非欧几何发展中的若干认识论问题
非欧几何的产生是认识论的转变
非欧几何的产生是认识论的转变欧几里德几何学体系在公元前300年被创立，发展了近两千年，成为近代几何学的基础。
然而，在19世纪中叶，随着数学研究的深入，人们开始怀疑欧几里德几何学的公理系统的完备性。
这引发了数学领域中的一场认识论革命，与欧几里德几何学相对立的，是非欧几何学的产生。
非欧几何学的诞生是认识论的转变的产物，其中最重要的一个认识论转变就是关于公理和证明的看法的变化。
在欧几里德几何学体系中，公理是被认为是不言自明、不可证明、不可疑问的真理。
公理的存在使得欧几里德几何学体系具有了确定性和严谨性，并且从公理出发可以推导出一系列定理。
然而，随着数学的发展，人们发现有些公理在不同的情境下会产生矛盾，这导致了公理系统的不完备性和不确定性。
因此，人们逐渐开始认识到，公理不是一种绝对的真理，而是人们基于经验和直觉得出的一种假设。
换而言之，公理需要验证，且验证的方法并不只是基于逻辑和推理，更需要实践的检验和验证。
非欧几何学的另一个重要认识论转变是对数学语言和符号的看法的变化。
传统的欧几里德几何语言非常形式化和抽象，只关注定理的证明，而不关注其意义和内涵。
相反，非欧几何学家开始关注符号的内涵和意义，强调语言与现实之间的联系。
他们认为，符号和语言只是智力的工具，不能将其与实际对象完全等同起来。
人们需要透过符号和语言，寻找真实的数学实体。
非欧几何的产生标志着数学的新阶段，即从认识论的角度看待数学的发展。
这种认识论的转变，推动了数学中心由公理和定理向实践和应用的转移，以及对数学本身和其在实践中的应用进行更深入的思考和研究。
与此同时，非几何学还提供了新的数学工具和思想，推动了数学的发展，并对其他领域的学科产生了深远的影响。
欧氏几何与非欧几何(修订版)
欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
非欧几何的产生是认识论的转变
非欧几何的产生是认识论的转变欧几里德几何学是古代希腊人所发明的一种几何学，它是一种欧几里德空间上的几何学。
欧几里德空间指的是三维实数空间，也就是我们通常所说的三维空间。
欧几里德几何学主要研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系。
在欧几里德几何学中，所有的几何命题都可以推导出来，不需要进行测量或实验。
因此，它被认为是一种完美的几何学。
然而，在欧几里德几何学发明之后的几百年里，一些问题逐渐浮现出来，这些问题在欧几里德几何学中无法回答。
这些问题包括：1.平面上的平行线是否会相交？3.如果将一条线段无限地延长，它会有多远？这些问题最终导致了非欧几何的产生。
非欧几何学是指不符合欧几里德公设的几何学，例如在非欧几何学中，平面上的平行线可能相交，球面上也可能存在平行线。
由于非欧几何学不再遵守欧几里德公设，因此有时也被称为“超几何学”。
非欧几何学的产生，标志着人类对于数学的认识和理解发生了重大的转变。
传统的欧几里德几何学基于直觉和想象力，而非欧几何学则需要更为抽象的思维方式和更深入的数学思考，因为非欧几何学的公设不再可以通过直觉和感性的判断得出结论，需要更为精密的推导和证明。
在认识论的角度来看，非欧几何学的产生也体现了人类对于现实世界的认识和理解的深入。
欧几里德几何学是基于人类对于三维空间的感性认识和直觉理解，而非欧几何学则考虑了更为复杂的空间维度和它们之间的关系。
非欧几何学的发展，也给人类对于世界本质的认识以启示，即我们所看到的现实世界并不是唯一的，也可能有许多我们无法想象的空间维度和规律。
不仅如此，非欧几何学在其它数学和科学领域也有着广泛的应用。
在物理学中，相对论理论也是一种非欧几何学，它改变了人类对于时空的理解。
在信息科学和计算机科学中，非欧几何学也有广泛的应用，例如在计算机图形学和计算机视觉中，利用非欧几何学的理论和方法可以更为准确地描述和处理物体的形状和几何特征。
总之，非欧几何学的产生，不仅是数学领域发展的一个里程碑，也是人类对于世界本质的认识和理解之一，它深刻地影响了人类对于数学、科学和哲学等领域的认识和理解。
非欧几何的诞生及其给我们的启示论文
