【发展战略】非欧几何的产生与发展
不可思议的几何──非欧几何
不可思议的几何──非欧几何非欧几何的来源非欧几何学是一门大的数学分支，普通来讲，他有狭义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓狭义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的«几何原本»提出了五条公设，临时以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比拟起来，显得文字表达冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还留意到欧几里得在«几何原本»一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有运用。
也就是说，在«几何原本»中可以不依托第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依托前四个公设来证明第五公设？这就是几何开展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于〝平行线实际〞的讨论。
由于证明第五公设的效果一直得不到处置，人们逐渐疑心证明的路子走的对不对？第五公设究竟能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的进程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来替代第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结分解一个公理系统，展开一系列的推理。
他以为假设这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深化的推理进程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，失掉了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并构成了新的实际。
这个实际像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假定都有能够提供一种几何学。
对非欧几何的认识
非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范，它不仅带来了数学思想的深刻变革，也使人们的思想发生了极大的变化，使人们对真理、时空等一系列重大的哲学问题有了新的认识，对人类文化的发展产生了非同寻常的影响。
数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何；几何原本；1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD 开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划一条直线，而使之分为上、下两个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的两个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：“数学的本质在于它的充分自由”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但三人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 余年之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4．数学科研者的认识2.4.1 敢于挑战勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多年来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多年的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的。
几何学的变革
曲率为负常数 罗氏非欧几何 双曲几何
曲率恒为零 欧氏几何
非欧几何
1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于几何基础的假设》
正常曲(黎 率曼几) 何
常曲 内蕴率几空 何负 间 ，常 流曲 形(罗 曲率率氏几) 何
零曲率(欧氏几) 何
椭圆几何
双曲几何
非欧几何
1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几 里得几何 1826年罗巴切夫斯 基(俄, 1792-1856) 《简要论述平行线定 理的一个严格证明》
1832年波约(匈, 1802-1860)《绝对空 间的科学》
几何学上的哥白尼
π(α)
非欧几何
罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教 授、校长
子
之
墓
9.3 非欧几何的发展与确认
黎曼几何 非欧几何的相容性 公理系统的相对相容性的证明 非欧几何的意义
9.3 非欧几何的发展与确认
非欧几何从发现到获得普遍接受经历了 曲折的道路，要达到这一目标，需要确 定非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。
一 黎曼几何
黎曼（Rieman，1826—1866）在 1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想， 建立了现称为“黎曼几何”的一种更广 泛的几何，欧氏几何、罗氏几何、黎曼 非欧几何都只是其特例。
9.3 非欧几何的发展与确认
在罗氏几何产生后的1854年，德 国数学家黎曼把欧氏第五公设改为： “过已知直线外一点，没有与其平 行之直线”，得到的一种新的几何 学—黎曼非欧几何，为非欧几何的 另一翼。
9.3 非欧几何的发展与确认
在黎曼几何中，最重要的一种对象是常曲率 空间，对于三维空间，有下列情形：
非欧几何的产生与发展
（2）是世界上最著名、最完整且流 传最广的数学著作；
（3）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。
（4）被誉为西方科学的“圣经”。
欧几里得《几何原本》的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
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非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 表现为人类思维的自由想象。
（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物
理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响
高斯（德，1777－1855）
保守的高斯
但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 写在日记和与朋友的往来书信中。
他曾在给贝塞尔的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现， “黄蜂就会围着耳朵飞”，并会 “引起波哀提亚人的叫嚣”。
创新的罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基是从1815年着手 研究平行线理论的。1826年2 月23日，罗巴切夫斯基于喀山 大学物理数学系学术会议上宣 读了他的第一篇关于非欧几何 的论文《几何学原理及平行线 定理严格证明的摘要》，这篇 首创性论文的问世，标志着非 欧几何的诞生。
罗巴切夫斯基 （俄国，1792—1856 ）
【精品】9几何学的变革
非欧几何的孕育
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那 么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧 相交.
