三维势箱中粒子能量的表达式为当a=bc时,
原子物理学课后答案(褚圣麟)第3章第4章第6章
第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----∙∙⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E ==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meVh 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。
试证明之。
证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。
所以，可以将上式的根式作泰勒展开。
只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h cm eVeVm h -⨯-=-=λ由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
127 当粒子处在三维立方势箱中(a=bc),试求能量最低的 …
1
2
[cos n ( 2 ) i sin n ( 2 )]
必须有 n 0,1,2,
n 必须为整数。
综上，方程的解为：
1 i n e (n 0, 1, 2 ) 2
n2 2 2ma 2
又
n
2ma 2 E
2
E
(n 0 , 1 , 2
1.28. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的质量为 m 的粒子的薛定锷方程，求其解。 解：
H T V
2
2
2m
2 V ( r )
2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 cot x y z r r r r 2 2 r 2 r 2 sin 2
2
R( r ) ， ( ) 均为实数函数
2 2 2ma 2 E 即 E 0 2 2ma 2 2 2
2
上式即为满足题意的薛定锷方程。 上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：
Ae
i n
A(cos n i sin n )
c
392mb2c 392 9.11 1031 (4 1010 )2 2.998 108 2.37 107 m 237nm 109h 109 6.626 1子里，按一维势阱计算（势阱宽度 10cm） （1）氧分子的基态能量是多少 （2）设该分子 T＝300K 时平均热运动能量等于 3/2kT，相应量子数 n 为多少？ (3) 第 n 激发态与第 n+1 激发态能量相差多少？
解：⑴一维势阱的能量表达式为 E
n 2h 2 其中：l 0.1m, m 32m p 5.3525 1026 kg 8ml 2 当 n 1时，体系处于基态，能量为 E 1.025 1040 J 3 23 21 ⑵ T＝300K 时分子具有的能量为 E kT 1.5 1.381 10 300 6.2145 10 J 2 8ml 2 E 9 7.785 10 故n h2 (3) [(n 1)2 n 2 ]h 2 (2n 1)h 2 E 1.6 1030 J 2 2 8ml 8ml
结构化学北大版第一章(4)势箱讲解
x nx ( x) B sin( 2mE ) B sin
对
nx 确定B值 ( x ) B sin
因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几 率总和应满足根据归一化条件： ∫∞∣Ψ∣2dτ = 1 对一维势箱有： 所以
b
0
( x) dx 1
ψ3 0
E3
n=3
0
n=3
ψ3* ψ3
ψ2 0 ψ1 0
n=2 n=1
E2
0
n=2 n=1
ψ2* ψ2
E1
0
ψ1* ψ1
5.状态能量高低与波函数节点数之间 的关系 ------节点数（n – 1）越多，能量越高。
节点： 除边界外，Ψ = 0的点。
量子数 波函数 节点数 能量
n=1
n=2 n=3 … n=n
一维势箱的应用
粒子在箱中的平均位置 粒子的动量x轴分量PX
粒子的动量平方PX2
共轭体系中π电子的运动
箱中粒子出现的几率
1．粒子在箱中的平均位置
因为
X X , X X
X * X dx
0 ^
^
^
所以无本征值，只能求平均值。
x dx
2 0
解法二： 因为势箱中位能 V = 0 2 2 所以 n h
E T
8m
2
P T 2m
所以
2 x
n h P 2 4
2 x
2
2
共轭体系中π电子的运动
例1．丁二烯的离域效应
假定有两种情况：（ a ） 4 个 π 电子形成两个定
域 π 键；（ b ） 4 个 π 电子形成 π44 离域 π 键，每 两个碳原子间距离为ι。分析其能量。
结构化学李炳瑞多媒体版 第四章 分子对称性与群论初步 (2)
n 2h 2 1 1 2 px = =T = × 2m 2m 4l 2 n 2h 2 = 8 ml 2
量子力学处理微观体系的一般步骤： 量子力学处理微观体系的一般步骤： 根据体系的物理条件，写出势能函数， ①根据体系的物理条件，写出势能函数，进 而写出Schrödinger方程； Schrödinger方程 而写出Schrödinger方程； 解方程， ②解方程，由边界条件和品优波函数条件确 定归一化因子及E 求得ψ 定归一化因子及En，求得ψn ③描绘ψn， ψn*ψn 图 ，讨论 描绘ψ ； 用力学量算符作用于ψ ④用力学量算符作用于ψn，求各个对应状态各 种力学量的数值，了解体系的性质； 种力学量的数值，了解体系的性质； 联系实际问题，应用所得结果。 ⑤联系实际问题，应用所得结果。
当n=2时，体系处于第一激发态 。 时
当n=3时，体系处于第二激发态。 时 体系处于第二激发态。
讨 论
（ 3）波函数可以有正负变化 ， 但概率密度总是非负的 . ） 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 概率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点或节面， 概率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点或节面，一 般说来，节点或节面越多的状态，波长越短，频率越高， 般说来，节点或节面越多的状态，波长越短，频率越高，能 量越高. 量越高.
