2021年吉林省长春市东北师大附中九年级下学期二模数学试题
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中是无理数的是( )A ．√916B ．√−83C ．237D ．π4 2．改善空气质量的首要任务是控制 2.5PM ， 2.5PM 是值环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.00025厘米的颗粒物，这里的0.00025用科学记数法表示为（ ） A ．42.510⨯ B ．32.510-⨯ C ．42.510-⨯ D ．52.510-⨯ 3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．主视图和俯视图B ．俯视图C ．俯视图和左视图D ．主视图4．将一副三角板（30,45AE ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（ ）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒ 5．下列各式计算正确的是（ ）A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()325a a = 6．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ， AC 边上的点，DE∥BC，且BD=3AD ．那么AE:AC 等于（ ）A．2 : 3B．1 : 2C．1 : 3D．1 :47．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(2,3)-，(1,3)，点M的橫坐标的最小值为5-，则点N的橫坐标的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩的解集是________.10．—元二次方程22310x x--=根的判别式的值是_____________；11．已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AB x轴，点A的坐标为()1,1，若直线1y kx =-与正方形的边（包括顶点）有交点，则k 的取值范围是_____________．13．如图（1），矩形纸片ABCD 中，AB=5,BC=3,先按图（2）操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作：沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG,则A 、H 两点间的距离为_______.14．如图，已知点B D 、在反比例函数(0)a y a x=>的图象上，点A C 、在反比例函数(0)b y b x=>的图象上，AB CD x 轴，AB CD 、在x 轴的同侧，43AB CD ==，，AB 与CD 间的距离为12，则-a b 的值是_______________．三、解答题15．先化简，再求值：2224442x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪+⎝⎭，其中3x =-． 16．小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．17．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB DE 、的端点均在格点上．（1）在图①中画出以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使点C 在格点上；（2）在图②中画出以DE 为斜边的直角DEF ，使点F 在格点上且DEF 与ABC 不全等，再在DE 上找到一点P ，使得FP 最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）18．长春的冬天经常下雪，为了提高清雪的效率，市政府启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人的200倍，若用这台清雪机清理9000立方米的积雪，要比150名环卫工人清理这些积雪少用2小时，求一台清雪机每小时清雪多少立方米？ 19．如图，已知O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BE ，使得BA 平分CBE ∠，过点A 作AD BE ⊥于点D ．（1）求证：DA 为O 的切线；（2）若1,tan 2BD ABD =∠=，则O 的半径为____________．20．“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2021年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整；②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是______；（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2021年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．21．如图：甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 和折线BCD 分别表示货车和轿车离甲地的距离y ()km 与货车出发时间x ()h 之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度为___________/km h ，当轿车到达乙地后,货车距乙地的距离为____________千米；（2）求轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？22．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．23．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．24．已知抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、. （1）求抛物线的解析式；（2）设直线y m =与该抛物线交于点E F 、 （E 在F 的左侧），记抛物线在直线EF 下方的图象为1M ，在直线EF 上方的图象为2M ，将图象2M 沿直线EF 向下翻折得到图象3M ，图象1M 和图象3M 两部分组成的图象记为M .①设图象3M 的顶点为D ，当D 落在ABC 的边上时，求实数m 的值.②当0m =时,设()00,P x y 是图象M 上的动点.（i ）连结CP ，过线段CP 的中点作y 轴的平行线交x 轴于点Q ，当CPQ 是以Q 为直角顶点的直角角形时，直接写出0x 的值.（ii ）当00(0)x t t >时，0y 的最小值为u ，直接写出u 的最大值及相应的t 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. √916=34是分数，为有理数，此选项错误；B. √−83=-2是有理数，此选项错误；C. 237是分数，为有理数，此选项错误； D. π4是无理数，此选项正确.故选D【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00025=2.5×10-4，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．B【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案．【详解】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，是轴对称图形，不是中心对称图形；从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形是轴对称图形，不是中心对称图形；从上面看四个小正方形呈“+，是轴对称图形也是中心对称图形．故选：B ．【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义．4．A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：//,30BA EF A ∠︒＝，30FCA A ∴∠=∠=︒．45F E ∠∠︒＝＝，304575AOF FCA F ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.5．B【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、a•a2=a3，故原题计算正确；C、a6÷a2=a4，故原题计算错误；D、（a2）3=a6，故原题计算错误；故选：B．【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．6．D【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AE AB AC=，∵BD=3AD，∴13 AD AEBB EC==，∴AE:AC=1:4；故选D.7．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．B【分析】当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，M的横坐标为-5，可求N的横坐标为1，由此可得MN的长度为6是定值，再由顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，即可确定N的横坐标最大值．【详解】解：当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，∵M的横坐标为-5，∴N的横坐标为1，∴MN=6，当顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，∴N的横坐标为4；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；通过函数对称轴的性质，确定MN=6是解题的关键．9．a>2【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩①②，解①得：2a＞，解②得：a＞-2，∴原不等式组的解集为2a＞；故答案为：2a＞.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．10．17【分析】根据根的判别式的内容求出即可．【详解】解：2x2-3x-1=0，△=（-3）2-4×2×（-1）=17，即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，故答案为：17．【点睛】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．11．60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．12．13k ≤≤【分析】根据正方形的性质求得A 、C 的坐标，分别代入y=kx 中，即可求得k 的取值，根据取值范围即可判断．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，点A （1，1），．∴B （2，1），D （1，2），当直线y=kx 经过点D 时，则2=k-1，k=3当直线y=kx 经过点B 时，则1=2k-1，解得k=1，∴若直线y=kx-1与正方形ABCD 的边有交点，则k 取值为：1≤k≤3，故答案为：1≤k≤3．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的性质，解题关键是求出点A 、C 的坐标，掌握正方形的性质．13．13【解析】【分析】如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，根据AH=【详解】如图3中，连接AH ，由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，∴，【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．6【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义，得出a-b=4•OE，a-b=3•OF，再根据OF-OE=12，即可求出a-b的值．【详解】解：如图，由题意知：OE•BE=a①，OE•AE=-b②，①+②，得OE•BE+OE•AE=a-b，即a-b=4•OE，同理，可得a-b=3•OF，∴4OE=3OF，∴OE：OF=3：4，又∵OF-OE=12，∴OE=32，OF=2，∴a-b=6．