高数02
高数导数和积分大全
高数导数和积分
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CONTENTS
01 添加目录标题
02 高数导数和积分概 述
03 高数导数的性质和 应用
04 高数积分的性质和 应用
05 高数导数和积分的 关系
06 高数导数和积分的 实际应用
添加章节标题
高数导数和积分概述
高数导数和积分的定义
高数导数：表示 函数在某一点的 切线斜率是函数 在某一点的变化 率
导数：描述函数在某一点附近的变化率是函数的局部性质。
积分：对一个函数在某个区间上的定积分或不定积分可以用来计算面积、体积等。
高数导数的性质和应用
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的导数描述了该函数在该点的切线斜率。
导数的几何意义：导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的物理意义：在物理中导数可以描述物理量的变化率例如速度、加速度等。 导数的运算性质：导数具有一些基本的运算性质如加法、减法、乘法和除法的导 数规则。
导数与积分的综合应用示例
计算曲线下面积
求解变速直线运 中 的最优化问题
高数导数和积分的实际 应用
导数在经济学中的应用
导数用于研究经济 函数的单调性、极 值和最值
导数在边际分析和 弹性分析中的应用
导数在最优问题中 的应用如最优生产 、最优定价和最优 分配等
导数在预测经济趋 势和政策效果分析 中的应用
积分可以表示曲线下的面积 积分可以计算旋转体的体积 积分可以解决实际问题如物理、工程等领域 积分可以用于优化问题如最值、极值等
高数导数和积分的关系
导数与积分的关系
导数描述函数在 某一点的切线斜 率而积分描述函 数与坐标轴围成
的面积。
考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第二章上课资料
第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。
记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。
右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。
【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。
《高数基础知识》课件
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
上海财经大学英语高数课件02
d 3 y d d 2 f ( x) d 3 f ( x) 3 3 f ' ' ' ( x) y ' ' ' 3 ( ) D f ( x ) D x f ( x) 2 3 dx dx dx dx
up down return end
And we can define f' ' ' ' (x)=[f ' ' ' (x)] '. From now on instead of using f' ' ' ' (x) we use f(4)(x) to represent f ' ' ' ' (x). In general, we define f(n)(x)=[f(n-1)(x)] ', which is called the nth derivative of f(x). We also like to use the following notations, if y=f(x),
up
down
return
end
Corollary: If the differential of f(x) is df(x)= A(x) x,
then f(x) is differentiable and A(x)=f '(x).
Proof: From the definition,
f (t ) f ( x) A( x)t B(t , x) f ' ( x) lim lim A( x). tx t 0 tx t
up down return end
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为3.22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，123.1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分f(某2y2)dv在柱面坐标系下化为三次积分为20ddrf(r)rdz.0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(C)Ky(某)；(D)K某(y).28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)某y某}，则f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；DD(C)[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.DD19.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.11．若级数c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz..y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.15.（本题满分8分）求幂级数(2n1)某n0n的和函数.n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12即2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下(某yz)dS(某5)dS某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS05dS52某2y225d某dy52251252.17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dyL(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dyACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydzzco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）yy224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围abc成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，6某0y0z0切平面方程为某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：222[f2(某)d某][g2(某)d某][f(某)g(某)d某]2.aaabbb证：设D:a某b,ayb.则[baf(某)d某][g2(某)d某]f2(某)g2(y)d某dy（D关于y某对称）f2(y)g2(某)d某dy 2abDD11[f2(某)g2(y)d某dyf2(y)g2(某)d某dy][f2(某)g2(y)f2(y)g2(某)]d某dy2D2DD1[2f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy[f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy2DDf(某)g(某)d某f(y)g(y)dy[f(某)g(某)d某]2.aaabbb2022—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量a,b,c满足关系式abac，则（D）.（A）必有a0;（B）必有bc0;（C）当a0时，必有bc;（D）必有a(bc)（为常数）.2.直线某3y4z与平面4某2y2z3的关系是（A）.273（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.45某y,(某,y)(0,0)223.二元函数f(某,y)在点（0，0）处（A）某y0,(某,y)(0,0)(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在(某ay)d某ydy为某二元函数的全微分，则a（D）.2(某y)（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.4.已知5.设f(u)是连续函数，平面区域D:1某1,0y1某2.，则（A）（C）D（C）.f(某2y2)d某dy10d某1某20f(某y)dy;（B）dy02211y20f(某2y2)d某;0df(r2)rdr;（D）df(r2)dr.000116.设a为常数，则级数an(1)(1co)（B）.nn1（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.某2y2z2，向量n{1,1,1}，点P0(1,2,3)，1.设函数u(某,y,z)161218u3.则3nP02.若函数f(某,y)2某2a某某y22y在点(1,1)处取得极值，则常数a53.L为圆某y1的一周，则22.L(某2y2)d0.an12，级数an某2n1的收敛半径为4.设limnan1n2.25.设f(某)某21eydy，则某f(某)d某02111(e1).46.设f(某)是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]上的定义为f(某)则f(某)的以2为周期的傅里叶级数在某1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，zf(解题过程是：令u2,1某0某,0某13，3.2yzz)，求某2y.