非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”[1]，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”[2]．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3 维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取1 个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划1 条直线，而使之分为上、下2 个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的2 个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余a，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．2 非欧几何发展史的启示非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂[1]．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由’”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3 人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 a 之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”[3]，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争[4]”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3 人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”[5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6]．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过[7]：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消[9,10]．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的[11]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4 对数学科研者2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多a 来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前1 a，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”[12]．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多a 的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2.5 对数学教师和数学学习者2.5.1 在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》（1883）．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了出色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论”．所以作为一名21 世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中要引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2.5.2 在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设。
非欧几何的产生是认识论的转变
非欧几何的产生是认识论的转变【摘要】认识论的演变对几何学的影响是一个重要的话题。
欧几里德几何作为传统几何学的代表，被认为是唯一正确的几何体系。
随着认识论的转变，非欧几何的产生成为可能。
非欧几何的突破性发现颠覆了欧几里德几何的基本假设，为哲学家如尼采提供了新的思考空间。
认识论转变对非欧几何的推动使得非欧几何在现代科学中得以应用。
非欧几何为认识论提供了新的视角，同时也促进了认识论的进一步发展。
认识论与几何学的关系仍有待深入研究，未来研究者需要更多地探索这两者之间的相互作用。
认识论的转变推动了非欧几何的发展，同时非欧几何也为认识论带来了新的启示，为我们提供了更广阔的研究视野。
【关键词】认识论、欧几里德几何、非欧几何、突破性发现、尼采哲学、科学应用、相互作用、转变、发展、新视角、关系、研究。
1. 引言1.1 认识论的演变认识论的演变指的是人类对于认识和知识的理论观点在历史上的发展演变过程。
从古代哲学家对于认识本质的讨论，到近现代科学革命对认识论观念的影响，认识论的演变一直贯穿着人类思想史的长河。
在古代，人们对于认识的探讨主要集中在认识的来源、本质和限度等方面。
古希腊哲学家柏拉图和亚里士多德对于认识的本质有着不同看法，柏拉图认为知识源于感性世界之上的理念世界，而亚里士多德则强调通过感觉和经验获取知识。
这些古代哲学家的思想奠定了后世认识论研究的基础。
随着欧洲文艺复兴和科学革命的兴起，认识论的研究逐渐转向对认识的过程和方法的探讨。
笛卡尔提出的怀疑主义、康德的批判哲学以及对于经验主义和理性主义的论辩，使得认识论观念逐渐趋向于理性主义和经验主义的综合。
这种认识论的发展为后来非欧几何的产生奠定了理论基础。
认识论的演变是人类对认识本质和过程进行思考和探讨的历史过程，它在一定程度上影响着人类对世界的认识和理解。
1.2 欧几里德几何与非欧几何在欧几里德几何与非欧几何的对比中，我们可以看到两者在几何学上的根本差异。
欧几里德几何是传统几何学的基础，以欧几里德公设为基础，建立在几何学的常规观念之上。
非欧几何的产生是认识论的转变
非欧几何的产生是认识论的转变欧几里德几何学是古典数学的一个重要分支，其研究对象是二维和三维空间中的图形和变换。
在19世纪初，非欧几何的概念被引入数学领域，这一概念的产生标志着认识论的转变。
非欧几何学挑战了传统的欧几里德几何学，为数学领域带来了一场认识论的变革。
本文将探讨非欧几何的产生是如何引发了对认识论的转变，并探讨了这一转变对数学领域的影响。
非欧几何的产生是认识论的转变，首先表现在对空间观念的颠覆。
在欧几里德几何学中，空间被定义为一个匀质、无限可分的三维空间，而且其中的直线是无限延伸的。
19世纪初，数学家们开始对这一定义提出质疑。
尼古拉斯·罗巴切夫斯基在尝试证明欧几里德第五公设时发现了一些矛盾，这些矛盾表明欧几里德几何学中的空间概念存在问题。
而随着罗巴切夫斯基和其他数学家的进一步研究，非欧几何的概念被提出，并对空间观念提出了挑战。
非欧几何学认为，空间并非一定是匀质、无限可分的，直线也不一定是无限延伸的。
这种颠覆性的空间观念挑战了人们对空间的既有认知，引发了对空间观念的认识论转变。
非欧几何的产生是认识论的转变，还体现在对公设的反思。
欧几里德几何学建立在五个公设的基础之上，这五个公设被认为是不可或缺的、普遍适用的。
通过对欧几里德第五公设的质疑，数学家们开始反思公设的本质。
罗巴切夫斯基通过构建一种非欧几何体系，证明了欧几里德第五公设并非普遍适用，从而打破了公设的绝对性。
这一反思引发了对公设的重新审视，人们开始意识到公设并非绝对的真理，而是在一定条件下成立的假设。
这种对公设的反思，推动了认识论的转变，使人们开始重新审视数学体系的基础，并在一定程度上动摇了已有的数学基础。
非欧几何的产生是认识论的转变，还在于它对数学观念的刷新。
欧几里德几何学认为，平行线永远不会相交，这是其第五公设所确定的。
非欧几何学挑战了这一观念，提出了一种新的空间模型，即双曲几何。
在双曲几何中，平行线可以相交，在这种空间模型中，传统的欧几里德第五公设不再成立。
欧氏几何与非欧几何中的几何思考与证明
● 03
第3章 欧氏几何与非欧几何 的比较Biblioteka 欧氏几何与非欧几何 的异同
01 欧氏几何基于直觉和直线的概念
欧氏几何
02 非欧几何基于曲线和曲面的概念
非欧几何
03 欧氏几何受限于第五公设
欧氏几何
欧氏几何和非欧几何的几何思考
更侧重于直线和角
度的关系
欧氏几何
01
更注重于曲线和曲 面之间的关系
非欧几何
02
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非欧几何的未来前景
01 现代数学地位
非欧几何将更突出
02 广泛应用
领域发展需求
03 新思路方法
为数学研究提供
欧氏几何与非欧几何的融合
相互影响 创新性提升
领域融合
创新实用
01
融合效果 实践应用
02
发展推动 04
促进数学研究
03
