非欧几何创始人
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
非欧几何的创立
非欧几何的创立1893年，喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，他就是俄国著名学者，非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基。
那么，罗巴切夫斯基是怎么走上非欧几何的创立之路的呢？这就要说到公元前3世纪欧几里得在《几何原本》里给出的五个公设了，从那个世纪开始一直到19世纪初，无数数学家们都想要证明一直被证明不了的第五个公设—平行线理论，也就是我们所熟悉的“一个三角形不可能有两个内角都是90度”的说法，而罗巴切夫斯基，可能也想用这个公设的被证明来体现自己的价值，或是表达自己对学术的不懈追求，他也尝试去证明欧氏第五公设。
最初，他也是在前人的思路上继续求证，但是，当经历了无数次失败之后，他开始接受失败这一事实，开始反思，开始打破传统并换个角度思考问题，可能这个为人们千思万想要证明的权威公设根本就不可证。
于是，他大胆地进行了尝试，创造性的在这个问题上用了处理复杂数学问题的反证法。
他将“第五公设不可证”这一命题与其他公理公设组成新的公理系统，并展开逻辑推演，结果没有得出逻辑矛盾。
于是就这样证明了第五公设不可证。
因此，非欧几何的大门开始向世人打开。
1826年，随着他的论文《几何学原理和平行线定理严格证明的摘要》在喀山大学的宣读，非欧几何诞生。
可想而知，一个新的重大成果的问世，总是要受到一些批判与反对，甚至是无视；当然，罗巴切夫斯基没有停止研究，支持这一理论的部分学者们也在尝试证明非欧几何，终于，1868年，也就是罗逝世后12年，意大利数学家贝特拉米发表论文《非欧几何解释的尝试》，证明了非欧几何可以在欧几里得空间的曲面比如球面上实现，也就意味着人们既然相信欧几里得没有矛盾，那么非欧几何就没有矛盾，于是，人们自然就开始尝试进入罗巴切夫斯基打开的那扇门内，若干年后，还称赞罗为“几何学中的哥白尼”。
那么非欧几何的创立告诉了我们什么呢？就是面对失败的时候，我们首先要承认失败，再自我反省，适当地改变自己的思维方向，更要勇于迈出第一步，并不轻易放弃，这样，就能离成功更近。
非欧几里得几何学（non-Euclidean
⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）不同于欧⼏⾥得⼏何学的⼏何体系。
简称为⾮欧⼏何。
⼀般是指罗巴切夫斯基⼏何（双曲⼏何）和黎曼的椭圆⼏何。
它们与欧⽒⼏何最主要的区别在于公理体系中采⽤了不同的平⾏公理。
⾮欧⼏何起源于对欧⼏⾥得平⾏公设的讨论。
公元前3世纪初，欧⼏⾥得《⼏何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同⼀平⾯内⼀条直线与另外两条直线相交，若在某⼀侧的两个内⾓之和⼩于⼆直⾓，则这⼆直线经过⽆限延长后在这⼀侧相交。
它不像其他公设那样显然，因此很快就引起⼈们的争议，认为欧⼏⾥得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，⽽是找不到证明，这是欧⼏⾥得⼏何体系的唯⼀“污点”。
2000多年来，许多⼏何学家⽤不同的⽅法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每⼀个所谓“证明”中都引进⼀个新的假定，⽽这个假定等价于第五公设。
公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧⼏⾥得其他9个公理、公设以及与平⾏公设⽆关的欧⼏⾥得命题1～28来证明平⾏公设，但假设了两直线平⾏后，另⼀与之相交直线⼀侧内⾓成⽴的东西也必在另⼀侧同样成⽴。
公元5世纪的普罗克洛斯基于亚⾥⼠多德⽤于证明宇宙有限的公理来证明平⾏公设，实际上是把⼀个有问题的公理⽤另⼀个来代替09世纪阿拉伯数学家塔⽐·伊本·库拉在《欧⼏⾥得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某⼀侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另⼀侧就相离或靠近。
13世纪的纳西尔丁在《平⾏线问题释疑》中也应⽤了这样的假设：同⼀平⾯上的若⼲直线，若在⼀个⽅向上是分离的，则它们在这个⽅向上就不会靠近。
他在此基础上证明了垂线与斜线⼀定相交，⾃⾓内任⼀点必可作⼀直线与⾓的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。
纳西尔丁的⼯作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲⼈的重视。
欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。
1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。
十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。
从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
非欧几何的诞生.
罗巴切夫斯基非欧几何的
基本思想是,即用与欧几里 得第五公设相反的断言:通 过直线外一点,可以引不止 一条而至少是两条直线平 行于已知直线,作为替代公 设,由此出发进行逻辑推导 而得出一连串新几何学的 定理.如(图1).
罗巴切夫斯基几何的其他结果
• 三角形三内角之和小于两直
角，假如三角形变大，使它 的所有三条高都无限增长，
０５级数教 ３７号 席先贵非欧几何的其他发明人高斯是最先认识到非欧几 何是一种逻辑上相容并且 可以描述物质空间,像欧氏 几何一样正确的新几何,但 他未发表过任何有关非欧 几何的论著,主要是担心世 俗的攻击.
另一位对非欧几何有研究 的是匈牙利青年波约，
罗巴切夫斯基
当罗巴切夫斯基一开 始公布他的这些新几 何学的定理时，的确 遭到了高斯所预料的 “波哀提亚人的叫 嚣”，面对种种攻击， 罗巴切夫斯基表现出 比高斯更有勇气．他 坚信自己是正确的， 他同时还坚信这种新 的几何终有一天“可 以像别的物理规律一 样用实验来验证”．
非欧几何的诞生
1826年2月11日是非欧几何的诞生日。 这一天就是年轻的数学家罗巴切夫斯基
宣读他的非欧几何论文的日子。
1893年，在喀山大学树立起了
世界上第一个为数学家雕塑的 塑像。这位数学家就是俄国的 伟大学者、非欧几何的重要创 始人——罗巴切夫期基。罗巴 切夫斯基（Никола́й Ива́нович Лобаче́вский， 英文串法
Lobachevsky/Lobachevski i）（1792年12月1日—1856年 2月24日），俄罗斯数学家， 非欧几何的早期发现人之一。
第五公设是论及平行线的，它 说的是：如果一直线和两直线 相交，且所构成的两个同侧内 角之和小于两直角，那么，把 这两直线延长，它们一定在那
数学大师们的经典语录和人生简介
数学大师们的经典语录和人生简介一、罗巴切夫斯基经典语录：任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天会在现实世界中找到应用.简介：罗巴切夫斯基(Н.И.лобачевский，1792～1856，俄国数学家)是非欧几何的创始人之一，但他的工作在其所处的时代并未获得赞赏，反而遭到嘲弄和打击.去世后不久，人们发现大数学家高斯的手稿中记载了关于非欧几何的同类成果，他的思想才逐渐被接受.罗巴切夫斯基是一位杰出的教育家和管理者，创立了喀山数学学派和喀山数学教育学派，在无穷级数论（特别是三角级数）、积分学和概率论等方面均有出色的工作.罗巴切夫斯基反对康德的唯心主义观点，认为人们头脑里产生的概念来源于客观世界的物质运动.数学概念从现实世界抽象和概括出来，反映了诸多客观事物数量关系和空间形式方面的本质和共性.因此不管数学理论如何抽象，一定会在实际问题中得到应用.事实也是如此，他创造的非欧几何已在描述宇宙空间结构中得到某些应用.二、切比雪夫经典语录：数学脱离实际需要，就好比把母牛关起来不让她接触公牛.简介：切比雪夫(П.Л.Чебьшев，1821～1894，俄国数学家、力学家)是彼得堡数学学派的创始人，其特点是将数学理论与自然科学技术的实践紧密结合，这使得他的许多科学创造都具有极其重要的实用价值.例如，他从研究机诫原理出发，建立了用多项式逼近连续函数的理论，创立了新的数学分支.关于科学与实践的关系，切比雪夫曾指出：“科学在实践中获得了正确的领导地位”，“科学本身在实践的影响下发展，又为实践开发了新的研究对象” .三、惠斯勒经典语录：尽管评论家大声叫喊：2加2应等于5；业余艺术家倾情哭诉：2加2应等于3；对数学家而言，2加2永远等于4. 数学最显著的特点是理论的严谨性，一般从两个方面考虑：一是数学推理的严格性，二是数学结论的确定性.惠斯勒上面的这句名言恰好幽默地说明了后者.简介：惠斯勒(J．M．Whistler，1834～1903，美国画家)早年考入西点军校，I855年去巴黎，1859年定居英国，担任过不列颠美术家协会主席.代表作《在钢琴旁》、《白衣女郎》曾引起轰动.晚年作品追求东方趣味，画中少女常穿日本和服并摆上几件中国瓷器.作品还有铜版画《法国组画》、肖像画《母亲》及组画《泰晤士河》等.四、汉克尔经典语录：在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏；唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼.在讲解数学科学的特点时，一般人津津乐道的有三点：高度的抽象性、体系的严谨性、应用的广泛性，往往忽略了它的第四个特点：发展的连续性.对此，汉克尔提出了上述精彩论述，这也是数学与其他自然科学的显著差异.简介：汉克尔(H. Hankel，1839～1873，德国数学家、数学史家)在复数和超复数理论、函数论、数学史等方面皆有所贡献.他修正了形式律的皮科克不变性，证明了任何超复数系都不能满足全部普通算术定律，强调点集的测度性质，系统阐述了黎曼可积性准则，讨论了函数的分类及各类函数的可积性，并提出构造以有理点为奇点函数的方法.汉克尔是著名的数学史家，其著作《近几世纪数学的发展》、《古代与中世纪数学史》等享有盛名，受到数学史家康托尔、卡约里、希思等的重视.五、康托尔经典语录：数学的本质在于它的自由.简介：康托尔（G.F.L.P.Cantor，1845～1918，德国数学家）注意到在数学发展进程中往往有些理论不能被普遍接受，如概率论.于是，他提出“数学的本质在于它的自由”，即不必受传统观念束缚，并于19世纪70年代提出无穷集合论.这种富有革命性的学术思想遭到同时代一些学者的反对和嘲笑，但也得到几位大数学家的支持，如戴德金、魏尔斯特拉斯、希尔伯特等.自20世纪20年代以来，集合论已享有很高的声誉，正如希尔伯特在1926年的一次讲话中强调指出的：“没有人能把我们从康托尔为我们创建的乐园中赶走！”罗素则把康托尔的工作称颂为“可能是这一时代所能夸耀的最巨大的工作” .六、格莱舍经典语录：对于任何一种将一个学科与它的历史割裂开来的企图，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大.与其他自然科学相比，数学的独特之处在于它是积累的科学，它本身就是历史的记录，或者说数学的过去融合于现在与未来之中.正是为了强调数学史的重要性，格莱舍说出以上名言.简介：格莱舍(J.W.L．Glaisher，1848～1928，英国数学家、天文学家)1867年入剑桥大学三一学院读书，毕业后留校任教.一生未婚，致力于科学研究，共发表近400篇文章和笔记.1871年担任《数学信使》编辑，1878年兼任《数学季刊》编辑.主要贡献在特殊函数（特别是椭圆模函数）理论和数学史等方面，另外对天文学也有研究.1884年任伦敦数学学会理事长，1901年任皇家天文学会理事长.他还是英国皇家学会及其他若干科学团体成员.七、福赛思经典语录：数学是最古老的科学之一，然而它又是最活跃的科学之一，因为它的力量来自永葆青春的活力.18世纪的数学家曾对未来的数学感到茫然，1781年拉格朗日给达朗贝尔的信颇有代表性：“在我看来，似乎（数学的）矿井已经挖掘得很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它.”然而数学在新世纪里的确发现了新的矿脉，产生了一大批新的分支.不仅如此，数学组织与刊物迅猛发展，数学家人数急剧增长，数学思想日新月异，数学应用日益广泛.数学“不断地用它扎在思维和自然中的深根获取营养”，正如福塞思形容的那样“它的力量来自永葆青春的活力” .简介：福赛思（A.R.Forsyth，1858～1942，英国数学家）1877年就学于剑桥大学三一学院.1881年毕业时以数学优异成绩留校执教.1886年当选为皇家学会会员.他的名作《函数论》被认为是自牛顿《原理》以来对英国数学影响较大的专著之一，对数学现代化起了引导作用.另外著有《变分学》、《理想空间的内蕴几何学》等书.八、怀特黑德经典语录：这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道.数学的特点在于简洁，即将最复杂的东西用最简单明了的内容来表示，而不是使用模糊深奥的语言，这就是怀特黑德的观点.简介：怀特黑德(A.N.Whitehead．1861～1947，英国逻辑学家、数学家、哲学家)1884年毕业于剑桥大学三一学院，1905年获科学博士学位.先后任教于剑桥大学三一学院、伦敦大学学院和哈佛大学.曾获多种奖金，被选为皇家学会会员.怀特黑德主要贡献在数理逻辑和哲学方面，他和罗素被认为是数学基础三大学派之一的逻辑主义学派的创始人.他们合作的《数学原理》一书对逻辑主义学派的基本观点进行了论述，现已成为重要的历史文献.九、凯泽经典语录：数学不是算账和计数的技术，正如建筑学不是造砖伐木的技术，绘画不是调色的技术，地质学不是敲碎岩石的技术，解剖学不是屠宰的技术一样.这是凯泽理解了数学的本质后，深入浅出说出的一句名言. 简介：凯泽(C.J.Keyser，1862～1947，美国数学家)1883年毕业于俄亥俄州师范大学.1901年获博士学位后在华盛顿大学、哥伦比亚大学等校任教，是美国科学发展协会和美国数学学会成员.著作有《新无穷与旧神学》、《数学哲学》等，对几何、逻辑和数学哲学都有贡献.十、波利亚经典语录：数学在用最不显然的方式证明最显然的事情.简介：波利亚（G.Polya，1887～1985，匈牙利一美国数学家、数学教育家）早年在布达佩斯、维也纳、格丁根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学.1928年任瑞士联邦工学院数学教授.1940年移居美国，在斯坦福等大学执教.先后成为法国科学院、美国艺术与科学研究院、匈牙利科学院、美国科学院等成员.他在概率论、组合数学、图论等多个领域有建树，而影响最大的是他丰富的数学教育思想.他十分重视从小培养学生的解题能力，始终把高深的数学研究与数学的普及教育结合起来.相关名著《怎样解题》(1944)、《数学与合情推理》(1954)和《数学的发现》(1962～1965)风靡世界，多次修订，并被译为多种文字.其中仅中文就有数个版本，促进了我国数学教育改革和解题研究水平的提高.十一、韦伊经典语录：严格性之于数学家，就如道德之于人.简介：韦伊（A.Weil, 1906-1998，法国数学家、数学史家）是20世纪最有影响的纯粹数学家之一，是公认的布尔巴基学派的精神领袖.20世纪30年代末完成专著《拓扑群的积分及其应用》，其中反映出的数学结构主义体现了布尔巴基学派的观点，开辟了群上调和分析的新领域.40年代，建立了严整的代数几何学体系：1946年出版的《代数几何学基础》建立的代数几何方法对解决代数数论问题具有重要意义.1948年提出了韦伊猜想.这些工作推动了现代数学的发展.1979年韦伊荣获沃尔夫奖，1994年荣获基础科学方面的京都奖.在韦伊看来严格是数学家最根本的素养，在上述名言中他以类比的方法形象地揭示了“严格”的重要性.十二、加德纳经典语录：数学的真谛就在于不断寻求用越来越简单的方法证明定理和解决数学问题.简介：加德纳(M.Gardner，1914～2010，美国数学科普作家)被誉为“数学园丁”，在杂志《科学美国人》每月一篇的专栏发表数学科普文章持续20年以上.他坚信自己所说的这一论断，所以创造的数学趣题往往出人意料，但又非常简单而合乎逻辑.他的作品也以深入浅出著称，使许多读者陶醉于数学乐园之中，并在改善数学的可接受性方面做出了重要贡献.其中最著名的有《关于无穷相对论》、《数学的奇迹和秘密》、《数学游戏和娱乐》、《数学的余暇》、《数学故事》等.译成中文的有《啊哈！灵机一动》、《引人人胜的数学趣题》、《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》、《矩阵博士的魔法数》等.。
大学 数学专业 空间解析几何第五章 非欧几何简介 PPT
19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯 基在否定第五公理的同时，假设其 反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平 行”，得到了一系列定理，并且认 为他得到了一门新的几何学。这是 过去2000年以来的重大突破。
π(α)
罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布 自己建立了新的几何学之后，得到 了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德 国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认 可是在他去世几十年后的事了.
平行公理通常以如下的等价形式出现：过直线 外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是 永不相交的意思，这就牵涉到“无穷”——一个不 很自明、无法亲身经验到的观念。 欧几里得不采取 后一种形式的平行公理，也许也是要使平行公理显 得更自明的缘故。
其中第五公理是说：过已知直线外 一点，可作一条也只可作一条直线 与已知直线平行。
A+B+C=π
第五平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧பைடு நூலகம்里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833)
平行公理
A
这个平行公理在所有公理之中是最不明显的， 所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的 公理去推得平行公理。 而这努力延持了两千年， 后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的 发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的 事实，是西方数学和中国数学不同的地方。
非欧几何的其他发明人
高斯是最先认识到非欧几何是 一种逻辑上相容并且可以描 述物质空间,像欧氏几何一样 正确的新几何,但他未发表过 任何有关非欧几何的论著,主 要是担心世俗的攻击.
另一位对非欧几何有研究的是 匈牙利青年波约，
在罗氏几何产生后的1854年，德国 数学家黎曼把欧氏第五公理改为： “过已知直线外一点，没有与其平 行之直线”，得到的一种新的几何 学——黎曼非欧几何，为非欧几何 的另一翼。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
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非欧几里得几何学的创始人：黎曼
非欧几里得几何学的创始人——[德国]黎曼(1826～1866)德国有名的数学家希尔伯特在老年时曾被人问到一个有趣的问题：“假定你去世后一两千年能复活，您会做什么呢?”希尔伯特毫不犹豫且满脸认真地回答道：“我会先问‘黎曼猜想’是否已经解决了?”原来他在1900年时就把这问题列为20世纪数学家所面对的一个重要难题如果他死能复活，当然关心的是这个问题是否解决了? 在此，读者一定会自然而然地想到所谓“黎曼猜想”的作者正是本文的主人翁——黎曼。
数学奇才
格奥尔格•弗里德里希•伯恩哈德•黎曼(Gcorg Ffiedrich Bernhard№e㈣)是德国数学家。
1826年9月17日他出生在德国汉诺威的一个叫布雷斯伦茨的小村庄，父亲伯恩哈德•黎曼是当地的牧师。
他家人口够，全家共有6个小孩，他排行第二。
黎曼天资聪明，为人友善，深得父母的喜爱。
5岁时，他对历史表现出了强烈的兴趣，常常因沉迷于古代战争故事而难以自拔。
对于非正义的事他嫉恶如仇，对于被压抑的民族，他常常抱以深切的同情，他特别同情波兰人被外国侵略者统治的命运。
一年之后，他的兴趣逐渐转移，他开始学习算术，算术给这个敏感的孩子提供了一些不太困难的东西去细想。
从此，他天生的数学才能开始表现出来，他不但解决了别人留给他的所有题目，甚至还常出一
些困难的题目去考他的兄弟姐妹。
有个故事足可以证明他的数学天赋。
据黎曼中学时的数学老师回忆说：“黎曼在16岁时曾经向我借数学书看，并且很谦虚地说希望有一本不太容易看懂的书。
我对他说只要你喜欢，书架上的书任你挑选，结果他选了法国数学家勒让德的《数论》。
这是一本长达859页、难度非常大的大四开本书。
我对黎曼说：‘试试，看你能读懂里面多少东西。
’6天后，他把书送回来了。
我问他读懂了多少?他竟回答说：‘这本书写得非常奇妙，我已全部懂了。
’此后，黎曼就再也没有看这本书了。
在后来的‘数论’毕业考试中老师拿勒让德那本书里的一些问题来考黎曼，出乎老师的意料，他的回答是那样的精彩，好像他是特意读了那本书准备考试一样。
数论对他是那样有特别的吸引力，后来，黎曼又读了勒让德写的其他几何书，并从几何书中选了许多题目来做。
这说明，还在中学时代，黎曼就已显示出他是一个数学天才了，他具有很强的数学直观能力及抽象思维能力。
” 1846年黎曼进入哥廷根大学研读哲学和神学。
实际上，神学并非他的兴趣所在。
他只是为了让他的父亲高兴，想尽快得到一个有报酬的工作，以便在经济上支援家庭，才选择了神学。
然而，他的心思仍然扑在数学上，他丢不开斯特恩的方程论和定积分，高斯的最小二乘法及戈尔德斯米特的地磁学。
黎曼的父亲不忍心看他学得那么辛苦，最终还是让他选择了数学专业。
因哥廷根大学的教育方法较为落后，在读了一年后，黎曼便转到了柏林大学，从学于著名教授雅可比、狄利克雷、施特涅尔。
从此他便开始进入新的、充满活力的数学境界。
他从老师那里学到了很多东西。
如从雅可比那里学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从施特涅尔那里学到了现代几何，而从比他年长3岁的艾森斯坦那里不仅学到了椭圆函数，而且学到了一个人为何坚持“自信”，因为他和这位年轻的大师兄对数学理论应该如何发展，有着根本的、最激励人的不同观点。
1849年在回哥廷根准备写博士论文时，为了减轻父亲的经济负担，黎曼参加了由高斯的朋友韦伯等主持的数学物理研讨会，并作为韦伯的助手做一些物理实验，为一些初学物理的人进行讲演。
这些琐碎的事使黎曼花掉了不少时间，并影响了他递交博士论文的时间。
到了1851年11月，他才呈上了《复变函数论的一般理论的基础》一文。
高斯对这篇论文的评价很高，他说：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，证明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，以及具有灿烂丰富的想象力。
”
1854年在取得哥廷根大学的哲学博士学位后，黎曼想谋取讲师职位。
为此，他得做一次就职演讲。
为了对付这次严峻的考验，黎曼提交了三个题目由老师们从中选择，他希望他们会选中前两个题目中的一个，因为前两个题目他早已经准备好了，但使
黎曼失望的是，高斯指定了黎曼轻率地提出的第三个题目——“几何基础”。
在没多少准备的情况下，黎曼在1854年所做的讲演《论作为几何基础的假设》不仅是数学上的一篇杰作，而且在表述方面也堪称典范，为此高斯兴奋不已，并顺利地让黎曼获得了讲师职位。
提出“黎曼几何学”
2000多年来，人们一直认为欧几里得平面几何学是反映现实世界惟一正确的几何学。
19世纪20～30年代非欧氏几何的诞生使人们从这一思想中解放出来。
在数学史中，很少有一个分支能像非欧氏几何那样对人类的认识史发生如此深刻的影响，其代表人物主要有高斯、鲍耶、
罗巴切夫斯基，其中著作最多并为确立和发展非欧几何而始终不渝的当推罗巴切夫斯基。
罗巴切夫斯基从宇宙弯曲的空间特性出发，对欧氏的平行公理(常称第五公设)进行改进，而得出了三角形的内角和小于两直角的公理，从而推翻了欧几里得几何学的惟一性的传统观念，这一思想一般简称为“罗氏几何”。
1854年，黎曼在《关于几何基础的假设》的演说中，站在微观空间的立场，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几何，即黎曼几何，被称为椭圆几何，是非欧几里得几何的一种。
它完全排除欧几里得的第五公设，并对第二公设加以
修改。
欧几里得的第五公设是：经给定直线外的一点，有惟一的一条直线与之平行，在黎曼几何学中没有与给定直线平行的直线。
欧几里得的第二公设是：有限直线段可以无限延长。
在黎曼几何学中，有限的直线段可以无限延长，但所有直线有相同的长度。
欧几里得的其余三个公设仍、
被采用。
虽然黎曼几何学的有些定理与欧几里得几何相同，但多数是不同的。
例如，在欧几里得几何中两条平行线，处处有相同的距离，而在黎曼几何中，平行线不存在；在欧几里得几何中，三角形三内角之和等于两直角，而在黎曼几何中，其和小于两直角。
在欧几里得几何中，面积不等的多边形可以相似，而在黎曼几何中，不存在面积不等的相似多边形。
所以在大的范围里，与欧氏几何有着很大的区别。
黎曼揭示了不同于欧几里得几何的各种几何的可能性，他的这一工作，引出了深远的结果，而且有益于相对论。