某y某yyz1zzzf(u)，某2y0.，则2f(u)，某y某某某y2某y1某y222.（本小题6分）计算二重积分，其中d某dyD{某,y)某y1,某0}.221某yD某y某yy是奇函数，解题过程是：D关于某轴对称，被积函数关于d某dy0，221某2y21某yD52u2某f12某y(某2f11f12)(某2f21f22)某y2某f12某3yf11(2某y某2)f12f222．求函数z3某y线方向的方向导数.01某某T(1,2)解：曲线L:在点(1,2)处的切向量，T(1,2)2y某152某y在曲线y某21上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向某轴正向的切co12,co55zz|(1,2)(3y21)|(1,2)11,|(1,2)(6某y1)|(1,2)13某y 函数在点（1,2）沿T(1,2)方向的方向导数为zT|(1,2)11132375553．计算222其中(某y)d某dy,D{(某,y)某y4}.D202解2(某y)d某dyD某2y2422(某y)d某dy某2y242某yd某dydr3dr0=804.设立体由锥面z某2y2及半球面z11某2y2围成.已知上任一点某,y,z处的密度与该点到某oy平面的距离成正比（比例系数为K0），试求立体的质量.解：由题意知密度函数(某,y,z)k|z|02法1：：040r2co质量M=(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk20dd402co0rcor2indr7k.611D:某2y21,法2：:2222某yz11某yM(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk12220d10dr11r2rzrdz7k.6法3：M2k|z|d某dydzzzdzz(1(z1))dz017k.65．计算曲线积分I(某y)d某(y 某)dy22C，其中是曲线某y1沿逆时针方向一周.22某yC解：I(某y)d某(y某)dyQP()d某dy[1(1)]d某dy2.1某yC某2y21某2y212222某yzdydz某yd某dzz某d某dy，其中为球面某yz1的外侧．6.计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，某yzdydz某yd某dz(z某2)d某dy(yz某某2)d某dydz2(yz某)d某dydz某d某dydz01222(某yz)d某dydz311244.ddrindr0030157．求幂级数1n某的和函数.n1n1解:幂级数的收敛半径R1，收敛域为[1,1)某0时，某1n1某n某S(某)某=0某d某0某nd某n1n1n1n1某01某d某某ln(1某)某ln(1某)1某0时，S(0)0，S(某)某0四．证明题（本题4分）某[1,0)(0,1)某0ey证明下列不等式成立：某d某dyDe，其中D{(某,y)|某2y21}.12eye某证明：因为积分区域关于直线y某对称，某d某dyyd某dyDeDeey1eye某某d某dy（d某dyyd某dy）某2DeDeDe1eye某1=(某y）d某dy2d某dy2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为某oy坐标面，其底部所占的区域为D{(某,y):某2y2某y75},小山的高度函数为h(某,y)75某2y2某y.（1）设M(某0,y0)为区域D上一点，问h(某,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(某0,y0)，试写出g(某0,y0)的表达式。
高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考
第二章习题解答参考习 题 2-11．设()=8f x x ，试按定义求(1)f '． 解 ()()()0011818(1)=limlim 8x x f x f x f x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆． 2．设2()=f x ax bx c ++，其中,,a b c 为常数.按定义求()f x '． 解 ()()()0=limx f x x f x f x x∆→+∆-'∆()()()220limx a x x b x x c ax bx c x∆→+∆++∆+-++=∆()202lim 2x ax x a x b x ax b x∆→∆+∆+∆==+∆． 3．证明 (sin )=cos x x '． 证 设()sin f x x =，则()()()sin sin 2cos sin 22x x f x x f x x x x x ∆∆⎛⎫+∆-=+∆-=+ ⎪⎝⎭ ()()()002cos sin 22lim lim x x x x x f x x f x f x x x∆→∆→∆∆⎛⎫+ ⎪+∆-⎝⎭'==∆∆0sin2lim cos cos 22x xx x x x ∆→∆∆⎛⎫=+⋅= ⎪∆⎝⎭， 所以 (sin )=cos x x '．4．下列说法可否作为()f x 在0x 可导的定义 （1）000()()limh f x h f x h h→+--存在；解 不能．因为从极限式中不能判断()0f x 存在，也不能判断000()()limh f x h f x h→+-存在．例如()f x x =在0x =点不可导，但00(0)(0)limlim 0h h h h f h f h h h→→--+--==却存在．（2）000()()lim h f x h f x h +→+-和000()()lim h f x h f x h+→---存在且相等；解 可以．因为()0000()()lim h f x h f x f x h++→+-'=，()0000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x f x h h+--→-→----'==--，根据导数存在的充要条件，可知()0f x '存在．5．求下列函数的导数：（1）5y x =； （2）y =； （3）y x =； （4）13log y x = ； （5）y =（6）lg y x =．解 （1）51455y x x -'==；（2）132212y x x --'⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭（3）221577222277y x x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭（4）111ln 3ln3y x x '==-； （5）25152326616y x x x +--''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）1ln10y x '=． 6．已知物体的运动规律为3s t =(米)，求这物体在2t =(秒)时的速度． 解 因为3s t =，23dsv t dt==，所以2t =时，()223212v =⨯=． 7．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)=0f '．证 因为()()0(0)=lim x f x f f x∆→∆-'∆，而()f x 为偶函数，故()()f x f x -∆=∆，所以()()()()000(0)limlim (0)x x f x f f x f f f x x∆→∆→-∆--∆-''==-=-∆-∆， 所以(0)=0f '．8．抛物线2y x =在哪一点的切线平行于直线45y x =-在哪一点的切线垂直于直线2650x y -+=解 由2y x =，可得2y x '=，若切点为()200,x x ，则依题设024x =，即02x =时，切线平行于直线45y x =-；01213x ⋅=-，即032x =-时，切线垂直于直线2650x y -+=；所以抛物线2y x =在点()2,4的切线平行于直线45y x =-在点39,24⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线垂直于直线2650x y -+=．9．在抛物线2y x =上取横坐标为11x =及23x =的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线解 由题设可知2y x '=，所取的两点为()1,1，()3,9，连接两点的直线斜率为4k =，依题设，应有24x =，即2x =，所以所求点为()2,4．10.如果()y f x =在点()4,3处的切线过点()0,2，求()4f '． 解 依题设，曲线在点()4,3处的切线为()()344y f x '-=-，满足()()23404f '-=-，从而()144f '=．11．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：（1）y = （2）21sin ,0,0,0.x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 解（1）因为()000x y →==，所以y =0x =点连续，而20031lim x x x →→==+∞，所以y =0x =点不可导；（2）因为()201lim sin 00x x y x →==，所以21sin ,0,0,0.x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点连续， 又 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x →→==，所以21sin ,0,0,0.x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点可导． 12．设sin ,0()=,0x x f x ax b x <⎧⎨+≥⎩在0x =处可导，求,a b 的值．解 因为sin ,0()=,0x x f x ax b x <⎧⎨+≥⎩在0x =处可导，所以()0lim ()0x f x f →=，且()()00f f -+''=，又0lim ()0x f x -→=，0lim ()x f x b +→=，()0f b =，故0b =，()00f =， 从而()()()000sin 0lim lim 1x x f x f xf x x---→→-'===， ()()()0000lim lim x x f x f ax f a xx +++→→-'===，所以1a =． 13．已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，求(0)f +'，(0)f -'和(0)f '．解 因为2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以()200()0(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-'===， ()00()0(0)lim lim 1x x f x f xf x x---→→--'===-，所以(0)f '不存在． 14．设函数33,0()=,0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，求()f x '．解 当0x >时，2()3f x x '=，当0x <时，2()3f x x '=-，当0x =时，()()3000(0)limlim 0x x f x f x f xx +++→→-'===， ()()3000(0)lim lim 0x x f x f x f xx ---→→--'===，所以(0)0f '=，所以 223,0()=3,0x x f x x x ⎧≥'⎨-<⎩．15．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； （2）周期函数的导函数仍是周期函数． 证 （1）设()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 而()()()limh f x h f x f x h→+-'=，()()()()()0limlim h h f x h f x f x h f x f x h h→→-+----+'-== ()()0lim h f x h f x h →--=-()()()0lim h f x h f x f x h→--'==-，所以()f x '为偶函数；相似地，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，于是()()()()()0limlim h h f x h f x f x h f x f x h h→→-+----'-== ()()()0limh f x h f x f x h→--'=-=--，所以()f x '为奇函数．（2）设()f x 为周期函数，则存在T ，使()()f x T f x +=，则()()()0limh f x T h f x T f x T h →++-+'+=()()()0lim h f x h f x f x h→+-'==， 所以()f x '也是以T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间[0,]x 上细棒的质量m 是x 的函数()m m x =．应怎样确定细棒在点0x 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）解 设在0x 处的线密度为()0x ρ，给0x 以x ∆的增量， 则在区间00[,]x x x +∆上细棒的平均线密度为()()00m x x m x x+∆-∆，故()()()()00000limx m x x m x x m x xρ∆→+∆-'==∆．17．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．证 由2xy a =可得2,0a y x x =≠，于是22,0a y x x '=-≠，若切点为200,a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该点处的切线为()220200a a y x x x x -=--，它与两坐标轴的交点分别为()02,0x ，2020,a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以所求三角形的面积为220012222a S x a x =⨯⨯=． 18．设函数()f x 在0x =处可导，试讨论函数|()|f x 在0x =处的可导性． 解 因为函数()f x 在0x =处可导，所以()()0()0lim0x f x f f x→-'=存在， 而()()()0limx x f x f f x x=→-'=，故（1）若(0)0f =，由()()0()0lim 0x f x f f x →-'=可知：()()0f x f xα'=+，其中lim 0x α→=，从而()()0f x x f α'=+⎡⎤⎣⎦，此时()()()000limlim 0x x x x f xf x f xxαα=→→'+⎡⎤⎣⎦''==⋅+， 因此|()|f x 在0x =点的左导数为()0f '-，右导数为()0f '， 所以|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=；（2）若(0)0f ≠，设(0)0f >，则()0lim ()00x f x f →=>，由保号性定理，0δ∃>，当()0,x U δ∈时，()0f x >， 此时有()()()()0()0()0limlim0x x x f x f f x f f x f xx=→→--''===，相似地， 若(0)0f <，则()0lim ()00x f x f →=<，由保号性定理，0δ∃>，当()0,x U δ∈时，()0f x <，此时有()()()()00()0()0limlim 0x x x f x f f x f f x f x x=→→---⎡⎤⎣⎦''===-； 总之，若()f x 在0x =处可导，则当(0)0f ≠时，|()|f x 在0x =处可导；当(0)0f =时，|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=．习 题 2-21．求下列函数的导数： （1）3cos2y x =；（2）4sin(31)y t =-；（3）32e 4cos2x y x =+； （4）5(1)y x =+；（5）43e 1x y -=+； （6）y =（7）1ln y x x=； （8）23(1)(1)y x x x =++-；（9）3e sin xy x x =；（10）322ln 3ln x x y x x +=+．解（1）()()()()3sin 223sin 226sin 2y x x x x ''=⋅-=-⋅=-； （2）()4cos(31)3112cos(31)y t t t ''=-⋅-=-；（3）()()()()332e 34sin 226e 8sin 2x x y x x x x '''=+-=-； （4）()445(1)15(1)y x x x ''=++=+； （5）()443e 4012e x x y x --''=-+=-；（6）y '==（7）()()()()2221ln ln ln 1ln ln ln x x x x x x y x x x x x x +⋅'+'=-=-=-； （8）()()3222221(1)(1)3(1)(1)522y x x x x x x x x '=+-+++⋅-=-++； （9）()23323e sin e sin e cos e 3sin sin cos x x x x y x x x x x x x x x x x x '=++=++；（10）()()()()()2234222222333ln 2ln 294ln 323ln 3ln x x x x x x x x x x x xx x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭'==++2．证明：（1）2(cot )csc x x '=-； （2） (csc )csc cot x x x '=- ．证 （1）22cos sin sin cos cos (cot )csc sin sin x x x x x x x x x '-⋅-⋅⎛⎫'===- ⎪⎝⎭； （2）21cos 1cos (csc )csc cot sin sin sin sin x x x x x x x x x '⎛⎫'==-=-⋅=- ⎪⎝⎭． 3．证明：（1）(arccos )x '= （2）21(arccot )1x x '=-+． 证 （1）设arccos y x =，则其反函数为cos x y =，,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由于sin x y '=-，由反函数求导法则，()1arccos sin x y '=-== （2）设arccot y x =，则其反函数为cot x y =，()0,y π∈， 由于2csc x y '=-，由反函数求导法则，()222111arccos csc 1cot 1x y y x'=-=-=-++． 4．求下列函数在给定点处的导数：（1）2cos 3sin y x x =-，求π4x y ='； （2）2233x y x =+-，求(2)f '． 