前沿探索
欧氏几何与非欧几 何的发展趋势展望
数学研究领域扩展 多元化前沿性
02
解决特殊问题
为特殊问题提供新的解决思路
03
推动数学的创新发展
几何思考与证明
01 推理与证明方法
通过逻辑推理确立几何定理
02 几何形状分析
探索图形形状的几何特征
03 数学定律应用
运用数学定律解决实际问题
数学与哲学
数学与哲学的关系学院学号姓名2013.12数学文化读书报告数学与哲学的关系摘要：数学与哲学，自从它们诞生之日起，便有着千丝万缕的联系。
它们像一对恋人，相辅相成、共同发展；同时，它们也像一对情敌，相互争夺研究领域。
本文将对什么是数学，什么是哲学，二者间又存在什么样的关系做一个简单介绍。
关键词：数学、哲学、相互促进、争夺领域1.数学与哲学1.1什么是数学数学是一门古老的基础学科，可以说整个理科的基础。
曾有人说数学是科学的皇后，她又是科学的奴仆。
我们现在认识到，数学并没有高于或低于其它学科，她与其它学科的关系是我中有你，你中有我。
在科学研究和人们的日常生活中，数学无处不在，具有不可替代的作用。
可以这样简单的给数学下个定义：数学科学是研究数量关系和空间形式的一个宏大科学体系，它包括纯粹数学，应用数学以及这两者与其它学科的交叉部分，它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学科，也是自然科学、技术科学、社会科学管理科学等的巨大智力资源。
数学不仅是研究其它自然科学与杜会科节的重要工具，它本身也是一种文化，数学从一个方面反映了人类智力发展的高度。
1经过几千年的发展，数学已经发展为一个庞大的学科，从代数到几何，从分析到最近兴起的经济数学及密码学，都曾出现过影响极大的著名的问题。
在数学发展的历史长河中，有些问题得到了解决，比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和；有些问题至今没有得到解决，如哥德巴赫猜想：任何偶数都可以表示为两个素数之和。
数学与其他学科也是息息相关的。
有人把数学比作开启科学殿堂的钥匙，这个比喻相当形象。
特别是随着高性能计算机的发展和以信息高速公路为标志的信息社会的逐步到来以及世界经济全球化的发展趋势，使得所有学科的发展越来越依赖数学，从网络计算、信息安全、生物医学技术、计算机软件、通讯到经济金融、保险、投资政策各个领域。
1.2什么是哲学哲学这个词是从希腊过来的，在希腊语里，本意是热爱智慧。
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第20卷,第3期 科学技术与辩证法Vol.20 No.3 2003年6月 Science,Technology and Dialectics J un.,2003非欧几何发展中的若干认识论问题冯 进(常熟高等专科学校数学系,江苏常熟215500)摘 要:非欧几何在数学史上具有重要而特殊的地位.本文从认识论的角度,论述非欧几何发展中第一次遇到的数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性以及数学结论的真理性等问题,从中折射出它对数学发展的巨大推动作用。
关键词:非欧几何;认识论;存在性;相容性;和谐性;真理性中图分类号:N033;N09 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2003)03-0057-06 19世纪30年代非欧几何的诞生,标志着长达两千多年的关于欧氏几何第五公设问题探索取得了突破性进展,对现代数学及相对论的发展具有极其重大的推动作用。
非欧几何思想的发展有众多论著专门论述,它在数学史及科学史上的意义几乎是其他数学知识所无法相比的,对此,美国著名数学史家M・克莱因这样评述:“在19世纪所有复杂的技术创造中间,最深刻的一个,非Euclid几何学,在技术上是最简单的,这个创造引起数学的一些重要新分支,但它的最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解,以及它和物质世界的关系的理解,并引出关于数学基础的许多问题,这些问题在20世纪仍然在进行着争论。
”[1]数学知识的增长,包括数学概念的提出、数学命题的证明、数学理论的建立等,是数学发展的重要表现,同时,也是人们对数学的不断理解与认识的过程;反之,对数学的深入理解,以及对数学思想的透彻认识,同样也推动着数学的发展,有时甚至会产生革命性的变革。