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π
克莱因以射影几何为基础、对几何 学做了分类。
统一的几何学
1872年克莱因(德, 1849-1925)的《爱尔朗根纲领》
•1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生 物
• 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博 士 所谓几何学，就是研究几何图
形对于某类变换群保持不变的 • 186性9-1质8的86学年科: 哥，廷或根者大说学任、何柏一林种大学、 普法战几争何、学埃只尔是朗研根究大与学特、定慕的尼变黑换工业大学、 莱比锡群大有学关、的哥不廷变根量大。学 • 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统 的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有 杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初 世界数学的中心之一
1823年，波约开始理解平行公设 问题的实质，称“我要白手起家 创造一个奇怪的新世界”。波约 称他的非欧几何为“绝对几何”。
著《绝对空间的科学》
9.2 非欧几何的诞生 三 罗巴切夫斯基（1792—1856）
1826 《简要论述平行线定理的一个严格证明》 1829 《论几何原理》 1835—1838 系列论文 《具有完备的平行线理论的新几何学原理》 1840 《平行理论的几何研究》
射影几何
1847年施陶特(德, 1798-1867)的《位置几何 学》 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立 欧氏几何和非欧几何
非欧几何的发展史及其启示
学 院
学
欧几里得的 《 几何原本 》 ．其中公设五是欧几里得 自己提
出的， 的内容是 “ 它 若一 条直线 与两直线相交 ， 且若 同侧 所交两内角之和小于两直角 ， 则两直线无限延长后必相交 于该侧的一点” 、这一公设引起了广泛的讨论 ，因为它不 如其他公理 、 公设那样简 明， 欧几里得本人也不 满意这条 公设 ，他在证 完了所有不需 要平 行公设 的定理 后才使用
统 的理论 ，而著名 的数学家高斯 （ ａｓ ７ ７ １５ 、波 Ｇ ｕｓ１７ —８ ５）
约 （ ｏｙｉ１０ —８ ０） 罗 巴 切 夫 斯 基 （ ｏ ａ ｈｖｋ Ｂ ｌａ ８ ２１６ 、 Ｌ ｂ ｔ ｅｓｙ ｃ
１９ —８ ６） ７ ３１５ 就这样做 了，成为非欧几何 的创始人 ， 高斯 是最早指 出欧几里得第 五公 设独立 于其 他公设 的人 ，早在 １ ９ ７ ２年他就 已经有一种思想 ，去 建立一种逻 辑几何学 ，其 中欧几里得第五公设不成立 ．１ ９ ７ ４年高斯
它， 怀疑它可 能不是一个独立的公设 ， 或许 能用其它公设 或公理代替 ， 从古希腊时代开始到 １ ９世纪的 ２ ０ ０ ０多年来
数学家们始终对这条公设耿耿 于怀 ， 孜孜不倦 的试 图解决
可能存 在着一 种新 几何 ， １ ９世 纪初 ，德 国人萨外 卡特
（ ｃｗｅ ａ ７ ０１５ 使这 种思想更加 明朗化 ， ｓｈ ｉ ｒ １ ８—８ ９） ｋｔ 他通过
这个 问题 ， 数学家们主要沿 ２条研究 途径前进 ： 一条途径 是 寻找一条更为 自明的命题代替平行公设 ； 另一条途径是
非欧几何的诞生及其给我们的启示论文
非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”[1]，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”[2]．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3 维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取1 个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划1 条直线，而使之分为上、下2 个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的2 个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余a，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．2 非欧几何发展史的启示非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂[1]．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由’”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3 人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 a 之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”[3]，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争[4]”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3 人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”[5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6]．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过[7]：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消[9,10]．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的[11]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4 对数学科研者2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多a 来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前1 a，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”[12]．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多a 的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2.5 对数学教师和数学学习者2.5.1 在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》（1883）．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了出色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论”．所以作为一名21 世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中要引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2.5.2 在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设。
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
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古代数学家
奥马·海亚姆 （古阿拉伯）
纳西尔·丁 （古阿拉伯）来自萨凯里 （意大利）近代数学家
克吕格尔 （德国）
兰伯特 （瑞士）
替换平行公设也 能展开新的无矛 盾的几何学道路
吗？
兰伯特
三角形的三内角之和小于 两个直角？ 过直线外一点，有无穷多 条直线不与该直线相交？ 怎么可能？？?