解 （1）因为2sin 3cos y x x '=--，所以π4ππ2sin3cos 442x y ='=--=-； （2）因为()()()22212223333x xy x x ⋅-'=-+=+--，所以()22222103332x y =⋅'=+=-．5．写出曲线122y x x=-与x 轴交点处的切线方程． 解 令0y =，得曲线122y x x =-与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 而2122y x '=+，所以142y ⎛⎫'±= ⎪⎝⎭， 所以所求切线有两条，方程分别为42y x =+，42y x =-．6．求下列函数的导数： （1）25(23)y x =+；（2）2sin (52)y x =-；（3）2321e xx y -++=；（4）2sin ()y x =； （5）2cos y x =；（6）y =（7）()arctan x y e =； （8）2(arccos )y x =； （9）lnsin y x =；（10）3log (1)a y x =+．解 （1）242245(23)(23)20(23)y x x x x ''=⋅+⋅+=+； （2）222cos(52)(52)4cos(52)y x x x x ''=-⋅-=--； （3）()()223212321e 32162e xx x x y x x x -++-++''=⋅-++=-+；（4）222cos()()2cos()y x x x x ''=⋅=；（5）()()2cos cos 2cos sin sin 2y x x x x x ''==-=-； （6）()22y a x ''=-==（7）()()221e e 1e 1e xxxx y ''==++； （8）2(arccos )(arccos )2(arccos )y x x x ⎛⎫''=== ⎝ （9）()1cos sin cot sin sin xy x x x x''===； （10）233313(1)(1)ln (1)ln x y x x a x a''=+=++．7．求下列函数的导数：（1）arccos(12)y x =-； （2）1arcsin y x=；（3）1ln 1ln xy x-=+；（4）ln (y x =；（5）sin cos n y x nx =⋅； （6）y =（7）e y =；（8）[]ln ln(ln )y x =；（9）y =（10）1arccot tan 22x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 （1）2)y x ''=-==；（2）211y x x '⎫⎫'==-=⎪⎪⎭⎭； （3）()()()()22111ln 1ln 21ln 1ln x x x x y x x x -+--'==-++； （4）y x ''=+==；（5）()()()1sin sin cos sin sin n n y n x x nx x nx nx -'''=⋅+-()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=⋅-()1sin cos 1n n x n x -=+⎡⎤⎣⎦；（6）1sin 21sin 2x y x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭()()()22cos 21sin 21sin 22cos 21sin 2x x x x x -+--=+2cos 21sin 2xx-=+()2cos 2cos 21sin 2x x x =-+；（7）(1ee1y x'''===+ （8）()()()1111ln (ln )ln ln (ln )ln (ln )ln ln ln (ln )y x x x x x x x x '''==⋅=； （9）y'====；（10）211tan 2211tan 22x y x '⎛⎫'=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭2241sec 2224tan 2x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222sec 1213cos 4tan 22xx x =-=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8．设1cos ,0()ln (1)cos ,0x x f x x x x x -<⎧=⎨+-≥⎩，求()f x '．解 当0x ≠时，sin ,0()1cos sin ,01x x f x x x x x x<⎧⎪'=⎨-+>⎪+⎩，当0x =时，20002sin sin1cos 022(0)lim limlim sin 022x x x x xx x f xxx ----→→→--'===⋅=，()()100ln 1cos 0(0)lim lim ln 1cos ln 10x x x x x x f x x e x +++→→+--⎡⎤'==+-=-=⎢⎥⎣⎦， 所以()00f '=，从而sin ,0()1cos sin ,01x x f x x x x x x <⎧⎪'=⎨-+≥⎪+⎩．9．求函数cos (sin )x y x =的导函数． 解法1 因为cos cos lnsin (sin )x x x y x e ==，所以()()cos cos lnsin cos cos ln sin sin sin ln sin cos sin x x x x y e x x x x x x x ⎛⎫''=⋅=-+ ⎪⎝⎭()2cos cos sin sin ln sin sin xx x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．解法2 对数求导法，由cos (sin )x y x =，得ln cos ln (sin )y x x =， 两边同时对x 求导，得cos sin ln sin cos sin y x x x x y x'=-+， 所以()2cos cos sin sin ln sin sin xx y x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭．10．设()sin f x x =，3()x x ϕ=，求[()]f x ϕ'，[()]f x ϕ'，{[()]}f x ϕ'．解 因为()sin f x x =，3()x x ϕ=，所以()cos f x x '=，2()3x x ϕ'=， 所以()()22[()]3sin 3f x f x x ϕ'==，[]()3[()]cos ()cos f x x x ϕϕ'==，()()()()33323{[()]}sin cos 3cos f x x x x x x ϕ''⎡⎤'===⎣⎦. 11．设()f x '存在，求下列函数的导数： （1）(cos )n f x ； （2）cos [()]n f x ．解 （1）[]()11(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )cos nn n f x nf x f x nf x f x x --''''⎡⎤==⎣⎦1sin (cos )(cos )n n xf x f x -'=-；（2）{}{}{}()11cos [()]cos [()]cos[()]cos [()]sin[()]n n n f x n f x f x n f x f x f x --'''==-()1sin[()]cos [()]n n f x f x f x -'=-⋅⋅．12. 求曲线()22sin sin f x x x =+所有具有水平切线的点． 解 因为()2cos 2sin cos f x x x x '=+，令()0f x '=，得()cos 1sin 0x x +=，于是cos 0x =，或sin 1x =-， 推得 ,2x k k Z ππ=+∈，或32,2x k k Z ππ=+∈， 所以所求的点为2,32k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，32,12k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈． 习 题 2-31．求下列函数的二阶导数： （1）35e x y -= ；（2）e sin t y t -= ； （3）2sin ln y x x = ；（4）tan y x = ；（5）ln(y x = ； （6）2(1)arctan y x x =+ ． 解 （1）353e x y -'=，359e x y -''=；（2）()e sin e cos e cos sin t t t y t t t t ---'=-+=- ，()()e cos sin e sin cos 2e cos t t t y t t t t t ---''=--+--=-；（3）()221sin 2sin cos ln sin ln sin 2xy x x x x x x x x'=+⋅=⋅+，()()22sin 22sin cos sin ln 2cos 2x x x x xy x x x x ⋅-''=+⋅+ ()()222sin 2sin 2cos 2ln x xx x x x=+⋅-；（4）2sec y x '=，22sec sec tan 2sec tan y x x x x x ''=⋅⋅=⋅；（5）1y ⎛⎫'=+= ⎝ ()3221422y x x -''=-+⋅=；（6）2arctan 1y x x '=+，22arctan 1x y x x ⎛⎫''=+ ⎪+⎝⎭． 2．3e x y x = ，求(5)(0)y ． 解 设3u x =，x v e =，则23u x '=，6u x ''=，6u '''=，()0,4n u n =∀≥；(),nx v e n N +=∀∈， 代入莱布尼兹公式，得 ()()()()5445(5)510105y u v u v u v u v u v uv ''''''''''''=+++++2310610653x x x x e xe x e x e =⋅+⋅+⋅+，所以 (5)(0)60y =．