非欧几何的诞生正是具有这种意义,甚至“在整个思想史中,从来没有发生过具有如此强烈影响的事件”[2]。
本文着重于认识的角度,从数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性、数学结论的真理性四个方面,论述非欧几何对数学发展的这种双重影响。
这四个方面,是非欧几何产生后引起的数学上,更重要的是认识上的问题,也是有史以来(至19世纪初)数学界第一次遇到的关于数学的全新的认识论问题。
一 第五公设问题探索:二千年努力引来对数学及其性质看法的本质变化 经典数学几乎都是以现实世界为基本模型,数学结论总体上直接反映了客观事物的基本性质与运动规则,大量的生产、生活、天文观察实践,以及对这些实践的理性思考,使古代数学家确信宇宙万物是由数字构成的,甚至幻想整个世界就是数学,从毕达哥拉斯提出“万物皆数”,到柏拉图的“理念世界”,以及中世纪后的“上帝按数学方式设计宇宙”,无一不是将数学作为是自然的本质。
坚持“自然的数学设计”信念的原因来自两大方面,一是古希腊人创立的逻辑推理方法,以及由此而产生的严谨的欧氏几何体系。
逻辑思维方法的创立是古希腊人对人类文明的最大贡献,欧氏几何不仅是理性思维的经典蓝本,且它的不证自明的公理、及由此推出的一系列让人不得不接受的结论,为数学设计构建了坚实的基础;二是18世纪以前几乎所有的科学实践都佐证了“自然的数学设计”。
毕达哥拉斯时代就已经精确地知道弦发出的声音与弦长的关系;开普勒坚信上帝按某个简单、优美的数学方案设计了世界,他的行星运动三定律将哥白尼的理论作了最大简化,准确地描述了行星运动规律;牛顿的万有引力及力学三定律则将数学设计的信念推崇之极点,他为自己的工作能揭示无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。
所有这些实践,事实上都是以欧氏几何为基本空间框架构建的。
因此,二千多年来的理性思维活动、科学研究实践以及传统习惯感受,都把欧几里得体系当作神圣不可侵犯的“圣书”,以至于“神明”之士宁愿对着欧几里得定理发誓,而不愿对着“圣经”发誓。
几乎所有的人都深信:欧氏几何就是真理。
然而,由于欧氏几何是建立在直观自明的公理基础上的,其“自明性”要求与古希腊人追求理性的一贯”天性”,使【收稿日期】 2002-08-08【作者简介】 冯 进(1958-),男,江苏常熟人,常熟高等专科学校数学系副教授,从事数学教育、数学思想史的学习与研究。
75《几何原本》一问世就成为众多数学家、哲学家审视的对象。
与《原本》整体的完美性相比,其中的一些错误和不那么直观的结论总让人忐忑不安,包括欧几里得在内的少数“神明”之士一开始就被公理系统中的二条公理(公设)所困惑:一是直线段的双向无限延长性;二是后被称为平行公理的第五公设,即若一直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
欧氏有意识地避免使用“两直线无限延长后不相交”的词语。
这两条公理都涉及无限,线段无限延长后是否一定“直”,两平行的直线无限延长后是否一定不相交,都已无法被直接感受而自明。
就直观而言,即使在有限范围内观察两平行直线,也会给人以透视效果而感觉是渐渐地靠近。
为避免异议,欧氏自己也十分谨慎地使用它们,他基本上没有用到线段的无限延伸性,仅在需要时将线段延伸到适当的长度,对第五公设更是小心翼翼、极少使用,尽量推迟或避免,一直到命题29才用到第五公设。
对《原本》的审视,最终聚焦于第五公设,原因在于:(1)其表述繁琐,不像其他公理、公设简洁明了;(2)缺乏直观自明性;(3)欧几里得自己也审慎应用。
5世纪评论家普洛克鲁斯(Proclus,公元410-485,希腊)在关于《原本》的《评注》中说:“它完全应该从全部公理中剔除出去,因为它是一个包含许多困难的定理”[3]。
为了使《原本》更完美,数百名数学家为此做出了极大的努力,他们或是希望从其它公理推出它,从而真正将其踢出公理系统,或是试图找出更为简洁自明的公理替代它,以保持公理体系的“纯洁”。
但长期的努力均以失败告终,直到19世纪它仍堂而皇之地占据着公理之席,成为数学史上历史最悠久的数学难题,这种状况曾被法国数学家达朗贝尔(J.R.D′Alembert,1717-1783)称为是“几何原理中的家丑”(1759)。
解决第五公设问题期间,即非欧几何诞生前的两千多年中,尽管《原本》一直受到批评与怀疑,但它的简洁、完备、严密、统一等又受到极度的推崇,谁也不怀疑它是现实世界的唯一描述,即使对它的批评与怀疑,也完全是为了让它更加完美。
