各边取向既定）●原胞晶胞/结晶学原胞（非最小重复单元，反映晶体结构对称性）●晶轴: 晶胞各边取向⑸“原子格子”，子晶格，简单格子，复式格子扬弃晶体基元具体结构●布喇菲格子只保留其周期性排列的特征●“原子格子”：出发点：兼顾晶体基元内在结构定义：以基元中的所有原子为格点的晶格以晶体中的所有原子为格点的晶格●子晶格（“原子格子”子晶格）：前提：多原子基元（可以是同种元素的原子）定义：以基元中任一原子为格点的晶格子晶格＝特殊的布喇菲格子●“原子格子”＝∑各子晶格●简单格子：定义：基元中只含有一个原子的“原子格子”只由一个子晶格构成●复式格子：定义：基元中含有多个原子的“原子格子”由多个子晶格套构而成●“原子格子”最小重复单元内的原子数简单格子：1复式格子：n≥2 （n为基元中所含原子数）§1.4 晶体结构的数学描述及晶系举例(1) 基矢，位矢，格矢（附件1）● 基矢的概念：○在布喇菲格子中，取任一格点为原点，向与之邻近的三个不同格点分别引矢量1a 、2a 、3a ，即构成布喇菲原胞的基矢。

○由矢量1a 、2a 、3a 所决定的平行六面体，若为固体物理学原胞，则称之为固体物理学原胞的基矢；若为结晶学原胞，则称之为结晶学原胞的基矢。

● 有关基矢标记的一个约定： ○固体物理学原胞的基矢用1a 、2a 、3a 表示 ○结晶学原胞的基矢用a 、b 、c 表示● 位矢的概念：○表示布喇菲格子中任一点（不一定是格点）所处位置的矢量○采用固胞基矢的表示法 ,321a C a B a A r ++= C B A ,,为任意实数 ○采用晶胞基矢的表示法 ,c C b B a A r '+'+'= C B A ''',,为任意实数 ● 格矢的概念：○布喇菲格子中任一格点的位矢○采用固胞基矢的表示法 ,332211a a a R ++= 321,, 为整数○采用晶胞基矢的表示法 ,c p b n a m R ++= p n m ,,为有理数（稍后说明）晶格中周期性物理量的周期性特征表述：○晶格中的物理量往往具有与晶格相同的周期性设)(r Γ代表晶格中任一点处的某一物理量（如晶体势场)(r V ），且该物理量具有与晶格相同的周期性，则该物理量的周期性可以表示为)()( R r r +Γ=Γ（2）晶系举例（群论）●七大晶系，14种布喇菲格子简立方立方晶系体心立方●半导体晶格面心立方六角晶系六角格子●一个重要结论：对任一晶系、任一布喇菲格子，晶胞中的格点只有可能出现在晶胞的顶点、体心或面心上。

（1）简单三斜；（2）简单单斜；（3）底心单斜（4）简单正交；（5）底心正交；（6）体心正交；（7）面心正交；（8）六角；（9）三角；（10）简单四方；（11）体心四方；（12）简立方；（13）体心立方；（14）面心立方I. 立方晶系● 立方晶系晶胞的共同特点：三个基矢长度相等且互相垂直 a c b a === ,b a ⊥ ,c b ⊥ a c ⊥● 基于笛卡尔座标系的表述： ,a i a =,a j b =;a k c= k j i ,,为单位矢量 ● 晶格常数：晶胞基矢的长度叫晶格常数立方晶系只有一个晶格常数：a六角晶系则需要两个晶格常数：,a c简立方 体心立方 面心立方a iA ． 简立方晶胞：● 立方体● 格点位置：顶 角（8个）其余部分 无格点● 最小重复单元● 实际包含格点数：1固胞：● O 点：前面 左下角 ● i ，j ，k 方向： 右、后、上 三边● 固胞＝晶胞● 固胞基矢＝晶胞基矢，即： a i a a==1 a j b a ==2 a k c a==3B ． 体心立方晶胞：● 立方体● 格点位置：顶 角 全部被格点占据 体心处 还有1个格点其余部分 无格点● 非最小重复单元● 实际包含格点数：2固胞:● O 点：上面立方体的 前面 左下角下面立方体的体心 ● i ，j ，k 方向： 右、后、上 三边● 基矢： )(21k j i a a ++-= 下面立方体的 后面 左上角 )(22k j i a a +-= 下面立方体的 前面 右上角 )(23k j i a a -+= 下面立方体的 后面 右下角C ． 面心立方晶胞：● 立方体● 格点位置：顶 角 全部被格点占据 面心处 还有6个格点 其余部分 无格点● 非最小重复单元● 实际包含格点数：4固胞:● O 点：前面 左下角 ● i ，j ，k 方向： 右、后、上 三边 ● 基矢： )(21k j a a += 左 面心 )(22i k a a += 前 面心 )(23j i a a += 下 面心 （基矢终点： 离O 点最近的三个面心）II. 六角晶系（六角格子）晶胞：● 平行六面体（棱柱体，底面为菱形，六角形1/3区域） ● 格点位置：顶 角（ 8个） 其余部分 无格点● 最小重复单元● 实际包含格点数：1● 基矢特征： 底面基矢 ,a b ：长度相等，即 a b a == 夹角120° 高度方向基矢c ：垂直于底面 长度 c c =● 基矢在笛卡尔座标系的表述： O 点：底面六角形中心 k j i ,,：单位矢量，k i ,方向与,a c 重合 a i a = ()())3(212321j i a a j a i b +-=+-= c k c= 固胞＝晶胞： ,1a a =,2b a =c a =3（３）晶列指数、晶面指数、密勒指数（附件） 晶列：由一系列结点构成的平行直线族晶面：由一系列结点构成的平行平面族晶列的特征：取向（晶向）晶面的特征：取向（法向）晶列和晶面的数学描述：标示其取向晶列指数：标示晶列取向的一组数字（互质整数） ●固胞中的晶列指数［321 ］●晶胞中的晶列指数［mnp ］●等效对称晶向 <mnp >晶面指数：标示晶面取向的一组数字（互质整数） ●固胞中的晶面指数（321h h h ）●晶胞中的晶面指数（hkl ）＝密勒指数 ●等效对称晶面｛hkl ｝晶列指数描述对象：晶列A O ——起点为某一格点O终点为某一格点A数学表示：晶列A O = 格矢A O l R , 固胞：332211,a l a l a l R A O l '+'+'=，'''321,,l l l 为整数 晶胞：c p b n a m R A O l '+'+'=,，p n m ''',,为有理数晶列A O 的取向由'''321,,l l l 完全确定 晶列指数：○若'''321,,l l l 为一组互质整数，可将之直接作为晶列指数，记作 ],,[321'''l l l ；○ 若'''321,,l l l 非一组互质整数，可将之简约为一组互质整数321,,l l l ，并将后者作为晶列指数， 记作 ],,[321l l l 。