故答案是：6．【点睛】此题考查反比例函数比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，利用数形结合是解题的关键．15．化简得12x-；求值得15-．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】原式=()()()()22 222244()(222)() x x x xx x x x x x x x x-+-++-÷=⨯++-=12 x-，当x=-3时，原式=15 -．【点睛】此题考查分式的化简求值，正确通分运算是解题关键．16．树状图见解析；12．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，所以小红获胜的概率12 =．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B 的概率．17．（1）图见解析；（2）图见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．【详解】（1）△ABC即为所求．（2）Rt△DEF如图所示，取格点K，连接FK交DE于P，此时PF最短．【点睛】此题考查作图-应用与设计，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．18．1500立方米【分析】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．等量关系为：一台清雪机清理9000立方米的积雪所用时间=150名环卫工人清理这些积雪所用时间-2小时，依此列出方程，解方程即可．【详解】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．根据题意得：90009000 200150x x-2，解得：x=7.5，经检验x=7.5是原方程的解，当x=7.5时，200x=1500．答：一台清雪机每小时清雪1500立方米．【点睛】此题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）52．【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．【详解】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠ABD=2，∴AD=2，∴=，∴cos∠；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos CBA=∠=5．∴⊙O的半径为2.5．故答案为：2.5．【点睛】此题考查切线的判定，三角函数值，解题关键在于掌握要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．20．(1) 3.4棵、3棵；(2)70.【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得；（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，补全图形如下：②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是1223312485461 3.430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（棵），众数为3棵， 故答案为：3.4棵、3棵；（2）估计该小区采用这种形式的家庭有73007030⨯=户， 故答案为：70．【点睛】此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.21．（1）60；30；（2）(1101952.5 4.)5y x x =-≤≤；（3）3017小时． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得货车的速度和当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离；（2）根据函数图象中的数据可以求得轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得CD 段小轿车的速度，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图象可得，货车的速度为：300÷5=60km/h ， 当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离为：60×（5-4.5）=30（千米），故答案为：60，30；（2）设轿车改变速度后y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 2.5804.5300k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ，得110195k b ⎧⎨-⎩＝＝，即轿车改变速度后y与x的函数关系式是y=110x-195（2.5≤x≤4.5）；（3）轿车CD段的速度为：（300-80）÷（4.5-2.5）=110km/h，设轿车从乙地出发后th时再次与货车相遇，（110+60）t=300，解得，t=3017，答：轿车从乙地出发后经过3017小时再次与货车相遇．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【问题探究】（1）72︒；（2）6AC=．【拓展应用】【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出AB AE BEDF EF DE===2，得出AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出即可．【详解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，∴∠ACE=180°-108°=72°；故答案为：72；（2）∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=72°，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD ED CD=，∵BD=2CD，∴ADED=2，∴AD=2ED=4，∴ED=2，∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：解：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，∴∠DFA=∠BAC=90°，∵∠AEB=∠DEF，∴△BAE∽△DFE，∴AB AE BEDF EF DE===2，∴AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=75°=∠ADC，∴AC=AD，在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，∴DF=AF×tan∠，∴，∴AC=AB，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴；故答案为：．【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．23．（1）103t；（2）t=1211；（3）S=224912(0)2411123116(3)11t tt t t⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．S最大=4912；（4）t的值为1≤t≤65或2≤t＜3．【分析】（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解决问题．（2）如图2中，当点D在PF上时，根据BD=PB•cos∠B，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，②如图4中，当1211＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG．（4）分两种情形：①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此构建不等式即可解决问题．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．构建不等式即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．∵PQ∥BC，∴PQ PA BC AB=，∴5375tPQ=，∴PQ=73t，∵四边形PQEF是正方形，∴∠QPF=∠F=90°，∵AH⊥EF，∴∠FHJ=90°，∴四边形PFHJ是矩形，∴JH=PF=PQ=73t，在Rt△APJ中，AJ=PA•sin∠APJ=533•5t=t，∴AH=AJ+JH=t+73103t=t．（2）如图2中，当点D在PF上时，则有BD=PB•cos∠B，∵四边形PQDB是平行四边形，∴BD=PQ，∴（5-457•335t=）t，解得t=12 11．（3）①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，S=7349•••••3117223442PQ PG t t==t2．②如图4中，当1211＜t ＜3时，重叠部分四边形PQDG ，S=S 平行四边形PQDB -S △PBG =535354•5553535132357t t t t ----（）（）（） =-3t 2+11t-6． 综上所述，S=224912(0)2411123116(3)11t t t t t ⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜ ． 第一种情况，当t=1211时，S 最大=294121．第二种情况，当t=116时，S 最大=4912． 综上，S 最大=4912． （4）①如图5中，作DH ∥PE 交AB 于H ，连接EH ．∵DH ∥PE ，∴S△PED=S△PEH，∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由题意易知：PE∥AC∥DH，∴BD：BC=BH：BA，∴73t：7=BH：5，∴BH=53 t，∴PH=5-53t-53t=5-103t．∴m=（5-103t）：53t，∵12≤m≤1时，∴12≤310553tt-≤1，解得：1≤t≤65．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．同法可得：∴52103315tt-≤≤1，解得：2≤t≤3．综上所述，满足条件的t 的值为1≤t≤65或2≤t ≤3． 【点睛】 此题考查相似三角形综合题，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．24．（1）227133y x x ∴=-+-；（2）①1516或2548 ②（i ）0611x =或2或145- （ii ）max 1u =-，30＜2t ≤ 【分析】（1）将A 、B 、C 各点代入2y ax bx c =++得到三元一次方程组，解方程组即可求解；（2）①根据题意先求出抛物线M 3，再求M 3的顶点D 的坐标，分情况讨论：点D 在直线BC 上和x 轴上两种情况，列方程求解；②（i ）分三种情况：当012x ≤，0132x ≤＜，03x ＞时，根据相似三角形的判定和性质回答即可求解；（ii ）根据题意，结合图像回答即可．