哲学家大卫・休谟(D・Hume,1711-1776,苏格兰) 1739年在《人性论》中否定因果关系,特别是欧氏几何定律未必是物理真理时,也只是极个别人的一种心理推断,缺乏牢靠的科学依据。
欧氏几何的观念是根深蒂固的,这不仅是一种数学的,可以说是整个科学的甚至是社会的观念,以致当耶稣会牧师、帕维尔大学数学教师萨凯里(G・Saccheri,1667 -1733,意大利)用“过直线外一点至少有二条直线与原直线平行”替代第五公设而获得许多令人惊异却并无矛盾的结果时,仍一味鼓吹《欧几里得无懈可击》(他写于1733年的一本书),甚至当高斯(G auss,1777-1855,德国)第一个真正明确到欧氏几何不是自然的唯一描述时,仍不敢轻易打破这种平衡。
事实上,第五公设问题不仅是纯粹的数学难题,也是关于物质空间的一个真正的、基本的物理问题,嗣后的发展表明,它不仅涉及数学的技术、方法及本性,甚至还涉及许多普遍的哲学问题,对数学、科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响,革命性发展的第一步在于深刻地认识到第五公设的独立性,它不能由其他九条公理(公设)推出。
二 数学对象的存在性:思维方式的转变是非欧几何产生的根本原因 数学对象的存在性应属于数学哲学的本体论问题。
由于数学学科的特殊性,其研究对象不是直接的客观事物,而是离开具体事物的抽象的、形式化的内容,或者说是抽象地存在于事物之中的量的规定性(包括数与形的性质),这在数学成为一门系统的学科之前,古希腊著名哲学家亚里士多德(Aristotle,公元前384-前322)就已对此有了明确的认识。
换言之,数学的研究对象是一些思想材料。
这就使得数学对象的存在性问题,长期以来一直作为数学本体论的一个主要问题而被关注并引起争论。
争论的焦点在于,数学研究的对象是不是客观世界的真实存在?实际上直到现在它仍是个没有完全解决的问题。
这里,我们仅从非欧几何诞生过程中对新几何对象的认识,来论述思维方式及数学观念的变化对数学发展的影响。
17世纪以前,经典数学研究的对象主要是以现实世界的具体事物为直接原型的数量关系与空间形式,就是到17、18世纪进入“变量”数学时期,解析几何与微积分仍然没有离开这一基本的“关系”与“形式”。
因此可以说,19世纪以前,数学的研究对象具有很强的“直观性”,即数学研究的是“看得见”的数量关系与“摸得着”的空间形式。
即使期间出现例外的对象,如无理数、负数、复数、无穷小量等,毕竟也是“偶尔”有之,并且不管它们如何不合“常规”,至少仍然能满足“感觉得到”的关系或形式,如负数、复数是某些方程的解。
一旦超越了这种“直观的感觉”,其存在性问题就会显现,例如,涉及到无穷对象、非构造的存在性证明等,就无法“直接”感觉,从而会产生疑虑。
那么这种由“逻辑”产生的数学对象算不算“存在”,如何看待这种存在性,就成为数学本体论问题长期争论的一个重要问题。
大多数数学家认为应该认可这种“存在性”,但直觉主义数学家觉得,只有真正“拿得出”,即在有限步之后能构造得出的数学对象,才能被接受。
从这个意义上说,数学对象的存在性问题“归根到底是一个认识论问题,即如何看待逻辑推导出来的数学对象的问题”[4]。
在第五公设问题两千年的探索中,都以原有的数学框架与思维模式进行思考,希望从正面加以说明,以完善整个欧氏几何体系。
这种努力可分为两类,一是试图用更自明的公理来替代它;二是用其他公理证明它,从而简化公理系统。
结果发现,用来替换第五公设的命题,或其自明性也成问题,或者形式上比第五公设更加复杂。
正面证明第五公设的努力从公元前就已开始,古希腊学者普赛德纽斯(Poseidonius,公元前135-前51)[5]是最早试图证明第五公设的人之一。
之后,托勒密(Ptolemy,约90-168,埃及)、普洛克鲁斯,及以后许多代有名望的数学家都为此而努力过,最终发现,他们要么无法证明,要么用了一些新的、有待证明的命题作为前提来证明第五公设,从而陷入循环论证。
这过程中引出了许多这类命题,其中最著名、最简洁的一个就是:平面上过直线外一点只能引一条直线与已知直线不相交,它最早在普洛克85鲁斯的《评注》中,出现在对《原本》一个命题的注释里,普来费尔(J・Playfair,1748-1819,苏格兰)1795年把它作为一个公理给出。
从欧氏几何走向非欧几何的遥远路途中,萨凯里的思想可以说具有重要的里程碑作用。
他将直线外一点处的平行线作了如下分类:过这点(a)恰好有一条直线与之平行;(b)没有直线与之平行;(c)至少有两条直线与之平行。