3．22e x y x =，求(20)y ． 解 设2u x =，2x v e =，则2u x '=，2u ''=，()0,3n u n =∀≥；()22,nn x v e n N +=∀∈，代入莱布尼兹公式，得 ()()20(20)200n k k k k yC u v -==∑()()()181920210202020C u v C u v C uv '''=++ 182119202202202019022222x x x e C x e C x e =⋅⋅+⋅+⋅()202229520x e x x =++．4．试从d 1d x y y='导出：（1）223d d ()x y y y ''=-'；（2）3235d 3()d ()x y y y y y ''''''-='．解 因为d 1d x y y ='，所以()()2232d 111d x d d dx y y y dy y dx y dy y y y ''''⎛⎫⎛⎫==⋅=-⋅=- ⎪ ⎪'''''⎝⎭⎝⎭， ()()3333d d x d y d y dx y dy dx dyy y ⎛⎫⎛⎫''''=-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭ ()()()()()32265331y y y y y y y y y y y '''''''''''''''-⋅-=-⋅='''． 5．证明：函数12e e x x y C C λλ-=+（12,,C C λ是常数）满足关系式20y y λ''-=． 解 因为12e e x x y C C λλ-=+，所以()1212e e e e x x x x y C C C C λλλλλλλλ--'=+-=-，2212e e x x y C C λλλλ-''=+， 所以()22221212e e e e 0x x x x y y C C C C λλλλλλλλ--''-=+-+=． 6. 求常数λ的值，使得函数x y e λ=满足方程560y y y '''+-=．解 因为x y e λ=，所以x y e λλ'=，2x y e λλ''=，代入方程560y y y '''+-=， 得()2560x e λλλ+-=，因为0,x e x R λ≠∀∈，所以2560λλ+-=， 解得16λ=-，21λ=．7. 设()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+，求常数,b c 的值，使得()()00f g =，且()()00f g ''=.解 因为()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+， 所以()()cos f x x a '=+，()cos sin g x b x c x '=-,所以由()()00f g =，()()00f g ''=，可得sin c a =，且cos b a =． 8．求下列函数的n 阶导数．（1）12121n n n n n y x a x a x a x a ---=+++++L （12,,n a a a L 是常数）； （2）e x y x =； （3）2sin y x =； （4）2156y x x =-+．解 （1）()()12312112n n n n y nx n a x n a x a ----'=+-+-++L ，()()()()()23412211223n n n n y n n x n n a x n n a x a ----''=-+--+--++L ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故()!ny n =．（2）()e e e 1x x x y x x '=+=+，()()e 1e e 2x x x y x x ''=++=+，()()e 2e e 3x x x y x x '''=++=+，由此可见，每求一次导数，增加一个e x ， 所以()()e n x y x n =+，n N +∀∈； （3）()()21cos 211sin cos 2222x y x x -===-， ()2sin cos sin 2cos 22y x x x x π⎛⎫'===-+ ⎪⎝⎭，()2cos 22cos 222y x x π⎛⎫''==-+⋅ ⎪⎝⎭，()222sin 22cos 232y x x π⎛⎫'''=-=-+⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()4332cos 22cos 242y x x π⎛⎫=-=-+⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以()12cos 22nn y x n π-⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，n N +∀∈．（4）因为 21115632y x x x x ==--+--， 而()2133x x -'⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，()()()311233x x -''⎛⎫=--- ⎪-⎝⎭， ()()()()4112333x x -'''⎛⎫=---- ⎪-⎝⎭， 可见，()()()()()()1112333n n n x x --⎛⎫=----- ⎪-⎝⎭L ()()11!3n n n x --=--，同理，()()()()()()()()11112321!22n n nn n x n x x ----⎛⎫=-----=-- ⎪-⎝⎭L ，所以()()()()()()()1111111!321!32nn n nn n n y n x x n x x ----++⎛⎫⎡⎤=----=-- ⎪⎣⎦ ⎪--⎝⎭．习 题 2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d y x： （1）e 0xy x y +-=；（2）22320x y xy y -+=；（3）e ln sin 2xy y x x +=；（4= （0a >的常数）．解 （1）将方程两边同时对x 求导，得1e 0xy dy dy y x dx dx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，变形得：e 11e xy xydy y dx x -=-；（2）将方程两边同时对x 求导，得22222230dy dy dy xy x y x y y dx dx dx ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形整理得：2224223dy xy y dx x xy y -+=-+； （3）将方程两边同时对x 求导，得 e ln 2cos 2xy dy dy y y x x x dx dx x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形整理得：22cos 2e ln exyxy dy x x y xy dx x x x --=+；（4）将方程两边同时对x 求导，得0+=，变形整理得：()0dy x dx =>． 2．求曲线2520x y xy +-=在点(1,1)处的切线方程． 解 将方程两边同时对x 求导，得：42520dy dy x y y x dx dx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 将1x =，1y =代入，解得：()1,10dydx=，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：1y =．3．已知sin cos()0y x x y -+=，求隐函数()y y x =在点π0,2⎛⎫⎪⎝⎭的导数值．解 将方程两边同时对x 求导，得：sin cos sin()10dy dy x y x x y dx dx ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将0x =，2y π=代入，解得：0,212dydxππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--．4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数22d d yx．（1）tan()y x y =+； （2）1e y y x =+；（3）ln y y x y =+； （4）arctan yx=. 解 （1）将方程两边同时对x 求导，得：2sec ()1dy dy x y dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 解得2csc ()dyx y dx=-+， 再求导，得：()222csc()csc()cot 1d y dy x y x y x y dx dx ⎛⎫=-+-+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 将2csc ()dy x y dx=-+代入，整理得：()22322csc ()cot d y x y x y dx =-++；（2）将方程两边同时对x 求导，得：e e y ydy dyx dx dx=+， 解得：e 1e y y dy dx x =-，再求导，得：()()222e 1e e e e 1e yy y y y y dy dy x x dx dx d ydxx ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-，将e 1e y y dy dx x =-代入，整理化简得：()()()()222332e 2e e 321e yyyy x y d y dx y x --==--； （3）将方程两边同时对x 求导，得：ln 1dy dy dyy dx dx dx+=+， 解得：1ln dy dx y =，再求导，得：()2221ln dyd yy dxdx y =-， 将1ln dy dx y =代入，整理化简得：()2321ln d y dx y y =-；（4）将方程两边同时对x 求导，得：2222221121dy dy x y x ydx dx x x y y x -+⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得：dy x y dx x y +=-，再求导，得：()()()22211dy dy x y x y d y dx dx dx x y ⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-， 将dy x ydx x y +=-代入，整理化简得：()()222322x y d y dx x y +=-. 5．用对数求导法求下列函数的导数： （1）cos (sin )x y x =；（2）(tan 2)x y x =；（3）1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（4）(2y x =-解 （1）两边取自然对数，得：ln cos ln(sin )y x x =， 两边同时对x 求导，得：()1cos sin ln sin cos sin dy xx x x y dx x=-+⋅, 整理化简得：()cos (sin )sin ln sin cos cot x dyx x x x x dx=-+⋅⎡⎤⎣⎦； （2）两边取自然对数，得：ln ln(tan 2)y x x =，两边同时对x 求导，得：()2sec 221ln(tan 2)tan 2x dyx x y dx x ⋅=+⋅， 整理化简得：4(tan 2)ln(tan 2)sin 4x dy x x x dx x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦； （3）两边取自然对数，得：()ln ln ln ln 11x y x x x x x ⎛⎫==-+⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭， 两边同时对x 求导，得：()111ln ln 11dy x x x y dx x x ⎛⎫=-++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭整理化简得：1ln 111xdy x x dx x x x ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦； （4）两边取自然对数，得：()111ln ln(21)ln ln(31)ln 1248y x x x x =-++++-，两边同时对x 求导，得：()121312124(31)81dy y dx x x x x =+++-+-，整理化简得：()2131(22124(31)81dy x dx x x x x ⎤=-+++⎢⎥-+-⎦6．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx： （1）cos sin sin cos x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩（,a b 为常数）； （2）22221(1)1at x t a t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（a 为常数）． 解 （1）因为()()sin cos dx ab bt ab at dt =-+，()()cos sin dyab bt ab at dt=+， 所以()()()()()()()()cos sin cos sin d d sin cos sin cos ab bt ab at bt at y x ab bt ab at bt at ++==-+-+； （2）因为()()()()22222221222111a t at t a t dx dt t t +-⋅-==++， ()()()22222221(1)2411at t a t t dy atdt t t -+--⋅-==++ 所以22d 22d 11y t tx t t =-=--． 7．求曲线2e 1(2)ettx t y t t --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在0t =处的切线方程与法线方程． 解 因为e e t t dx t dt --=-，()222e (2)e t t dy t t t dt--=---， 所以221dy t dx t +=-，02t dy dx==，又01,0t t xy====故所求切线为：()21y x =-，法线为：()112y x =--． 8．已知曲线2e 2e tx t mt n y p ⎧=++⎪⎨=-⎪⎩在0t =时过原点，且在该点处的切线与2350x y +-=平行，求常数,,m n p ．解 因为2dx t m dt =+，e tdy p dt=，故e 2t dy p dx t m =+，由题设可知：00t xn ===，02e 0t yp ==-=，23t dy p dxm ===-， 所以所求常数为：0n =，2e p =，3e m =-． 注：此题的书后答案有误．9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d d yx：（1）231x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩； （2）e cos e sin t t x t y t ⎧=⎨=⎩； （3）()2ln 1arctan x t y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩； （4）()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩（()f t ''存在且不为零）．解 （1）因为2dx t dt =-，213dy t dt=-，所以21313222dy t t dx t t -==-+-， 于是 22223131313222224d y d t dt t t dx dt t dx t t ++⎛⎫=-+⋅==- ⎪-⎝⎭；（2）因为e cos e sin t t dx t t dt =-，e sin e cos t t dyt t dt=+， 所以e sin e cos sin cos e cos e sin cos sin t t t tdy t t t t dx t t t t++==--，于是 ()()()22222cos sin sin cos sin cos 1cos sin e cos e sin cos sin t tt t t t d y d t t dt dx dt t t dx t t t t -+++⎛⎫==⋅ ⎪--⎝⎭- ()32e cos sin tt t =-；（3）因为221dx t dt t =+，2111dy dt t =-+，所以22111221dy t t t dx t -+==+， 于是2222112241d y t t dx t t+==+； （4）因为()dx f t dt ''=，()()()()dy f t tf t f t tf t dt ''''''=+-=，所以dy t dx=，于是221()d y dx f t =''．10．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，注水速率为4吨/分钟．当水深为5米时，其表面上升的速率为多少解 如图所示，设在t 时刻容器中水面的高度为()h t （米），此时水面的半径为()r t （米），则依题意应有()()2143r t h t t π=，而()()84h t r t =， 所以()31412h t t π=，两边同时对时间t 求导， 可得()2144dh h t dt π=，当()5h t =时，可求得1625dh dt π=， 所以当水深为5米时，其表面上升的速率为16min 25m π． 11．汽车A 以50公里/小时的速度向西行驶，汽车B 以60公里/小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶．当汽车A 距离交叉路口0.3公里，汽车B 距离交叉路口0.4公里时，两辆车以什么速率接近解 如图所示，设在t 时刻，汽车A 距离交叉路口()x t ，汽车B 距离交叉路口()y t ，则两车之间的直线距离为()()()22s t x t y t =+t 求导，可得()()()()22dx dy x t y t ds dt dt dtx t y t +=+50dx dt =，60dy dt =，故当()0.3x t =，()0.4y t =时，22780.30.4ds dt ==+，即当汽车A 距离交叉路口0.3公里，汽车B 距离交叉路口0.4公里时，两辆车以78/km h 的速率接近．12．一个路灯安装在15英尺高的柱子上，一个身高为6英尺的人从柱子下以5英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子40英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动解 如图所示，设在t 时刻，此人离灯柱的水平距离为()x t ，身影的顶端离灯柱的水平距离为()y t ，则依题意有：5dx dt =，()()()615y t x t y t -=，可见()()53y t x t =， 两边同时对时间t 求导，得52533dy dx dt dt ==， 所以他身影的顶端以25feet /3s 的速率移动，与他离灯柱的水平 距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习 题 2-51．函数2y x =，求当1x =，而0.1x ∆=，0.01时，y ∆与d y 之差是多少 解 当1x =，0.1x ∆=时，21.110.21y ∆=-=，d 20.2y x x =∆=， 所以 0.01y dy ∆-=；当1x =，0.01x ∆=时，21.0110.0201y ∆=-=，d 20.02y x x =∆=， 所以 0.0001y dy ∆-=；2．求函数2y x x =+在3x =处，x ∆等于0.1，0.01时的增量与微分． 解 因为2y x x =+，所以()21dy x x =+∆，当3x =，0.1x ∆=时，223.1 3.1330.71y ∆=+--=，0.7dy =； 当3x =，0.01x ∆=时，223.01 3.01330.0701y ∆=+--=，0.07dy =．3．函数3y x x =-，求自变量x 由2变到1.99时在2x =处的微分． 解 因为3y x x =-，所以()231dy x x =-∆，当2x =，0.01x ∆=-时，()()23210.010.11dy =⨯-⨯-=-．4．求下列函数的微分（1）234123y x x x x =+-+；（2）2e x y x -=； （3）21xy x =- ； （4）22tan (1)y x =+； （5）ln cos 3x y = ；（6）e sin ax y bx =．解 （1）()23144dy x x x dx =+-+；（2）()()()2222222e e e e 2e 12x x x x x dy dx x d x dx x x dx x dx -----=+-=+-=-；（3）()()()()()()()222222222211121111x dx xd x x dx x x dx xdy dx x x x ------+===---；（4）2222222tan(1)tan(1)2tan(1)sec (1)(1)dy x d x x x d x =++=+++2224tan(1)sec (1)x x x dx =++；（5）()()ln cos ln cos 13ln 3ln cos 3ln 3cos cos x x dy d x d x x==⋅lncos 3ln 3tan x xdx =-⋅；（6）()()()()()()e sin e cos e sin cos ax ax ax dy d ax bx bx d bx a bx b bx dx =+=+⎡⎤⎣⎦． 5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d()sin d t t ω=； （2）2d()sec 3d x x =； （3）d()x =；（4）22d d()xx a =+； （5）2d()e d x x x =；（6）ln d()d xx x=. 解 （1）()1cos t ωω-； （2）()1tan 33x ； （3； （4）1arctan x a a ； （5）21e 2x ； （6）21ln 2x ．6．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为0.15厘米，长度L 为4厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为0.001厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜（铜的密度为8.9克/立方厘米， 3.1416π≈）解 因为圆柱形的扩音器插头的体积为2V r L π=，侧面镀层的体积约为2V dV rL r π∆≈=∆，当0.15r =，0.001r ∆=，4L =时，32 3.14160.1540.001 3.7699210V -∆≈⨯⨯⨯⨯≈⨯， 故所需铜的重量约为33.76992108.90.03355m -≈⨯⨯≈克．7．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为2h ，若h 比R 小得多，试证明透镜的厚度22h D R≈．解 如下图所示，镜面半径R 、镜面口径2h 、透镜厚度D 之间有关系：()222h R D R +-=，化简得：2220h RD D -+=，得：22222441R R h h D R R --==--若h 比R 小得多，则2222112h h R R-≈-，故222221122h h h D R R R R R R R⎛⎫=--≈--= ⎪⎝⎭．8．利用微分求下列函数值的近似值（1）cos59o ；（2）tan 46o ；（3）lg11； （4） 1.01e ；（526；（63996解 （1）()00cos59cos 601cos cos sin 318033180πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≈-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭o130.51512180π⎫=-≈⎪⎝⎭； （2）()002tan 46tan 451tan tan sec 418044180πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+≈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭o 12 1.0349180π=+⨯≈；（3）()1lg11lg 101lg101 1.043410ln10=+≈+⨯≈；（4） 1.0110.010.01 2.7455e e e e +=≈+⨯≈； （526251251 5.1225=+≈=； （6()233331996100041000100049.98673-=-≈⨯⨯-≈．9．当||x 较小时，证明下列近似公式： （1）sin x x ≈；（2）(1)1x x αα+≈+；（3）ln(1)x x +≈．解 （1）设()sin f x x =，则()cos f x x '=，当||x 较小时，()sin sin0cos0f x x x x =≈+⋅=，所以sin x x ≈；（2）设()(1)f x x α=+，则()1(1)f x x αα-'=+图2-11当||x 较小时，()()()(1)111f x x f f x x αα'=+≈+=+，所以(1)1x x αα+≈+；（3）设()ln(1)f x x =+，则()11f x x'=+， 当||x 较小时，()()()ln(1)11f x x f f x x '=+≈+=，所以ln(1)x x +≈．习 题 2-61.一飞机在离地面2000米的高度，以200公里/小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解 如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设t 时刻飞机离B 点的水平距离为()x t ，摄影机镜头C 与A 点连线与飞机的水平飞行方向成θ夹角，则()cot 2000x t θ=，()()20000003600x t x t =-，两边同时对时间t求导，可得()211csc 200036dx t d dt dt θθ-==-，即21sin 36d dt θθ=，当飞机飞至该目标上方时，2πθ=， 代入解得：()13605/362d rad s dt θππ=⨯=． 2.一架飞机着陆的路径如图2-11所示，并且满足下列条件： （ⅰ）降落点为原点，飞机开始降落时水平距离为l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中，飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数k （必须比重力加速度小很多）．（1） 求一个三次多项式()32P x ax bx cx d =+++，通过在开始降落和着陆的点对()P x 和()P x '施加一定的条件限制，使它满足条件（ⅰ）；（2） 根据条件（ⅱ）和（ⅲ），试证明：226hv k l≤；（3） 假设一条航线不允许飞机的垂直加速度超过2860k =哩小时．如果 一架飞机的飞行高度为35000呎，速度为300哩小时，飞机应从距离飞机场多远处开始降落（4） 画出满足问题（3）中条件的航线图．解 假设从飞机开始着陆时计时，飞行时间为t ，飞机位置为(),x y ． （1）如要满足条件（ⅰ），应有0t =时，,x l y h ==，0t dy dt==；t T =（T 为着陆时刻）时，0x y ==，0t Tdydt==，因为()32y P x ax bx cx d ==+++，于是()()232dy dx dxP x ax bx c dt dt dt'==++， 所以应有 32h al bl cl d =+++，2320al bl c ++=，0d =，0c =， 解得3223,,0h h a b c d l l =-===，所以()323223h h P x x x l l=-+； （2）由条件（ⅱ）和（ⅲ）可知：dxv dt =，22d y k dt ≤，由()323223h h y P x x x l l==-+，可得：23266dy h h dx x x dt l l dt ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 222223232212666d y h h dx h h d xx x x dt ll dt l l dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以[]0,x l ∀∈，应有232126hh x v k ll ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 故226hv k l ≤；（3）当2860k =哩，0.62135000350000.305 6.62921000h ==⨯⨯≈呎哩，300v =哩小时，由226hv k l ≤，可解得64.52l ≥≈（哩），即飞机应从距离飞机场约64.52哩的水平距离处开始降落．（4）满足条件（3）的航线为()3232322350003350000.260625.223264.5264.52P x x x x x ⨯⨯=-+≈-+（呎）（注：式中x 的单位哩，图略）．本章复习题A1、填空题（1）()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的_____条件，()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的______条件．解 因为()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续，故第一个空应填“充分”，第二个空应填“必要”．（2）()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的______条件． 解 应填“充分必要”． （3）若假定0()f x '存在，则000()()limh f x h f x h h→+--=______．解 因为()()00000000()()()()limlim h h f x h f x f x f x h f x h f x h h h→→+-+--+--= ()()00000()()lim h f x h f x f x h f x h h →+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦()02f x '=， 所以应填“()02f x '”．（4）若()(1)(2)f x x x x =++，则(0)_______f '=．解 因为()(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x '=++++++，故(0)2f '=，应填“2”．（5）曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为________． 解 因为23322t t y dy t t dx x t '==='，所以2t =时，23t dy dx ==，5x =，8y =，切线方程为()835y x -=-，即370x y --=，所以应填“370x y --=”．2、选择题（1）()f x 在点0x 的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在且相等是()f x 在点0x 可导的（ ）．A ．充分条件B ．充分必要条件C ．必要条件D ．既非充分条件也非必要条件 解 选B ．（2）设101()n n n f x a x a x a -=+++L ，则()(0)n f =（ ）．A ．n aB ．0aC ．0!n aD ．0 解 选C ．因为()0()!n f x n a =．（3）设函数()y f x =二阶可导，(ln )y f x =，则22d d yx等于（ ）．A ．1(ln )f x x 'B ．21[(ln )(ln )]f x f x x '''- C ．21[(ln )(ln )]xf x f x x '''- D ．21(ln )f x x' 解 选B ．因为1(ln )(ln )f x y f x x x'''=⋅=， 则221(ln )(ln )(ln )(ln )f x x f x f x f x x y x x '''⋅⋅-'''-''==． （4）若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分d y 是（ ）．A ．与x ∆等价的无穷小B ．与x ∆同阶的无穷小C ．比x ∆低阶的无穷小D ．比x ∆高阶的无穷小 解 选B ．因为()0012x x dyy x x x ='=∆=∆，所以001lim 2x x x dy x =∆→=∆．（5）已知方程222x y R +=确定了函数()y y x =，则22d d yx 等于（ ）．A ．xy- B ．23R y C ．33R y - D ．23R y -解 选D ．由222x y R +=可得220x y y '+⋅=，。
2高数选修(导数)
(∆x → 0) ，其中 A 为与 ∆x 无关的常数，
（ A = f ′( x0 ) ）
函数 f ( x ) 在某点可导 ⇔ 函数 f ( x ) 在某点可微 ⇒ 函数 f ( x ) 在该点连续 但连续不一定可导也不一定可微。 4．奇偶函数与周期函数的导数性质 若 f ( x ) 在某区间上可导且为奇函数，则 f ′( x ) 为该区间上的偶函数； 若 f ( x ) 在某区间上可导且为偶函数，则 f ′( x ) 为该区间上的奇函数； 若 f ( x ) 在某区间上可导且以 T 为周期， f ′( x ) 在该区间上也是以 T 为周期的 则 周期函数。
（2） (sin( ax + b)) ( n ) = a n sin ax + b +
1 （5） ax + b
d 2 y dy′ dt 1 = = 2 dx dx dt −2t sin t 2
18
章节 重点 难点
（续）
日期
三．分段函数及高阶导数求导法 1．按定义求连接点处的导数或左右导数 例 1． （92 研）设 f ( x) = 3 x 3 + x 2 | x | ，则使 f ( n ) (0) 存在的最高阶数 n 为： （） A．0
x + b
nπ 2 nπ （3） (cos( ax + b)) ( n ) = a n cos ax + b + 2 （4） (( ax + b) β ) ( n ) = a n β ( β − 1) ⋯ ( β − n + 1)( ax + b) β − n
高数课件28无穷级数
条件收敛性：无穷级数条件收敛，当且仅当其通项的极限不为0，但存在某 个常数使得其绝对值小于该常数 发散性：无穷级数发散，当且仅当其通项的极限不为0，且不存在某个常数 使得其绝对值小于该常数
收敛性：无穷级数是否收敛，取决于其通项的极限是否为0 绝对收敛性：无穷级数是否绝对收敛，取决于其通项的绝对值的极限是否为0 条件收敛性：无穷级数是否条件收敛，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0 发散性：无穷级数是否发散，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0
洛朗级数：将函数展开为 无穷级数形式
幂级数：将函数展开为无 穷级数形式
拉格朗日级数：将函数展 开为无穷级数形式
敛性
收敛域的求法： 利用比值审敛 法、根式审敛 法等方法求解
收敛域的应用： 在数学分析、 函数论、微积 分等领域有广
泛应用
收敛域的性质： 收敛域是闭集， 且具有连续性、 单调性等性质
泰勒级数：将函数展开为 无穷级数形式
傅里叶级数：将周期函数 展开为无穷级数形式
拉普拉斯变换：将函数展 开为无穷级数形式
无穷级数的和是一个函数，其 值域为全体实数
级数表示：将无穷级数表示为a_1 + a_2 + a_3 + ...的形式 通项表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)的形式，其中f(n)是n的函数 收敛半径表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)/r^n的形式，其中r是收敛半径 幂级数表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)x^n的形式，其中x是幂级数的变量
信号处理：用于滤波器设计、信号分析等 控制系统：用于控制系统的设计和优化 电子工程：用于电路分析、电磁场分析等 机械工程：用于机械系统的动力学分析、振动分析等
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高数（上册）期末复习要点
第一章：1、极限（夹逼准则）
2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）
第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续
2、求导法则（背）
3、求导公式也可以是微分公式
第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）
2、洛必达法则
3、泰勒公式拉格朗日中值定理
4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）
5、曲率公式曲率半径
第四章、第五章：积分
不定积分：1、两类换元法（变dx/变前面）
2、分部积分法（注意加C）（最好都自己推导一遍，好记）
定积分：1、定义2、反常积分
第六章：定积分的应用
主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长
第七章：向量问题不会有很难
1、方向余弦
2、向量积
3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面
4、空间旋转面（柱面）
高数解题技巧。
（高等数学、考研数学通用）
高数解题的四种思维定势
●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f (x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。