【详解】 解：（1）把()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、代入2y ax bx c =++得， 110420931a b c a b c c ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪-=⎪⎩ ，解得23731a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， 227133y x x ∴=-+-； （2）①（i ）设点(),x y 是抛物线3M 上任意一点，则(),x y 关于直线y m =的对称点(),2x m y -一定在抛物线2M 上，将点(),2x m y -代入抛物线2M ：227133y x x =-+-，得 2272133m y x x -=-+-， 整理，得2272133y x x m =-++， ∴抛物线2327:2133M y x x m =-++， ∴抛物线3M 的顶点坐标为：725,2424m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()3,00,1B C -、，∴直线BC 为：113y x =-， 当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BC 上时，如图2517212434m -=⨯-， 解，得1548m =， 当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭x 轴上时，如图252024m -=， 解，得2548m =； 故m 的值为：1548m =或2548m =； ②过点P 作PT⊥x 轴于点T ，则△OCQ∽△TQP， OQ OC PT TQ= 当012x ≤时000122x x y -=-- ，整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+- ⎪⎝⎭，解，得01x =，02x =（舍去）当0132x ≤＜时，由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+ ， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 解，得010262,11x x == ，当03x ＞时，由由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭， 解得， 01x =（舍去），02145x +=综上所述，0x 的值为0611x =或2（ii ）如图当0102x <<时，0y 有最小值，01y =- 当01724x <≤时，200027133y x x =-+， 当07732423x -=-=⨯时，0y 有最小值，02524y =- 25124∴->- 把01y =- 代入抛物线3M ：200027133y x x =-+，200271133x x -+=-， 解，得01023,22x x ==（不合题意，舍去） ∴u 的最大值为-1， 30＜2t ≤【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像和性质，点的坐标特征，轴对称，相似三角形的判定和性质及分类讨论思想，属于压轴题．。
2021年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷 (含答案)
2021年东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在2.“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×1083.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B．C．D．4.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（）A．60＜x B．C．D．40x＜605.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形6.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（）A．B．C．D．7.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m2）B．（m2）C．1600sin a（m2）D．1600cosα（m2）8.如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.因式分解：5x2﹣2x＝．10.关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值．（写出一个即可）11.如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为．13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．正确操作步骤的排列序号为．14.函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．16.甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．17.甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为．19.图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．20.2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．（1）2020年，全国快递业务量是亿件，比2019年增长了%．（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是%．（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为亿件．（保留小数点后一位）21.某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．22.[问题原型]有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC ＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE ＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．24.将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．故选：C．2.“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，故选：B．3.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B．C．D．【分析】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，可得：AB＝，故选：B．4.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（）A．60＜x B．C．D．40x＜60【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案．【解答】解：由题意可得：11：20到12：00是小时，则x＞，即60＜x．故选：A．5.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：A．6.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质举出反例即可得出答案．【解答】解：如图D所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，故选：D．7.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m2）B．（m2）C．1600sin a（m2）D．1600cosα（m2）【分析】依题意四边形为菱形，α的对边AC即为菱形的高，等于40米，菱形边长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解．【解答】解：如图，α的对边AC即为路宽40米，即sinα＝，即斜边＝，又∵这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）是菱形，∴路面面积＝底边×高＝×40＝．故选：A．8.如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6．【答案】D【分析】连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，通过一线三直角模型可得△ADO ∽△OEC，从而通过面积比等于相似比平方求出△OEC的面积而求出k．【解答】解：连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，∵A、B关于原点成中心对称，△ABC为等边三角形，∴AO＝BO，CO⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD，又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，∴△ADO∽△OEC，∵∠ACO＝ACB＝30°，∴tan∠ACO＝＝，∴S△ADO：S△OEC＝（）2＝．∵点A在函数y＝﹣的图象上，∴S△ADO＝＝1，∴S△OEC＝＝3S△ADO＝3，∴k＝6．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.因式分解：5x2﹣2x＝．【分析】提取公因式x即可得．【解答】解：5x2﹣2x＝x（5x﹣2），故答案为：x（5x﹣2）．10.关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值．（写出一个即可）【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜，所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．故答案为0．11.如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，∴正六边形ABCDEF∽正六边形A′B′C′D′E′F′，∴正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比＝（）2＝1：9．故答案为：1：9．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD＝CD＝9，则∠DBC＝∠C＝22°，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，∴BD＝CD＝AC＝9，∴∠DBC＝∠C，∵∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠DBE＝32°，∴图中阴影部分图形的面积＝＝π．故答案为π．13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．正确操作步骤的排列序号为．【分析】根据垂径定理解决问题即可．【解答】解：正确操作步骤的排列序号为：②①④③．故答案为：②①④③．14.函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为．【分析】由m＜n，图象开口向上可判断点点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，分类讨论a＜1与a≥1求解．【解答】解：函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为直线x＝1，图象开口向上，∵m＜n，∴点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，当0＜a≤1时，1﹣a＜2a+1﹣1满足题意，解得a＞，当a≥1时，2a+1＞a≥1恒成立，∴a≥1满足条件．故答案为：a＞．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°＝3﹣1﹣﹣9×＝3﹣﹣3＝﹣．16.甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．【分析】根据题意列出图表得出所有出现的可能性，再计算出甲获胜的概率．【解答】解：两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：A A BA（A，A）（A，A）（A，B）A（A，A）（A，A）（A，B）B（B，A）（B，A）（B，B）两次摸卡片的所有可能出现的结果有9个，且每个结果发生的可能性都相等，其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有5个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有4个，∴甲获胜的概率为．17.甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．【分析】本题中有两个相等关系：“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”；根据等量关系可列方程．【解答】解：设A的速度为xkm/时，则B的速度为3xkm/时．根据题意得方程：．解得：x＝10．经检验：x＝10是原方程的根．∴3x＝30．答：A，B两人的速度分别为10km/时、30km/时．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为．