π4 4
C
C
4/9E1
♠花菁燃料的吸收光谱
[R2N¨－(CH＝CH－)r ¨ ＝ － CH＝N+R2] ＝ l l 定域键 l
1/9E1
3l 离域键
•势箱总长l＝248r+565pm，共有 ＋2＋2个π电子，基态时需占 势箱总长l 势箱总长 ，共有2r＋ ＋ 个 电子，基态时需占r+2个分子轨 个分子轨 当电子由第（ 道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为 ）个轨道跃迁到第（ ）个轨道时， c/ν h/8ml c/ 8ml h ν=△E/h h/8ml2)[(r+3)2-(r+2)2]=(h/8ml2)(2r+5), 由λ=c/ν，λ=8ml2c/(2r+5)h △E/h=(h/8ml
结构化学作业解答(第一章节)
2 n x l x sin l 0 2 n
[解]（1）不同粒子的质量m的数值约为（a）电子 9.11031 kg， （b）质子 1.7 1027 kg ，（c）H原子 1.7 1027 kg ，（d）H 2 分子 3.4 1027 kg，（e） O2 5.3 1026 kg 。 x 的数值约为： H 2 分子 3 1010 m，C原子核 11015 m ，纳米管 1109 m ，5米箱5m。 从 x px h 出发，考虑 px mvmin 。 vmin可按下式估算：
2axe 6axe 6a
ax 2 ax 2
4axe
ax 2
4a x e
2
3 ax 2
4a x e
2
3 ax 2
因此，本征值为 6a 。
2 [1.12] 下列函数哪几个是算符 d 的本征函数？若是， 2 dx 求出本征值。
e x , sin x,2 cos x, x3 , sin x cos x
[1.15] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
2 nx n ( x) sin l l
n 1,2,3,...
式中 l 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。 计算： （a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用 下列两种方法计算粒子的能量： ①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能 量： 2 2
vmin h / m x vmin 由小到大的次序为： (e) d b a c （2） （a） H 2 分子中的电子 vmin 为
【市级联考】山东省日照市2024届高三下学期3月模拟理科综合全真演练物理试题(基础必刷)
【市级联考】山东省日照市2024届高三下学期3月模拟理科综合全真演练物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题“气泡室”是早期研究带电粒子轨迹的重要实验仪器，如图为一些不同的带电粒子在气泡室里运动的轨迹照片．现选择A、B两粒子进行分析，它们的轨迹如图．测量发现初始时B粒子的运动半径大于A，若该区域所加的匀强磁场方向垂直于纸面，则（）A．洛伦兹力对A做正功B．粒子B在做逆时针的转动C．粒子A、B的电性相同D．B粒子的速度一定大于A第(2)题如图所示，ABCD-A＇B＇C＇D＇为一立方体木箱，O点为底面A＇B＇C＇D＇中心，M点为DD＇中点，N点为BCC＇B＇面的中心。
AO、MO、NO为三个光滑轻杆，三个完全相同的小球套在轻杆上，分别从A、M、N三点由静止沿轻杆滑下。
关于三个小球的运动，下列说法正确的是（）A．三个小球滑到O点时的速度大小相等B．三个小球滑到O点所用的时间相等C．从A点滑下的小球到达O点时的速度最大D．从M点滑下的小球到达O点所用时间最短第(3)题下列说法正确的是（）A．所有的核反应都具有质量亏损B．β衰变本质是原子核中一个质子释放一个电子而转变成一个中子C．光子既具有能量，又具有动量D．宏观粒子不具有波动性第(4)题如图所示，有一束单色光入射到极限频率为的金属板K上，具有最大初动能的某出射电子，沿垂直于平行板电容器极板的方向，从左侧极板上的小孔入射到两极板间的匀强电场后，到达右侧极板时速度刚好为零．已知电容器的电容为，带电量为，极板间距为，普朗克常量为，电子电量的绝对值为，不计电子的重力．关于电容器右侧极板的带电情况和入射光的频率，以下判断正确的是（）A．带正电，B．带正电，C．带负电，D．带负电，第(5)题图为交流发电机的模型图，下列说法正确的是（ ）A．仅对调磁极N和S，发电机将输出直流电B．仅增加线圈匝数，产生电动势将增大C．仅提高线圈转速，输出电流频率不变D．仅采用更粗的导线制作的线圈产生电动势更大第(6)题如图所示，互相垂直的两组平行金属板P、Q和M、N，板P、Q水平，板M、N竖直，板P、Q长度为板M、N长度的2倍。
