代数式比较大小
如何比较两个代数式的大小
比较代数式的大小问题常以选择题、填空题的形式出现.此类问题的难度一般不大，侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.在解题时，需灵活运用简单基本函数的图象、性质来进行分析.本文主要探讨以下两种比较代数式大小的技巧.一、通过放缩进行比较有时两个要比较的代数式之间没有任何关联，此时可以通过放缩代数式，来确定要比较的两个代数式的大小或者范围，进而比较出两个代数式的大小．利用放缩法比较代数式的大小，可以从基本不等式、泰勒公式、柯西不等式、绝对值不等式、曲线的切线、重要不等式等入手，对要比较的代数式进行合理的放缩.例1.（2022年高考全国甲卷文科，第12题）已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）.A.a＞0＞bB.a＞b＞0C.b＞a＞0D.b＞0＞a解法1：由9m=10，得m=log910=lg10lg9，则m-lg11=1lg9-lg11=1-lg9lg11lg9lg10＞1-æèçöø÷lg9+lg1122lg9lg10＞1-æèçöø÷lg10022lg9lg10=0，所以a=10m-11=10m-10lg11＞0．则m-log89=lg10lg9-lg9lg8=lg10lg8-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg10+lg822-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg8122-(lg9)2lg9lg8=0，所以b=8m-9=8m-8log89＜0．所以a＞0＞b，故选A．解法2：由9m=10，得m=log910=lg10lg9＞1．由糖水不等式，得lg10lg9＞lg10+lg109lg9+lg109=lg1009lg10＞lg999lg10=lg11lg10，所以m=log109＞lg11，从而可得a=10m-11＞10lg11-11=0．同理可得lg9lg8＞lg9+lg98lg8+lg98=lg818lg9＞lg808lg9=lg10lg9，所以log98＞log109=m，则b=8m-9＜8log89-9=0，故a＞0＞b．解法1是利用指数与对数运算性质以及基本不等式进行放缩；解法2是利用“糖水不等式”进行放缩，从而确定了a、b的临界值，比较出三个代数式的大小．例2.（2022年全国新高考1卷，第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（）.A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b解法1：由泰勒展开式，得e x=1+x+x22!+x33!+⋯+x nn!+⋯，则ln(1+x)=x-x22+x33-x44+⋯+(-1)n-1x n n+⋯，所以xe x=x+x2+x32!+x43!+⋯+x n+1n!+⋯,-ln(1-x)=x+x22+x33+x44+⋯+x n n+⋯．令x=0.1，得a=0.1+0.12+0.132!+⋯，b=0.1+0.12+0.13+⋯，c=-ln0.9=0.1+0.122+0.133+⋯，故c＜a＜b．故选C．解法2：由重要不等式e x≥x+1（当x=0时取等号），可知e-110＞1-110=910，即e110＜109，所以110e110＜19，所以a＜b．令x=0.1，由e x≥x+1可得e0.1＞1.1，所以0.1e0.1＞0.11；由ln x≤12æèöøx-1x（x≥1），得ln109＜12æèöø109-910=19180=0.105·＜0.11，所以c＜a.综上可知，c＜a＜b．根据三个代数式的结构特征很容易联想到泰勒公式，解法1是从泰勒公式入手，通过赋值、放缩，比较出三个代数式的大小.解法2是从重要不等式e x≥x+1入手，对其进行合理的赋值、放缩，从而比较出三个代数式的大小．例3.（2022年全国甲卷理科，第12题）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（）.B.b＞a＞c解题宝典36解题宝典C.a ＞b ＞cD.a ＞c ＞b解：由泰勒展开式，得sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，所以当x ＞0时，cos x ＞1-x 22，sin x x =1-x 23!+x 45!-⋯＞cos x ，令x =14，得cos 14＞1-12×42=3132，则4sin 14＞cos 14，故c ＞b ＞a ．解答本题，需联想到泰勒展开式的变形式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，将两个式子进行放缩，以确定cos x 、sin xx的取值范围.然后将x 用14替换，通过赋值，判断出三个代数式之间的大小关系.二、利用函数的性质进行比较在比较代数式的大小时，我们常需要用到简单基本函数的单调性.一般地，若自变量x 1＞x 2，且函数单调递增，则f ()x 1＞f ()x 2；若自变量x 1＞x 2，且函数单调递减，则f ()x 1<f ()x 2.在解题时，需仔细观察要比较的代数式的结构特征，合理构建函数模型，以便利用函数的单调性进行比较．以例1为例.