【分析】（1）由是菱形的性质推出∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠AOE，进而推出∠AOE＝∠OAB，根据平行线的性质得到OE∥FG，由平行四边形的判定得到四边形OEFG是平行四边形，即可证得四边形OEFG是矩形；（2）设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，可得OE＝AE＝5x，由矩形的面积可求得x，进而可求得AD．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，∵AE＝ED．∴OE＝AE＝AD，∴∠OAE＝∠AOE，∴∠AOE＝∠OAB，∴OE∥AB，∴OE∥FG，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥EO，∴∠OEF﹣90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）解：∵四边形OEFG是矩形，∴∠AFE＝∠EFG＝90°，∴tan∠DAB＝＝，设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，由（1）知OE＝AE＝5x，∵矩形OEFG的面积为40，∴OE•EF＝40，∴5x•4x＝40，∴x＝，∴AD＝2AE＝2×5x＝10，故答案为：10．19.图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．【分析】（1）作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接P A，点P即为所求作．（2）取格点E，使得AE＝1，AE∥CD，作点E关于CD的对称点E′，连接E′B交CD于N，作MN＝1，连接AM，即可．【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．（2）如图，点M，N即为所求作．20.2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．（1）2020年，全国快递业务量是亿件，比2019年增长了%．（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是%．（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为亿件．（保留小数点后一位）【分析】（1）由统计图中的信息即可得到结论；（2）由统计图中的信息即可得到结论；（3）根据统计图中的信息即可得到结论；（4）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题中的统计图可得：2020年，全国快递业务量是833.6亿件，比2019年增长了31.2%；故答案为：833.6；31.2；（2）由题中的统计图可得：2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是28.0%；故答案为：28.0%；（3）不正确，理由：由图中的信息可得，2017﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；（4）833.6×（1+50%）＝1250.4（亿件），∴2021年的快递业务量为1250.4亿件．故答案为：1250.4．21.某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出4≤x≤8时，甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式，把x＝8代入函数的解析式即可得到结论；（3）根据题意列算式即可得到结论．【解答】解：（1）设y乙＝kx+b（k≠0），将（4.5，0），（8，252）代入得：，解得，∴y乙＝72x﹣324；（2）把x＝7代入y乙＝72x﹣324，得y乙＝72×7﹣324＝180，当4≤x≤8时，设甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式为y甲＝mx+n，将（7，180），（4，90）代入得：，解得，∴y甲＝30x﹣30（4≤x≤8），将x＝8代入，得y甲＝30×8﹣30＝210，即a＝210；（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．22.[问题原型]有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC ＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE ＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为．【分析】（1）延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，根据BD为边AC上的中线，且BC＝AC，可得出AD＝CD＝BC，再由∠BCA＝2∠A，可得∠A＝∠E，AB＝BE，即可证明△BAC和△BED，进而可证得结论；（2）延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，根据∠ABC＝2∠ACB，可得出∠F＝∠ACB，AF＝AC，再应用等腰三角形性质及勾股定理即可．【解答】解：（1）如图②，延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，∵BD为边AC上的中线，∴AD＝CD＝AC，∵BC＝AC，∴AD＝CD＝BC，∵BC＝CE，∴∠E＝∠CBE，AC＝DE，∵∠BCA＝∠E+∠CBE，∴∠BCA＝2∠E，∵∠BCA＝2∠A，∴∠A＝∠E，∴AB＝BE，在△BAC和△BED中，，∴△BAC≌△BED（SAS），∴BD＝BC，∵BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BCD为等边三角形．（2）如图③，延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，∵BF＝AB＝3，BC＝5，∴∠F＝∠BAF，∵∠ABC＝∠F+∠BAF，∴∠ABC＝2∠F，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠F＝∠ACB，∴AF＝AC，∵AG⊥BC，∴CG＝FG＝（BC+BF）＝4，∴BG＝BC﹣CG＝1，∴AG＝＝＝2，∴AC＝＝＝2．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．【分析】（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，分别求出GE，DE长度求解．（2）构造一线三垂直相似模型，由相似比及含t代数式求解．（3）分类讨论PF垂直于三边三种情况，通过解直角三角形求解．【解答】解：（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，由勾股定理得AB＝＝10，∵点D、E为BC、AC中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，AE＝AC＝4，∵sin A＝＝，∴GE＝AE＝，∴S△DEP＝DE•EG＝×5×＝6，∴▱PEFD的面积为2S△DEP＝2×6＝12．（2）①如图，当点P为AB中点时，PD，PE分别为△ABC的中位线，PD⊥PE，∴▱PDEF为矩形，∴AP＝AB＝5．②如图，当∠DPE为直角时，作EG、DH垂直于AB于点G、H，∵∠DPH+∠EPG＝90°，∠DPH+∠HDP＝90°，∴△EGP∽△PHD，∴＝，∵D为BC中点，∴BD＝BC＝3，∵tan A＝＝＝，∴AG＝GE＝，∵sin B＝＝＝，tan B＝＝＝，∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，∴GP＝AP﹣AG＝5t﹣，PH＝AH﹣AP＝AB﹣BH﹣AP＝10﹣﹣5t＝﹣5t．∴＝，解得t＝或t＝1（舍），∴AP＝5t＝．综上所述，AP＝5或．（3）①当PF⊥AB时，PF⊥DE，∴四边形PDFE为菱形，∴PD2＝PE2，∴PH2+HD2＝PG2+GE2，即（﹣5t）2+（）2＝（5t﹣）2+（）2，∴﹣5t＝5t﹣，解得t＝．②当PF⊥BC时，PF交DE于点O，交CD于点K，∵O为DE中点，OK∥EC，∴OK为△EDC的中位线，∴DK＝CD＝3，∵BK＝BP＝6﹣3t，∴DK＝6﹣3t﹣3＝3﹣3t，∴3＝3﹣3t，解得t＝．③当PF⊥AC时，交AC于点M，同理可得M为EC中点，∴AM＝AE+EC＝AC＝6，∴AP＝AM＝，∴5t＝，解得t＝．综上所述，t＝或或．24.将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）分类讨论图象最低点为顶点或抛物线与直线x＝a的交点两种情况．（2）分类讨论完整抛物线与x轴有一个交点和两个交点的情况求解．（3）利用数形结合方法，分类讨论抛物线顶点在矩形内部与外部两种情况．（4）由AP将矩形面积分为1：5两部分可得点P将矩形边长分为1：2两部分，然后分类讨论点A在x轴上方与点A在x轴下方两种情况．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a（x≤a），∴当≤a时，最低点为图象顶点，即a≥0时，点M坐标为（，﹣+a），当＞a时，a＜0，最低点为抛物线与直线x＝a的交点M（a，a）．（2）当抛物线y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a与x轴有两个交点时，﹣+a＜0，解得a＜0或a＞4，当a＜0时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴下方满足题意，当a＞4时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上方不满足题意．∴a＜0．当抛物线与x轴有一个交点时，﹣+a＝0，解得a＝0或a＝4，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上或x轴上方，满足题意．综上所述，a≤0或a＝4．（3）①抛物线y＝x2﹣ax+a经过定点（1，1），点A坐标为（2，1﹣a），点B坐标为（2，a﹣1），当a≥0时，直线x＝a在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，≥x A，即2，解得a≥4，∴a﹣1≥3满足题意．∴图象与矩形最高点纵坐标为y B＝a﹣1，最低点纵坐标为抛物线与直线x＝2交点纵坐标，y＝4﹣a，∴l＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．当﹣2＜a≤时，﹣2＜a≤0满足题意，此时图象最低点为（a，a）抛物线与直线x＝﹣2交点为（﹣2，3a+4）当3a+4≥1﹣a时，a≥﹣，此时抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1﹣a，∴l＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．当3a+4＜1﹣a时，a＜﹣，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3a+4，∴l＝3a+4﹣a＝2a+4．综上所述，l＝．（4）当点P将正方形边长分成1：2两部分时满足题意，如图，当DP：PC＝1：2时，＝＝，解得a＝﹣，∴3a+4＝，∴点P坐标为（﹣2，）．当点P将BC分成1：2两部分时，＝，∵BC＝4，∴BP＝，∵2﹣＝，∴点P坐标为（，a﹣1），将（，a﹣1）代入解析式得：a﹣1＝﹣a+a，解得a＝，∴点P坐标为（，）．综上所述，点P坐标为（﹣2，）或（，）．。
2021年吉林省长春市九年级中考数学模拟冲刺试卷(二)