【精品】物质结构基本原理高等教育出版社课后习题答案郭用猷张冬菊第二版
1 x
2
时能量的平均值。 1.32. 求处于下列波函数所描述的状态的自由粒子的动量平均值。运动区间为 (, ) 。 (1) eikx (2) cos kx (3) e x 1.33. 设有一个质量为 m 的自由粒子（势能 V=0） ，给出下列 3 种情况的薛定谔 方程，并指出描述其状态的波函数各是哪些变量的函数。 (1) 在三维空间中运动； (2) 被束缚在半径为a的球面上运动（球面上势能为零，球内外势能为无穷 大） ； (3) 被束缚在半径为a的圆周上运动（圆周上势能为零，圆周内外势能为无 穷大） 。 1.34. 写出平面刚性转子，即被束缚在一圆周上的粒子的薛定谔方程，并求其解。 1.35. 求被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子处于状态 ( ) cos 时角度 的 平均值。 （状态 ( ) cos 未归一化） 1.36. 将一维箱中粒子的波函数归一化时，得 B 2 何只取 B
2 x a sin 的一维箱中的粒子，出现在 x 处的几率是 a a 2 a 2 a 2 12 ( ) ( sin . ) 2 ，这种说法对吗？ 2 a a 2 a 求处于基态的一维箱中的粒子出现在 0.25a x 0.75a 内的几率。a 是一维 箱的长。 一质量为 m 的粒子，在长为 a 的一维箱中运动，若将箱长平均分为 3 段， 求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。 一电子在长为 0.6 nm 的一维箱中运动，由能级 n=5 跃迁到 n=4 所发出的光 子的波长是多少？ 一维箱中的电子的最低跃迁频率为 2.0 1014 s 1 ，求箱长。 4 x 2 x 求处于状态 ( x) 的一维箱中的粒子的能量。若无确定 sin cos a a a 值，求其平均值。 2 x 2 2 x sin 3 sin 函数 ( x) 2 是否一维箱中粒子的一个可能状态？ a a a a 如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均 值是多少？ 验证一维箱中粒子的波函数 1 和 2 正交。
三维立方势箱的零点能
三维立方势箱的零点能三维立方势箱是研究量子力学中的一个重要模型，它被用来描述粒子在一个有限大小的立方势箱内的运动行为。
零点能是指粒子在基态下的能量，即在温度为绝对零度时，粒子仍具有的能量。
本文将围绕三维立方势箱的零点能展开讨论。
我们来了解一下三维立方势箱的基本结构。
三维立方势箱是一个边长为L的立方体，粒子被限制在这个空间内运动。
在势箱内，粒子受到无穷高的势垒限制，即在势箱的边界上，粒子的势能趋于无穷大，而在势箱内部，粒子的势能为零。
在量子力学中，粒子的运动行为由波函数来描述。
对于三维立方势箱，波函数的形式可以由三个方向的定态波函数的乘积来表示。
每个方向上的定态波函数可以用正弦或余弦函数来表示，其波长与势箱边长的整数倍有关。
根据波函数的性质，我们可以得到三维立方势箱中的能级结构。
在讨论零点能之前，我们先来看一下三维立方势箱中的能级。
由于粒子在势箱内受到限制，它的能量只能取离散的值，即只能存在于特定的能级上。
每个能级都对应着一个波函数，而波函数的形状决定了粒子在势箱内的运动行为。
对于三维立方势箱，每个能级的能量由三个方向上的能量之和决定。
而每个方向上的能量与波函数的波数有关，波数与波长的倒数成正比。
因此，能级的能量与波长有关，可以用波长的倒数来表示。
根据这一关系，我们可以得到三维立方势箱中的能级公式。
现在，让我们来讨论一下三维立方势箱的零点能。
零点能是指粒子在基态下的能量，即在温度为绝对零度时，粒子仍具有的能量。
在三维立方势箱中，基态对应着能级最低的状态，即粒子的能量最小。
根据量子力学的原理，基态对应着波函数的基态。
在三维立方势箱中，基态波函数是由三个方向上的基态波函数的乘积构成的。
而基态波函数的形状决定了粒子在势箱内的运动行为，从而决定了粒子的能量。
由于在基态下，粒子的能量最小，因此零点能可以看作是粒子在基态下的能量。
根据计算，三维立方势箱的零点能与势箱的边长有关。
当势箱的边长较小时，粒子受到的限制较大，零点能较高；而当势箱的边长较大时，粒子受到的限制较小，零点能较低。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.27 当粒子处在三维立方势箱中(a=b<c),试求能量最低的前3个能级简并度。
解：