解：由9m =10，得m =log 910=lg 10lg 9＞1．设函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，则f ′(x )=mx m -1-1.由{x ＞1，m ＞1，得x m -1＞x 0=1，所以mx m -1＞1，即f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，+∞)上单调递增，所以f (10)＞f (9)＞f (8)，即10m -11＞9m -10＞8m -9，故a ＞0＞b ．我们仔细观察9m =10、a =10m -11、b =8m -9三式，可发现其结构形如f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，于是构造出函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，并对其求导，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性比较出三式的大小.以例2为例解：因为a =0.1e 0.1，b =0.11-0.1，c =-ln(1-0.1)，则a b =0.1e 0.10.11-0.1=(1-0.1)e 0.1，设f (x )=(1-x )e x ，x ∈[0,0.1]，则f ′(x )=-xe x≤0，所以f (x )在[0,0.1]上单调递减，所以f (0.1)＜f (0)=1，即(1-0.1)e 0.1＜1，所以a ＜b .设g (x )=xe x+ln(1-x )，x ∈éëöø0，19，则g ′(x )=(x +1)∙e x (x 2-1)+1x -1．设h (x )=e x (x 2-1)+1，h ′(x )=e x (x 2+2x -1)＜0，则函数h (x )在区间éëöø0，19上单调递减，因为h (0)=0，所以h (x )＜0，因为x +1＞0，x -1＜0，所以g ′(x )＞0，则函数g (x )在区间éëöø0，19上单调递增．因为g (0)=0，所以g (x )=xe x+ln(1-x )＞0，所以xe x＞-ln(1-x )．当x =0.1时，0.1e 0.1＞-ln 0.9，即a ＞c ．所以c ＜a ＜b ．本题中的a 、b 、c 三式分别为指数、分式、对数式，很难比较它们的大小，于是将ab、a -c .然后构造出函数f (x )=(1-x )e x 、g (x )=xe x +ln(1-x )，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性比较出三个代数式的大小.以例3为例解：设f (x )=x -sin x ,x ∈éëöø0,π2，则f ′(x )=1-cos x ≥0，所以f (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以f (x )≥f (0)=0，即x ≥sin x ．设g (x )=cos x +12x 2-1，x ∈éëöø0,π2，则g ′(x )=-sin x +x ≥0，所以g (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以g æèöø14=cos 14+12×æèöø142-1＞g (0)=0，即cos 14＞3132，即b ＞a ．设h (x )=sin x -x cos x ，0≤x ＜π2，则h ′(x )=x sin x ≥0，所以h (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以h æèöø14＞h (0)，即sin 14＞14cos 14，得c ＞b ．故c ＞b ＞a ．故选A ．要比较的三个代数式分别为分数、正弦函数式、余弦函数式，需先分别将a 与b ，c 与b 作差；再构造函数f (x )=x -sin x 、h (x )=sin x -x cos x ；然后讨论其单调性，根据其单调性判断代数式之间的大小关系.可见，比较代数式的大小，可以从不等式的结构特征、函数的性质入手，灵活运用不等式的性质进行放缩，还可以构造合适的函数，利用函数的单调性进行比较．但需注意，在解题时，还需灵活运用各种运算技巧、性质，以及数形结合思想来辅助解题.（作者单位：甘肃省天水市第三中学）37。
高中数学—指对数比较大小方法
高中数学—指对数比较大小方法标题：高中数学——指对数比较大小方法在数学的海洋中，我们经常需要比较数字的大小。
然而，当我们面对指对数时，比较大小的方法就变得相对复杂了。
指对数是一类特殊的函数，其特点是函数的值与实数之间存在一一对应的关系。
因此，比较指对数的大小实际上就是比较它们所对应的实数的大小。
一、理解指对数我们需要理解什么是指对数。
简单来说，指对数是一种特殊的函数，它可以将一个正实数映射到一个特定的实数。
对于任何一个正实数x，都有一个唯一的实数y与之对应，这个关系可以表示为log(x) = y。
其中，log是常用对数的简写形式，它通常用来表示以10为底的对数。
二、比较指对数大小的方法1、利用函数的单调性：对于任何一个底数大于1的指对数函数，它在定义域内都是单调递增的。
因此，如果log(a) > log(b)，那么a 一定大于b。
同样地，如果log(a) < log(b)，那么a一定小于b。
2、利用图象：我们可以通过画出指对数函数的图象来比较大小。
如果两个数的指对数值相等，那么它们对应的点应该在同一条直线上。
反之，如果两个数的指对数值不相等，那么它们对应的点一定不在同一条直线上。
3、利用中间值：当两个数的指对数值难以确定时，我们可以利用中间值来比较它们的大小。
假设log(a) > log(m) > log(b)，那么我们可以推断出a > m > b。
三、注意事项在比较指对数大小的时候，一定要注意底数的范围。
如果底数小于1，那么函数在定义域内是单调递减的。
这时，比较大小的方法就需要根据具体情况来调整了。
总结来说，比较指对数大小的方法需要我们理解指对数的概念和性质，并利用函数的单调性、图象和中间值等方法来进行比较。
我们也要注意底数的范围对比较大小的影响。
通过不断地实践和练习，我们就能熟练掌握指对数比较大小的方法了。
在数学学习中，比较大小是非常基础且重要的一项技能。
比较两个代数式大小
比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果>1,那么a<b;这种比放缩法：如果到：老大比老三大。
体验题1如果体验思路因体验过程∵∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。
看看我们的方法行不行？体验题2体验题2如1>a>b>0 ,试比较ab,ab2,b2a的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab2>0,ab2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程方法一，作差法.∵ab-ab2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a2b∵ab-a2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a2b∵ab2-a2b=ab(b-a)<0, ∴ab2<a2b∴ab> a2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0. ∵21ab ab b=>1, ∴ab>ab 2. ∵21ab a b a =>1, ∴ab>a 2b. ∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b. ∴ab> a 2b>ab 2体验题3体验题3如果体验思路 ∵体验过程 ∵a<b<0, ∵b a 11--b a b a 题是分数形式的代数式，且上述代数式与0的大小关系已知.另外，易确b a，2a b ,2b a 与1的大小关系，故也可考虑放缩法.∵1>a>b>0, ∴a b >1, b a <1, ∴a b >b a; ∴2a b =a b .a>a b .1=a b>1 (这一步中间过程将a 放缩到1) ∴2b a =b a .b<b a .1=b a<1. (这一步中间过程将b 放缩到1)∴2ba<ba<ab<2ab方法二：作商法∵22bbaa ab=<1,∴ba<ab∵22baab=33ba<1, ∴2ba<2ab,∵2 a ba b∵2 b a b a∴2ba<小结：作差法，..毕竟实践出真知！祝你成功！实践题实践题1 如果a+2b>a+b+1,比较a与b的大小关系 .实践题2 有一个两位数，个位上的数是a,十位上的数是b,如果把这两位数的个位与十位上的数对调，新得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大？实践题答案实践题1实践详解∵a+2b-(a+b+1)=a-(b+1)>0,所以a>b+1b+1>b∴a>b实践题2实践详解原来的两位数是10b+a,新的两位数是10a+b, ∵10a+b-(10b+a)=9(b-a)<0，∴b<a。
作差法与作商法比较大小精选文档
当0<a<1时，a<1a.
5
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
? 例：试比较 6x2 +3x+5与5x2+3x+的2 大小
?解： 6x2 +3x+5– ( 5x 2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5– 5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
Q
2 x
?
0
?
2 x
?
3
?
3
?
0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0
定号
∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
下结论
6
类型三 利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．
[分析]
因为a >0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
7
[ 解]
a a
abbbba＝a
a
－b·bb－
a
＝(ab)a
－b，
当a >b>0时， ab>1，且 a －b>0，∴ (ab)a －b>1.
即aabb>abba；
当b>a >0时， 0<ab<1，且 a －b<0，
∴(ab)a －b>1.即a a bb>a b ba .
综上知： aabb>abba.
不等式的基本性质
不等式的基本性质编稿：周尚达审稿：张扬责编：辛文升目标认知学习目标：理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在显示时节和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景.能用不等式的基本性质比较代数式的大小。
重点：不等式的性质及运用，用不等式的基本性质比较代数式的大小。
难点：不等式性质的应用。
学习策略：①不等式的基本性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，注重性质的推导过程，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
②要比较两个式子的大小，通常只需将他们作差即可。
如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
③要证的不等式或者需要比较大小的式子含“幂”或“指数”，常采用作商比较法。
知识要点梳理知识点一：不等式的概念用不等号（）表示不等关系的式子叫不等式.知识点二：不等式的性质1、不等式的基本性质：①对称性：②传递性：③可加性：（）④可乘性：如果，则2、不等式的运算性质：①可加法则：②可乘法则：③可乘方性：④可开方性：知识点三：比较大小的方法1、作差法：任意两个式子、，可以作差后比较差与0的大小关系，从而得到与的大小关系，这种比较大小的方法称为作差比较法。
作差比较法的理论依据：①；②；③。
2、作商法：任意两个式子，如果、，可以作商后比较商与1的关系，从而得到与的大小关系。
作商差比较法的理论依据：若、，则有①；②；③.注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.规律方法指导1、作差比较法的主要步骤：①作差；②变形（分解因式，配方等）；③判断差的符号；如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
④下结论。
注意：这里“判断差的符号”是目的，“变形”是关键过程。
2、作商比较法的主要步骤：①判断要比较两式的符号都为正；②作商；③变形；④判断商与1的大小关系；如果商与1的大小关系不确定，就需要对其商进行讨论。
解答不等式问题的几个技巧
解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。
代数变形常用技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
比较两个代数式大小[技巧]
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比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果a>0,b>0并且b a >1,那么a>b; 如果a<0,b<0并且ba>1,那么a<b;这种比较方法需有一定的前提条件，就是必须知道各代数式与0的大小关系.放缩法：如果a>b,b>c,那么a>b>c.正如老大比老二大，老二比老三大，肯定可以得到：老大比老三大。
下面结合体验题来体验一下这三种方法，在中学所学的范围内，大部分代数式的比较大小我们都可以用这三种方法来比较大小.体验题1体验题1 如果a>b,试比较5-a,5-b 的大小关系。
体验思路因为我们无法判断5-a,5-b 与0的大小关系,故在此我们无法用作商法，我们只有选择作差法。
体验过程 ∵5-a-(5-b)=b-a<0∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。
看看我们的方法行不行？体验题2体验题2 如1>a>b>0 ,试比较ab,ab 2,b 2a 的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab 2>0,ab 2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程 方法一，作差法.∵ab-ab 2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a 2b∵ab-a 2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a 2b ∵ab 2-a 2b=ab(b-a)<0, ∴ab 2<a 2b∴ab> a 2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0.∵21ab ab b =>1, ∴ab>ab 2.∵21ab a b a=>1, ∴ab>a 2b.∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b.∴ab> a 2b>ab2体验题3体验题3如果a<b<0,试比较a 1-,b1-的大小关系？体验思路∵a<b<0.∴a 1->0,b1->0.如果我们作差，也可以比较上述代数式的大小关系，但相对麻烦一些。
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比较大小典例分析【例1】 若，，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】 将，，按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】 若，，则 满足（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 若，则下列不等式中， ① ② ③ ④正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）【例5】 已知，那么“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件0a b <<1a b +=1222a b +2ab b 2321223⎛⎫⎪⎝⎭1222x =2x =,x y x y >x y ≥x y <x y =110a b<<a b ab +<||||a b >a b <2b aa b+>,a b ∈R ||a b >22a b >【例6】 若，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例7】 比较下列代数式的大小：⑴ 与； ⑵ 与；【例8】 比较下列代数式的大小：⑴ 与；⑵，且）⑶ 与（其中）．【例9】 、、、均为正实数，且，将、、与按从小到大的顺序进行排列．