2021年吉林省长春市数学模拟冲刺试卷（二）一．选择题（满分24分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（）A．8.9×106B．8.9×105C．8.9×107D．8.9×1083．图1为一个长方体，AD＝AB＝10，AE＝6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（）A．11B．10C．10 D．84．语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（）A．B．C．D．5．若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．106．下列命题中，真命题是（）A．内含两圆的圆心距大于零B．没有公共点的两圆叫两圆外离C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称7．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝（）A．7海里B．14海里C．3.5海里D．4海里8．已知点P（2，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（2，1）二．填空题（满分18分，每小题3分）9．一个长方形的长为a，宽为b，面积为8，且满足a2b+ab2＝48，则长方形的周长为．10．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．11．如图，正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，已知AB＝3，B′C′＝1，则正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比是．12．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6cm，∠ABC＝90°，以AC的中点O为圆心，OB为半径作半圆．若∠MON＝90°，OM与ON分别交半圆于点E、F，则图中阴影部分的面积是．13．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O ；（2）写出作图的依据： ．14．对于一个函数，当自变量x 取n 时，函数值y 等于2﹣n ，我们称n 为这个函数的“二合点”，如果二次函数y ＝ax 2+x ﹣1有两个相异的二合点x 1，x 2，且x 1＜x 2＜1，则a 的取值范围是 ．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）016．（6分）有四张正面分别写有数字：20，15，10，5的卡片，背面完全相同，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，小明先随机抽取一张，记下牌面上的数字（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，记下牌面上的数字．如果卡片上的数字分别对应价值为20元，15元，10元，5元的四件奖品，请用列表或画树状图法求小明两次所获奖品总值不低于30元的概率？17．（6分）学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？18．（7分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BC 交CB 延长线于E ，CF ∥AE 交AD 延长线于点F ．（1）求证：四边形AECF 为矩形；（2）连接OE ，若AE ＝4，AD ＝5，求tan ∠OEC 的值．19．（7分）在△ABC 中，点P 是平面内任意一点（不同于A 、B 、C ），若点P 与A 、B 、C 中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点P 为△ABC 的一个勾股点（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝55°，∠ABP＝10°，∠ACP＝25°，试说明点P是△ABC的一个勾股点；（2）如图2，等腰△ABC的顶点都在格点上，点D是BC的中点，点P在直线AD上，请在图中标出使得点P是△ABC的勾股点时，点P的位置；（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是AB的中点，点P在射线CD 上．若点P是△ABC的勾股点，请求出CP的长．20．（7分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分100 93.5 100% 70% 100 80分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 频数0 5 25 30 40 请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．21．（8分）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？（3）甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若DG＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AE+AF．23．（10分）如图1，在▱CDEF中，DE＝2EF，∠C＝60°，A，B分别为DE，CF中点，将四边形ABFE绕点A逆时针旋转得到图2，连接CF，取CF中点M，连接GM，BM．（1）求证：AD＝AB；（2）试猜想∠GAB、∠GFC、∠BCF之间的数量关系，并说明理由；（3）求证：G、M、D三点共线．24．（12分）已知函数y＝（m为常数且m≠0），其图象记为G．（1）当x＝1时，求y的值；（2）若m＜0，当G与x轴恰好有两个公共点时，求m的值；（3）若m＝2，图象G在n﹣1≤x≤n上最低点的纵坐标为时，求n的值；（4）当图象G恰有3个点与直线y＝m的距离是时，直接写出m的取值范围．。
吉林省2021-2022年数学中考二模试卷(I)卷
吉林省2021-2022年数学中考二模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）计算：-1-(-1)0的结果正确的是（）A . 0B . 1C . 2D . -22. （2分）(2017·南通) 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·西安模拟) 一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上.若DE∥CF，则∠BDF等于（）A . 35°B . 30°C . 25°D . 15°4. （2分） (2020八上·西安月考) 已知正比例函数y=kx的图象经过点P（-1，2），则k的值是（）A . 2B .C .D .5. （2分） (2017八下·临泽期末) 已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示，那么这个解集为（）A . x≥－1B . x>1C . －3<x≤－1D . x>－36. （2分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A . 600mB . 500mC . 400mD . 300m7. （2分）(2017·呼和浩特) 一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分）(2011·淮安) 在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A . 5cmB . 15cmC . 20cmD . 25cm9. （2分） (2020九上·港南期末) 如图，点A，B，C在圆O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）．A . 72°B . 54°C . 36°D . 18°10. （2分）将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)11. （1分） (2020七上·义乌期中) 比较大小：-31- ；12. （2分） (2020九上·北仑期末) 如图，分别以正五边形 ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若AB=1，则阴影部分图形的周长是1 。
吉林市2021年中考数学模拟试卷(II)卷
吉林市2021年中考数学模拟试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016八下·安庆期中) 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A . 2005B . 2003C . ﹣2005D . 40103. （2分）当x为何值时，函数y= x+1的值为0？（）A . 2B . ±2C . -2D . 14. （2分）(2017·江东模拟) 下列命题中，真命题是（）A . 周长相等的锐角三角形都全等B . 周长相等的等腰直角三角形都全等C . 周长相等的钝角三角形都全等D . 周长相等的直角三角形都全等5. （2分）如图，AB∥EF∥CD，BC、AD相交于点O，F是AD的中点，则下列结论中错误的是（）A . =B .C .D .6. （2分） (2017·灌南模拟) 如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC=2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③7. （2分）如图，点A、B分别在反比例函数y=图象的两支上，连接AB交x轴于点C，交y轴于点D，则AD与BC的大小关系为（）A . AD＞BCB . AD=BCC . AD＜BCD . 无法判断8. （2分） (2019七下·新罗期末) 下列调查适合全面调查的是（）A . 调查中学生的课外阅读情况B . 审核书稿中的错别字C . 调查某市七年级男生身高情况D . 调查某种型号灯泡的使用寿命9. （2分）(2019·博罗模拟) 如图，已知A ， B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x 轴，交y轴于点C ，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P作PM⊥x轴，垂足为M ．设三角形OMP的面积为S ， P点运动时间为t ，则S关于t的函数图象大致为（）A .B .C .D .10. （2分）“十一”节期间，某商品按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（）A . x•30%•80%=240B . x•（1+30%）•80%=240C . x•（1+30%）•（1﹣80%）=240D . x•30%=240•80%11. （2分）如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB=AC，BC=12，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A . 1B . 2C . 2D . 312. （2分）(2018·北部湾模拟) 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为（）A . 1∶B . ∶2C . 2:D . ∶113. （2分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A . 3B . 2C . 2D . 214. （2分）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则tanα的值是（）A .B .C .D .15. （2分）已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)16. （2分） (2017九上·梅江月考) 一元二次方程的一次项系数是________，常数项是________.17. （1分）(2019·东阳模拟) 如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是________．（结果保留π）18. （1分） (2019九上·沙河口期末) 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，若点A、B、C都在格点上，则tan∠BAC的值是________.19. （1分）(2019·绥化) 用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 ________ 。
2021年吉林省长春市南关区九年级中考二模数学试题
2021年吉林省长春市南关区九年级中考二模数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数a b c d 、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则绝对值最大的实数是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d 2．科学家在海底发现了世界上最小的生物，它们的最小身长只有0.000000019m ．将0.000000019这个数用科学记数法表示为（ ）A ．70.1910-⨯B ．81.910-⨯C ．91.910-⨯D ．101910-⨯ 3．不等式125x -<-的解集为 （ ）A ．3x <-B ．3x <C ．3x >-D ．3x > 4．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若正多边形的一个外角是72，则该正多边形的内角和为（ ）A ．360B ．540C ．720D ．900 6．2021年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道.如图，火箭从地面P 处发射，当火箭达到A 点时，从位于地面Q 处雷达站测得的距离是9千米，仰角AQP ∠为,a 则发射台P 与雷达站Q 之间的距是（ ）A ．9sina 千米B ．9cosa 千米C ．9sin a 千米D ．9cos a 千米 7．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点,O 按下列步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AO AB 、于点M N 、；②以点O 为圆心，AM 长为半径作弧，交OC 于点1M ；③点1M 为圆心，MN 以长为半径作弧，在COB ∠内部交②中所作的圆弧于点1N ；④过点1N 作射线1ON 交BC 于点E ．8,6AC BD ==，四边形DOEC 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．如图，在平面直角坐标系中，点A C 、在反比例函数a y x =的图象上，点B D 、在反比例函数b y x=的图象上，0, ////a b AB CD x >>轴，AB CD 、在x 轴的两侧，2,2AB CD AB ==,与CD 间的距离为6，则-a b 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 9．因式分解：22ma ma m -+=_____．10．关于x 的一元二次方程210x x k +--=有实数根，则k 的取值范围为_____． 11．将一块含有60角的三角板如图放置，三角板60角的顶点C 落在以AB 为直径的半圆上，斜边恰好经过点B ，条直角边与半圆交于点D ，若4AB =，弧BD 的长为_____．(结果保留π)12．小华家客厅有一张直径为1.2,m 高为0.8m 的圆桌,AB 有一盏灯E 到地面垂直距离EF 为2,m 圆桌的影子为,2CD FC =，则点D 到点F 的距离为_______．13．用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若1,OA =则四叶幸运草的周长是______．(结果保留π)14．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4.4m 处跳起投篮，球沿条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.4m 时，达到最大高度4,m 然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面的高度为3,m 则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度h 为______m ．三、解答题15．先化简，再求值：()()2412x x x ---，其中x =16．某高校利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动.现有四名自愿献血者，经过检测，2人为O 型，1人为A 型，1人为B 型．若在四人中随机挑选2人，用画树状图(或列表)的方法，求两人血型均为O 型的概率．17．在“抗疫”期间，为了弥补物质短缺的需求，国家投入人力和财力研制出新型口罩机．新型口罩机和原来口罩机每天一共生产150万个口罩，新型口罩机生产360万个口罩所用时间与原来口罩机生产90万个口罩所用时间相同，求新型口罩机每天生产的口罩数．18．如图，在矩形ABCD 中，BF AC ⊥于点,F 过点D 作//,DE AC 过点A 作AE DE ⊥于点,E 连结EF .（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若415,,5AC cos ABF =∠=求DE 的长． 19．如图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，ABC 的顶点、、A B C 均在格点上仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法.（1）在图①中，找一个格点,D 使以点A B C D 、、、为顶点的四边形是平行四边形；（2）在图②中，画出线段,EF 使EF 垂直平分,AB 且点E F 、在格点上；（3）在图③中，在边AC 上确定一点,P 使ABC 被BP 分成的两个三角形的面积比为1:2．20．为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次全校950名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖.赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分，为了更好的了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩(成绩x 取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩在这7080x ≤<组的数据是：70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 7576 76 76 76 76 76 76 75 77 77 78 78 78 79 79“汉字听写”大赛成绩段频数频率统计表根据以上信息，解答下列问题:（1）表中a = ，b = ；（2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数是 ；（4）若这次比赛成绩在78分以上(含78分)的学生获得优胜奖，估计该校参加这次比赛的950名学生中获得优胜奖的人数．21．某企业接到加工粮食任务，要求8天加工完530吨粮食.该企业安排甲、乙两车间共同完成加工任务.乙车间因维修设备，中途停工一段时间，维修设备后提高了加工效率，继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工粮食数量y (吨)与甲车间加工时间x (天)之间的函数关系如图①所示；未加工粮食w (吨)与甲车间加工时间x (天)之间的函数关系如图②所示、请结合图象解答下列问题：（1）甲车间每天加工粮食 吨，a = ；（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工粮食数量y 与x 之间的函数关系式；（3）求加工364吨粮食需要几天完成．22．[问题解答]两个城镇A B 、与一条公路l 位置如图①所示.现电信部门需在公路l 上修建一座信号发射塔,P 要求发射塔P 到两个城镇A 与B 的距离之和最短．解：点A 作关于直线l 的对称点1,A 连结1BA ,与直线l 的交点即为所求的点P .点1A A 、关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分1,AA,PA PA ∴=11,PA PB PA PB A B ∴+=+=∴点P 即为所求的点。
吉林省实验中学2021届九年级数学第二次模拟试题
级模拟考试（二）数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．51-的相反数是（ ） A.5 B.51 C.51- D.-5 2．某市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学计数法表示为（ ） A ．4.2×104 B ．0.42×105 C ．4.2×103 D ．42×1033．计算32()xy -的结果是 （ ）A ．26x yB ．26x y -C ．29x yD ．29x y -4．由4个相同的小正方形组成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）5．不等式组10,360x x -≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是 （ ）6．一元二次方程0542=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．如图，已知AB 是⊙O 的－条直径，延长AB 至C 点，使AC ＝3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点，若CD劣弧AD 的长为（ ） （第7题） 主视方向A B C DC ． B ． A ．D ． A CA ．π21B ．π31C ．π34D ．π32 8．如图，在平面直角坐标系中，□OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l 经过点（1，0），且将□OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是（ ）A ．1+=x yB ．131+=x y C ．33-=x y D ．1-=x y （第8题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：63⨯= ．10．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38° 时，∠1= °． （第10题）11．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，OA ＝AB ，则∠C 的度数为 ．（第11题） （第13题） （第14题）12．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 ．13．如图，反比例函数6y x=-在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们横坐标分别为 －1、－3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为 ． 14．如图，P 是抛物线22++-=x x y 在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：212111a a a -⎛⎫+÷⎪+-⎝⎭，其中5a =．x yC B AO16．（6分）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．17．（6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？18．（7分）如图，在△AB C中，AB=A C，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△AB C的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
2021年吉林省长春中考数学二模试卷(有答案)
2021年吉林省长春XX中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（3分）2016年10月28日，随着深圳地铁7，9号线的相继开通，深圳地铁日均客流量达到470万人次，则470万用科学记数法表示为（）A．47×104 B．47×105 C．4.7×105D．4.7×1063．（3分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（3分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（）A． +=18 B． +=18C． +=18 D． +=189．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）若关于x的方程+=2有增根，则m的值是．12．（3分）如图，AB∥CD，∠1=60°，则∠2= ．13．（3分）因式分解：2x2﹣18= ．14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为．15．（3分）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如=+， =+， =+，…，根据对上述式子的（用观察，请你思考：如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b﹣a= ．含n的式子表示）16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解方程：x2﹣4x﹣21=0．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE 的长．19．先化简：（﹣）÷，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．20．今年是第39个植树节，我们提出了“追求绿色时尚，走向绿色文明”的倡议．某校为积极响应这一倡议，立即在八、九年级开展征文活动，校团委对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿3篇的班级个数所对应的扇形的圆心角的度数．（2）求该校八、九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数最多的4个班中，八、九年级各有两个班，校团委准备从这四个班中选出两个班参加全校的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．21．某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，求A种型号的篮球最少能采购多少个？22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2）在（1）中的图中，若BC=4，∠A=30°，求弧DE的长．（结果保留π）23．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．24．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD于点E，连接OE、AE，过点E作⊙O的切线交边BC于F．（1）求证：△ODE∽△ECF；（2）在点O的运动过程中，设DE=x：①求OD•CF的最大值，并求此时⊙O的半径长；②判断△CEF的周长是否为定值？若是，求出△CEF的周长；否则，请说明理由？25．如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+n交于点A（2，2），直线y=x+n 与y轴交于点B与x轴交于点C（1）求n的值及抛物线的解析式（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标（3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标．2021年吉林省长春ＸＸ中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）2016年10月28日，随着深圳地铁7，9号线的相继开通，深圳地铁日均客流量达到470万人次，则470万用科学记数法表示为（）A．47×104 B．47×105C．4.7×105D．4.7×106【解答】解：470万=4.7×106．故选：D．3．（3分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选C．4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式2x+1≤3，得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，故选：A．5．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意可得：∠2=60°，∠5=45°，∵∠2=60°，∴∠3=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠4=30°，∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°．故选A．6．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，故这个多边形为六边形．故选D7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．8．（3分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（）A． +=18 B． +=18C． +=18 D． +=18【解答】解：设计划每天加工x套服装，那么采用新技术前所用时间为：，采用新技术后所用时间为：，则所列方程为： +=18．故选A．9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，如图所示：∵S △BEC =BC •AM ，S ▱ABCD =BC •AM ，∴S △BEC =S ▱ABCD =S ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAG=∠BCG ，∠AEG=∠CBG ，∴△AEG ∽△CBG ，又AE=AD=BC ，∴==，∴S △EFG =S △BGF ，又S △EFG +S △BGF =S △BEF ，∴S △EFG =S △BEF ，∵AE=AD ，AD=AE+ED ，∴ED=AD=BC ，同理得到△EFD ∽△CFB ，∴==，∴S △BEF =S △BFC ，又S △BEF +S △BFC =S △BEC ，∴S △BEF =S △BEC =S ，∴S △EFG =S ．故选C10．（3分）已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形抛物线的条数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：y=k （x+1）（x ﹣）=（x+1）（kx ﹣3），所以，抛物线经过点A （﹣1，0），C （0，﹣3），AC===，点B坐标为（，0），①k＞0时，点B在x正半轴上，若AC=BC，则=，解得k=3，若AC=AB，则+1=，解得k==，若AB=BC，则+1=，解得k=；②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k=﹣=﹣，所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．故选B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）若关于x的方程+=2有增根，则m的值是0 ．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得，2﹣x﹣m=2（x﹣2），∵分式方程有增根，∴x﹣2=0，解得x=2，∴2﹣2﹣m=2（2﹣2），解得m=0．故答案为：0．12．（3分）如图，AB∥CD，∠1=60°，则∠2= 120°．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=60°，∴∠CEF=∠1=60°，∴∠2=180°﹣∠CEF=120°，故答案为：120°．13．（3分）因式分解：2x2﹣18= 2（x+3）（x﹣3）．【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）．14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接OC、AC，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，∴扇形COB的面积为： =，△AOC的面积为：×2×=，扇形AOC的面积为： =，则阴影部分的面积为： +﹣=﹣，故答案为：﹣．15．（3分）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如=+， =+， =+，…，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b﹣a= n2﹣1 ．（用含n的式子表示）【解答】解：根据已知得：在=+，有6﹣3=22﹣1，在=+，有12﹣4=32﹣1，在=+，有20﹣5=42﹣1，…，所以如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），则b﹣a=n2﹣1，故答案为：n2﹣1．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是①②③（填写所有正确结论的序号）【解答】解：如图，连接OE，CE，∵OE=OD，PE=PF，∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠PFE，∴∠OED+∠PEF=90°，即OE⊥PE，∵点E⊙O上，∴GE为⊙O的切线；点C⊙O上，OC⊥GC，∴GC为⊙O的切线，∴GC=GE故①正确；∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC是⊙O的切线，∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC，∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，∴∠A=∠AEG，∴AG=EG；故②正确；∵OC=OB，AG=CG∴OG是△ABC的中位线，∴OG∥AB；故③正确；在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，但∠POE不一定等于∠ABC，∴∠A不一定等于∠P．故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解方程：x2﹣4x﹣21=0．【解答】解：x2﹣4x﹣21=0，（x﹣7）（x+3）=0，x﹣7=0，x+3=0，x 1=7，x2=﹣3．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥B D．求OE 的长．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OD=BD=4，∴∠AOD=90°，∴AD===5．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形，∴OE=AD=5．19．先化简：（﹣）÷，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．【解答】解：原式=[﹣]÷=•=•=x﹣1．∵x=﹣2，0，1，2分母为0，无意义，∴x只能取﹣1，当x=﹣1时，原式=﹣1﹣1=﹣2．20．今年是第39个植树节，我们提出了“追求绿色时尚，走向绿色文明”的倡议．某校为积极响应这一倡议，立即在八、九年级开展征文活动，校团委对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿3篇的班级个数所对应的扇形的圆心角的度数．（2）求该校八、九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数最多的4个班中，八、九年级各有两个班，校团委准备从这四个班中选出两个班参加全校的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．【解答】解：（1）班级总个数为：3÷25%=12（个），×360°=60°．故投稿篇数为3所对应的扇形的圆心角的度数为60°．（2）投稿5篇的班级数为：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2（个），（2+3×2+5×2+6×3+9×4）÷12=72÷12=6（篇），将该条形统计图补充完整为：（3）画树状图如下：，总共12种情况，两班不在同一年级的有8种情况，所以所选两个班不是同一年级的概率为：8÷12=．21．某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A 、B 两种型号篮球的情况：（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，求A 种型号的篮球最少能采购多少个？【解答】解：（1）设A 型号篮球的价格为x 元、B 型号的篮球的价格为y 元，由题意得，，解得：．答：A 种型号的篮球销售单价为26元，B 种型号的篮球销售单价为68元．（2）设最少买A 型号篮球m 个，则买B 型号篮球球（20﹣m ）个，由题意得，26m+68（20﹣m ）≤1000，解得：m ≥8，∵m 为整数，∴m 最小取9．∴最少购买9个A 型号篮球．答：若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，A 种型号的篮球最少能采购9个．22．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2）在（1）中的图中，若BC=4，∠A=30°，求弧DE 的长．