萨凯里，你没错 哦！只是结论似 乎与经验不符。 平行公设能证明 吗？
（1）是古希腊数学家所著的一部数 学著作；
（2）是世界上最著名、最完整且流 传最广的数学著作；
（3）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。
（4）被誉为西方科学的“圣经”。
欧几里得《几何原本》的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
创新的罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基是从1815年着手 研究平行线理论的。1826年2 月23日，罗巴切夫斯基于喀山 大学物理数学系学术会议上宣 读了他的第一篇关于非欧几何 的论文《几何学原理及平行线 定理严格证明的摘要》，这篇 首创性论文的问世，标志着非 欧几何的诞生。
罗巴切夫斯基 （俄国，1792—1856 ）
高斯（德，1777－1855）
保守的高斯
但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 写在日记和与朋友的往来书信中。
他曾在给贝塞尔的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现， “黄蜂就会围着耳朵飞”，并会 “引起波哀提亚人的叫嚣”。
（2）不存在面积任意大的三角形； （3）同一直线的垂线和斜线不一定相交； （4）如果两个三角形的三个内角
相等，它们就全等。
庞加莱罗氏几何模型
圆C是一个非欧平面
z1 C
圆内任一点 z1都是 非欧平面内的点
z2
圆上任一点 z2都是无穷远点
罗氏几何五条公设
过圆内任意两点可以作一条非欧直线段。
。
一非欧直线可以沿两个方向无限延长。
（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若 在某一侧的两个内角的和小于二直角的和， 则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。 ——几何学中的家丑 3
平行公设的一些等价命题
相似三角形存在。
2
三角形的内角和 是180度。
1
过直线外一点，只 能作一条直线与已 知直线平行。
4
一些平行公设研究者
托勒密 （古希腊）
10
C
p
(a) (a) q
a
A
B
P P P D
假设过直线外一点，至少可以 引两条直线与已知直线平行。
C
p (a) (a) q
a
A
B
A
D
a 0时
(a) 2
C
(a) (a)
p
q
a
B
D
a 时 (a) 0
罗氏几何推出的一些结论
（1）三角形内角之和小于两直角，并且 内角和是变化的；
3
1
2
4
z3
z1
1 3 2 4
1 2 180
非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 表现为人类思维的自由想象。
（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物
进取的J·鲍耶
J·鲍耶的父亲是数学教授，也是
高斯的朋友。当父亲知道儿子的
志趣时，坚决反对并写信责令其
停止研究，“它将剥夺你所有的
鲍耶·亚诺什
（匈牙利，1802－1860）
闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个无
底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。”但小
鲍耶仍乐此不疲。
懦弱的J·鲍耶
1832年2月14日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几 何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意 见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。 整篇文章的内容，你儿子所采取的 思路和获得的结果，与我在30至35 年前的思考不谋而合。”小鲍耶对 高斯的答复深感失望。又1840年俄 国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几 何的德文著作出版后，更使小鲍耶 灰心丧气，他从此便完全放弃了研 究数学。
几何上的哥白尼——罗巴切夫斯基
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫 斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几 何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他 的工作。1846年，他失去了在喀山大学的所有职 务，被迫离开终身热爱的大学工作。 但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远 大前途的坚定信念。直到1855年，在身患重病， 卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没 停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一 部巨著《泛几何学》。
刚毅的罗巴切夫斯基
此后，罗巴切夫斯基就饱尝“黄蜂绕耳”的滋 味： 不少权威人物称其学说是“荒唐透顶的伪科学”;有 人 写匿名信说他是“疯子”;有人用漫画进行讽刺挖苦; 德国大诗人歌德的讽刺诗：
有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！ 彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基：
看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著 作，他达到了自己的目的……由此我得出结论，罗 马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得
萨凯里
克吕格尔
非欧几何的产生 和发展
高斯
非欧几何 的诞生
罗巴切夫斯基
J·鲍耶
罗氏几何的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
（5）过直线外的一点至少可以引两条直线与已 知直线平行。
理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响
1913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用
1947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好
用罗氏几何来描述。
18
“欧洲数学之王”高斯
高斯是当时数学界首屈一指的数 学巨匠，负有“欧洲数学之王”的 盛名。
早在1792年，即罗巴切夫斯基诞 生的那一年，他就已经产生了非 欧几何思想萌芽，到了1817年已 达成熟程度。
z3
。
z1
以非欧平面内任一点为中心，
以任意正数长为半径可以作
z4
z2
C
一个非欧圆。
凡直角都相等。
。
设l是圆内任一条非欧 直线，点z0不在l上，
B
l1 z0 l
l2
C
A
那么可以过z0作无穷多条 非欧直线不与l相交。
角非 之欧 和三 小角 于形 180 三 度内
3 4 180
z2