0b a <<11a b >a b >2b aa b+>a b ab +>23x x +2x -61x +42x x +43x x y -34xy y -0xy >x y >x y x y y xx y 0,0,x y x y >>≠a b c d a b >b a a bb c a c ++a d b d ++【例10】 比较大小：、与（其中）【例11】 已知、、、均为实数，且，，则下列各式恒成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例12】 当时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例13】 已知三个不等式：，，（其中、、、均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例14】 ⑴已知：，求证：． log a ablog a b log b a 21a b a >>>a b c d 0ab >c d a b -<-bc ad <bc ad >a b c d >a b c d<a b c >>ab ac >a c b c >ab bc >()0a b c b -->0ab >0bc ad ->0c da b->a b c d 11,a b a b>>0,0a b ><⑵若，，求证：．【例15】 设，则是的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．BC ．D ．【例17】 设，若，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例18】 若，则下列结论不正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．0a b >>0c d >>d c a b<a ∈R 1a >11a<00a b <>，11a b<22a b <||||a b >,a b ∈R ||0a b ->0b a ->330a b +<220a b -<0b a +>110a b<<22a b <2ab b <2b aa b+>||||||a b a b +>+【例19】 若，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．和均不能成立B ．和均不能成立 C ．不等式和均不能成立 D ．不等式和均不能成立【例20】 若，则下列结论中不正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【例21】 设，且，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若，则 ⑵若，则⑶若，则 ⑷若，则0a b <<11a b >11||||a b >11a b a >-11||||a b >11a b a >-2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11||||a b >2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111a b<<log log a b b a >|log log |2a b b a +>2(log )1b a <|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+a b ∈R ，()10b a b ++<()10b a b +-<1a >1a <-11a -<<1a >22ac bc >.a b >a b >11.a b<,a b c d >>.a c b d ->-,a b m +>∈N .m m a b >【例23】 已知，试将下列各数按大小顺序排列：，，，．【例24】 实数满足条件：①；②；③，则有（ ）A ．B ．C ．D ．【例25】 已知实数、满足等式，下列五个关系式① ② ③ ④ ⑤ 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设，，其中且．试比较与的102a -<<21A a =+21B a =-11C a=+11D a=-a b c d 、、、,a b c d <<()()0a c b c -->()()0a d b d --<a c d b <<<c a b d <<<a c b d <<<c a d b <<<a b 1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b a <<0a b <<0a b <<0b a <<a b =()1log 3x f x =+()2log 2x g x =0x >1x ≠()f x ()g x大小．【例27】若，，，，则的大小关系是（）A． B． C．D．【例28】若，则下列不等式①②③④中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例29】设、、、、、均为正实数，，那么（）A．B．C．D．、间大小关系不确定，而与、的大小有关2log3a=3log2b=13log2c=21log3d=,,,a b c da b c d<<<d b c a<<<d c b a<<<c d a b<<<11a b<<a b ab+<||||a b>a b<2b aa b+>a b c d m n P=+Q=P Q≥P Q≤P Q<P Q m n【例30】 设、为非零实数，若，则下列各式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例31】 设是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ． B ． C ． D【例32】 “且”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例33】，，且，则（ ） A ． B ． C ． D ．a b a b <22a b <22ab a b <2211ab a b <b aa b<a b c ，，||||||a b a c b c --+-≤2211a a a a++≥1||2a b a b-+-≥0a b >，a b ≠222a b ab +<0a ≥0b ≥2a b +=12ab ≤12ab ≥222a b +≥223a b +≤【例34】 若直线通过点，则（ ） A ．B ．C ．D ．【例35】 设实数、满足，且，则下列四数中最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例36】 正实数、、满足，，则（ ）A ．B ．C ．D ．与大小不定【例37】 已知的大小关系是 ．1x ya b+=(cos sin )M αα，221a b +≤221a b +≥22111a b+≤22111a b+≥a b 0a b <<1a b +=1222a b +2ab a a b c a d b c +=+a d b c -<-ad bc =ad bc <ad bc >ad bc a b c >>2a c-【例38】 已知实数、、满足条件，，设，则（ ） A ．B ．C ．D ．以上都可能【例39】 若，以下不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例40】 若，且，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．x y z 0x y z ++=0xyz >111T x y z =++0T >0T =0T <10a b >>>12a b +>12b a +>1lg 2a b b +>1lg 2b a a +<121200a a b b <<<<，12121a a b b +=+=1122a b a b +1212a a b b +1221a b a b +12。