（结果保留π）【解答】解：（1）所作⊙C ，如图所示；（2）∵⊙C切AB于点D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=∠ACD=60°，在Rt△BCD中，BC=4，sinB=，∴CD=BC•sinB=4×sin60°=，∴弧DE的长为=．23．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得：a=﹣1+4，解得：a=3，∴点A的坐标为（1，3）．把点A（1，3）代入反比例函数y=，得：3=k，∴反比例函数的表达式y=，联立两个函数关系式成方程组得：，解得：，或，∴点B 的坐标为（3，1）．（2）作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA+PB 的值最小，连接PB ，如图所示．∵点B 、D 关于x 轴对称，点B 的坐标为（3，1），∴点D 的坐标为（3，﹣1）．设直线AD 的解析式为y=mx+n ，把A ，D 两点代入得：，解得：， ∴直线AD 的解析式为y=﹣2x+5．令y=﹣2x+5中y=0，则﹣2x+5=0，解得：x=，∴点P 的坐标为（，0）．S △PAB =S △ABD ﹣S △PBD =BD •（x B ﹣x A ）﹣BD •（x B ﹣x P ）=×[1﹣（﹣1）]×（3﹣1）﹣×[1﹣（﹣1）]×（3﹣）=．24．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点（4＜OA ＜8），以O 为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点E ，连接OE 、AE ，过点E 作⊙O 的切线交边BC 于F ．（1）求证：△ODE ∽△ECF ；（2）在点O的运动过程中，设DE=x：①求OD•CF的最大值，并求此时⊙O的半径长；②判断△CEF的周长是否为定值？若是，求出△CEF的周长；否则，请说明理由？【解答】（1）证明：∵EF切⊙O于点M，∴∠OEF=90°，∴∠OED+∠CEF=90°，∵∠C=90°，∴∠CEF+∠CFE=90°，∴∠OED=∠EFC，∵∠D=∠C=90°，∴△ODE∽△ECF；（2）解：①由（1）知：△ODE∽△ECF，∴=，∴OD•CF=DE•EC，∵DE=x，∴EC=8﹣x，∴OD•CF=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16，设此时半径为r，则OA=OE=r，OD=8﹣r，在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，∴（8﹣r）2+42=r2，解得r=5，即此时半径长为5；②△CEF的周长为定值，△CEF的周长=16，在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，OA=OE，即：（8﹣OE）2+x2=OE2，∴OE=4+，OD=8﹣OE=4﹣，∵Rt△DOE∽Rt△CEF，即==，∴==，解得：CF=，EF=，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=8﹣x++=16．25．如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+n交于点A（2，2），直线y=x+n 与y轴交于点B与x轴交于点C（1）求n的值及抛物线的解析式（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标（3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标．【解答】解：（1）A（2，2）代入得n=1设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4代入点A（2，2），可得a=﹣2所以抛物线的解析式y=2（x﹣1）2+4=﹣2x2+4x+2，（2）如图1．设PP'与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作PN⊥HM与N设，∵点P'是点P关于AC的对称点，∴PH=P'H，易得，△HNP≌△HMP'，∴MH=NH，∴NM=2NH，∴﹣2x2+4x+2=m+2，∴m=﹣2x2+4x①∵直线AC的解析式为y=x+1，∴B（0，1），C（﹣2，0），∴OB=1，OC=2，∵OB∥HM，∴△COB∽△CMH，∴，∴CM=2MH，易证，△HMP'∽△CMH，∴，∴=，∴MH=2P'M=2PN∴，∴4x=3m﹣2②联立①②解得x=1或，∴点P的坐标（1，4）或，（3）设点E坐标为A（t，0），以AB为边或对角线进行分类讨论：①如图4，当AB是平行四边行的边时，AB∥DE，AB=DE由于点B（0，1）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A（2，2），∴点D的坐标可以表示为D（t+2，1）将D（t+2，1）代入y=2（x﹣1）2+4，得﹣2（t+1）2+4=1解得，此时或，②当AB是平行四边形的对角线时，设AB的中点，点E（t，0），关于的对称点D的坐标可以表示为（2﹣t，3）将D（2﹣t，3）代入y=﹣2（x﹣1）2+4，得﹣2（1﹣t）2+4=3解得t=∴E（，0）或（，0）。
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C．﹣1.52×105米D．1.52×10﹣4米
3．如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 放到小正方体 的正上方，则该几何体的（）
A．主视图会发生改变Байду номын сангаас．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
4．不等式 的解集为()
（1）该游泳池清洗需要小时．
（2）求排水过程中的 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束 分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午 进入该游泳馆游泳，并说明理由．
22．数学兴趣活动课上，小致将等腰 的底边 与直线 重合．
（1）如图(1)，在 中， ，点 在边 所在的直线 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现 的最小值是____________．
20．图 、图 均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，点 为边 的中点．分别在图 、图 中 的边 上确定点 并作出直线 ，使 与 相似．
要求：（1）图 、图 中的点 位置不同．
（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
21．根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程．某游泳馆从早上 开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的 倍，其中游泳池内剩余的水量 与换水时间上 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
2021年吉林省长春市东北师大附中九年级下学期二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．﹣1.5B．﹣2.5C．﹣0.5D．0.5
2．已知某细菌直径长约0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为（ ）
12．如图，矩形 的顶点 落在 的边 上， 落在边 上，且 .只用无刻度的直尺作 的平分线，小致的作法如下：连结 交于点 作射线 则射线 平分 .下面的几何性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线互相平分； 等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是____．(只填序号)
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 且与函数 的图象交于点 .若一次函数 随 的增大而增大，则 的取值范围是____．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当 最短时，如图(2)，在 中，作 平分 交 于点 点 分别是边 上的动点，连结 小致尝试探索 的最小值，小致在 上截取 使得 连结 易证 ，从而将 转化为 转化到（1）的情况，则 的最小值为；
（3）解决问题：如图(3)，在 中， ，点 是边 上的动点，连结 将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连结 ，求线段 的最小值．
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是()
A． B． C． D．
6．点 经过某种图形变换后得到点 这种图形变换可以是()
A．关于 轴对称B．关于 轴对称
C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
7．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕点 旋转到 的位置．已知 米，若栏杆的旋转角 ，则栏杆端点 升高的高度为()
A． 米B． 米C． 米D． 米
8．（2016山西省）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
23．如图，在 中， 为边 的中点．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动到点 停止，同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动到点 停止，当点 停止运动时，点 也停止运动．当点 不与 的顶点重合时，过点 作 交 的边于点 以 和 为边作 ，设点 的运动时间为 (秒)， 的面积为 (平方单位)．
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
二、填空题
9．分解因式： =_______________．
10．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是____．
11．颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝__°．
19．伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2021年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2021年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源：公司财报、中商产业研究院)．
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
17．学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图 )拼出一个大长方形和一个正方形(如图 、图 )，其中所拼正方形中间留下一个边长为 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．
18．如图，在 中， 是边 上一点．以 为圆心， 长为半径作 交边 于点 ；过 作 的切线交边 于点 .求证： ．
（1）2021年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．
（2）求2021年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到 亿元)．
（3）在2013-2018这 年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2021年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．
14．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 两点，拱桥最高点 到 的距离为 为拱桥底部的两点，且 若 的长为 则点 到直线 的距离为____
三、解答题
15．先化简(1+ )÷ ，再选择一个恰当的x值代人并求值．
16．一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.