三维势箱中粒子能量的表达式为 当a=b<c 时， ①当1x y z n n n ===时体系处于基态 （非简并态） ②当1,2x y z n n n ===时体系处于第一激发态 （非简并态） ③ i. 2,1;2,1x y z y x z n n n n n n ======
（二重简并态） ii. 1,3x y z n n n ===
（非简并态） 当 即
时为i 情况； 当
即
时为ii 情况； 当
即 时体系为三重简并。
1.28. 写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的质量为m 的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：
22
22222
111[()(sin )]()2sin sin r V r E m r r r r r θψψψθθθθφ∂∂∂∂∂-+++=∂∂∂∂∂ 其中(,,)()()()r R r ψθφθφ=ΘΦ
()0;;2V r r a πθ===
∴()R r ，()θΘ均为实数函数 ∴ 22222E ma ψψφ∂-=∂ 即222220ma E ψψφ
∂+=∂ 上式即为满足题意的薛定锷方程。
上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：(cos sin )i n Ae A n i n φψφφ±==±
2222222()8y x z x y z n h n n E E E E m a b c =++=++22222(2())8x z h a E n n ma c =+22
02248h h E ma mc =+(1)a c <2212242h h E ma mc =+22
222588h h E ma mc
=+22222
94h h E ma '=+22E E '<1a <<22E E '>c <22E E '=a c =2
2()2H T V V r m =+=-
∇+2222222222222222
2111cot sin x y z r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂
通过波函数归一化可求得
A 值，即：
222222000()21i n i n i n i n d A
e e d
A e e d A π
ππφφφφφφφπ±±±**ΦΦ====
⎰⎰⎰
故：A =
由边界条件知：()(2)ψφψφπ=+
sin )(2)sin (2)]n i n n i
n φφφπφπ±=+±+
∴必须有0,1,2,n =
，即n 必须为整数。
综上，方程的解为：i n φψ±= (0,1,2)n =±± 又
2n = ∴222
2n E ma = (0,1,2)n =±± 1.30 一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度10cm ）
（1）氧分子的基态能量是多少
（2）设该分子T ＝300K 时平均热运动能量等于3/2kT ，相应量子数n 为多少？
(3) 第n 激发态与第n+1激发态能量相差多少？
解：⑴一维势阱的能量表达式为 其中： 当 时，体系处于基态，能量为
⑵ T ＝
故 (3)
1.32 若用二维箱中粒子模型, 将蒽(C 14H 10)的π电子限制在长700pm, 宽400pm 的长方箱中,计算基态跃迁到第一激发态的波长.
解： 二维势箱中粒子能量的表达式为： 对于蒽分子共有14个π电子，基态要占据能量最低的7个轨道，那么基态跃迁到第一
激发态即为轨道78→的跃迁。
22222222224()[()]887
y x x y x y n h n h E E E n n m a b mb =+=+=+22
28n h E ml
=260.1,32 5.352510p l m m m kg -===⨯1n =401.02510E J -=⨯23213 1.5 1.38110300 6.2145102E kT J --==⨯⨯⨯=⨯97.78510n ==⨯2222
3022[(1)](21) 1.61088n n h n h E J ml ml -+-+∆===⨯
根据粒子能量表达式，可以得到蒽分子在二维箱中，能级图为：
22109392c h h mb
λ=即
22222872244109[()51()94]877392h h E E E mb mb ∆=-=⨯+-⨯-=c E h λ∆
=∴2311028
7343923929.1110(410) 2.99810 2.3710237109109 6.62610mb c m nm h λ----⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯。