第十章非欧几何诞生
欧几里得几何
欧氏几何及其平行公设
公设一：过不同两点可连一直线 公设二：直线可无限地延长 公设三：以任意一点为中心和任一线段
之长为半径可作一圆 公设四：所有直角均相等 公设五：一平面上两条直线被另一直线
所截，若截线一侧的两内角和小于两个 直角，则此二直线必在这一侧相交
10.1 关于第五公设的思考
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
微分几何
❖ 平面曲线理论17世纪基本完成 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了 平面曲线理论
❖ 萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确， 以至于走到伟大发现的门前而却步
克吕格尔的工作
❖ 克吕格尔(德, Klügel， 1739--1812) 是第一个对 “平行公设能由其他公设推 出”表示怀疑的数学家。
❖ 1763年, 克吕格尔 在其博士论文中指出：(1) 公理的实质在于经验，而并非不证自明，人 们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人 们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的 可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾， 他只得到似乎异于经验的结果。
欧几里得平行公设 ？？？？？
“几何原理中的家丑”—— 达朗贝尔
❖ 19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗 克洛斯(Proclus，约公元412—485年，雅典柏拉图学园晚 期的导师，在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注)、萨 凯里(意， Saccheri，1667—1733)、克吕格尔(德, Klügel，1739--1812) 、兰伯特（德，Lambert,1728— 1777） 、普莱菲尔(苏格兰，Playfair，1748—1819) 、 勒让德(法, 1752-1833) 、施魏卡特（普鲁士， Schwcikart，1780-1959）和托里努斯（普鲁士，Taurinus， 1794-1874）等等．
❖ 萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛 盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。
❖ 萨凯里的错误在于把有限图形的性质扩大到 无限图形，以为在有限远处不成立的东在 无限远处也不成立。
❖ 萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情 理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛 盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾
❖ 代表人物：萨凯里、兰伯特
1733年萨凯里(意, 1667-1733) 《欧几里得无懈可击》
萨凯里的工作
1733 年 ， 萨 凯 里
（意大利， Saccheri，1667— 1733）：《欧几里 得无懈可击》
锐角？直角？钝角？ 萨凯里四边形
钝角时很快引出矛盾。但当锐角时，却得出了许多有 趣的推论：三角形内角之和小于两直角；过给定直线 外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交； 在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相 接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两 条直线将在无限远点有共同的垂线；等等
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：关于三 角形的三个内角和的定理 应该认为是那些基本真理 之一。这些真理是不容争 论的，它们是数学永恒真 理的不朽的例子。(1832)
A+B+C=2π
勒让德(法, 1752-1833)
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得 一统天下。解析几何改变了几何研究的方法， 但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。 解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了 人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为 数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
微分几何
1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 《关于曲面上曲线的研究》：曲率、 绕率，建立了曲面理论
1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)关 于可展曲面与直纹面
1795年蒙日(法, 1746-1818) 《关于分析的几何应用的活页论文》 借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究
蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了 处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808 年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎 高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西
蒙日(法, 1746-1818)
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何
❖ 18世纪的空间曲线、曲面理论 1697年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》： 弧长、曲率
克莱罗(法, 1713-1765)
第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊 数学家托勒密，他依赖如下假设：
“过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已 普莱菲尔 知直线平行.”（普莱菲尔公设， 1795年以后
的《几何原本》版本） J. Playfair， 中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也 (苏格兰, 1748-1819) 曾尝试过对第五公设的证明
《几何原本》共48条命题，只有证明第29条命题时唯 一应用了第五公设
欧几里得
10.1 关于第五公设的思考
从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平 行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全 不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一 点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的 欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图 由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没 有成功．
数学史
主 讲 人 张跃辉
10、痛苦的分娩——几何学的革命
关于第五公设的思考 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 非欧几何学 黎曼对非欧几何的贡献
18世纪由于微分方程、变分法一些 新数学分支的出现，形成分析、几何、 代数这三大数学学科，而在这一世纪 中分析领域远远超过了几何、代数。 虽然分析的光芒使18世纪综合几何黯 然失色，但分析的方法应用却开拓出 了一个崭新的分支——微分几何。
非欧几何的诞生
非欧几何的诞生
过直线外一点可作无数条直线与该直线不相交，你相信吗?这一与中学教科书相矛盾的命题是正确的，因为它是在另外一种几何学——非欧几何中讨论的。
自古以来，人们都认为过直线L外一点，能且只能作一条直线与L平行，即有且只有一条直线和L不相交。
这就是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出的几何，即欧氏几何。
1823年，罗巴切夫斯基提出了一种新的几何，其中有一条公理称为非欧公设：过直线外一点，可作多于一条的直线与该直线不相交。
这一公设和欧氏几何的其它公设、公理组合在一起，发展成一门非欧几何——一个与欧氏几何有同样规模，而没有发现任何矛盾的新几何体系。
我们可以用具体的模型来解释罗氏几何。
普通的平面可以看作罗氏平面，罗氏几何中的点和普通的点一样，但罗氏几何学中的直线就和普通直线不一样了。
平面上任取一直线a将平面分为两半，上半平面上，圆心在直线a上的半圆或垂直于a的半直线即为罗氏几何中的直线。
现任取一条罗氏几何中的直线AB，直线外任取一点P，如图2，可作很多条的罗氏直线与AB不相交。
这是因为圆心在a上，过P 点的半圆多得很，和AB半圆不相交的半圆也多得很!
在罗氏非欧几何产生后，又产生了许多新的几何，如黎曼的非欧几何。
非欧几何和欧氏几何都是客观实在的反映，只是反映现实的不同范围和方面，例如爱因斯坦在广义相对论的研究中就必须用黎曼几何来描述物理空间。
当然，在日常生活中，我们使用的还是欧氏几何。
数学分支之非欧几何
数学分支之非欧几何非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲,他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的?几何原本?提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字表达冗长,而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在?几何原本?一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用。
也就是说,在?几何原本?中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何开展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论〞的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐疑心证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为根底的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。
我们知道,这其实就是数学中的反正法。
但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一,第五公设不能被证明。
第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
G._非欧几何
罗巴切夫斯基的著作
• 1826年向学校提交论文《关于几何原 理》，三年后发表，阐述第五公设不可 证，并建立了新的几何学。 • 1838年发表《几何新基础》 • 1840年发表《平行线理论的几何研究》 • 1855年出版《论几何学》
奥斯特罗格拉茨基院士
• 看来，作者旨在写出一部使人不能理解 的著作。他达到自己的目的。 • 由此我得出结论，罗马切夫斯基校长的 这部著作谬误连篇，因而不值得科学院 的注意。
• Saccheri(1667-1733)在1733年出版 《免除所有污点的欧几里德几何》 • 构造Saccheri四边形 • 在第三种假设下导出非欧几何的结论 • 但他自己拒绝承认
其它早期工作
• 兰伯特(mbext,1728-1777)，施韦 卡特(F.K.Schweikart,1780-1859)，陶 里努斯(F.A.Taurinus,1794-1874，施韦 卡特的外甥)等其他人都认识到第五公设 不能被证明，但仍相信Euclid几何是物 质空间唯一正确的几何学。
Gauss与非欧几何
• Gauss完全知道要证明第五公设的努力 是徙劳的。他从1813年开始发展他的新 几何，他深信它的逻辑上是相容的，且 有些确信它是能够应用的。Gauss还实 地测量了由三个山峰构成的三角形内角 之和，超出14”.85，但他知道实验误差 远大于超出值。他的工作因怕人耻笑而 未发表。
非欧几何的意义
• 平行公理是独立的命题 • Euclid几何并非必然是物质空间的几何 • 对平行公理的研究并不仅是为了满足理 智上的好奇心而玩弄的游戏，非欧几何 也是有实际意义的（相对论的发明） • 数学发明应有超前性 • 数学真理的含义
• 他们所得到的，不过是第五公设的一些 等价命题。
非欧几何诞生的意义.doc
非欧几何诞生的意义谈及非欧几何我们就得从它的基础学科——欧式几何入手。
几何学的发源可以追溯的古埃及，几何学的本意是测量的意思，它是古埃及人进行土地测量时的各种经验成果的总结。
“据希腊历史学家Herodotus说，埃及是因为尼罗河每年涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的。
”古希腊人继承和发展了古埃及的几何学，爱奥尼亚学派的领袖和创立人泰勒斯（Thales）和他的学生毕达哥拉斯（Pythagoras）等著名的哲学家和数学家用演绎法将古埃及的“试验几何学”改造为“推理几何学”，晚期的毕达哥拉斯学派（公元前400年左右）已要求数学结果应当根据明白规定的公理用演绎法推出。
欧几里得（Euclid BC330-BC275）集几何学之大成，将前人分散的几何学成果概括总结加以系统化，写成了《几何原本》这部影响历史的著作。
《几何原本》共十三卷，其中五卷为平面几何，五卷为立体几何，三卷为数和比例。
欧几里得几何学是科学史上第一个公理化演绎系统，欧几里得从二十三个名词定义、五条公理（一切科学所共有的真理）、五条公设（只是为某一门科学所接受的第一性原理），共推导出467条定理。
《几何原本》虽然是前人成果的概括总结，“但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理，明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的，此外，定理的《几何原本》的证明有一些遗漏和错误，并且在论证过程中引入了很多没有提出的假定，这些假定是因为在图形上看或直观上显然的事实而无意中用上去的。
另外，欧几里得时代并不十分看重演绎推理，“事实上，希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起的。
希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论。
Proclus把这种无需非多大力气得出的结果陈作横财或红利。
”《几何原本》中的公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一直线与两直线相交且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
非欧几何
非欧几何非欧几何的产生与著名的第五公设问题密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行的长期努力的结果。
公元前3世纪，欧几里得从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，建立第一个几何学公理体系－欧几里得几何学，这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范，但人们感到欧氏几何中仍存在某种瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”（即平行公理）。
大家普遍认为，这条公理所说明的事实通过直线外一点能且仅能作一条平行直线）并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它似乎缺少作为一条公理的自明性。
因此，尽管人们并不怀疑平行公理本身，但却怀疑它作为公理的资格。
历史上关于公理的证明遵循两条思路：其一是直接证明，妈试图将平行公理用欧几里得的欺中用一个更为自明的命题代之，沿着这条途径几乎毫无所获；其二是间接证明，即用反证法来证明，这种方法对非欧几何的产生具有特别重要的意义。
首先开创间接法证明的是17世纪意大利数学爱萨开里，尽管他始终相信平行公理是可以证明的。
在观念上与非欧几何相去其远，但是他珙富于启发性的新方法，并由此开辟了一条直接通往非欧几何的途径。
另一位对非欧几何的产生作出重大贡献的是瑞士几何学家兰贝尔特，人地对平行公理的可证明性提出了怀疑。
这是观念上的重大突破。
显然，沿着兰贝尔特的思路，贯彻萨开里的方法就会引向非欧几何学。
非欧几何学的创立直接归功于三位的数学家，他们是高斯、波耶和罗巴切夫斯基从时间上说，高斯在先，但高斯从未公开发表过这方面的论著。
在非欧几何方面论著最多，并为确立和发展非欧几何始终不渝的当扒罗巴切夫斯基。
罗巴切夫斯基出生在一个分期的公务员家庭。
大给在1815年左右开始研究平行公理问题。
1823－1826年间，他浓度用萨开里相同的方法证明第五公设，到了一系列重要的结果。
罗巴切夫斯基以深刻的洞罕力导致几何学革命的新思想。
人果断地放弃了关于欧氏几何惟一性的传统观念，大胆地确信：由再运行公理否定命题出发而得到的结果代表一种新的几何学，尽管这种几何学有许多结果是令人惊异的，甚至是不可思议的，例如，在这种几何里，三角形的内角和小于180度。
非欧几何的诞生及其给我们的启示论文
非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”[1]，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”[2]．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3 维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取1 个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划1 条直线，而使之分为上、下2 个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的2 个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余a，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．2 非欧几何发展史的启示非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂[1]．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由’”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3 人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 a 之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”[3]，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争[4]”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3 人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”[5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6]．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过[7]：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消[9,10]．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的[11]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4 对数学科研者2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多a 来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前1 a，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”[12]．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多a 的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2.5 对数学教师和数学学习者2.5.1 在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》（1883）．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了出色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论”．所以作为一名21 世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中要引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2.5.2 在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设。
论非欧几何的诞生
论非欧几何的诞生Non-Euclidean geometry又名非欧几里得几何，简称非欧几何。
通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》，其中的公式五“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
”从古希腊时代开始到19世纪的2000对年来，数学家们始终对这条公设耿耿于怀，试图解决并证明它，但对第五公设既无法正面证明，也无法从反面推出矛盾。
从《几何原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。
因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。
通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。
在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。
继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。
无数困难问题得以解决。
许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。
但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。
大数学家们也不例外。
法国数学家达朗贝尔在1759年说。
第五公设问题是“几何原理中的家丑”。
18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。
萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，但是放弃了最后结论，但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法。
其后瑞士数学家兰伯特所作的工作与萨凯里相似，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。
之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。
他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。
在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。
非欧几何的创立：人类认识史上最伟大的成果
非欧几何的创立：人类认识史上最伟大的成果非欧几何的创立与数学的变革非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
经得起历史风霜考验的,只有欧几里得的《几何原本》《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。
但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。
特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。
出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。
从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。
然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。
这里有数学家萨开里（Saccheri 1667-1733）、兰伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。
非欧几何两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。
非欧几何(要)
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重 要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对 论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对 论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观 念，他认为时空只是在充分小的空间里以一 种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均 匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎 曼几何的观念是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重 要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应 用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
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黎曼几何
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。 他在1851年所作的一篇论文《论几何学 作为基础的假设》中明确的提出另一种几 何学的存在，开创了几何学的一片新的广 阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在 同一平面内任何两条直线都有公共点(交 点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存 在，它的另一条公设讲：直线可以无限 延长，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
高斯的简介
C.F. Gauss是 德国著 名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学 家。他有数学王子的美 誉，并被誉为历史上最 伟大的数学家之一 。
高斯的贡献
高斯是最早指出欧几里得第五公设独 立于其他公设的人，早在1792年他就已经有 一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧 几里得第五公设不成立． 1794年高斯发现在他的这种几何中，四 边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的 差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数， 无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他 的新几何，称之为非欧几何。
非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果， 它把人从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认 识从以直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代， 数学表现为人类思维的自由想象。 （2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且 对现代物理学、天文学和人类时空观念的变革都产 生深远影响。1913年，物理学家给出了罗氏几何在 相对论里的应用；1947年，人们在心理学的研究中， 发现视觉空间最好用罗氏几何来描述。
非欧几何的诞生
1.第五公设的疑问及其研究
人们主要从三个方面研究平行公理。 1. 试图给出新的平行线定义以绕开这个
困难； 2. 试图用比平行公理缺点更少的其他公
理取代它；（等价或包含）； 3. 用其它9个公理或公设去证明它！
1.第五公设的疑问及其研究
在进行第二项工作的研究中，人们发现了 许多与第五公设等价的命题，证明其一便 相当于证明了第五公设。
数学欣赏
1.第五公设的疑问及其研究
欧氏几何的公理体系出现在欧几里 得的《几何原本》中，在其之后的2200 后，希尔伯特在《几何基础》加以完善。 其间，许多数学家作了许多公理体系的 完备性工作。
1.第五公设的疑问及其研究
在欧氏几何体系中，作为其基石的五 个公理以及五个公设中的前4个都是容易被 认同的。但是，对于第五公设，却没有那 么简单明了，它很像一条定理，而且很少 被使用，因为人们发现即使欧几里德本人 也尽量避免使用它。于是，《几何原本》 一问世，人们很快就希望能够消除这种困 惑。
比如：
平行公理：过直线外一点可以作唯一一条 直线与之平行；
三角形内角和定理：三角形内角和等于 180度。
1.第五公设的疑问及其研究
第三项问题得到的研究最多，人们 为此努力了两千多年，花费了无数数学 家的心血，但终究没有成功。
2.非欧几何的诞生
19世纪，德国数学家高斯、俄罗斯数学 家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼等人，在 用反证法研究第三项问题时，试图推出矛盾， 但却没有。即，假设第五公理不成立，结果 并不会出现矛盾！
数学欣赏
2.非欧几何的诞生
鲍 耶 (Bolyai﹐ Janos)
1802 年12月15 日生于匈牙 利特兰尼西瓦亚的科罗日 瓦 (Kolozsvar)( 今 罗 马 尼 亚 卢日)；1860 年1 月17 日卒 于匈牙利毛罗什瓦萨尔海 伊 (今罗马尼亚特古穆列什)。